Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 36: Các bài toán liên quan đến nghiệm của số phức

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 36: Các bài toán liên quan đến nghiệm của số phức

1. DẠNG TOÁN 36: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA SỐ PHỨC PHẦN I: I. LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA ❖ + Một số phức là một biểu thức dạng z a bi với a,b ¡ và i2 1, ❖ i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi + Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . £ a bi / a,b ¡ ;i2 1 . ❖ + Chú ý: - Khi phần ảo ..là số thực. - Khi phần thực a 0 z bi z là số thuần ảo. - Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo. a c ❖ + Hai số phức bằng nhau: a bi c di a,b,c,d ¡ . b d ❖ + Hai số phức z1 a bi; z2 a bi được gọi là hai số phức đối nhau. 2.SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp của z a bi với a,b ¡ là a bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với a,b ¡ được biểu diễn bằng điểm M a;b . 4. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC ❖ Môđun của số phức z a bi a,b ¡ là z a2 b2 . ❖ Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức  z a bi a,b ¡ đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức z OM a2 b2 z.z . 5. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho hai số phức z a bi và z ' a ' b'i với a,b,a ',b' ¡ ❖ + Tổng hai số phức: z z ' a a ' (b b')i ❖ + Hiệu hai số phức: z z ' a a ' (b b')i . ❖ + Số đối của số phức z a bi là z a bi .  ❖ + Nếu u,u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' thì  u u' biểu diễn số phức z z '.  u u' biểu diễn số phức z z ' .
2. ❖ + Nhân hai số phức: z.z ' a bi a ' b'i a.a ' b.b' a.b' a '.b i . 1 - + Số phức nghịch đảo: z 1 z z 2 z ' z '.z - Nếu z 0 thì , nghĩa là nếu muốn chia số phức z ' cho số phức z 0 thì ta nhân cả tử và z z 2 z ' mẫu của thương cho z . z ❖ + Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 1; i4k 3 i (k ¢ ) 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC a) Phương pháp giải: Cho phương trình bậc 2: Az2 Bz C 0 (1) trong đó A, B,C là những số thực, A 0 Xét biệt thức B2 4AC B B + Nếu 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt z ; z 1 2A 2 2A B + Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm thực kép z1 z2 2A B i B i + Nếu 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt z ; z 1 2A 2 2A CHÚ Ý: n n 1 + Mọi phương trình bậc n: A0 z A1z ... An 1z An 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). + Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 : Az2 Bz C 0 (A, B,C ¡ ; A 0) có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). B S z z 1 2 A Ta có: C P z z . 1 2 A II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai  Câu hỏi về mối liên hệ giữa 2 nghiệm phương trình  Tìm nghiệm phức của phương trình bậc cao BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2z 5 0 . Môđun của số phức z0 i bằng A. 2. B. 2 . C. 10 . D. 10.
3. Phân tích hướng giải 1. Dạng toán: Đây là dạng tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai trên tập số phức 2. Kiến thức cần nhớ: + Mô đun của số phức: Mô đun của số phức z a b.i a,b ¡ là: z a2 b2 3. Hướng giải + Bấm máy tính giải phương trình bậc hai tìm nghiệm + Dựa vào yêu cầu của đề bài tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm tìm được. Lời giải Chọn B 2 z 1 2i + Ta có z 2z 5 0 . z 1 2i Theo đề z0 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 1 2i. 2 2 + Khi đó: z0 i 1 2i i 1 i 1 1 2 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 3i và 2 3i làm nghiệm? A. z2 4z 13 0 B. z2 4z 3 0 C. z2 4z 13 0 D. z2 4z 3 0 Lời giải Chọn C S 4 Ta có: nên phương trình cần tìm z2 Sz P 0 z2 4z 13 0 . P 13 Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z2 2z 5 0 trên tập số phức £ . A. 1 2i,1 2i .B. 1 i,1 i C. 1 2i, 1 2i D. 1 i, 1 i Lời giải: Chọn C 12 5 4 4i2 . z1 1 2i Suy ra phương trình có hai nghiệm phức: . z2 1 2i Câu 3. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z2 z 1 0 là: 1 3 1 3 1 3 1 3 A. i .B. i .C. i .D. i . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải
4. Chọn A Ta có: 12 4 3 3i2 . 1 3 1 3 Phương trình đã cho có hai nghiệm i và i . 2 2 2 2 1 3 Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là i . 2 2 2 Câu 4. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2z 10 0 . Tính iz0 . A. iz0 3 i . B. iz0 3i 1. C. iz0 3 i .D. iz0 3i 1. Lời giải Chọn C 2 z 1 3i Ta có: z 2z 10 0 z0 1 3i iz0 3 i . z 1 3i 2 2 2 Câu 5. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng. A. 10 . B. 20 .C. 6 .D. 6 8i . Lời giải Chọn A Ta có 2 z 2 i z1 2 2 z 4z 5 0 z1 z2 5 5 10. z 2 i z2 Câu 6. Gọi z , z là nghiệm của phương trình z2 2z 3 0 . Giá trị của biểu thức z2 z2 bằng 1 2 1 2 A. .2 B. . 3 C. 6. D. .2 3 Lời giải: Chọn C 2 z1 1 2i 2 2 2 2 Ta có : z 2z 3 0 z1 z2 z1 z2 3 3 6. z2 1 2i 2 Câu 7. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. z1 z2 5 .B. z1 z2 2 5 . C. z1 z2 10 .D. z1 z2 5 . Lời giải: Chọn B 2 z1 1 2i Ta có : z 2z 5 0 z1 z2 5 5 2 5. z2 1 2i 2 Câu 8. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 10z 29 0 . Tìm số phức liên hợp của số phức z0 . A. z0 5 2i .B. z0 2 5i .C. z0 5 2i . D. z0 2 5i . Lời giải: Chọn C
5. 2 z 5 2i Ta có : z 10z 29 0 z0 5 2i z0 5 2i. z 5 2i Câu 9. Cho phương trình z2 2z 2 0 . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số ảo. B. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức. C. Phương trình đã cho không có nghiệm phức. D. Phương trình đã cho không có nghiệm thực. Lời giải: Chọn C 2 z2 2z 2 0 z 1 i2 z 1 i . Câu 10. Trên tập hợp số phức £ , cho phương trình az2 bz c 0 a,b,c ¡ ,a 0 . Chọn khẳng định sai: A. Phương trình luôn có nghiệm. b B. Tổng hai nghiệm bằng . a c C. Tích hai nghiệm bằng . a D. b2 4ac 0 thì phương trình vô nghiệm. Lời giải: Chọn D ▪ Trên tập hợp số phức £ , phương trình bậc hai luôn có nghiệm A đúng. b ▪ Tổng hai nghiệm z z B đúng. 1 2 a c ▪ Tích hai nghiệm z .z C đúng. 1 2 a ▪ b2 4ac 0 Phương trình bậc hai có nghiệm phức D sai.  Mức độ 2 2 2 2 Câu 1. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z 2 2z 8 0 .Giá trị của A z1 z2 z2 z1 bằng A. 16 2 . B. 16 2 .C. 8 2 .D. 8 2 . Lời giải Chọn B 2 z z 2 2 Ta có z 2 2z 8 0 nên 1 2 . z1z2 8 2 2 Do đó A z1 z2 z2 z1 z1z2 z1 z2 8.2 2 16 2. . 2 Câu 2. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của biểu thức P z1 z2 z2 4z1. bằng: A. 10 . B. 10. C. 5 . D. 15 . Lời giải
6. Chọn D 2 z1 2 i Ta có z 4z 5 0 . z2 2 i Vậy P z1 z2 z2 4z1. 2 i 2 2 i 2 i 4 2 i 15. . 2 2 2 z1 z2 Câu 3. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z 2z 4 0 . Giá trị của biểu thức P . z2 z1 11 A. 4 B. 4 C. 8 D. 4 Lời giải Chọn B z 1 3i Ta có: z2 2z 4 0 1 . z2 1 3i 2 2 z2 z2 1 3i 1 3i Suy ra: P 1 2 4.. z2 z1 1 3i 1 3i 2 4 4 Câu 4. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z 2z 5 0 . Giá trị của biểu thức P z1 z2 . A. 14. B. 7 .C. 14 . D. 7. Lời giải Chọn C 2 z1 1 2i Ta có z 2z 5 0 . z2 1 2i 4 4 4 4 2 Nên P z1 z2 1 2i 1 2i 14. z 2z 5 0 2 Câu 5. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 5 0 . Tìm tọa độ điểm biểu 7 4i diễn số phức trên mặt phẳng phức? z1 A. P 3;2 . B. N 1;2 .C. Q 3; 2 .D. P 1;2 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 z1 1 2i z 2z 5 0 . z2 1 2i 7 4i 7 4i Suy ra 3 2i . z1 1 2i Điểm biểu diễn là P 3;2 . 3 2 Câu 6. Gọi z1, z2 , z3 là nghiệm của phương trình iz 2z 1 i z i 0 . Biết z1 là số thuần ảo. Đặt P z2 z3 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 4 P 5. B. 2 P 3. C. 3 P 4. D. 1 P 2. Lời giải Chọn B z i 3 2 2 1 iz 2z 1 i z i 0 z i iz z 1 0 2 . iz z 1 0 1 Vì z1 là số thuần ảo nên z2 , z3 là nghiệm của phương trình 1 .
7. 2 2 2 4 Ta có: z2 z3 z2 z3 4z2 z3 1 4i z2 z3 1 4i 17 P z2 z3 17 . 4 2 Câu 7. Gọi z1, z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z z 6 0 . Tính S z1 z2 z3 z4 .. A. S 2 3 B. S 2 2 3 C. S 2 2 D. S 2 2 3 Lời giải Chọn D 2 4 2 z 2 z 2 Ta có: z z 6 0 2 . z 3 z i 3 Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình, ta có: S z1 z2 z3 z4 2 2 3 . Câu 8. Cho a, b là các số thực thỏa phương trình z2 az b 0 có nghiệm z 3 2i , tính S a b . A. S 19 . B. S 7 . C. S 7 . D. S 19 . Lời giải Chọn C 2 Vì phương trình z2 az b 0 có nghiệm z 3 2i nên 3 2i a 3 2i b 0 3a b 5 a 6 5 12i 3a 2ai b 0 3a b 5 2a 12 i 0 . 2a 12 b 13 Vậy S a b 6 13 7 . Câu 9. Cho z là nghiệm phức của phương trình x2 x 1 0 . Tính P z4 2z3 z . 1 i 3 1 i 3 A. . B. .C. 2i . D. 2. 2 2 Lời giải Chọn D Vì z là nghiệm phức của phương trình x2 x 1 0 nên z2 z 1 0. Do đó: P z4 2z3 z z2 z2 z 1 z3 z2 z z3 z2 z z z2 z 1 2z2 2z 2 z2 z 1 2 2 . 2 Câu 10. Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Số phức liên hợp của số phức z1 2z2 là? A. 3 2i. B. 3 2i. C. 2 i. D. 2 i. Lời giải Chọn A 2 z1 1 2i Ta có: z 2z 5 0 ( Vì z1 có phần ảo dương) z2 1 2i Suy ra: z1 2z2 1 2i 2 1 2i 3 2i . Vậy: Số phức liên hợp của số phức z1 2z2 là 3 2i .  Mức độ 3
8. Câu 1. Gọi A , B , C là các điểm biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 là nghiệm của phương trình z3 6z 2 12z 7 0 . Tính diện tích S của tam giác ABC . 3 3 3 3 A. S 3 3 .B. S . C. S 1. D. S . 2 4 Lời giải Chọn D 5 3 Sử dụng MTCT ta có phương trình z3 6z 2 12z 7 0 có 3 nghiệm z 1; z i , 1 2 2 2 5 3 z i . 3 2 2 5 3 5 3 Suy ra: A 1;0 , B ; , C ; . 2 2 2 2  9 3  9 3  AB AB 3 ; AC AC 3 ; BC BC 3 . 4 4 4 4 2 3 3 3 3 ABC đều cạnh 3 . Vậy S . ABC 4 4 Câu 2. Cho a, b , c là các số thực sao cho phương trình z3 az2 bz c 0 có ba nghiệm phức lần lượt là z1 w 3i ; z2 w 9i ; z3 2w 4 , trong đó w là một số phức nào đó. Tính giá trị của P a b c . A. P 36. B. P 208 .C. P 136. D. P 84 . Lời giải Chọn C. Đặt w x yi , với x, y ¡ . Ta có z1 z2 z3 a 4w 4 12i a 4x 4 a 12 4y i 0 4x 4 a 0 4x 4 a . 12 4y 0 y 3 Từ đó w x 3i z1 x ; z2 x 6i ; z3 2x 4 6i . Vì phương trình bậc ba z3 az2 bz c 0 có một nghiệm thực nên hai nghiệm phức còn lại phải là hai số phức liên hợp, suy ra x 2x 4 x 4 . Như vậy z1 4 ; z2 4 6i ; z3 4 6i . z1 z2 z3 a 12 a a 12 Do đó z1z2 z2 z3 z3 z1 84 b b 84 . z1z2 z3 c 208 c c 208 Vậy P a b c 12 84 208 136 . 4 3 2 Câu 3. Cho phương trình z 2z 6z 8z 9 0 có bốn nghiệm phức phân biệt là z1 , z2 , z3 , z4 . 2 2 2 2 Tính giá trị của biểu thức T z1 4 z2 4 z3 4 z4 4 . A. T 2i .B. T 1. C. T 2i . D. T 0 . Lời giải Chọn B
9. Đặt f z z4 2z3 6z2 8z 9 f z 0 . Ta có z2 4 z2 4i2 z 2i z 2i T z1 2i z2 2i z3 2i z4 2i . z1 2i z2 2i z3 2i z4 2i 4 f 2i . f 2i 1. 3 2 .Câu 4. Biết z1 , z2 5 4i và z3 là ba nghiệm của phương trình z bz cz d 0 b, c, d ¡ , trong đó z3 là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w z1 3z2 2z3 bằng A. 12 .B. 8 .C. 4 .D. 0. Lời giải Chọn C 3 2 Phương trình z bz cz d 0 với b , c , d ¡ có ba nghiệm z1 , z2 5 4i và z3 , trong đó z3 là nghiệm có phần ảo dương nên z1 ¡ và z3 z2 5 4i . Suy ra: w z1 3z2 2z3 z1 25 4i . Do đó phần ảo của số phức w z1 3z2 2z3 bằng 4 . 4 3 2 Câu 5. Biết phương trình z 3z 4z 3z 1 0 có 3 nghiệm phức z1 , z2 , z3 . Tính T z1 z2 z3 . A. T 3.B. T 4 .C. T 1. D. T 2 . Lời giải Chọn A. 2 4 3 2 2 3 1 1 1 z 3z 4z 3z 1 0 z 3z 4 2 0 z 2 3 z 4 0 z z z z 2 1 1 1 z 3 z 2 0 Đặt t z z z z 2 t 1 pt t 3t 2 0 t 2 1 1 3 Ta có: z 1 z2 z 1 0 z i . z 2 2 1 z 2 z2 2z 1 0 z 1 z 1 3 1 3 T z z z i i 1 3. 1 2 3 2 2 2 2 2 2 Câu 6. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình az bz c 0 , a,b,c ¡ ,a 0,b 4ac 0 2 2 . Đặt P z1 z2 z1 z2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? c c 2c 4c A. P .B. P .C. P .D. P . 2a a a a Lời giải Chọn D. b i 4ac b2 Ta có z , z là các nghiệm phức của phương trình az2 bz c 0 nên z 1 2 1,2 2a
10. b i 4ac b2 Do đó z z và z z 1 2 a 1 2 a 2 2 2 2 b 4ac b 4c Suy ra P z1 z2 z1 z2 2 . a a a 2 2 2 Câu 7. Cho phương trình z 4z 3 z 4z 40 0 gọi z1, z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của 2 2 2 2 phương trình đã cho. Giá trị của biểu thức P z1 z2 z3 z4 bằng: A. P 4. B. P 42 . C. P 16. D. P 24 . Lời giải Chọn B 2 2 w 8 Đặt w z 4z ta có w 3w 40 0 w 5 2 2 2 2 2 Với w 8 z 4z 8 z 2 2 3 z1 z2 2 2 3 2 2 3 32 2 2 2 2 2 Với w 5 z 4z 5 z 2 i z 2 i z3 z4 5 5 10 . Vậy P 10 32 42 . 2019 Câu 8. Trong tập hợp các số phức, gọi z , z là nghiệm của phương trình z2 z 0 , với z có 1 2 4 2 thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn z z1 1. Giá trị nhỏ nhất của P z z2 là 2019 1 2018 1 A. 2018 1.B. . C. . D. 2019 1. 2 2 Lời giải Chọn A 2019 Xét phương trình z2 z 0 4 1 2018 z1 i Ta có: 2018 0 phương trình có hai nghiệm phức 2 2 . 1 2018 z2 i 2 2 Khi đó: z1 z2 i 2018 z z2 z z1 z1 z2 z1 z2 z z1 P 2018 1. Vậy Pmin 2018 1. 1 1 2 z1 Câu 9. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1, z2 0 ; z1 z2 0 và . Tính z1 z2 z1 z2 z2 2 3 2 A. . B. . C. 2 3 . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A
11. z1 z1 Đặt x z1 x.z2 và x z2 z2 1 1 2 1 1 2 Từ giả thiết z1 z2 z1 z2 x.z2 z2 x.z2 z2 1 1 1 2 z2 x 1 z2 x 1 1 2 x 1 x 1 1 2 2x2 2x 1 0 x i x 2 2 2 2 Câu 10. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của 2020 2020 (z1 1) (z2 1) bằng A. 21010 i .B. 21009 i .C. 21011 .D. 0. Lời giải Chọn C 2 z 2 i z1 z 4z 5 0 . z 2 i z2 2020 2020 2020 2020 2 1010 2 1010 z1 1 z2 1 1 i 1 i 1 2i i 1 2i i 1010 1010 1010 1010 2i 2i 2i 2i 21011 .  Mức độ 4 Câu 1. Cho số phức z 1 i . Biết rằng tồn tại các số phức z1 a 5i, z2 b (trong đó a,b ¡ ,b 1) thỏa mãn 3 z z1 3 z z2 z1 z2 . Tính b a . A. b a 5 3 . B. b a 2 3 .C. b a 4 3 . D. b a 3 3 . Lời giải Chọn D Ta có: 3 z z1 3 z z2 z1 z2 2 2 2 1 a 4 b 1 1 b a 2 25 3 1 a 2 16 b 1 2 1 a 2 15 2 2 2 23 2 2 b 1 2 b 1 1 a 1 a 3 1 a b 1 1 a 15 2 2 b 1 1 a 15 2 2 8 b 1 2 b 1 1 a 7 1 a 0 b 1 2 1 a 2 15 2 3 1 a 1 b 1 1 a 3 4 b a 3 3 . 7 3 7 b 1 b 1 1 a 3 2
12. Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn 11z2020 10iz2019 10iz 11 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 A. z ; B. z 1;2 C. z 0;1 D. z 2;3 2 2 Lời giải Chọn A Đặt z x yi . 11z2020 10iz2019 10iz 11 0 11 10iz 2019 11 10iz z2019 z 11z 10i 11z 10i 2 2 2019 100 x y 121 220y z 121 x2 y2 100 220y TH1: z 1 x2 y2 1 100 x2 y2 121 220y 121 x2 y2 100 220y z 1 sai TH2: z 1 x2 y2 1 100 x2 y2 121 220y 121 x2 y2 100 220y z 1 sai TH2: z 1 x2 y2 1 . Thay vào thấy đúng. Vậy z 1. Câu 3. Trên tập hợp số phức, cho phương trình z2 bz c 0 với b,c ¡ . Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w 3 và 2w 15i 9 với w là một số phức. Tính S b2 2c A. S 32 .B. S 1608 .C. S 1144 .D. S 64 . Lời giải Chọn A 2 w 3 b w 3 c 0 2w 15i 9 w 3 c Từ đề bài suy ra 2 2w 15i 9 w 3 b 2w 15i 9 b 2w 15i 9 c 0 Giả sử w x yi , x, y ¡ . Khi đó w 3 x 3 yi , 2w 15i 9 2x 9 2y 15 i . 2w 15i 9 w 3 c 2x 9 2y 15 i x 3 yi c Theo đề ta có . 2w 15i 9 w 3 b 2x 9 2y 15 i x 3 yi b x 3 2y 15 y 2x 9 0 x 6 Vì b,c ¡ nên . 2y 15 y 0 y 5 2w 15i 9 w 3 c c 34 Suy ra w 6 5i , do đó . 2w 15i 9 w 3 b b 6 S b2 2c 32 Câu 4. Xác định tất cả các số thực m để phương trình z2 2z 1 m 0 có nghiệm phức z thỏa mãn z 2.
13. A. m 3 . B. m 3 , m 9 . C. m 1, m 9 .D. m 3 , m 1, m 9 . Lời giải Chọn D Ta có: m , P 1 m. Trường hợp 1: 0 m 0 . Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z 1 m hoặc z 1 m . + Với z 1 m . Suy ra: 1 m 2 m 1 (nhận). + Với z 1 m . Suy ra: 1 m 2 m 9 (nhận). Trường hợp 2: 0 m 0. Vì đây là phương trình hệ số thực có 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau. Do đó: z 2 z.z 4 P 4 1 m 4 m 3 (nhận). Vậy m 3;1;9. 25 Câu 5. Số nghiệm phức của phương trình z 8 6i là z A. 1.B. 2.C. 4.D. 3 . Lời giải Chọn B Giả sử z a bi với a,b ¡ và a,b không đồng thời bằng 0. 1 1 a bi Khi đó z a bi; z a bi a2 b2 2 2 2 2 25 25(a bi) a a b 25 8 a b 1 Ta có z 8 6i a bi 8 6i z a2 b2 2 2 2 2 b a b 25 6 a b 2 3 Lấy 1 chia 2 theo vế ta được: b a , thế vào 1 suy ra a 0 hoặc a 4 4 Với a 0 b 0 (loại) Với a 4 b 3 ta có số phức z 4 3i. 4 2 Câu 6. Gọi z1; z2 ; z3; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z (4 m)z 4m 0 . Tìm tất cả các giá trị của m để z1 z2 z3 z4 6. A. m 1.B. m 2 .C. m 3 .D. m 1. Lời giải Chọn D z1,2 2i Ta có : z4 (4 m)z2 4m 0 z2 4 z2 m 0 ,m 0 z3,4 m z12 2i hoặc ,m 0 z3,4 i m 6 z z z z 4 2 m Khi đó 1 2 3 4 m 1 m 0 6 z z z z 4 2 m Hoặc 1 2 3 4 m 1. m 0
14. Kết hợp lại m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 7. Tìm các số thực a,b,c để phương trình z3 az2 bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm và cũng nhận z 2 làm nghiệm. A. a 4,b 6,c 4 .B. a 4,b 5,c 4 . C. a 3,b 4,c 2 . D. a 1,b 0,c 2. Lời giải Chọn A Ta có z 1 i thì (1 i)3 a(1 i)2 b(1 i) c 0 z 2 thì 8 4a 2b c 0 b c 2 0 1 Từ đó ta có hệ 2a b 2 0 2 4a 2b c 8 0 3 Từ 1 c 2 b Từ 2 b 2 2a c 2 ( 2 2a) 4 2a Thay vào 3 ta được: 4a 2( 2 2a) 4 2a 8 0 a 4 Vậy a 4 b 6;c 4 4 z 1 Câu 8. Phương trình 1 có bao nhiêu nghiệm. z 1 A. 1.B. 2.C. 4.D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có 2 z 1 4 1,(1) z 1 z 1 1 2 z 1 z 1 1,(2) z 1 z 1 1 z 1 z 1 z 1 i i (1) z 0 z 1 z 1 z 1 z 0 1 z 1 z 1 i z 1 z 1 iz 1 z 1 (2) z 1 z 1 iz 1 z 1 i z Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
15. DẠNG TOÁN 36: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC PHẦN II: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình bậc hai với hệ số thực  Định nghĩa: Phương trình bậc hai với hệ số thực ẩn z hoặc x có dạng: az2 cz c 0 hoặc ax2 bx c 0 với a 0, a,b,c ¡ .  Cách giải: 2 2 b Lập biểu thức b 4ac b ac, b . 2
16. b b' - Nếu 0 0 thì phương trình có nghiệm kép z z . 2a a b b' ' - Nếu 0 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z z . 1,2 1,2 2a a b i b' i ' - Nếu 0 0 thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z z 1,2 2a 1,2 a Chú ý: - Nếu 0 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức là z và z . - z z b c - Định lý viét : z z ; z .z . 1 2 a 1 2 a 2 - Hai số phức z1, z2 có z1 z2 S; z1.z2 P thì z1, z2 là nghiệm của phương trình z Sz P 0 . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.  Tìm môđun của số phức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực.  Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình bậc hai.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2z 5 0 . Môđun của số phức z0 i bằng A. 2.B. 2 . C. 10 .D. 10. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm môđun của số phức liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Giải phương trình bậc hai tìm nghiệm z0 . B2: Tính môđun của số phức z0 i . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải
17. Chọn B Ta có 1 1.5 4 0 phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là: z1,2 1 2i z0 1 2i 2 2 z0 i 1 2i i 1 i z0 i 1 1 2 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Trong £ , phương trình z2 2z 5 0 có các nghiệm là z 2 i z 2i z 1 2i z 1 2i A. . B. . C. D. . z 2 i z 2i z 1 2i z 1 2i Lời giải: Chọn D 2 z 1 2i Bấm MT z 2z 5 0 . z 1 2i 2 Câu 2. Trong tập hợp £ , cho phương trình z 3z 13 0 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Phương trình không có nghiệm thực. B. Phương trình không có nghiệm thuần ảo. C. Phương trình không có nghiệm phức. D. Phương trình có 2 nghiệm phức. Lời giải: Chọn C 2 z 3 i z 3z 13 0 Ta có z 3 i . Vậy phương án C là sai. Câu 3. Trên tập số phức cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 * ( a , b , c là các hệ số thực) và biệt thức b2 4ac . Xét các mệnh đề: I : “Nếu 0thì phương trình (*) vô nghiệm.”. II : “Nếu 0thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.”. b b III : “Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt là x , x .”. 1 2a 2 2a Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là A. 1.B. 3.C. 2.D. 0. Lời giải Chọn A
18. Mệnh đề I sai vì trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có 2 nghiệm. Mệnh đề II đúng vì nếu 0thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt b b x , x . 1 2a 2 2a b Mệnh đề III sai vì nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép thực x . 2a Câu 4. Trong tập số phức £ , cho phương trình az2 bz c 0 a,b,c ¡ ,a 0 . Chọn khẳng định sai: b A. Tổng hai nghiệm bằng .B. Phương trình luôn có nghiệm. a c C. Tích hai nghiệm bằng .D. b2 4ac 0 thì phương trình vô nghiệm. a Lời giải Chọn D + Trên tập số phức £ , phương trình bậc hai luôn có nghiệm Phương án B đúng. b + Tổng hai nghiệm z z Phương án A đúng. 1 2 a c + Tích hai nghiệm z .z Phương án C đúng. 1 2 a + b2 4ac 0 Phương trình bậc hai có nghiệm phức Phương án D sai. Câu 5. Trên tập số phức, cho phương trình: az2 bz c 0 a, b, c ¡ . Chọn kết luận sai. A. Phương trình luôn có nghiệm. B. Nếu b 0 thì phương trình có hai nghiệm mà tổng bằng 0. C. Nếu b2 4ac 0 thì phương trình có hai nghiệm mà môđun bằng nhau. D. Phương trình luôn có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau. Lời giải Chọn D + Trên tập số phức, cho phương trình: az2 bz c 0 với biệt thức b2 4ac . b 0 phương trình có hai nghiệm thực là x . 1,2 2a b i 0 phương trình có hai nghiệm phức là x . 1,2 2a b 0 phương trình có nghiệm kép là x x . 1 2 2a Từ đó suy ra :
19. Phương án A:Đúng. Phương án B:Đúng vì khi b 0 thì phương trình chắc chắn có hai nghiệm mà tổng bằng 0 . Phương án C:Đúng vì b2 4ac 0 thì hai nghiệm có mô đun bằng nhau. Phương án D:Sai vì nếu 0 phương trình có hai nghiệm thực nên không chắc đã liên hợp. 2 Câu 6. Cho z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 8z 20 0 , gọi M1 là điểm biểu diễn của số phức z1 trên mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ của M1 . A. M 1 8; 4 .B. M 1 4; 2 . C. M 1 8; 4 .D. M 1 4; 2 . Lời giải Chọn B Phương trình z2 8z 20 0 có hai nghiệm phân biệt là z 4 2i và z 4 2i . Vì z1 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z1 4 2i . Vậy điểm biểu diễn của z1 là M 1 4; 2 . 2 Câu 7. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Tính P z1 z2 . A. P 5 .B. P 2 5 . C. P 2 .D. P 10. Lời giải Chọn B 2 z1 2 i z 4z 5 0 nên P 2 i 2 i 2 5 . z2 2 i Câu 8. Phương trình nào sau đây có nghiệm thuần ảo ? A. z2 4 0 . B. z2 4 0 .C. z2 3z 8 0 .D. 2z 2 z 5 0 . Lời giải Chọn A  Xét đáp án A: z2 4 0 z2 4 z2 4i2 z 2i .  Xét đáp án B: z2 4 0 z 2 . 3 23  Xét đáp án C: z2 3z 8 0 z i . 1,2 2 2 1 39  Xét đáp án D: 2z2 z 5 0 z i . 1,2 4 4 Câu 9. Hai số phức z1 2 3i và z2 2 3i là các nghiệm phức của phương trình nào sau đây? A. z2 4z 13 0 .B. z2 4z 13 0 .C. z2 13z 4 0 .D. z2 4z 9 0 .
20. Lời giải: Chọn A 2 Ta có S z1 z2 4; P z1.z2 13. Suy ra z1, z2 là nghiệm của phương trình z 4z 13 0 . 2 Câu 10. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 4z 10 0 . Tìm w z0i A. w 6 2i .B. w 6 2i .C. w 6 2i .D. w 6 2i . Lời giải Chọn A 2 z 2 6i Ta có z 4z 10 0 z0 2 6i . z 2 6i Khi đó w z0i 2 6i i 6 2i  Mức độ 2 2 2 2 Câu 1. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2z 3 0 . Tính P z1 z2 . A. P 6 .B. P 2 3 . C. P 2 .D. P 10. Lời giải Chọn A z 1 2i 2 2 z2 2z 3 0 1 nên P 1 2i 1 2i 6 . z2 1 2i 2 Câu 2. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2z 10 0 , số phức z2 có phần ảo âm. Tìm số phức w 2z1 z2 . A. w 3 3i . B. w 3 . C. w 3 3i . D. w 3i . Lời giải: Chọn A 2 z1 1 3i Ta có: z 2z 10 0 . Khi đó w 2 1 3i 1 3i 3 3i z2 1 3i 2 Câu 3. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 4z 29 0 . Tìm môđun của số phức w z0 1 i . A. w 58 . B. w 40 .C. w 29 .D. w 5 5 . Lời giải