Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 44: Khối Nón-Trụ-Cầu

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 44: Khối Nón-Trụ-Cầu

1. PHẦN I: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Khối nón :  Các yếu tố cơ bản của hình nón: + Chiều cao: h . + Bán kính đường tròn đáy: r . + Độ dài đường sinh: l . + Góc ở đỉnh: 2 0 90 .  Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón: l 2 h2 r 2  Hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác: Cho AIB vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông AI thì đường gấp khúc ABI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). + Đường thẳng AI gọi là trục, A là đỉnh, AI gọi là đường cao và AB gọi là đường sinh của hình nón. + Hình tròn tâm I , bán kính r IB là đáy của hình nón.  Công thức diện tích của hình nón và thể tích của khối nón: Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì ta có: + Diện tích xung quanh: Sxq .r.l 2 + Diện tích đáy (hình tròn): Sð .r + Diện tích toàn phần hình nón: Stp Sxq Sð . 1 1 + Thể tích khối nón: V S .h .r2 .h . non 3 ð 3 2. Khối trụ :  Các yếu tố cơ bản của hình trụ: + Chiều cao: h . + Bán kính đường tròn đáy: r . + Độ dài đường sinh: l h .  Công thức diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ: 2 -Diện tích đáy khối trụ : Sñ r . - Diện tích xung quanh khối trụ : Sxq 2 rh . 2 - Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp Sxq 2.SÐay 2 rh 2 r - Chu vi một đáy của hình trụ: C 2 r . -Thể tích khối trụ : V r2h 3. Khối cầu: 2 - Diện tích khối cầu bán kính R : Sñ 4 R . 4 -Thể tích khối cầu bán kính R : V R3 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
2.  Lý thuyết mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.  Bài tập tổng hợp về nón- trụ- cầu. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng: A. 216 a3 . B. 150 a3 . C. 54 a3 . D. 108 a3 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là bài toán ở dạng vận dụng Tính thể tích khối trụ từ các điều kiện cho trước. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cách xác định một mặt phẳng song song với 1 đường thẳng cho trước. Cách xác định khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song với nó. Công thức tính thể tích khối trụ: V r2h , với h là đường cao và r là bán kính đường tròn đáy. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định mặt phẳng thiết diện song song với trục của hình trụ. B2: Xác định khoảng cách từ trục của hình trụ đến thiết diện. Từ đó tìm được bán kính của đường tròn đáy. B3: Tính thể tích của khối trụ cần tìm. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho MN 6a . Từ M, N lầm lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO', cắt đường tròn tâm O ' tại Q, P. Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a . Gọi H là trung điểm của PQ. Vì OO '/ / MNPQ nên ta có d OO ', MNPQ d O ', MNPQ O ' H . Từ giả thiết, ta có O ' H 3a . Do đó O ' HP là tam giác vuông cân tại H. Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là O ' P O ' H 2 HP2 3a 2 . 2 Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là: V 6a. . 3a 2 108 a3 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 Câu 1. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 6a 2 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng A. 216 a3 . B. 108 a3 . C. 54 a3 . D. 150 a3 .
3. Lời giải Chọn B Theo giả thiết, bán kính hình trụ là: R 3a 2 Giả sử thiết diện là hình vuông MNPQ, ta có, O ' H 3a ; O 'Q 3a 2 . Suy ra QH O 'Q2 O ' H 2 3a PQ 6a . Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a . Suy ra chiều cao hình trụ là h 6a 2 Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là: V 6a. . 3a 2 108 a3 . Câu 2. Cho hình nón có độ dài đường sinh là l 6a . Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng qua trục thiết diện thu được là một hình tam giác đều. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng 27 3 a3 9 3 a3 9 a3 A. 9 3 a3 .B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A Gọi SAB là thiết diện khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục Tam giác SAB đều, suy ra AB SA 6a r OA 3a và SO 3a 3 h . 1 1 2 V r 2h 3a 3a 3 9 3 a3 . 3 3 Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho. a2h a2h a2h A. . B. . C. . D. 3 a2h . 9 6 3 Lời giải Chọn C
4. A' C' G' B' h l A a R G C M B Gọi G là trọng tâm ABC còn M là trung điểm của BC . ABC đều cạnh bằng a nên AM a 3 . 2 3 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC thì R AG 2 AM a. 3 3 2 2 2 3 a h Vậy thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ là V R h a h . 3 3 Câu 4. Cho hình trụ có trục OO' , thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng P song a song với trục và cách trục một khoảng . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi P . 2 A. a2 3 . B. a2 . C. 2a2 3 . D. a2 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng P song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích 2 2 2 2 a thước là 2a . Kích thước còn lại là 2 r d 2 a a 3 , trong đó r a bán kính đáy 2 a và d là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng P . 2 Diện tích thiết diện là S 2a.a 3 2a2 3 . Câu 5. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng 16 2 8 A. 16 2 . B. . C. . D. 8 . 3 3
5. Lời giải Chọn B S A O B Ta có thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại S 1 Diện tích S 8 .SA.SB 8 SA2 16 SA 4 SAB 2 Tam giác SAB vuông cân tại S suy ra AB 4 2 1 Đường cao và bán kính của hình nón là h SO r AB 2 2 . 2 1 1 3 16 2 Vậy thể tích của khối nón là: V . .r 2.h . . 2 2 . 3 3 3 Câu 6. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng a 3 a3 A. . B. a3 . C. . D. 2 a3 . 2 Lời giải Chọn A a Gọi bán kính đáy là R . Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2 R 2a R . Suy ra hình trụ này có đường cao h a. 2 3 2 a a Vậy thể tích khối trụ V R h a (đvtt). Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có đường chéo BD x 3 . Tính thể tích khối trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A B C D . 3 x3 x3 x3 2 x3 A. .B. .C. .D. . 2 3 2 3 Lời giải Chọn C
6. . Ta có: BD AB 3 x 3 AB x . Suy ra hình trụ có chiều cao h x . Do hình trụ có hai đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD nên có bán kính AB 2 x 2 R . 2 2 2 3 2 x 2 x Vậy thể tích khối trụ cần tìm là: V R .h . .x . 2 2 Câu 8. Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng a3 a3 A. .B. a3 .C. 3 a3 . D. . 9 3 Lời giải Chọn D A a a O B H C Gọi O là tâm tam giác đều ABC . 2 3 3 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . Khi đó R OA . a a . 3 2 3 Chiều cao của hình trụ h a . 2 3 a3 Thể tích của khối trụ tròn xoay đó là: V .R2.h . a .a (đvtt). tru 3 3 Câu 9. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD a , đáy nhỏ AB a , đáy lớn CD 2a . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang vuông đó quanh cạnh CD là 2 1 4 A. V a3 . B. V a3 .C. V a3 . D. V 2 a3 . 3 3 3 Lời giải Chọn C
7. Khối tròn xoay tạo thành bao gồm 2 3 Khối trụ có chiều cao AB a , bán kính đáy AD a nên Vtru . a .a a . 3 1 2 a Khối nón có chiều cao EC a , bán kính đáy BE a nên V a a . non 3 3 a3 4 a3 Vậy thể tích khối tròn xoay V a3 . 3 3 Câu 10. Cho khối trụ có đường kính đáy là a , mặt phẳng qua trục của khối trụ cắt khối trụ theo một thiết diện có diện tích là 3a2 . Tính thể tích của khối trụ đã cho. 3 a3 a 3 9 a3 3 a3 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 2 Lời giải Chọn A a Gọi R là bán kính đáy của hình trụ R . 2 Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABB A Có: AB 2R a, AA h là chiều cao của hình trụ. 2 SABB A AB.AA 3a a.h h 3a 2 3 2 a 3 a Vtru .R .h . .3a . 2 4 Câu 11. Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C 'D' có AB a 3 , AD a , AA' a 6 là (Khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật là khối trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai đáy của khối hộp chữ nhật) a3 6 a3 2 A. V a3 6 . B. V . C. V . D. V a3 3 . 3 2 Lời giải Chọn A
8. Gọi O AC  BD; O ' A'C ' B ' D ' . 1 Khối trụ ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C 'D' có: bán kính đáy R OA AC a và 2 chiều cao h OO ' AA' a 6 . Thể tích khối trụ: V R2h a3 6 . Câu 12. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O; R và O ; R , OO h . Biết AB là một đường kính của đường tròn O; R và tam giác O AB đều. Thể tích của khối trụ tạo bởi hình trụ trên bằng R3 3 R3 3 3 R3 3 A. .B. R3 3 .C. .D. . 6 4 2 Lời giải Chọn B Ta có tam giác O AB đều có cạnh bằng 2R suy ra h OO R 3 . Thể tích của khối trụ V R2h R2.R 3 R3 3. Câu 13. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , chu vi thiết diện qua trục bằng 10a . Thể tích của khối trụ đã cho bằng 4 a3 A. . B. 3 a3 . C. 4 a3 . D. a3 . 3 Lời giải Chọn B Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có ABCD là hình chữ nhật. Từ giả thiết suy ra AB = 2a và 2(AB + BC)= 10a Þ BC = 3a . Suy ra hình trụ có chiều cao h 3a.
9. Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng V = R2.h = .a2.3a = 3 a3 . Câu 14. Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , độ dài đường sinh bằng 2a . Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB có diện tích lớn nhất. Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a . Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên bằng 4 a3 A. . B. 3 a3 . C. 4 a3 . D. a3 . 3 Lời giải Chọn D Ta có độ dài đường sinh l = 2a;OH = a Tam giác SAB cân tại S . 1 1 l 2 Khi đó diện tích tam giác S = SA.SB.sin ·ASB = l 2.sin ·ASB £ . DSAB 2 2 2 Nên diện tích tam giác SAB lớn nhất khi sin·ASB 1 hay tam giác SAB vuông cân tại S AB SA2 SB2 2l 2 2 2a . AB2 Bán kính đáy r OH 2 HA2 = OH 2 = a2 2a2 3a2 r a 3 , 4 Chiều cao của hình nón h SO SA2 r 2 a . 1 Thể tích khối nón. V r 2h a3 . 3 Câu 15. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O ;r và O¢;r . Khoảng cách giữa hai đáy là ( ) ( ) OO¢= r 3 . Một hình nón có đỉnh là O và có đáy là hình tròn O¢;r . Gọi S là diện tích xung ( ) 1 S quanh của hình trụ và S là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số 1 . 2 S2 S 2 S S S A. 1 = . B. 1 = 2 3 . C. 1 = 2. D. 1 = 3 . S2 3 S2 S2 S2 Lời giải Chọn D
10. Hình trụ có bán kính đáy r , chiều cao h r 3 . Hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h r 3 , độ dài đường sinh l 2r . 2 S1 2 rh 2 r.r 3 2 3 r . 2 S2 rl r.2r 2 r . 2 S1 2 3 r Vậy 2 3 . S2 2 r AD Câu 16. Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với AB BC a . Quay hình thang và miền 2 trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC . Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. 3 3 3 4 a 5 a 3 7 a A. V . B. V . C. V a . D. V . 3 3 3 Lời giải Chọn B E D 2a C a B a A Dựng hình chữ nhật ABED với E nằm trên tia BC . Thể tích khối trụ sinh bởi hình chữ nhật ABED khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC là 2 2 3 V1 AD. .AB 2a. .a 2 a . Thể tích khối nón sinh bởi tam giác EDC khi xoay quanh đường thẳng chứa cạnh BC là 1 1 a3 V CE. .ED2 .a. .a2 . 2 3 3 3 5 a3 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V V . 1 2 3 Câu 17. Cho mặt cầu S có bán kính bằng 4 , hình trụ H có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy nằm trên S . Gọi V1 là thể tích của khối trụ H và V2 là thể tích của khối cầu S . Tính tỉ số V 1 . V2 V 3 V 9 V 2 V 1 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 V2 16 V2 16 V2 3 V2 3 Lời giải Chọn B
11. Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu S nên tâm mặt cầu S là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đáy của hình trụ. Khi đó: 2 2 4 Bán kính đáy của khối trụ H : r 4 2 3 . 2 2 Thể tích của khối trụ H là V1 r h .12.4 48 . 4 4 256 Thể tích của khối cầu S là V R3 .43 . 2 3 3 3 V 9 Vậy 1 . V2 16 Câu 18. Cho khối nón N đỉnh S ,có chiều cao là a 3 và độ dài đường sinh là 3a . Mặt phẳng P đi qua đỉnh S , cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc 60 . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng P và khối nón N . A. 2a2 3 . B. a2 5 .C. 2a2 5 . D. a2 3 . Lời giải Chọn C S l h r A O I B Khối nón N có tâm đáy là điểm O , chiều cao SO h a 3 và độ dài đường sinh l 3a . Giả sử mặt phẳng P cắt N theo thiết diện là tam giác SAB . Do SA SB l tam giác SAB cân tại đỉnh S. Gọi I là trung điểm của AB . Ta có OI  AB , SI  AB và khi đó góc giữa mặt phẳng P và mặt đáy của N là góc S· IO 60. Trong tam giác SOI vuông tại O góc S· IO 60.
12. SO a 3 Ta có SI 2a . sin S· IO sin 60 Trong tam giác SIA vuông tại I . Ta có IA2 SA2 SI 2 9a2 4a2 5a2 IA a 5 AB 2IA 2a 5 . 1 1 Vậy diện tích thiết diện cần tìm là S S SI.AB .2a.2a 5 2a2 5 . td SAB 2 2 Câu 19. Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật ( thể tích nó đựng được) là 480 cm3 thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh (lấy gần đúng)? A. 201 cm3 . B. 269 cm3 . C. 217 cm3 . D. 238 cm3 . Lời giải Chọn D Gọi h, R cm lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ bên trong (phần hình trụ dùng để đựng được). Ta suy ra h 1,5 cm và R 0,2 cm lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ bên ngoài (phần hình trụ của chiếc cốc). Ta có thể tích thật (thể tích cái cốc có thể đựng được) được tính bởi công thức R2h 480 . 480 Suy ra h . R2 Do đó, thể tích phần thủy tinh cần thiết để làm chiếc cốc là 2 2 480 3R 192 3R 96 3 V R 0,2 2 1,5 480 2 . R 2 R 5 5R 50 2 192 3 192 5R 1 R 4 3R 12R 48 Suy ra VR 3R 2 3 3 R 5 5R 5R VR 0 R 4 (nhận vì R 0 ). Dễ thấy VR đổi dấu từ âm sang dương khi R đi qua 4 nên 3783 3 Vmin 238 cm khi R 4 . 50 Câu 20. Cho mặt cầu S tâm O , bán kính R 3. Mặt phẳng P cách O một khoảng bằng 1 và cắt S theo giao tuyến là đường tròn C có tâm H . Gọi T là giao điểm của tia HO với S , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn C . 32 16 A. V B. V 16 C. V D. V 32 3 3
13. Lời giải Chọn A T R=3 O 1 H (C) Gọi r là bán kính đường tròn C thì r là bán kính đáy của hình nón Ta có: r 2 R2 OH 2 8 . HT HO OT 1 3 4 h là chiều cao của hình nón. 1 1 32 Suy ra: V . r 2h . .8.4 . no´n 3 3 3 Câu 21. Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD a 2 , D· CA 30 . Tính theo a thể tích khối trụ. 3 2 3 2 3 2 3 6 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 48 32 16 16 Lời giải Chọn C Ta có AC BD a 2 . Mặt khác xét tam giác ADC vuông tại D , ta có: 2 2 6 CD 6 AD AC.sin 30o a h a và CD AC.cos30o a r a 2 2 2 2 4 2 2 6 2 3 2 3 Nên V r h . a . a a . 4 2 16 Câu 22. Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200 mm . Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm . Giả định 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng. Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 84,5.a đồng. B. 78,2.a đồng. C. 8,45.a đồng. D. 7,82.a đồng. Lời giải Chọn D
14. a 1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1 mm3 gỗ có giá đồng. 1000 6a 1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1 mm3 than chì có giá đồng. 1000 2 3 Phần chì của cái bút có thể tích bằng V1 200. .1 200 mm . 2 3 3 3 Phần gỗ của của bút chì có thể tích bằng V2 200.6. 200 2700 3 200 mm . 4 6a.V a.V Số tiền làm một chiếc bút chì là 1 2 7,82a đồng. 1000 Câu 23. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm.240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):. Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệuV1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được V theo cách 2. Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V V V A. 1 B. 1 1 C. 1 2 D. 1 4 V2 2 V2 V2 V2 Lời giải Chọn C Theo cách 1 thì thùng đựng nước tạo thành là hình trụ có bán kính đáy là R .
15. R Theo cách 2 thì 2 thùng đựng nước tạo thành đều là hình trụ có bán kính đáy là 2 Đường cao của các thùng hình trụ là bằng nhau và bằng h. 2 2 2 R R V1 Ta có V1 h R , V2 2.h h . Vậy tỉ số 2 2 2 V2 Câu 24. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h 20cm , bán kính đáy r 25cm . Mặt phẳng P đi qua đỉnh của khối nón và cách tâm O của đáy là 12cm . Khi đó diện tích thiết diện cắt bởi P với khối nón bằng A. 500 cm2 .B. 475 cm2 . C. 450 cm2 . D. 550 cm2 . Lời giải Chọn A Có P  SAB . Gọi các điểm như hình vẽ. Ta có SO 20 h,OA OB r 25, gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung điểm AB , gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O; SAB OK 12 . 1 1 1 1 1 1 Ta tính được OM 15,SM 25 . OK 2 OS2 OM 2 OM 2 122 202 OAB là tam giác cân tại O , M là trung điểm của AB nên AB 2AM 2 OA2 OM 2 2 252 152 40 . 1 2 S SAB SM.AB 500 cm 2 Câu 25. Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r 10 cm , chiều cao bằng 20 cm . Người ta khoét rỗng khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu. Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ. 1 1 2 A. . B. 3 . C. . D. . 3 2 3 Lời giải Chọn A
16. Thể tích ban đầu của khối gỗ: V r 2h 2000 1 4 3 4000 Thể tích của phần gỗ bị khoét đi là: V1 2. . r 2 3 3 2000 Thể tích còn lại của khối gỗ sau khi khoét là: V V V 2 1 3 V 1 Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ: 2 . V 3 Câu 26. Cho hình nón có chiều cao bằng 8. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 10 2 . Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho 32 5π A. . B. 32 . C. 32 3 . D. 96 . 3 Lời giải Chọn D Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân SAB có cạnh bên bằng l như hình vẽ l 2 10 2 l 10 Ta có: r OB SB2 SO2 l 2 h2 6 1 1 Thể tích khối nón: V r 2h .62.8 96 . 3 3 Câu 27. Cho một khối trụ có bán kính đáy r a và chiều cao h 2a . Mặt phẳng P song song với trục OO' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục
17. V1 OO', V2 là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số , biết rằng P cách OO' một V2 a 2 khoảng bằng . 2 3 2 3 2 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Gọi H1 là phần khối trụ chứa trục OO'; H2 là phần còn lại của khối trụ. Gọi ABB' A' là thiết diện do mặt phẳng P khối trụ Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB' A'. Thể tích khối trụ: V r 2h a2 2a 2 a3 . a 2 a 2 Ta có: P cách OO' một khoảng bằng OI . 2 2 2 a 2 a 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 OA IA IO IA OA OI a = 2 2 Suy ra tam giác OIA vuông cân tại I I·OA 450 ·AOB 900 a2.90 a2 Diện tích hình quạt AOB là 360 4 1 Diện tích tam giác AOB là a2 2 a2 1 2 Suy ra diện tích hình viên phân ứng với H là: a2 a2 . 2 4 2 4 2 3 2 Diện tích hình viên phân ứng với H là: a2 a2 a2 1 4 4 V1 3 2 2 2 2 3 2 Vì H1 và H2 có cùng chiều cao nên a : a . V2 4 4 2 Câu 28. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, có bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 2,8m . B. 2,6m . C. 2,1m . D. 2,3m .
18. Lời giải Chọn C 2 V1 r1 h h Bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,8m nên thể tích của từng bể nước là 2 V2 r2 h 3,24 h Thể tích bể nước mới là: V V1 V2 4,24 h . V 4,24 h Câu 29. Bán kính của bể nước mới là: V r 2h r r 4,24 2,06 . Cho hình h h nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 . Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi N . A. V 3 3 B. V 9 3 C. V 3 . D. V 9 Lời giải Chọn C Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB , SA ; SB là đường sinh của hình nón. Gọi h là chiều cao của hình nón. Khi đó: · Hình nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60 nên SAH 60 ¶ Ta có SAB cân tại S có A 60 nên SAB đều. Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp SAB cũng là trọng tâm của SAB . Theo bài ra IH 1 suy ra SH 3IH 3. AB 3 Mặt khác SH AB 2 3 R 3 S R2 3 . 2 Đáy 1 1 Do đó V SH.S 3.3 3 . 3 Đáy 3  Mức độ 4 Câu 30. Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d , H là trực tâm tam giác SBC . Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn C . Trong số các mặt cầu chứa đường tròn C , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . a 2 12 6 Lời giải
19. Chọn B Gọi G là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó G cũnglà trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC . D;K lần lượt là hình chiếu của điểm C trên AB và SB . Dễ chứng minh BC  SAI BC  GH (1). DC  SAB DC  SB SB  KC  SB  CDK SB  GH (2) SB  CD Từ (1), (2) suy ra GH  SBC G· HI 90o H thuộc mặt cầu đường kính GI và thuộc mặt phẳng cố định SAI nên H thuộc đường tròn C là giao của mặt cầu đường kính GI và mặt phẳng SAI . Gọi mặt cầu S chứa đường tròn C có tâm O và bán kính R . GI 2 Khi đó R d 2 O; SAI . 4 Bán kính R nhỏ nhất khi d O; SAI nhỏ nhất hay d O; SAI 0 . Khi đó O SAI . Như vậy, trong các mặt cầu chứa đường tròn C , mặt cầu đường kính GI là mặt cầu có bán GI 1 1 a 3 a 3 kính nhỏ nhất R . . min 2 2 3 2 12 Câu 31. Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO là một hình vuông cạnh bằng 2 . Mặt phẳng P qua trung điểm I của OO và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30 . Diện tích của thiết diện do P cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất? A. 3,7 . B. 3,8 . C. 3,5 . D. 3,6 . Lời giải Chọn D
20. Do thiết diện qua trục OO là một hình vuông cạnh bằng 2 nên chiều cao của hình trụ là h 2 và bán kính đáy là R 1. Giả sử giao tuyến của mặt phẳng P và đáy chứa tâm O là đường thẳng d . Gọi E là hình chiếu của O trên d . Khi đó góc giữa P và mặt phẳng chứa đáy là góc O· EI 30 . OI 2 Trong tam giác vuông IOE có tan O· EI OE 3 1. Do đó điểm E nằm ngoài OE 3 3 đường tròn đáy nên thiết diện là Elip. Gọi AM và CD là trục lớn và trục bé của Elip. Trong mặt phẳng chứa AM và trục của hình trụ, kẻ đường thẳng song song với đáy của hình trụ và cắt mặt xung quanh của hình trụ tại H . Khi đó ·AMH O· EI 30 . HM 2 4 3 Trong tam giác vuông AHM có: cos ·AMH AM . AM 3 3 2 4 3 2 3 Hay 2a a . 3 3 Mà CD 2b 2 b 1 . 2 3 Thiết diện là hình Elip nên diện tích bằng ab 3,62 . 3 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 5 15 5 15 4 3 5 A. V B. V C. V D. V 18 54 27 3 Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB ; Vì SAB đều nên SH  AB . Mà SAB  ABC SH  ABC SH là đường cao của hình chóp S.ABC Gọi G là trọng tâm của ABC . Tam giác ABC đều G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH d  ABC và d nằm trong mp (SHC) Xét hai tam giác đều ABC SAB có độ dài các cạnh bằng 1 suy ra SH HC