Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 32: Mặt nón – Mặt trụ – Mặt cầu

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 32: Mặt nón – Mặt trụ – Mặt cầu

1. DẠNG TOÁN 32: MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU PHẦN I I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Khối nón: Được tạo thành khi xoay tam giác vuông quanh cạnh góc vuông g Diện tích xung quanh: Sxq nón rl. 2 g Diện tích toàn phần: Stp Sxq Sđáy rl r . 1 1 g Thể tích khối nón: V S .h r 2h. nón 3 đáy 3 g Mối liên hệ: l 2 h2 r 2. 2. Khối trụ: Được tạo thành khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh. g Diện tích xung quanh: Sxq 2 rh. 2 g Diện tích toàn phần: Stp Sxq 2Sđáy 2 rh 2 r . 2 g Thể tích của khối trụ: Vtru Sđáy .h r h. 4 3. Khối cầu: Diện tích và thể tích mặt cầu: S 4 R2 và V R3. 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính diện tích xung quanh hình nón, hình trụ.  Tính diện tích toàn phần hình nón, hình trụ.  Tính thể tích khối nón, khối trụ và khối cầu. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và AC 2a . Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 5 a2 B. 5 a2 C. 2 5 a2 D. 10 a2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao h và bán kính r . 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính độ dài đường sinh. B2: Thế vào công thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq rl. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
2. Ta có: l a2 4a2 a 5. 2 Diện tích xung quanh hình nón S xq rl .2a.a 5 2 a 5. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l 5 và bán kính r 3 bằng: A. 8 .B. 15.C. 8 .D. 15 . Lời giải Chọn D Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l 5 và bán kính r 3 là: S xq rl .3.5 15 . Câu 2. Diện tích toàn phần của hình nón có độ dài đường sinh l 5 và bán kính r 3 bằng: A. 15 .B. 24 .C. 24 .D. 15 . Lời giải Chọn C Diện tích toàn phần của hình nón có độ dài đường sinh l 5 và bán kính r 3 là: 2 2 Stp rl r .3.5 .3 24 . Câu 3. Thể tích khối nón có chiều cao h 5 và bán kính r 3 bằng: A. 8 .B. 15.C. 8 .D. 15 . Lời giải Chọn D Thể tích khối nón có chiều cao h 5 và bán kính r 3 là: 1 1 V r 2h .32.5 15 . 3 3 Câu 4. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 40 và bán kính đáy r 5 thì có độ dài đường sinh bằng: A. 8 .B. 8 .C. 4 .D. 4 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là: Sxq rl
3. S 40 Từ đó suy ra độ dài đường sinh l xq 8. r .5 Câu 5. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 40 và độ dài đường sinh l 5 thì có bán kính bằng: A. 8 .B. 8 .C. 4 .D. 4 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là: Sxq rl S 40 Từ đó suy ra bán kính r xq 8. l .5 Câu 6. Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h 5 và bán kính r 3 bằng: A. 30 .B. 15.C. 30 .D. 15 . Lời giải Chọn A Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h 5 và bán kính r 3 là: S xq 2 rh 2. .3.5 30 . Câu 7. Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h 5 và bán kính r 3 bằng: A. 48 .B. 48 .C. 39 .D. 39 . Lời giải Chọn A Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h 5 và bán kính r 3 là: 2 2 Stp 2 rh 2 r 2. .3.5 2. .3 48 . Câu 8. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 40 và bán kính r 5 thì có chiều cao bằng: A. 8 .B. 4 .C. 4 .D. 8 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h và bán kính r là: Sxq 2 rh S 40 Từ đó suy ra chiều cao h xq 4. 2 r 2. .5 Câu 9. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 20 và chiều cao h 5 thì có bán kính bằng: A. 2 . B. 2 .C. 4 .D. 4 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h và bán kính r là: Sxq 2 rh S 20 Từ đó suy ra bán kính r xq 2. 2 h 2. .5
4. Câu 10. Diện tích mặt cầu có bán kính r 5 bằng: A. 20 .B. 100 .C. 10 .D. 25 . Lời giải Chọn B Diện tích mặt cầu có bán kính r 5 là: S 4 r 2 4. .52 100 .  Mức độ 2 Câu 1. Một hình nón có đường cao h 4 và bán kính đáy r 5 . Diện tích xung quanh của hình nón là: A. 5 41. B. 15 . C. 4 41 . D. 20 . Lời giải Chọn A Hình nón có đường sinhl h2 r 2 42 52 41. Diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl 5 41. Câu 2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15 . Thể tích của khối nón là: A. 12 . B. 20 . C. 36 . D. 60 . Lời giải Chọn A Ta có diện tích xung quanh của hình nón là Sxq 15 rl 15 3.l 15 l 5. Chiều cao của khối nón là h l 2 r 2 52 32 4 . 1 1 Thể tích của khối nón là V r 2h .32.4 12 . 3 3 Câu 3. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Thể tích của khối nón bằng
5. a3 2 a3 7 a3 a3 2 A. .B. .C. .D. . 4 3 12 12 Lời giải Chọn D a 2 Ta có: SAB vuông cân tại S và AB a 2 SO OB . 2 3 3 1 2 1 a 2 a 2 Vậy thể tích của khối nón là: V . .OB .SO . . . 3 3 2 12 Câu 4. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Thể tích của khối nón là 3 a3 2 a3 2 A. V . B. V a3 . C. V . D. V 3 a3 . 4 4 Lời giải Chọn D AB 3 Ta có: SAB là tam giác đều nên ta có l AB 2r, h r 3 2 2 2 2 Mà Sxq rl 6 a 2 r 6 a r a 3 h 3a. 1 Thể tích của khối nón đã cho là: V r 2h 3 a3. 3 Câu 5. Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là 2. Quay tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 4 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
6. Ta có: AB AC 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB thì AH  BC và AH 1 . Quay tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là: 1 2 V 2. HB. AH 2 . 3 3 Câu 6. Cho khối nón đỉnh S có độ dài đường sinh là a, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 60 . Thể tích khối nón là 3 a3 a3 3 a3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 8 8 24 Lời giải Chọn D r r 1 a h h 3 a 3 Ta có: cos60 r và sin 60 h . a a 2 2 a a 2 2 1 1 a2 a 3 a3 3 Vậy: V r 2h . . 3 3 4 2 24 Câu 7. Cho khối trụ có diện tích xung quanh bằng 80 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 10. Thể tích của khối trụ là A. 160 . B. 400 . C. 40 . D. 64 . Lời giải Chọn A
7. Ta có: khoảng cách giữa hai đáy bằng 10 nên h l 10. S xq 2 rl 80 2.r.10 80 r 4. Vậy thể tích của khối trụ bằng V r 2h .42.10 160 . Câu 8. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB a và AD 2a . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 2 A. Stp 8 . B. Stp 8a . C. Stp 4a . D. Stp 4 . Lời giải Chọn C Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta được hình trụ có đường cao là h AB a , bán 1 kính đường tròn đáy là r BK BC a . 2 2 2 Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp 2 rh 2 r 4 a . Câu 9. Một mặt cầu có chu vi đường tròn lớn bằng 4 . Diện tích mặt cầu đó là A. S 16 . B. S 64 . C. S 8 . D. S 32 . Lời giải Chọn A Gọi r là bán kính mặt cầu. Chu vi đường tròn lớn là 4 2 r 4 r 2. Vậy diện tích mặt cầu là: S 4 r 2 16 . Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a 3 và AD a . Đường thẳng SA vuông góc với đáy và SA a . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chópS .BCD bằng 5 a3 5 5 a3 5 3 a3 5 3 a3 5 A. . B. . C. . D. . 6 24 25 8 Lời giải Chọn A
8. Dễ thấy các tam giác SAC , SBC , SDC là tam giác vuông ( SC là cạnh huyền ). Suy ra mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm là trung điểm của SC và bán kính là SC SA2 AC 2 SA2 AB2 AD2 a2 3a2 a2 a 5 r . 2 2 2 2 2 3 3 4 3 4 a 5 5 a 5 Thể tích khối cầu là: V r . . 3 3 2 6  Mức độ 3 Câu 1. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60, diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích của khối nón là. 3 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V 3 a3 . D. V a3 . 4 4 Lời giải Chọn C 1 1 Thể tích V r 2h .OA2.SO. 3 3 OA 1 Ta có: ·ASB 60 ·ASO 30 tan 30 SO OA 3. SO 3 2 2 2 Lại có Sxq Rl .OA.SA .OA OA SO 6 a . 1 OA OA2 3OA2 6a2 2OA2 6a2 OA a 3 SO 3a V .3a2.3a 3 a3. 3 Câu 2. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và S· AO 30 , S· AB 60. Diện tích xung quanh của hình nón bằng a2 3 2 a2 3 A. S . B. S . C. S 2 a2 3 . D. S a2 3 . xq 3 xq 3 xq xq
9. Lời giải Chọn D 2x Ta có OH a . Đặt OA x x 0 thì OA SA.cos30 SA . 3 2x x Do góc S· AB 60 nên tam giác SAB đều AB SA AH . 3 3 x2 3 a 6 Do OA2 AH 2 OH 2 x2 a2 x2 a2 x ( Do x 0 ). 3 2 2 a 6 a 6 Vậy OA , SA a 2 nên diện tích xung quanh là S . .a 2 a2 3 . 2 xq 2 Câu 3. Cho hình nón có đường sinh tạo với đáy góc 60 . Mặt phẳng qua trục của hình nón cắt hình nón được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Thể tích của khối nón là A. V 3 . B. V 3 3 . C. V 9 3 . D. V 9 . Lời giải Chọn A h Góc giữa đường sinh tạo với đáy là S· AO 60o tan 60o h 3r 1 r 1 SABC SO.AB r.h 2 2 2 Mặt khác: r.h h r r 2 SA SB AB S l r h2 r 2 r ABC 2
10. r 0 loai Thế 1 vào 2 ta được: 3r 2 3r . Suy ra: h 3. r 3 nhan 1 Vậy V r 2h 3 . 3 Câu 4. Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm , bán kính đáy bằng 6cm . Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón N đỉnh S có đường sinh bằng 4cm . Tính thể tích của khối nón N . 768 786 2304 2358 A. V cm3 B. V cm3 C. V cm3 D. V cm3 125 125 125 125 Lời giải Chọn A S (N) M I K A O B Đường sinh của hình nón lớn là: l SB h2 r 2 82 62 10cm . Gọi l2 , r2 , h2 lần lượt là đường sinh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón N . l2 SK 4cm SI IK SK 4 2 Ta có: SOB và SIK đồng dạng nên: . SO OB SB 10 5 2 16 h h h r l 4 2 2 5 5 2 2 2 . h r l 10 5 2 12 r .r 2 5 5 2 1 2 1 12 16 768 3 Thể tích khối nón N là: V(N ) . .r2 .h2 . . . cm . 3 3 5 5 125 Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 45. Diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là. 2 a2 A. 2 2 a2 . B. . C. 4 2 a2 . D. 2 a2 . 2 Lời giải Chọn A
11. Gọi O AC  BD . Khi đó SO  (ABCD) và trong SOA vuông tại O có AC 2a 2 OA S· AO 45 ,OA a 2. Suy ra SA 2a . 2 2 cos 45 Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là 2 Sxq rl= .OA.SA .a 2.2a 2 2 a . Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a, AC b, AB c,b c. Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC, quanh cạnh AC, quanh cạnh AB, ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Sa , Sb , Sc . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Sb Sc Sa . B. Sb Sa Sc . C. Sc Sa Sb . D. Sa Sc Sb . Lời giải Chọn A Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A của tam giác, đặt AH h Ta có Sa .BA.AH .CA.AH h(c b) 2 Sb .BC.BA .BA c(a c) 2 Sc .CB.CA .CA b(a b) Do b c nên hiển nhiên Sc Sb . Do c a,h b nên hiển nhiên Sa Sc . Vậy Sa Sc Sb .. Câu 7. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đỉnh S , có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
12. a2 3 a2 10 a2 7 a2 7 A. S . B. S . C. S . D. S xq 3 xq 8 xq 4 xq 6 Lời giải Chọn D Hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có: 2 a 3 Bán kính đường tròn đáy r AG AN . 3 3 2 2 2 a 3 a 3 7 l SA SG2 AG2 GN tan 60 AG2 Đường sinh  3 a . 6 3 12 a2 7 Diện tích xung quanh: S rl . xq 6 Câu 8. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng a 3 cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng và S· AO 30, S· AB 60. Độ dài đường sinh của 3 hình nón theo a bằng A. a 2. B. a 3. C. 2a 3. D. a 5. Lời giải Chọn A a 3 Gọi I là trung điểm của AB , dựng OH  SI . Ta có OH . 3
13. Do S· AB 60 nên tam giác SAB đều. Suy ra SA SB AB. 1 SA. 3 Mặt khác S· AO 30 SO SA.sin 30 SA và OA SA.cos30 2 2 Xét tam giác SOI ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 OH OS OI OS OA AI 1 2 SA SA. 3 1 2 SA 2 2 1 6 a 3 SA OH. 6 . 6 a 2. OH 2 SA2 3 Câu 9. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , A B mà AB A B 6cm , diện tích tứ giác ABB A bằng 60cm2 . Tính bán kính đáy của hình trụ. A. 5cm B. 3 2 cm C. 4cm D. 5 2 cm Lời giải Chọn C Gọi O , O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ). Vì AB A B nên ABB A đi qua trung điểm của đoạn OO và ABB A là hình chữ nhật. Ta có SABB A AB.AA 60 6.AA AA 10 cm . Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A , B trên mặt đáy chứa A và B A B B1 A1 là hình chữ nhật có A B 6 cm , 2 2 2 2 B1B BB BB1 10 6 2 2 7 cm 2 2 Gọi r là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2r A B1 B1B A B 8 r 4 cm . Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA a 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
14. 3a 6 3a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 8 2 2 2 8 Lời giải Chọn A S H C I A M O B Gọi H là trung điểm của SA . Trong mặt phẳng SAO kẻ đường thẳng qua H và vuông góc với SA cắt SO tại I . Khi đó IS IA IB IC . a 3 a 3 2 6a Ta có: AM ; AO ; SO SA2 OA2 2 3 3 SI SH SH.SA 3 6a Do SHI ∽ SOA ta có: SI . SA SO SO 8  Mức độ 4 Câu 1. Một hình nón có đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Thiết diện qua đỉnh của hình nón là 1 tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của tam giác là 2 2 2 2 A. Smax 8a B. Smax 4a 2 C. Smax 4a D. Smax 16a Lời giải Chọn A Gọi thiết diện của hình chóp là SCD . r Vì SOB vuông tại O , có OB r 2a 3 , O· SB 60o nên l SB 4a . sin 60o
15. 1 1 Khi đó, S SC.SD.sin C· SD SC.SD 8a2 (vì sin C· SD 1). SCD 2 2 2 · o Vậy Diện tích lớn nhất Smax của thiết diện đó là 8a khi CSD 90 . Câu 2. Một khối cầu S có tâm I bán kính R không đổi. Một khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nhưng nội tiếp trong khối cầu. Tính chiều cao h theo R để thể tích khối trụ lớn nhất 2 3R 2R 3R A. h 2R . B. h . C. h . D. h . 3 2 3 Lời giải Chọn B 2 2 2 2 h 2 2 h Ta có: r R . Thể tích hình trụ là:V r h h R . 4 4 Đặt f h R2h h3 . 4 3 f h R2 h2 0 h 2R . 4 Ta có bảng biến thiên: 4 R3 3 2 3R Ta thấy thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất bằng khi h . 9 3 Câu 3. Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là 12 cm . Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là A. 64 cm3 . B. 16 cm3 . C. 8 cm3 . D. 32 cm3 . Lời giải Chọn C
16. 3 3 3 2 x y y x 2y 6 Thể tích khối trụ: V y x .x.y.y 8 3 3 3 Dấu “=” xảy ra khi x y 2 . Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng V 8 cm3. Câu 4. Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng 3 A. 3a2. B. 2a2. C. a2. D. 2 3a2 . 2 Lời giải Chọn B 1200 A a 3 H x B M Giả sử SAM là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón. Gọi AM x 0 x 2a 3 Gọi H là trung điểm của AM OH  AM AM  SOH AM  SH . AO SA 2a sin 60 Vì ·ASB 120 ·ASO 60 . AO OA a tan 60 x2 x2 OH OA2 AH 2 3a2 SH OH 2 SO2 4a2 4 4
17. 1 1 x2 S AM.SH x. 4a2 . SAM 2 2 4 2 2 2 2 1 x x 16a 2x Ta có: S 4a2 S 0 x 2a 2 . 2 4 x2 x2 4 4a2 8 4a2 4 4 2 Vậy: Smax 2a . Câu 5. Cho mặt cầu đường kính AB 2R . Mặt phẳng P vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ), cắt mặt cầu theo đường tròn C . Tính h AI theo R để hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất? R 4R 2R A. h R . B. h . C. h . D. h . 3 3 3 Lời giải Chọn C A O I B Gọi O là trung điểm AB , M là điểm bất kì trên đường tròn C . Ta có IM OM 2 OI 2 R2 h R 2 2Rh h2 . 1 1 2 Thể tích hình nón: V .AI.S C .h. . 2Rh h . 3 3 Đặt f h 2Rh2 h3 . ( R là tham số). Tập xác định D 0;2R. 3
18. 4R f ' h 4Rh 3h2 ; f ' h 0 h . 3 3 3 4R 32 3 4R f 0 0; f R .R ; f R . Vậy hàm số f h đạt giá trị lớn nhất khi h 3 3 81 3 4R Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi h . 3 Câu 6. Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho. Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h . h 3 h 2h A. x . B. x . C. x . D. h 3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi bán kính đường tròn đáy của hình nón đỉnh O là IA=R Đường cao của hình nón tâm I là IO x . OO O A h x O A R h x Xét tam giác OIA có O A / /IA O A . OI IA h R h 2 1 2 R 2 Thể tích khối nón đỉnh I là V .O I. O A .x h x . 3 3h2 2 Xét hàm y x h x với 0 x h . y h x 2 2x h x h x h 3x x h (loai) y 0 h x (nhan) 3 Bảng biến thiên
19. 2 h Thể tích khối nón đỉnh I lớn nhất y x h x x . max 3 Câu 7. Ông A dự định làm một cái bể nuôi cá có dạng hình trụ (không có nắp) với dung tích 200 dm3 . Tính bán kính r của đáy hình trụ để ông A sử dụng nguyên liệu ít tốn kém nhất. A. r 31,69 cm . B. r 39,93 cm . C. r 42,57 cm . D. r 57,58 cm . Lời giải Chọn A Giả sử hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh l h . 200 Dung tích của bể cá: V r 2h r 2h 200 h . r 2 200 Diện tích toàn phần của bể cá: S r 2 rl r 2 . tp r Để sử dụng nguyên liệu ít tốn kém nhất thì diện tích toàn phần của bể cá phải nhỏ nhất. 200 100 100 100 100 Ta có S r 2 r 2 33 r 2. . 33 104 . tp r r r r r 100 100 Dấu bằng xảy ra khi r 2 r 3 3,169 dm 31,69 cm . r Vậy để ông A sử dụng nguyên liệu ít tốn kém nhất thì bán kính của đáy hình trụ r 31,69 cm . Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6cm, AC 3cm . Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H . Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, tính thể tích lớn nhất của hình nón được tạo thành: 4 8 A. . B. . C. . D. 4 . 3 3 3 Lời giải Chọn C B H M A C Đặt AH x cm , 0 x 6 . Khi đó: BH 6 x cm .
20. Xét tam giác BHM vuông tại H , ta có: HM tan H· BM HM BH.tan H· BM 6 x .tan H· BM. BH AC 3 1 Mà tan H· BM tan ·ABC . AB 6 2 1 Do đó: HM 6 x . . 2 Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH là: 1 1 2 V .AH. .HM 2 .x. . 6 x x3 12x2 36x . 1 . 3 3 4 12 Xét hàm số: f (x) x3 12x2 36x với 0 x 6 , ta có: f (x) 3x2 24x 36 . 2 x 2 f (x) 0 3x 24x 36 0 . x 6 Bảng biến thiên của hàm số f (x) x3 12x2 36x với 0 x 6 : 8 Từ 1 và bảng biến thiên ta có thể tích lớn nhất của khối nón tạo thành là : V .32 . 12 3 Câu 9. Cho mặt cầu tâm O , bán kính R . Hình trụ H có bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu. Thể tích khối trụ được tạo nên bởi H có thể tích lớn nhất khi r bằng 2 6 A. r 3R . B. r R . C. r 6R . D. r R . 2 3 Lời giải Chọn D