1. Trang Chủ
    2. ›
  2. Giáo Án
    3. ›
  3. THPT
    4. ›
  4. Lớp 12
    5. ›
  5. Toán 12

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 37: Phương trình đường thẳng trong Oxyz

docx 25 trang Venus 24/11/2025 2820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 37: Phương trình đường thẳng trong Oxyz", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_dang_37_phuong_trinh_duong_t.docx

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 37: Phương trình đường thẳng trong Oxyz

  1. DẠNG TOÁN 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Vecto chỉ phương của đường thẳng  Định nghĩa: Vecto u 0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng nếu u 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng  Nhận xét:   + Đường thẳng đi qua hai điểm A và B thì có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA . +Nếu u là một vectơ chỉ phương của thì ku k 0 cũng là một vectơ chỉ phương của , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. + Nếu u, v là cặp vecto không cũng phương, có giá vuông góc với thì u, v là vecto chỉ phương của đường thẳng 2. Phương trình đường thẳng. Đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có một vectơ chỉ phương là u a;b;c có phương x x0 at trình tham số : y y0 bt t ¡ và z z0 ct x x y y z z Phương trình chính tắc : 0 0 0 abc 0 . a b c II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương.  Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương.  Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết phương trình tham số của đường thẳng đó.  Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết phương trình chính tắc của đường thẳng đó  Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng khi biết tọa độ 2 điểm thuộc đường thẳng.  Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng cho trước.
  2.  Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng cho trước.  Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cho trước.  Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2;1;0 và đường thẳng x 3 y 1 z 1 : . Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với có phương trình là 1 4 2 A. 3x y z 7 0 . B. x 4y 2z 6 0 . C. x 4y 2z 6 0 . D. 3x y z 7 0 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz khi biết điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến. 2. HƯỚNG GIẢI:  B1: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 1;4; 2   B2: Gọi P là mặt phẳng cần tìm, vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P nên nP u   B3: Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M 2;1;0 và có một vectơ pháp tuyến nP u Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C  Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1;4; 2 . Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P nên chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là   nP u 1;4; 2 .  Mặt phẳng P đi qua điểm M 2;1;0 và có một vectơ pháp tuyến nP 1;4; 2 có phương trình là 1 x 2 4 y 1 2 z 0 0 hay x 4y 2z 6 0 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương u 2; 1; 2 có phương trình là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 2 1 2 2 1 2
  3. x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 2 1 2 2 1 2 Lời giải Chọn A Đường thẳng đi qua điểm A 1; 2;3 và có vectơ chỉ phương u 2; 1; 2 có phương trình là x 1 y 2 z 3 . 2 1 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz , đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x 0 x 0 x t x 0 A. y 1 .B. y t .C. y 0 .D. y 0 . z t z 0 z 0 z t Lời giải Chọn B x 0 Trục Oy qua O 0;0;0 và có vectơ chỉ phương j 0;1;0 nên có phương trình y t . z 0 x 1 2t Câu 3. Cho đường thẳng d : y 3 t t ¡ . Khi đó phương trình chính tắc của d là: z 4 t x 2 y 1 z 1 x 1 y 3 z 4 A. . B. . 1 3 4 2 1 1 x 1 y 3 z 4 x 2 y 3 z 5 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Lời giải Chọn C. x 1 2t d : y 3 t t ¡ đi qua điểm M 1; 3;4 và nhận u 2;1; 1 làm vtcp. z 4 t x 1 y 3 z 4 Vậy d : . 2 1 1 Câu 4. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oz có phương trình là x 0 x 0 x t x 0 A. y t . B. y 0 . C. y 0 . D. y t . z t z 1 t z 0 z 0 Lời giải Chọn B
  4. Đường thẳng Oz nhận k 0;0;1 làm véc tơ chỉ phương và đi qua điểm M 0;0;1 nên có phương x 0 trình là: y 0 (t R ). z 1 t Câu 5. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3;0; 4 và có véc tơ chỉ phương u 5;1; 2 có phương trình:: x 3 y z 4 x 3 y z 4 x 3 y z 4 x 3 y z 4 A. .B. . C. .D. . 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 Lời giải: Chọn D. Đường thẳng đi qua điểm A 3;0; 4 và có véc tơ chỉ phương u 5;1; 2 có phương trình x 3 y z 4 . 5 1 2 Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có vectơ chỉ phương a 4; 6;2 . Phương trình tham số của là x 2 4t x 2 2t x 4 2t x 2 2t A. y 6t .B. y 3t .C. y 6 3t .D. y 3t . z 1 2t z 1 t z 2 t z 1 t Lời giải: Chọn D. 1 Vì có vectơ chỉ phương a 4; 6;2 nên cũng nhận vectơ a 2; 3;1 làm vectơ chỉ 2 x 2 2t phương. Do đó phương trình tham số của là y 3t . z 1 t Câu 7. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 3; 1;2 và có vectơ chỉ phương u 4;5; 7 là: x 4 3t x 4 3t x 3 4t x 3 4t A. y 5 t .B. y 5 t .C. y 1 5t .D. y 1 5t . z 7 2t z 7 2t z 2 7t z 2 7t Lời giải: Chọn C. x 3 t Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 2t , t ¡ . Phương z 3t trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d ?
  5. x 3 y 1 z x 3 y 1 z A. .B. . 1 2 3 1 2 3 x 1 y 2 z 3 x 3 y 1 z 3 C. . D. . 3 1 3 1 2 3 Lời giải: Chọn A. qua M 3; 1;0 d : . vtcpu 1;2; 3 x 3 y 1 z Phương trình chính tắc của d : . 1 2 3 Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M 3;3; 2 và có véctơ chỉ phương u 1;3;1 . Phương trình của d là: x 3 y 3 z 2 x 3 y 3 z 2 A. .B. . 1 3 1 1 3 1 x 1 y 3 z 1 x 1 y 3 z 1 C. .D. . 3 3 2 3 3 2 Lời giải: Chọn B. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trục Ox có phương trình tham số là x 1 x t x 0 x t A. y 0 . B. y 0 . C. y t . D. y 1 . z t z 0 z t z 1 Lời giải: Chọn B Trục Ox đi qua O 0;0;0 và nhận i 1;0;0 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình x t tham số là y 0 . z 0  Mức độ 2 Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 và B 2;4; 1 . Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là x 1 y 4 z 1 x 1 y 2 z 3 A. .B. . 1 2 4 1 2 4 x 2 y 4 z 1 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 2 4 1 2 4
  6. Lời giải Chọn B.  x 1 y 2 z 3 Ta có AB qua A 1;2;3 có vectơ chỉ phương AB 1;2; 4 AB : . 1 2 4 Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng D đi qua điểm M (1;2;3) và có véctơ chỉ phương là r u = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng D ? ïì x = - 5- 2t ïì x = 2+ t ïì x = 1+ 2t ïì x = 3+ 2t ï ï ï ï A. íï y = - 10- 4t . B. íï y = 4+ 2t . C. íï y = 2+ 4t . D. íï y = 6+ 4t . ï ï ï ï îï z = - 15- 6t îï z = 6+ 3t îï z = 3+ 6t îï z = 12+ 6t Lời giải Chọn D Dễ kiểm tra được điểm M (1;2;3) không thuộc đường thẳng có phương trình ở đáp án D. Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 2;1 và mặt phẳng P : x y 2z 5 0 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặt phẳng P ? x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 A. . B. . 1 1 2 4 2 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 C. . D. . 1 1 2 4 2 1 Lời giải Chọn D. Vì d đi qua điểm A 3; 2;1 nên loại B, C.     d  P n P .ud 0 nên loại A vì n P ud . Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 1; 2 và mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là x 1 y 1 z 2 x 2 y 1 z 3 A. . B. . 2 1 3 1 1 2 x 2 y 1 z 3 x 1 y 1 z 2 C. . D. . 1 1 2 2 1 3 Lời giải Chọn D. Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng P nên véctơ pháp tuyến của P là  nP 2; 1;3 cũng là véctơ chỉ phương của . Mặt khác đi qua điểm M 1; 1; 2 nên x 1 y 1 z 2 phương trình chính tắc của là . 2 1 3 Câu 5. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 1;1;2 và vuông góc với mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0 có phương trình là
  7. x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 1 2t . B. y 2 t . C. y 1 2t . D. y 1 2t . z 2 3t z 3 2t z 2 3t z 2 3t Lời giải Chọn D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P ud nP 1; 2;3 x 1 t Phương trình đường thẳng d : y 1 2t . z 2 3t Câu 6. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;1;3) và có véctơ pháp tuyến là r n = (1;1;- 2) . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng nào trong các đường thẳng sau: ïì x = t ïì x = t ïì x = - t ïì x = 1+ t ï ï ï ï A. (d) :íï y = t . B. (d) :íï y = - 5t . C. (d) :íï y = 5t . D. (d) :íï y = 5+ t . ï ï ï ï îï z = 1+ t îï z = 2- 2t îï z = 1+ 2t îï z = t Lời giải Chọn B (P) : x + y - 2z + 4 = 0 Cả 4 đường thẳng trên đều có véctơ chỉ phương vuông góc với véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên các đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chứa trong mặt phẳng (P) . Lấy một điểm bất kì trên mỗi đường thẳng thay vào phương trình mặt phẳng (P) , ta thấy chỉ có đáp án B là đúng. Câu 7. Cho điểm A 1;2;3 và hai mặt phẳng P : 2x 2y z 1 0 , Q : 2x y 2z 1 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả P và Q là x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 1 4 1 2 6 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 6 2 5 2 6 Lời giải Chọn D  Ta có P : 2x 2y z 1 0 có một véctơ pháp tuyến là n P 2;2;1 .  Q : 2x y 2z 1 0 có một véctơ pháp tuyến là n Q 2; 1;2 .  Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là ud .   u  n    d P Do đường thẳng d song song với P và Q nên   ud n P ,n Q 5; 2; 6 . u  n d Q
  8.  Mặt khác đường thẳng d đi qua A 1;2;3 và có véctơ chỉ phương ud 5; 2; 6 nên phương x 1 y 2 z 3 trình chính tắc của d là . 5 2 6 Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 1;4; 1 , B 2;4;3 , C 2;2; 1 . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là x 1 x 1 x 1 x 1 A. y 4 t . B. y 4 t . C. y 4 t . D. y 4 t . z 1 2t z 1 2t z 1 2t z 1 2t Lời giải Chọn A  Gọi là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC . Ta có BC 0; 2; 4 . Do song song với BC nên một véc tơ chỉ phương của là u 0;1;2 . x 1 Vậy phương trình tham số của đường thẳng là y 4 t . z 1 2t Câu 9. Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng : x 3y z 0 và  : x y z 4 0 . Phương trình tham số của đường thẳng d là x 2 t x 2 t x 2 t x 2 t A. y t . B. y t . C. y t . D. y t . z 2 2t z 2 2t z 2 2t z 2 2t Lời giải Chọn C  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 1; 3;1 .  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n  1;1; 1 .    Suy ra n ,n 2;2;4 , một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u 1;1;2 loại A.  d + Đáp án B tọa độ điểm đi qua là 2;0;2 không thỏa mãn phương trình loại đáp án B. + Đáp án C tọa độ điểm đi qua là 2;0;2 thỏa mãn phương trình và  đáp án đúng C. + Đáp án D tọa độ điểm đi qua là 2;0; 2 không thỏa mãn phương trình  loại đáp án D. Câu 10. Trong hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng x 3t x 1 y 3 z 2 d1 : và d2 : y t . 1 1 2 z 1 3t
  9. x 2 y 2 z 4 x 3 y 1 z 2 A. .B. . 1 3 2 1 1 1 x 1 y 3 z 2 x y z 1 C. .D. . 3 1 1 1 6 1 Lời giải Chọn A Gọi: d1 M 1 t ';3 t ';2 2t ' , d2 N 3t;t; 1 3t uuur MN 3t 1 t ';t 3 t '; 3 3t 2t ' . ur uur d1 ,d2 lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u1 1; 1;2 ,u2 3;1; 3 . uuur ur MN.u1 0 6t ' 10t 4 t ' 1 Vì là đường vuông góc chung của d1 ;d2 nên uuur uur 10t ' 19t 9 t 1 MN.u2 0 uuur M 2;2;4 , N 3; 1;2 , MN 1; 3; 2 x 2 y 2 z 4 Vậy phương trình : . 1 3 2  Mức độ 3 x 1 y 3 z 1 Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 3 4 1 P :2x y 2z 12 0 . Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng P x 1 y 2 z 3 x 1 y 4 z 3 A. d : B. d : 2 1 2 3 4 1 x y 4 z 2 x 1 y 4 z 2 .C. d : .D. d : . 3 1 1 3 4 1 Lờigiải Chọn B Ta có : d // (P ) nên d //d . Do đó ud ud 3; 4;1 . M 1;3; 1 d . M là hình chiếu vuông góc của M trên P . Gọi a là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với P . x 1 2t Khi đó đường thẳng a có phương trình y 3 t . z 1 2t
  10. x 1 2t x 1 y 3 t Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình y 4 . z 1 2t z 3 2x y 2z 12 0 x 1 y 4 z 3 Phương trình đường thẳng d là d : 3 4 1 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1; 0;1 và x t x 1 2t vuông góc với hai đường thẳng d1 : y 4 t và d2 : y 3 2t là: z 3 t z 4 t x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 x 1 y z 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 Lời giải Chọn D   Đường thẳng d1 , d2 lần lượt nhận u1 1;1; 1 , u2 2; 2; 1 làm véctơ chỉ phương. Đường thẳng d cần tìm vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 nên véctơ chỉ phương của d là:   u u ,u 1; 3; 4 . 1 2 x 1 y z 1 Phương trình đường thẳng d là . 1 3 4 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :3x y 2z 0 và hai đường thẳng x 1 y 6 z x 1 y 2 z 4 d : và d : . Đường thẳng vuông góc với P cắt cả hai 1 1 2 1 2 3 1 4 đường thẳng d1 và d2 có phương trình là x 2 y 1 z x 5 y z 4 A. .B. . 3 1 2 3 1 2 x 2 y 8 z 1 x 1 y 2 z 2 C. .D. . 3 1 2 3 1 2 Lời giải Chọn A x 1 t x 1 y 6 z d1 : d1 : y 6 2t M d1 M 1 t; 6 2t;t 1 2 1 z t x 1 3t ' x 1 y 2 z 4 d 2 : d 2 : y 2 t ' N d 2 N 1 3t '; 2 t '; 4 4t ' 3 1 4 z 4 4t '  MN 2 t 3t '; 4 2t t '; 4 t 4t '
  11. P :3x y 2z 0 có VTPT n 3;1; 2 Đường thẳng d vuông góc với P cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d2 tại N suy ra 2 t 3t ' 3k t 2 x 1 3s  MN kn 4 2t t ' k t ' 1 M 1;2; 2 d : y 2 s ;s ¡ 4 t 4t ' 2k k 1 z 2 2s x 2 y 1 z Chọn s 1 A 2;1;0 d d : . 3 1 2 Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x y z 3 0 và đường thẳng x 2 y 1 z d : . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (P) có phương trình là: 2 1 3 x y 1 z 2 x y 1 z 2 x y 1 z 2 x y 1 z 2 A. . B. . C. . D. . 5 8 13 2 7 5 4 3 7 2 3 5 Lời giải Chọn B r Ta có vtcp của đường thẳng (d) là u = (2;- 1;3). uur Vtpt của mặt phẳng (P) là nP = (1;1;1) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P). Khi đó uur r ïì n ^ u uur r uur ï Q é ù í uur uur Þ nQ = êu;nP ú= (- 4;1;3).Điểm M (- 2;- 1;0)Î d Þ M Î (Q). ï n ^ n ë û îï Q P Phương trình mặt phẳng (Q):- 4(x+ 2)+ (y + 1)+ 3z = 0 Û 4x- y- 3z + 7 = 0 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (P) là d¢= (P)Ç(Q). uur uur uur Khi đó vtcp của d¢ là u = én ;n ù= (- 2;7;- 5). Điểm N(0;1;2)Î (P)Ç(Q) suy ra chọn d ¢ ëê P Q ûú phương án B x 3 y 1 z 7 Câu 5. Trong không gian O xyz , cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng d : . Đường 2 1 2 thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục O x có phương trình là x 1 t x 1 2t x 1 2t x 1 t A. y 2 2t . B. y 2t . C. y 2t . D. y 2 2t . z 3 2t z 3t z t z 3 3t Lời giải Chọn B r Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ud 2;1; 2 . Gọi đường thẳng cần tìm là .
  12. uuur Gọi M a;0;0 là điểm thuộc trục O x mà đường thẳng đi qua, suy ra MA 1 a;2;3 là một véc tơ chỉ phương của . Vì đường thẳng vuông góc với d nên: uuur r uuur r MA  ud MA.ud 0 1 a .2 2.1 3. 2 0 a 1 M 1;0;0 . uuur Đường thẳng đi qua M 1;0;0 , nhận MA 2;2;3 làm một véc tơ chỉ phương suy ra x 1 2t có phương trình y 2t t ¡ . z 3t Cách 2: + Mặt phẳng (P) đi qua A(1;2;3) và vuông góc với d nên P nhận vectơ chỉ phương của d ud 2;1; 2 làm một vetơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) : 2 x 1 1 y 2 2 z 3 0 2x y 2z 2 0 . + Tọa độ giao điểm M của trục Ox và mặt phẳng (P) là nghiệm hệ phương trình: x t y 0 t 1 M 1;0;0 . z 0 2x y 2z 2 0 + Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A , M nên nhận vectơ  AM 2; 2; 3 2;2;3 làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số: x 1 2t y 2t , t ¡ . z 3t Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y 2z 9 0 và đường x 1 y 3 z 3 thẳng d : . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A 0; 1;4 , 1 2 1 vuông góc với d và nằm trong P là: x 5t x 2t x t x t A. : y 1 t . B. : y t . C. : y 1 . D. : y 1 2t . z 4 5t z 4 2t z 4 t z 4 t Lời giải Chọn C Ta thấy : A P . Mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến n 2;1; 2 , đường thẳng d có véctơ  chỉ phương ud 1;2;1
  13. Vì đường thẳng đi qua A 0; 1;4 , vuông góc với d và nằm trong P nên đường thẳng     có véctơ chỉ phương là u ud ,n 5;0; 5 nên chọn u 1;0;1 . x t Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng : y 1 . z 4 t Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2;1; 1 , B 2;3;1 và C 0; 1;3 . Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Phương trình đường thẳng d là x 1 y 1 z 2 x 1 y z A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x y 2 z x 1 y z C. .D. . 2 1 1 1 1 1 Lời giải Chọn B  Ta có: AB 4;2;2 AB 16 4 4 2 6  AC 2; 2;4 AC 4 4 16 2 6 BC 4 16 4 2 6 Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G 0;1;1 . Do đó phương trình đường thẳng d qua G 0;1;1 x t 1   d : y 1 t có véctơ chỉ phương u AB, AC 1;1;1 hay, 12 z 1 t Vậy đường thẳng d đi qua điểm A 1;0;0 và có véctơ chỉ phương u 1;1;1 nên chọn B. x - 1 y + 1 z Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2;1;0)và đường thẳng d : = = . Viết 2 1 - 1 phương trình đường thẳng D đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d. x 2 y 1 z x 2 y 1 z A. . B. . 1 4 1 1 4 1 x 2 y 1 z x 2 y 1 z C. . D. . 2 4 1 1 4 2 Lời giải Chọn D Gọi N (1+ 2t;- 1+ t;- t) là giao điểm của đường thẳng D và đường thẳng d.
  14. uuur Lúc đó đường thẳng D nhận MN = (2t - 1;t - 2;- t) làm vectơ chỉ phương. 2 Mặt khác D vuông góc với đường thẳng d nên ta có: 2(2t - 1)+ t - 2 + t = 0 Þ t = . 3 2 uuur æ1 4 2ö r Với t = đường thẳng D nhận MN = ç ;- ;- ÷ hoặc u = (1;- 4;- 2) làm vtcp. 3 èç3 3 3ø÷ x - 2 y - 1 z Phương trình đường thẳng D : = = . 1 - 4 - 2 x y z 2 Câu 9. Viết phương trình đường thẳng d qua A 1;2;3 cắt đường thẳng d : và song song 1 2 1 1 với mặt phẳng P : x y z 2 0 . x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 2 t . B. y 2 t .C. y 2 t . D. y 2 t . z 3 t z 3 z 3 z 3 t Lời giải Chọn C  Do d  d1 B B 2m;m;m 2 AB 2m 1;m 2;m 1  d song song với mặt phẳng P nên AB.n P 0 1. 2m 1 1. m 2 m 1 0 m 1 x 1 t  AB 1; 1;0 phương trình đường thẳng d : y 2 t . z 3 Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y z 10 0 , điểm A 1;3;2 x 2 y 1 z 1 và đường thẳng d : . Tìm phương trình đường thẳng cắt P và d lần lượt 2 1 1 tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . x 6 y 1 z 3 x 6 y 1 z 3 A. . B. . 7 4 1 7 4 1 x 6 y 1 z 3 x 6 y 1 z 3 C. . D. . 7 4 1 7 4 1 Lời giải Chọn A Ta có N  d N 2 2t ;1 t ;1 t . A là trung điểm của MN M 4 2t;5 t;3 t . Mà M P nên tọa độ M thỏa phương trình P , ta được: 2 4 2t 5 t 3 t 10 0 t 2 N 6; 1;3 , M 8;7;1 .
  15. 1  Đường thẳng đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u NM 7;4; 1 2 x 6 y 1 z 3 Phương trình đường thẳng : . 7 4 1  Mức độ 4 Câu 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 3;3; 3 thuộc mặt phẳng có phương trình 2 2 2 2x – 2y z 15 0 và mặt cầu S : x 2 y 3 z 5 100 . Đường thẳng qua A , nằm trên mặt phẳng cắt (S) tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng là x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 A. . B. . 1 4 6 16 11 10 x 3 5t x 3 y 3 z 3 C. y 3 . D. . 1 1 3 z 3 8t Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 2;3;5 bán kính R 10 I K A H . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuống góc của I lên và mặt phẳng . IK  nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng là. x 2 2t Phương trình tham số đường thẳng IK : y 3 2t . z 5 t x 2 2t y 3 2t Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình K 2;7;3 . z 5 t 2x 2y z 15 0 Vì  nên IH IK . Do đó, IH nhỏ nhất khi H trùng với K .
  16. Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất. Khi đó, đường thẳng cần tìm đi qua A và K . x 3 y 3 z 3 Đường thẳng có phương trình là: . 1 4 6 3 Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng P đi qua ba điểm A ;0;0 , 2 3 2 2 2 B 0; ;0 , C 0;0; 3 và mặt cầu S : x 3 y 2 z 5 36 . Gọi là đường 2 thẳng đi qua điểm E , nằm trong P và cắt S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình là x 2 9t x 2 5t x 2 t x 2 4t A. y 1 9t . B. y 1 3t . C. y 1 t . D. y 1 3t . z 3 8t z 3 z 3 z 3 3t Lời giải Chọn C Cách 1: 3 3 Mặt phẳng P đi qua ba điểm A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; 3 nên phương trình P là 2 2 2x 2y z 1 2x 2y z 3 0. Dễ thấy E P . 3 3 3 Mặt cầu S có tâm I 3;2;5 , bán kính R 6 . 2.3 2.2 5 3 2 Giả sử K là hình chiếu của I lên P , ta có: IK dI / P . 22 22 1 2 3 Do đó IK R nên S và P cắt nhau và giao tuyến của chúng là đường tròn tâm K . 2 2 2 Lại có IE 2 3 1 2 3 5 6 IE R , nên E nằm trong mặt cầu S . Mà E P nên E nằm trong đường tròn giao tuyến của S và P . Giả sử cắt S tại D và G , F là hình chiếu của K lên . Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với EK , nằm trên P , cắt S tại M và N . Ta có KF KE DG MN (theo tính chất mối quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ dây cung tới tâm).
  17. Mà MN không đổi nên DG nhỏ nhất khi và chỉ khi E  F . Khi đó  KE , ngoài ra IK  P  IK , do đó  IKE  IE .       Vậy u  IE ; u  nP , mà IE 1; 1; 2 , nP 2; 2; 1    Ta có: IE ;n 5; 5;0 , chọn u 1; 1;0 . P x 2 t Vì đi qua E 2;1;3 nên phương trình là y 1 t . Chọn C. z 3 Cách 2: 3 3 Mặt phẳng P đi qua ba điểm A ;0;0 , B 0; ;0 , C 0;0; 3 nên phương trình P là 2 2 2x 2y z 1 2x 2y z 3 0. Dễ thấy E P . 3 3 3 Thay tọa độ điểm E vào vế trái của phương trình (S) ta được : 12 12 22 6 36 . Do đó E nằm trong mặt cầu (S) . Gọi M, N là giao điểm của và mặt cầu (S) . Khi đó ta có: MN 2 R2 (d(I, ))2 , với R, I lần lượt là bán kính và tâm của mặt cầu (S) . Do đó MN nhỏ nhất khi d(I, ) lớn nhất. Ta lại có: d(I, ) IE , với IE cố định.       Do đó: max d(I, ) IE . Khi đó: u  IE ; u  nP , mà IE 1; 1; 2 , nP 2; 2; 1    Ta có: IE ;n 5; 5;0 , chọn u 1; 1;0 . P x 2 t Ngoài ra đi qua E 2;1;3 nên phương trình là y 1 t . Chọn C. z 3 Câu 3. Đường thẳng đi qua điểm M 3;1;1 , nằm trong mặt phẳng : x y z 3 0 và tạo với x 1 đường thẳng d : y 4 3t một góc nhỏ nhất thì phương trình của là z 3 2t x 1 x 8 5t x 1 2t x 1 5t A. y t . B. y 3 4t . C. y 1 t . D. y 1 4t . z 2t z 2 t z 3 2t z 3 2t Lời giải Chọn B
  18. Ta thấy: M . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 0;3; 2 . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . Vì u.n 0.1 3.1 2 . 1 5 0 nên d cắt . x 3 Gọi d1 là đường thẳng đi qua M và d1 // d , suy ra d1 có phương trình: y 1 3t . z 1 2t Lấy N 3;4; 1 d1 . Gọi K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng và đường thẳng . NH NK Ta có: ·d, N· MH và sin N· MH . MN MN · Do vậy d, nhỏ nhất khi K  H hay là đường thẳng M K . x 3 t Đường thẳng NK có phương trình: y 4 t . z 1 t Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình: 5 4 7 2 3 t 4 t 1 t 3 0 t . Suy ra K ; ; . 3 3 3 3  5 4 1 1 Đường thẳng có vectơ chỉ phương là MK ; ; 5; 4;1 Chọn B 3 3 3 3 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A 2;1;0 , B 3;0;2 , C 4;3; 4 . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A . x 2 x 2 x 2 t x 2 t A. y 1 t . B. y 1 . C. y 1 . D. y 1 . z 0 z t z 0 z t
  19. Lời giải Chọn C Cách 1:  Ta có AB 1; 1;2 AB 6 , AC 2;2; 4 AC 2 6 . Giả sử đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D . DB AB 1 1  1  Khi đó: DB DC DB DC (*) (vì D nằm giữa B và C ). DC AC 2 2  2 Gọi D x; y; z DB 3 x; y;2 z , DC 4 x;3 y; 4 z . 1 3 x 4 x 10 2 x 3 1 10 Thay vào (*) ta được hệ phương trình y 3 y y 1 . Vậy D ;1;0 . 2 3 z 0 1 2 z 4 z 2  4 Suy ra AD ;0;0 . 3 Đường phân giác trong của góc A đi qua điểm A 2;1;0 và có vectơ chỉ phương x 2 t 3  u AD 1;0;0 nên có phương trình là: y 1 . 4 z 0 Cách 2:     Ta có AB 1; 1;2 AB 6 , AC 2;2; 4 AC 2 6 .  1  1 1 2 Lấy điểm E trên cạnh AB sao cho AE 1 . Khi đó AE  AB ; ; . AB 6 6 6  1  1 1 2 Lấy điểm F trên cạnh AC sao cho AF 1 . Khi đó AF  AC ; ; . AC 6 6 6    2 Dựng hình bình hành AEDF , ta có AD AE AF ;0;0 . 6  Vì AE AF 1 nên hình bình hành AEDF cũng là hình thoi. Do đó AD là một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC .
  20. Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm A 2;1;0 và có vectơ chỉ phương là x 2 t 6  u AD 1;0;0 nên có phương trình là: y 1 . 2 z 0 Nhận xét: 1  1  Đường phân giác trong của góc B· AC có vectơ chỉ phương là u  AB  AC . AB AC . Cách 3:   Ta có AB 1; 1;2 AB 6 , AC 2;2; 4 AC 2 6 . Gọi I là trung điểm AC . Ta có I 3;2; 2 và AI 6 .    Dựng hình bình hành ABKI , ta có AK AB AI 2;0;0 .  Vì AB AI 6 nên hình bình hành ABKI cũng là hình thoi. Do đó AK là một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm A 2;1;0 và có vectơ chỉ phương là x 2 t 1  u AI 1;0;0 nên có phương trình là: y 1 . 2 z 0 x y 1 z 1 x 1 y z 3 Câu 5. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d : , d : . Viết 1 1 1 2 2 2 4 2 phương trình đường phân giác của những góc tù tạo bởi d1,d2 . x 1 y z 3 x 1 y z 3 A. . B. . 3 5 4 1 1 1 x y 1 z 1 x 1 y z 3 C. . D. . 2 1 1 2 1 1 Lời giải Chọn D x t x 1 2s Ta viết phương trình tham số của d1 : y 1 t t ¡ ,d2 : y 4s s ¡ . z 1 2t z 3 2s Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 . t 1 2s t 1 Ta có 1 t 4s suy ra I 1;0;3 là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 . s 0 1 2t 3 2s Lấy A 0;1;1 d1 IA 6. Gọi B 1 2s; 4s;3 2s d2 sao cho IB 6 . 1 1 Ta có IB 6 4s2 16s2 4s2 6 s2 s . 4 2 B 0; 2;4 Vậy có 2 điểm thỏa mãn . B 2;2;2
Giáo Án Liên Quan