1. Trang Chủ
    2. ›
  2. Giáo Án
    3. ›
  3. THPT
    4. ›
  4. Lớp 12
    5. ›
  5. Toán 12

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 38: Viết phương trình đường thẳng

docx 58 trang Venus 24/11/2025 2490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 38: Viết phương trình đường thẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_dang_38_viet_phuong_trinh_du.docx

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 38: Viết phương trình đường thẳng

  1. DẠNG TOÁN 38: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A xA; yA; zA , B xB ; yB ; zB và C xC ; yC ; zC  Ta có: AB xB xA; yB yA; zB zA . x x x A B I 2 yA yB Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB , I yI . 2 zA zB zI 2 x x x x A B C G 3 yA yB yC Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC , G yG . 3 zA zB zC zG 3  Nếu u x; y; z u xi y j zk . x1 kx2  u x1 ; y1 ; z1 cùng phương với v x2 ; y2 ; z2 v 0 khi và chỉ khi u kv y1 ky2 . z1 kz2 a  u  Nếu 2 vectơ u , v không cùng phương và a u,v . a  v    Đường thẳng đi qua hai điểm A và B thì có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA .  Nếu u là một vectơ chỉ phương của thì ku k 0 cũng là một vectơ chỉ phương của , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.  Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia.   Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ chỉ phương u của đường thẳng    chính là vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng , tức u n .  Đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có một vectơ chỉ phương là u a;b;c có phương x x0 at trình tham số : y y0 bt và z z0 ct x x y y z z phương trình chính tắc : 0 0 0 abc 0 . a b c
  2. x x0 at  Điểm M thuộc đường thẳng có PTTS : y y0 bt thì M x0 at ; y0 bt ; z0 ct . z z0 ct  Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D 0 và : A x B y C z D 0 Với điều kiện A: B : C A : B : C . Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng. Đường thẳng d gồm những điểm M x; y; z vừa thuộc vừa Ax By Cz D 0   thuộc , nên tọa độ của M là nghiệm của hệ . Khi đó u n,n với d A x B y C z D 0  n A, B,C và n A , B ,C là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox là i 1;0;0 .  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là j 0;1;0 .  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là k 0;0;1 . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h) PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp) PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt) PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp) PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 , có liên hệ với d2 . PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mp P . PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2 PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d , thỏa ĐK khoảng cách PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác PTĐT cắt 2 đường thẳng d1,d2 , thỏa ĐK khác PTĐT nằm trong P , vừa cắt vừa vuông góc với d PTĐT thỏa ĐK đối xứng PT giao tuyến của 2 mặt phẳng PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
  3. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gianOxyz , cho hai điểm M 1;0;1 và N 3;2; 1 . Đường thẳng MN có phương trình tham số là x 1 2t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 2t . B. y t . C. y t . D. y t . z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz khi biết điểm đi qua và một vectơ chỉ phương. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: * Trong không gian Oxyz:  ￿ Cho hai điểm A xA; yA; zA , B xB ; yB ; zB . Ta có: AB xB xA; yB yA; zB zA . ￿ Đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và có một vectơ chỉ phương là u a;b;c có phương x x0 at x x0 y y0 z z0 trình tham số : y y0 bt t ¡ và phương trình chính tắc : abc 0 . a b c z z0 ct   ￿ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B thì có một vectơ chỉ phương là AB hoặc BA . ￿ Nếu u là một vectơ chỉ phương của thì ku k 0 cũng là một vectơ chỉ phương của , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. 3. HƯỚNG GIẢI:   B1: Tính MN 2;2; 2 và suy ra MN 2u , với u 1;1; 1 . B2: Chọn u 1;1; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N . B3: Viết phương trình đường thẳng MN đi qua M 1;0;1 và có một vectơ chỉ phương u 1;1; 1 . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D   Ta có: MN 2;2; 2 MN 2u , với u 1;1; 1 . Ta chọn u 1;1; 1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N . Đường thẳng MN đi qua M 1;0;1 và có một vectơ chỉ phương u 1;1; 1 có phương trình tham số là x 1 t y t . z 1 t
  4. Bài tập tương tự và phát triển 1:  Mức độ 1 Câu 1. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua E 1;2;3 va có một vectơ chỉ phương a i 3 j 5k có phương trình tham số là x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 3 2t . B. y 2 3t . C. y 2 3t . D. y 2 3t . z 5 3t z 3 5t z 3 5t z 3 5t Lời giải Chọn D Ta có a i 3 j 5k a 1; 3;5 Suy ra vectơ chỉ phương của là a 1; 3;5 . x 1 t Đường thẳng đi qua E 1;2;3 và có VTCP a 1; 3;5 có PTTS: y 2 3t . z 3 5t Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;2;2 , B 0; 1;2 ,C 4;0; 2 , đường thẳng đi qua C và song song với AB có phương trình tham số là x 4 t x 4 t x 1 4t x 4 t A. y t . B. y t . C. y 1 . D. y t . z 2 z 2 z 2t z 2 Lời giải Chọn A  Gọi là đường thẳng song song với AB , nên AB là một vectơ chỉ phương của .   Ta có: AB 3; 3;0 AB 3u với u 1; 1;0 . Ta chọn u 1; 1;0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . x 4 t Đường thẳng đi qua C 4;0; 2 và có VTCP u 1; 1;0 có PTTS: y t . z 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;7; 4 và vuông góc với mặt phẳng : x 2y 5z 4 0 có phương trình chính tắc là x 1 y 2 z 5 x 1 y 7 z 4 A. . B. . 1 7 4 1 2 5 x 1 y 7 z 4 x 1 y 7 z 4 C. . D. . 1 2 5 1 2 5 Lời giải Chọn B  Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 .   Vì  vectơ chỉ phương của : u n 1; 2;3 .
  5. x 1 y 7 z 4 Đường thẳng đi qua A 1;7; 4 và có VTCP u 1;2;5 có PTCT: . 1 2 5 x 1 y 2 z 3 Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : . Đường thẳng d đi qua 1 2 3 N 3;0; 5 song song với đường thẳng có phương trình tham số là x 1 3t x 3 t x 3 t x 3 t A. y 2 . B. y 2t . C. y 2t . D. y 2t . z 3 5t z 5 3t z 5 3t z 5 3t Lời giải Chọn B  Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1;2; 3 .   Vì d song song với nên vectơ chỉ phương của d là ud u 1;2; 3 . x 3 t Đường thẳng d đi qua N 3; 5;0 và có VTCP u 1;2; 3 có PTTS: y 2t . z 5 3t Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A 1;2;3 , B 3; 2;3 ,C 1;0; 3 , D 1;1;0 , đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với CD có phương trình tham số là x 2 2t x 2 2t x 2 2t x 2 2t A. y t . B. y 1 . C. y t . D. y t . z 3 3t z 3 3t z 3 3t z 3 3t Lời giải Chọn A 1 3 x 2 I 2 2 2 Gọi I là trung điểm của AB I yI 0 . Vậy I 2;0;3 . 2 3 3 zI 3 2  Vì song song với CD , nên CD là một vectơ chỉ phương của .  Ta có: CD 2;1;3 .  Ta chọn u CD 2;1;3 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng . x 2 2t Đường thẳng đi qua I 2;0;3 và có VTCP u 2;1;3 có PTTS: y t . z 3 3t Câu 6. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 2; 3; 4 và song song đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là x 2 2020t x 2 x 2 x 2 t A. y 3 . B. y 3 . C. y 3 2020t . D. y 3 . z 4 z 4 2020t z 4 z 4 t
  6. Lời giải Chọn C Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy là j 0;1;0 . Chọn u 2020 j 0;2020;0 làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy . Vì đường thẳng song song đường thẳng chứa trục Oy một VTCP của đường thẳng là u 2020 j 0;2020;0 x 2 Đường thẳng đi qua M 2; 3; 4 và có VTCP u 0;2020;0 có PTTS: y 3 2020t . z 4 x t Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : y 1 2t . Đường thẳng d đi qua B 1;0; 2 z 2 3t song song với đường thẳng có phương trình chính tắc là x 1 y z 2 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 2 3 1 2 3 x 1 y z 2 x 1 y z 2 C. . D. . 1 2 3 1 2 3 Lời giải Chọn D  Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 2; 3 .   Vì d song song với nên vectơ chỉ phương của d là ud u 1; 2; 3 . x 1 y z 2 Đường thẳng d đi qua B 1;0; 2 và có VTCP u 1; 2; 3 có PTCT: . 1 2 3 Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1;1 , B 1;1;0 ,C 1;3;2 . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình tham số là x 1 t x 1 x 1 t x 1 t A. y 1 t . B. y 1 t . C. y 1 t . D. y 1 t . z 1 z 1 z 1 z t Lời giải Chọn C 1 1 x 0 M 2 1 3  Gọi M là trung điểm của BC thì M yM 2 M 0;2;1 , suy ra AM 1;1;0 2 0 2 zM 1 2  Ta có đường thẳng AM nhận u AM 1;1;0 làm một vectơ chỉ phương.
  7.  Ta có đường thẳng AM đi qua A 1;1;1 và nhận u AM 1;1;0 làm một vectơ chỉ x 1 t phương có PTTS: y 1 t . z 1 Câu 9. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1; 3;2 và song song đường thẳng chứa trục Ox có phương trình tham số là x 1 x 1 x 1 t x 1 A. y 3 t . B. y 3 . C. y 3 . D. y 3 t . z 2 z 2 t z 2 z 2 t Lời giải Chọn C Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Ox là i 1;0;0 . Vì đường thẳng song song đường thẳng chứa trục Ox một VTCP của đường thẳng là u i 1;0;0 x 1 t Đường thẳng đi qua A 1; 3;2 và có VTCP i 1;0;0 có PTTS: y 3 . z 2 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;0; 2 , B 2; 3; 4 ,C 3;0; 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đường thẳng OG có phương trình chính tắc là x 2 y 1 z x y z x 2 y 1 z 3 x y z A. . B. . C. . D. . 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 Lời giải Chọn B 1 2 3 x 2 G 3 0 3 0 Vì G là trọng tam tam giác ABC G yG 1 . Vậy G 2; 1; 3 . 3 2 4 3 zG 3 3  Ta có: OG 2; 1; 3 .  Ta có đường thẳng OG đi qua O 0;0;0 nhận u OG 2; 1; 3 làm một vectơ chỉ x y z phương có PTCT: . 2 1 3  Mức độ 2 Câu 1. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 3;4; 7 và song song với 2 mặt phẳng : x y z 2 0 và  : 2x y z 1 0 có phương trình chính tắc là x 3 y 4 z 7 x 3 y 4 z 7 A. . B. . 2 1 3 2 1 3
  8. x 2 y 1 z 3 x 3 y 4 z 7 C. . D. . 3 4 7 2 1 3 Lời giải Chọn A  Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n1 1; 1;1 .  Mặt phẳng  có một vectơ pháp tuyến là n2 2;1;1 . 1 1 1   Vì n và n không cùng phương. 2 1 1 1 2   Vì song song với mặt phẳng và  nên có một VTCP u n ,n 2;1;3 1 2 x 3 y 4 z 7 Đường thẳng đi qua A 3;4; 7 và có VTCP u 2;1;3 có PTCT: . 2 1 3 Câu 2. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm B 0;4; 5 và vuông góc với 2 đường   thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 1; 2;0 và u2 1;1; 2 có phương trình tham số là x 4 2t x 4t x 4 x 5 t A. y 4t . B. y 4 2t . C. y 2 4t . D. y 4 2t . z 5 t z 5 t z 1 5t z 4t Lời giải Chọn B  Vì vuông góc với 2 đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 1; 2;0 và    u 1;1; 2 , suy ra một VTCP của là u u ,u 4; 2;1 2 1 2 x 3 y 4 z 7 Đường thẳng đi qua B 0;4; 5 và có VTCP u 4; 2;1 có PTTS: . 2 1 3 Câu 3. Trong không gian Oxyz , gọi P1 ,P2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P 6;7;8 lên trục Oy và mặt phẳng Oxz . Đường thẳng đi qua C 7;2; 1 và song song với đường thẳng P1P2 có phương trình chính tắc là x 6 y 7 z 8 x 7 y 2 z 1 A. . B. . 7 2 1 6 7 8 x 7 y 2 z 1 x 7 y 2 z 1 C. . D. . 6 7 8 6 7 8 Lời giải Chọn C Ta có: P1 là hình chiếu vuông góc của điểm P 6;7;8 lên trục Oy P1 0;7;0 . P2 là hình chiếu vuông góc của điểm P 6;7;8 lên mặt phẳng Oxz P2 6;0;8 .  Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng P1P2 là P1P2 6; 7;8 .  Vì song song với đường thẳng P1P2 , suy ra có một VTCP là u P1P2 6; 7;8 .
  9. x 7 y 2 z 1 Đường thẳng đi qua C 7;2; 1 và có VTCP u 6; 7;8 có PTCT: . 6 7 8 Câu 4. Trong không gian Oxyz , gọi T1 ,T2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm T 4;5;6 lên các trục Oy và trục Oz . Đường thẳng đi qua D 4;3; 8 và song song với đường thẳng T1T2 có phương trình tham số là x 4t x 4 x 4 x 4 A. y 5 3t . B. y 3 5t . C. y 3 5t . D. y 3 5t . z 6 8t z 8 6t z 8 6t z 8 6t Lời giải Chọn D Ta có: T1 là hình chiếu vuông góc của điểm T 4;5;6 lên trục Oy T1 0;5;0 . T2 là hình chiếu vuông góc của điểm T 4;5;6 lên trục Oz T2 0;0;6 .  Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng T1T2 là T1T2 0; 5;6 .  Vì song song với đường thẳng T1T2 , suy ra có một VTCP là u T1T2 0; 5;6 . x 4 Đường thẳng đi qua D 4;3; 8 và có VTCP u 0; 5;6 có PTTS: y 3 5t . z 8 6t Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;3;2 , B 2; 1;5 ,C 3;2; 1 . Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C có phương trình là x 14 y 9 z 7 x 2 y 3 z 2 A. . B. . 2 4 2 15 9 7 3 4 4 y y x 2 z 2 x 2 z 2 C. 3 . D. 3 . 15 9 7 15 9 7 Lời giải Chọn D 1 2 3 x 2 G 3 3 1 2 4 4 Vì G là trọng tam tam giác ABC G yG . Vậy G 2; ;2 . 3 3 3 2 5 1 zG 2 3     Ta có AB 1; 4;3 , AC 2; 1; 3 AB, AC 15;9;7 . Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C , nên ta chọn môt vectơ  chỉ phương u 15;9;7 .
  10. 4  Vậy đường thẳng đi qua G 2; ;2 và nhận u 15;9;7 làm một vectơ chỉ phương có 3 4 y x 2 z 2 phương trình chính tắc là: 3 . 15 9 7 Câu 6. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm E 1;2;1 , song song với mặt phẳng x 2t : x y z 2 0 và vuông góc với đường thẳng d : y 1 t có phương trình tham số là z 2 5t x 4 t x 1 4t x 1 4t x 1 4t A. y 7 2t . B. y 2 7t . C. y 2 7t . D. y 2 7t . z 3 t z 1 3t z 1 3t z 1 3t Lời giải Chọn C  Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n1 1;1; 1 .  Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud 2; 1;5 . Vì song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng d nên có một VTCP   u n ,u 4;7;3 1 d x 1 4t Đường thẳng đi qua E 1;2;1 và có VTCP u 4;7;3 có PTTS: y 2 7t . z 1 3t Câu 7. Trong không gian Oxyz , đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x 2y z 1 0 và  : x y z 2 0 có phương trình tham số là x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 2 t . B. y 1 2t . C. y 1 2t . D. y 1 2t . z 3 z 3t z 3t z 3t Lời giải Chọn B  Mặt phẳng có một VTPT là n 1;2;1 .  Mặt phẳng  có một VTPT là n 1; 1; 1   Khi đó n ,n 1;2; 3  Vì đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x 2y z 1 0 và     : x y z 2 0 nên có một vectơ chỉ phương là u cùng phương với n ,n   Chọn một VTCP của là u 1; 2;3 .
  11. x 2y z 1 0 Tọa độ M x; y; z là nghiệm của hệ phương trình . x y z 2 0 2y z 2 y 1 Trong hệ trên, cho x 1 ta được M 1;1;0 . y z 1 z 0 x 1 t  Đường thẳng đi qua M 1;1;0 và có VTCP u 1; 2;3 có PTTS: y 1 2t . z 3t Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 4;0 , B 3;0;0 . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB , biết nằm trong mặt phẳng : x y z 1 0. x 4 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 4 2t . B. y 2 t . C. y 2 t . D. y 2 t . z 0 z 0 z 0 z 0 Lời giải Chọn C  Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n 1;1;1 và AB 4;4;0 Gọi u là một VTCP của , theo đề  AB và   u  AB  nên u n, AB 4;4;0 4 1; 1;0 . u  n 1 3 x 1 I 2 4 Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó I yI 2 . Vậy I 1; 2;0 . 2 0 0 zI 0 2 x 1 t Đường thẳng đi qua I 1; 2;0 và có VTCP u 1; 1;0 có PTTS: y 2 t . z 0 x 1 y 1 z Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : . Đường thẳng đi qua 2 1 1 M 2;1;0 cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là x 1 y 4 z 2 x 2 y 1 z A. . B. . 2 1 1 1 4 2 x 2 y 1 z x 2 y 1 z C. . D. . 1 4 2 1 4 2 Lời giải Chọn C x 1 2t Đường thẳng d có PTTS: y 1 t . z t
  12. Đường thẳng d có một VTCP là u 2;1; 1 . Gọi N d  N 1 2t ; 1 t ; t  Ta có MN 2t ;t 2; t là một VTCP của   2  1 4 2 Vì  d MN  u MN.u 0 2 1 2t 2 t t 0 t MN ; ; . 3 3 3 3  Chọn một VTCP của là u 1; 4; 2 .  x 2 y 1 z Đường thẳng đi qua M 2;1;0 và có VTCP u 1; 4; 2 có PTCT: . 1 4 2 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1;0; 1 , B 2;3; 1 ,C 2;1;1 . Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình tham số là x 3 x 3t x 3t x 3t A. y 1 2t . B. y 2 t . C. y 2 3t . D. y 2 t . z 5 z 5t z 5t z 5t Lời giải Chọn D    Ta có AB 1;3;0 , BC 4; 2;2 , AC 3;1;2 . Suy ra AB 10 , BC 24 , AC 14 . Nhận xét BC 2 AB2 AC 2 ABC vuông tại A . Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC I 0;2;0 .   Ta có AB, AC 6; 2;10 . Vì vuông góc với mặt phẳng ABC nên chọn một VTCP 1 của là u 6; 2;10 3; 1;5 . 2 x 3t Đường thẳng đi qua I 0;2;0 và có VTCP u 3; 1;5 có PTTS: y 2 t . z 5t  Mức độ 3 x 1 y 1 z 2 Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 2 1 3 P : x y z 1 0 . Đường thẳng đi qua A 1;1; 2 , song song với mặt phẳng P và cắt đường thẳng d có phương trình chính tắc là x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 A. . B. . 8 3 5 8 3 5 x 8 y 3 z 5 x 1 y 1 z 2 C. . D. . 1 1 2 8 3 5 Lời giải Chọn A
  13. x 1 2t Đường thẳng d có PTTS: y 1 t . z 2 3t  Mặt phẳng P có một VTPT là nP 1; 1; 1 . Gọi B d  B 1 2t ;1 t ;2 3t .  Ta có AB 2t 2;t ;3t 4 là một VTCP của .      Vì // P AB  nP AB.nP 0 2t 2 t 3t 4 0 t 3 AB 8; 3; 5 . Chọn một VTCP của là u 8;3;5 . x 1 y 1 z 2 Đường thẳng đi qua A 1;1; 2 và có VTCP u 8;3;5 có PTCT: . 8 3 5 x 2 y 3 z 1 x 1 y z Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho 2 đường thẳng d : và d : 1 3 2 1 2 1 3 2 Đường thẳng đi qua A 1;1;2 cắt d1 và vuông góc với d2 có phương trình tham số là x 3 t x 1 3t x 1 3t x 1 3t A. y 1 t . B. y 1 t . C. y 1 t . D. y 1 t . z 2t z 2 z 2 z 2 Lời giải Chọn B x 2 3t Đường thẳng d1 có PTTS: y 3 2t . z 1 t  Đường thẳng d2 có một VTCP là u2 1;3; 2 . Gọi B d1  B 2 3t ; 3 2t ;1 t .  Ta có AB 3 3t ; 4 2t ; 1 t là một VTCP của .     Vì  d2 AB  u2 AB.u2 0 3 3t 3 4 2t 2 1 t 0  t 1 AB 6; 2;0 . Chọn một VTCP của là u 3; 1;0 . x 1 3t Đường thẳng đi qua A 1;1;2 và có VTCP u 3; 1;0 có PTTS: y 1 t . z 2 x 12 y 9 z 1 Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 4 3 1 P :3x 5y z 2 0 . Gọi d là hình chiếu vuông góc của d lên P . Phương trình tham số của d là
  14. x 62 x 62t x 62t x 62t A. y 25 . B. y 25t . C. y 25t . D. y 25t . z 61 2t z 2 61t z 2 61t z 2 61t Lời giải Chọn D  Mặt phẳng P có một VTPT là nP 3;5; 1 . x 12 4t Đường thẳng d có PTTS: y 9 3t . Gọi A d  P A 12 4t ;9 3t ;1 t z 1 t Vì A P 3 12 4t 5 9 3t 1 t 2 0 t 3 A 0;0; 2 . Đường thẳng d đi qua điểm B 12;9;1 . Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng P .   Đường thẳng BH đi qua B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương uBH nP 3;5; 1 x 12 3t có PTTS là y 9 5t và H BH H 12 5t ;9 3t ;1 t . z 1 t 78 186 15 113 Vì H P 3 12 3t 5 9 5t 1 t 2 0 t H ; ; . 35 35 7 35  186 15 183  Ta có AH ; ; . Chọn một VTCP của đường thẳng d là u 62; 25;61 35 7 35 x 62t  Đường thẳng d đi qua A 0;0; 2 và có VTCP u 62; 25;61 có PTTS: y 25t . z 2 61t Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: x y 6 z 6 d : . Biết rằng điểm M 0;5;3 thuộc đường thẳng AB và điểm N 1;1;0 1 4 3 thuộc đường thẳng AC . Phương trình tham số của đường thẳng AC là x t x 1 x 1 x 1 A. y 1 t . B. y 1 t . C. y 1 t . D. y 1 t . z 3 z 3t z 3t z 3t Lời giải Chọn D x t Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A, d : y 6 4t . z 6 3t Gọi D là điểm đối xứng với M qua d . Khi đó D AC đường thẳng AC có một vectơ  chỉ phương là ND . * Ta xác định điểm D. Gọi K là giao điểm của MD với d .
  15.  Ta có K t ;6 4t ;6 3t ;MK t ;1 4t ;3 3t .    1 Vì MK  u , với u 1; 4; 3 nên t 4 1 4t 3 3 3t 0 t . d d 2 xD 2xK xM xD 1 1 9 K ;4; , mà K là trung điểm của MD nên yD 2yK yM yD 3 hay D 1;3;6 . 2 2 zD 2zK zM zD 6  Một vectơ chỉ phương của AC là ND 0;2;6 2 0;1;3 2u , với u 0;1;3 . x 1 Đường thẳng AC đi qua N 1;1;0 và có VTCP u 0;1;3 . có PTTS: y 1 t . z 3t x 1 t Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 5y z 0 và 2 đường thẳng d1 : y 1 t ; z 3 t x y 1 z d : . Đường thẳng nằm trên mặt phẳng P sao cho cắt hai đường thẳng 2 2 1 1 d1 và d2 có phương trình chính tắc là x 3 y 1 z 1 x 4 y 1 z 3 A. . B. . 4 1 3 3 1 1 x 3 y 1 z 1 x 3 y 1 z 1 C. . D. . 4 1 3 4 1 3 Lời giải Chọn A x 2s Đường thẳng d2 có PTTS: y 1 s z s Gọi A d1  A 1 t ; 1 t ;3 t mà A P 2 1 t 5 1 t 3 t 0 t 2 . Suy ra A 3;1;1 . 1 Gọi B d  B2s 1 t ;1 s; s mà B P 2 2s 5 1 s s 0 s . 2 2 1 1  1 3 1 1  Suy ra B 1; ; AB 2; ; 4;1;3 u . 2 2 2 2 2 2  Chọn một VTCP của là u 4;1;3  x 3 y 1 z 1 Đường thẳng đi qua A 3;1;1 và có VTCP u 4;1;3 có PTCT: . 4 1 3 x 1 y z 3 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt phẳng 1 2 2 P :3x y z 0. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số là
  16. x 4 t x 1 4t x 1 4t x 1 4t A. y 5t . B. y 5t . C. y 5t . D. y 5t . z 7 3t z 3 7t z 3 7t z 3 7t Lời giải Chọn C x 1 t Đường thẳng d có PTTS: y 2t . z 3 2t  Đường thẳng d có một VTCP: ud 1; 2;2 .  Mặt phẳng P có một VTPT là nP 3;1;1 . Gọi M d  M 1 t ; 2t ; 3 2t , mà M P 3 1 t 2t 4 2t 0 t 0 M 1;0; 3 Gọi u là một VTCP của , theo đề  d và    u  ud nên u n,u 4; 5; 7 .. d u  n Chọn một VTCP của là u 4; 5; 7 x 1 4t Đường thẳng đi qua M 1;0; 3 và có VTCP u 4; 5; 7 có PTTS: y 5t . z 3 7t Câu 7. Trong không gian Oxyz , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P : 7x y 4z 0 , cắt hai x 1 2t x y 1 z 2 đường thẳng d1 : và d2 : y 1 t có phương trình chính tắc là 2 1 1 z 3 x 2 7t x 2 y z 1 A. : . B. : y t . 7 1 4 z 1 4t x 2 y 3 z 1 x 7 y 1 z 4 C. : . D. : . 7 1 4 5 1 3 Lời giải Chọn A Mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến n 7;1;4 x 2m d1 có phương trình tham số: d1 : y 1 2m z 2 m Giả sử cắt d1 tại A A 2m;1 2m; 2 m Giả sử cắt d2 tại B B 1 2t ;1 t ;3
  17.  Suy ra AB 2t 1 2m;t m;5 m  Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P AB cùng phương với n 2t 1 2m 7k t 2 2t 1 2m t m 5 m Tức là k t m k m 1 . 7 1 4 5 m 4k k 1  Suy ra A 2;0; 1 , B 5; 1;3 AB 7; 1;4 .  Vậy đường thẳng đi qua A 2;0; 1 và nhận u AB 7; 1;4 làm một vectơ chỉ x 2 y z 1 phương có phương trình chính tắc là : . 7 1 4 Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x y z 10 0 , điểm A 1;3;2 và đường thẳng x 2 2t d : y 1 t . Đường thẳng cắt P và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là z 1 t trung điểm của MN có phương trình tham số là x 6 7t x 6 7t A. : y 1 4t. B. : y 1 4t . z 3 t z 3 t x 6 y 1 z 3 x 6 y 1 z 3 C. : . D. : . 7 4 1 7 4 1 Lời giải Chọn B Ta có cắt d tại M M 2 2t ;1 t ;1 t . xN 2xA xM 4 2t Vì A là trung điểm của MN nên N : yN 2yA yM 5 t hay N 4 2t ;5 t ;t 3 . zN 2zA zM t 3 Vì cắt P tại N N P 2 4 2t 5 t 3 t 10 0 t 2.  Do đó M 6; 1;3 và AM 7; 4;1 .  Vậy đường thẳng đi qua M 6; 1;3 và nhận u AM 7; 4;1 làm một vectơ chỉ x 6 7t phương có phương trình tham số là : y 1 4t . z 3 t Câu 9. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 0; 1;2 đồng thời cắt hai đường thẳng x 1 2t x 1 y 2 z 3 d1 : và d2 : y 4 t có phương trình tham số là 1 1 2 z 2 4t
  18. x 4 t x 1 4t x 9t x 1 4t A. y 5t . B. y 5t . C. y 1 9t . D. y 5t . z 7 3t z 3 7t z 2 16t z 3 7t Lời giải Chọn C x 1 s Đường thẳng d1 có PTTS: y 2 s z 3 2s Gọi A d1  A 1 s; 2 s;3 2s và B d2  B 1 2t ;4 t ;2 4t   MA s 1; s 1;2s 1 ;MB 2t 1; t 5;4t Ta có đi qua điểm M cắt d1 tại A và cắt d2 tại B nên 3 điểm M , A, B thẳng hàng 7 s 2 s 1 k 2t 1   1  MA kMB s 1 k t 5 k MB 9;9; 16 2 2s 1 4kt t 4 Chọn một VTCP của là u 9; 9;16 x 9t Đường thẳng đi qua M 0; 1;2 và có VTCP u 9; 9;16 có PTTS: y 1 9t . z 2 16t x 4 3t x 2 y 3 z Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 : y 1 t và d2 : . Đường 1 3 1 z 5 2t vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình chính tắc là x 1 y 1 z 2 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 1 3 1 1 2 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. . D. . 1 1 2 1 1 2 Lời giải Chọn C x 2 s Đường thẳng d2 có PTTS: y 3 3s z s Gọi M d1  M 4 3t ;1 t ; 5 2t và N d2  N 2 s; 3 3s;s   Ta có MN 2 3t s;t 3s 4;2t s 5 , suy ra MN là một VTCP của
  19. Vì là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 nên   MN.u1 0 2s t 3 0 s 1   s 8t 9 0 t 1 MN.u2 0   Suy ra M 1;2; 3 , N 3;0;1 MN 2; 2;4 2 1; 1;2 2u .  Chọn một VTCP của là u 1; 1;2  x 1 y 2 z 3 Đường thẳng đi qua M 1;2; 3 và có VTCP u 1; 1;2 có PTCT: . 1 1 2  Mức độ 4 x 1 y z 2 x 1 y 1 z 3 Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho 2 đường thẳng d : và d : . 1 2 1 1 2 1 7 1 Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B . Diện tích S của tam giác OAB bằng 3 6 6 A. S . B. S 6 . C. S . D. S . 2 4 2 Lời giải Chọn D x 1 2t  Đường thẳng d1 có PTTS: y t và u1 2; 1;1 là một VTCP của d1 . z 2 t x 1 s  Đường thẳng d2 có PTTS: y 1 7s và u2 1;7; 1 là một VTCP của d2 . z 3 s Gọi A d1  A 1 2t ; t ; 2 t và B d2  B 1 s;1 7s;3 s   Ta có AB 2 2t s;1 t 7s;5 t s , suy ra AB là một VTCP của Vì là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 nên   AB.u1 0 6t 6s 0 t 0 A 1;0; 2   . 6t 52s 0 s 0 B 1;1;3 AB.u2 0     Ta có OA 1;0; 2 ;OB 1;1;3 OA,OB 2; 1;1 . 1   1 2 6 Vậy S OA,OB 22 1 12 . OAB 2 2 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 3;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;6 và D 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B,C đến đường thẳng là lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây nằm trên ? A. E 1; 2;0 . B. F 1; 1;0 . C. G 1; 1; 1 . D. H 5; 7;3 . Lời giải Chọn A
  20. Ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm A, B,C là x y z ABC : 1 2x 3y z 6 0. 3 2 6 Nhận xét D 1;1;1 ABC . Gọi A , B ,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B,C trên . Suy ra d A, d B, d C, AA BB CC AD BD CD . Dấu bằng xảy ra khi A  B  C  D . Hay tổng khoảng cách từ điểm A, B,C đến lớn nhất khi là đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng ABC . x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d là d : y 1 3t . Nhận thấy E 1; 2;0 z 1 t x 1 2t x 1 y 2 z 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 : y t và d2 : . . Đường 1 3 2 z 2 t thẳng song song với mặt phẳng P : x y z 7 0 và cắt d1 , d2 lần lượt tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất có phương trình tham số là x 1 6t x 6 t x 6 t x 6 t 5 5 5 5 A. y . B. y . C. y . D. y . 2 2 2 2 9t 9 9 9 z 1 z t z t z t 2 2 2 2 Lời giải Chọn C  Mặt phẳng P có một VTPT là nP 1;1;1 . x 1 s Đường thẳng d2 có PTTS: y 2 3s z 2 2s Gọi A d1  A 1 2t ;t ; 2 t và B d2  B 1 s; 2 3s;2 2s   Ta có AB s 2t ;3s t 2; 2s t 4 , suy ra AB là một VTCP của      Vì // P AB  nP AB.nP 0 s t 1. Khi đó AB t 1;2t 5;6 t . 2 2 2 2 5 49 7 2 AB t 1 2t 5 6 t 6t 30t 62 6 t ,t ¡ . 2 2 2 5 5 9  7 7 Dấu đẳng thức xảy ra khi t A 6; ; , AB ;0; 2 2 2 2 2  Chọn một VTCP của là u 1;0;1
Giáo Án Liên Quan