Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 40: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 40: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. DẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta dựng mặt phẳng ( ) chứa b và song song với a . Chọn một điểm M thích hợp trên a và tính khoảng cách từ M đến ( ) . d a,b d M , . Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1: (Sử dụng trong trường hợp a  b ) • Dựng mặt phẳng ( ) chứa b và vuông góc với a tại A . • Dựng AB  b tại b . AB là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 2: • Dựng mặt phẳng ( ) chứa b và song song với a . • Chọn điểm M thích hợp trên a , dựng MH  ( ) tại H . • Qua H , dựng đường thẳng a //a , cắt b tại B . • Từ B dựng đường thẳng song song MH , cắt a tại A .
2. AB là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 3: • Dựng mặt phẳng ( ) vuông góc với a tại M . • Dựng hình chiếu b của b lên ( ) . • Dựng hình chiếu vuông góc H khác của M lên b . • Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b tại B . • Qua B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a tại A . AB là đoạn vuông góc chung của a và b . BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB 2a , AC 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a (minh họa như hình vẽ bên). Gọi M là trung điểm AB . S A B M C Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng 2a a 6 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Phân tích hướng dẫn giải
3. 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tứ diện vuông: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông nếu tứ diện đó có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của S trên ABC . Khi đó: + H là trực tâm tam giác ABC . 1 1 1 1 + . SH 2 SA2 SB2 SC 2 Đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a  P . Nếu a//b  P a// P . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi N là trung điểm AC . Chứng minh BC// SMN . Suy ra d BC;SM d BC; SMN d B; SMN . B2: Nhận xét d B; SMN d A; SMN h là độ dài đường cao của tứ diện A.SMN xuất phát từ đỉnh A. B3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính h . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A S M A B N C AC AB Gọi N là trung điểm AC . Khi đó: AN 2a ; AM a . 2 2 Ta có: MN // BC BC// SMN . Suy ra: d BC;SM d BC; SMN d B; SMN d A; SMN . (Do đường thẳng AB cắt mặt phẳng SMN tại điểm M là trung điểm AB ).
4. Tứ diện A.SMN vuông tại A có h d A; SMN suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 9 2a hay h . h2 AN 2 AM 2 SA2 2a 2 a2 a2 4a2 3 2a Vậy d BC;SM d A; SMN h . 3 Lưu ý: Ta có thể tính d A; SMN như sau: S H M A B N I C Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của điểm A trên MN,SI . MN  AI MN  SAI MN  AH . MN  SA AH  SI AH  SMN d AH; SMN AH . AH  MN 1 1 1 1 1 5 AMN vuông tại A . AI 2 AM 2 AN 2 a2 2a 2 4a2 1 1 1 1 5 9 2a SAI vuông tại A AH . AH 2 SA2 AI 2 a2 4a2 4a2 3 2a Vậy d BC;SM d A; SMN AH . 3 Cách khác : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với O  A, cho a 1.
5. Ta có tọa độ các điểm A 0;0;0 , B 0;2;0 , C 4;0;0 , S 0;0;1 , M 0;1;0 .    SM , BC SB 2 2 d SM , BC   . Vậy d SM , BC a . 3 3 SM , BC II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho điểm M và một đường thẳng . Trong mặt phẳng M , gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến . Ký hiệu: d M , MH . 3. HƯỚNG GIẢI: Qua M kẻ MH  . Khoảng cách từ M đến bằng MH . Công thức sử dụng: Cho MAB vuông tại M , đường cao MH . 1 1 1 ➢ . MH 2 MA2 MB2 MA.MB 2S MAB ➢ MH MH . AB AB BÀI TẬP MẪU 2 Cho hình chóp S.ABC với SA vuông góc với ABC và SA a . Diện tích S ABC a , BC a 2 . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. a 3 . B. a 2 .C. a .D. 2a . Lời giải Chọn A
6. S A C H B Trong mp SBC kẻ SH  BC . Theo đầu bài ta có SA  ABC SA  BC . Suy ra BC  SAH AH  BC . 1 2.S 2.a2 Ta lại có S AH.BC AH ABC 2.a . ABC 2 BC 2a Ta có SH SA2 AH 2 a2 2a2 a 3 . Vậy d S, BC SH a 3 . DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ( ) : d(O;( )) OH trong đó H là hình chiếu của O trên ( ) Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) và M ; N thì d(M ;( )) d(N;( )) Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng ( ) tại điểm I và M ; N ( M ; N không trùng với I ) thì d(M ;( )) MI d(N;( )) NI Đặc biệt: 1 Nếu M là trung điểm của NI thì: d(M ;( )) d(N;( )) 2 Nếu I là trung điểm của MN thì: d(M ;( )) d(N;( )) 3. HƯỚNG GIẢI: Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( ) - Tìm giao tuyến ( ) của (P) và ( ) - Kẻ OH  (H ) . Khi đó d(O;( )) OH . Lưu ý Tính chất của tứ diện vuông
7. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA  OB;OB  OC;OC  OA) và H là hình chiếu của O trên mặt 1 1 1 1 phẳng ABC . Ta có OH 2 OA2 OB2 OC 2 BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC a 2, ABC 60 . Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SAB bằng: a 6 a 2 2a 6 A. .B. .C. a 2 .D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A Dựng SH  AB , do SAB  ABCD SH  ABCD Dựng CK  AB , có CK  SH CK  SAB 3 a 6 Do CD / / AB d D, SAB d C, SAB CK BC sin 60 a 2. . 2 2 DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Cho đường thẳng song song mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng .
8. M H d , d M , ,M 2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho hai mặt phẳng song song và  . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và  là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng đến mặt phẳng  . M H  d ,  d M ,  ,M 3. HƯỚNG GIẢI: Đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. BÀI TẬP MẪU 2a Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB . 3 Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABC bằng: a a 2 a a 3 A. . B. .C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn D Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN P AB suy ra MN P ABC .
9. Ta có: d MN; ABC d M ; ABC . 1 1 a 3 Lại có: M là trung điểm của SA nên d M ; ABC d S; ABC SH . 2 2 3 a 3 Vậy d MN; ABC . 3 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 + 4 Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45. Biết rằng thể tích khối a3 2 chóp S.ABCD bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 3 a 3 a 6 a 10 a 10 A. .B. .C. .D. . 2 3 5 10 Lời giải Chọn C. S H K A B I D C Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x , x 0 . Vì SA  ABCD nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCA . Vậy S· CA 45 . Do đó tam giác SAC vuông cân tại A . Suy ra SA AC x 2 . 1 1 x3 2 Ta có V SA.S .x 2.x2 . ABCD 3 ABCD 3 3 a3 2 Theo bài ra thì V . Vậy x a . ABCD 3 Cách 1: Qua B dựng đường thẳng d song song với AC , qua A dựng đường thẳng d song song với BD . Gọi K là giao điểm của d và d . Ta có AC// SKB .
10. Do đó d AC, SB d AC, SKB d A, SKB . Trong mặt phẳng SAK dựng AH vuông góc với SK tại H (1). Vì AC  BD nên suy ra AK  KB (2). Mặt khác SA  ABCD nên SA  KB (3). Từ (2) và (3) suy ra KB  SAK . Do đó ta có KB  AH (4). Từ (1) và (4) suy ra AH  SKB . Vậy AH d A, SKB . Gọi I là giao điểm của AC và BD . BD a 2 Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AK BI . 2 2 1 1 1 1 1 5 Trong tam giác vuông SAK có 2 2 2 2 2 2 . AH AS AK a 2 a 2 2a 2 a 10 a 10 Suy ra AH . Vậy d AC, SB . 5 5 Cách 2: (Tọa độ hóa) Gán hệ trục tọa độ như sau: A 0;0;0 , D a;0;0 , B 0;a;0 và S 0;0;a 2 . Khi đó C a;a;0 .    Ta có SB 0;a; a 2 , AC a;a;0 , AS 0;0;a 2 .      2 2 2 3 Do đó: AC, SB a 2;a 2;a , AC, SB .AS a 2 .    3 AC, SB AS a 2 a 10 Từ đó ta có d AC, SB   . a2 5 5 AC, SB Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC hợp với đáy góc 45. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là: a 2a 2a A. .B. a .C. .D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A
11. Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD ·SC, ABCD S· CA 45. BD  AC Lại có:  BD  SC . BD  SA  Gọi O AC  BD . Dựng OH  SC tại H . OH  SC  Ta có:  OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC . OH  BD Suy ra d BD, SC OH. 2a 2 a Xét tam giác OHC vuông tại H có: OH OC sin 45 . . 2 2 2 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. 3a 3a 3a A. . B. a .C. .D. . 4 2 6 Lời giải Chọn A
12. AB a a 3 AH , SH , SA  ABC  BC SA  BC 1 2 2 2 Ta có BC  AH 2 Từ (1) và (2) suy ra BC  SHA Trong mp SAH , kẻ HK  SA K SA . Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau SA và BC . 1 1 1 16 Xét tam giác SHA vuông tại H có HK 2 HS2 HA2 3a 2 a 3 Vậy d SA, BC . 4 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC . 2 57a 2 57a 3a A. .B. .C. .D. a . 19 19 2 Lời giải Chọn C S K D S D C H K H N A M B M C DM  NC Ta thấy  DM  SHC DM  SC . DM  SH  Ta có: MAD NDC ·ADM D· CN MD  NC . Do SH  ABCD MD  SH MD  SHC . Kẻ HK  SC K SC . Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d DM , SC HK .
13. CD2 2a SH  HC 2 3a Ta có: HC và HK  CN 5 SH 2 HC 2 19 2 3a Do đó: d DM , SC . 19 Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 4 a3 . Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng SCD . 3 3 2 4 8 A. h a .B. h a .C. h a . D. h a . 4 3 3 3 Lời giải Chọn C. S A B I D C Cách 1: Ta có chiều cao của khối chóp S.ABCD là SI với I là trung điểm của AD . 4 1 4 Suy ra thể tích của khối chóp S.ABCD bằng a3 2a2.SI a3 SI 2a . 3 3 3 Xét tam giác SCD vuông tại D có: 3a 2 1 1 3a 2 3a2 SD SI 2 ID2 nên S SD.CD . .a 2 . 2 SCD 2 2 2 2 4 1 4 Thấy ngay V 2V 2V a3 2. S .h h a . S.ABCD S.BCD B.SCD 3 3 SCD 3 Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) 4 3 a3 1 3V Ta có V SI  S SI S.ABCD 3 2a . S.ABCD 3 ABCD S 2 ABCD a 2 Chọn hệ trục Ixyz như hình vẽ: z S B A I D y C x
14. a 2 a 2 a 2 , , , ; . I 0;0;0 D ;0;0 C ;a 2;0 S 0;0;2a B ;a 2;0 2 2 2  a 2  a 2 , . SC ;a 2; 2a SD ;0; 2a 2 2   2 2 2 SC, SD 2a 2;0; a a u với u 2 2;0;1 . Phương trình mặt phẳng SCD qua S 0;0;2a và nhận véc-tơ u làm véc-tơ pháp tuyến là 2 2 x 0 0 y 0 1 z 2a 0 2 2x z 2a 0 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD là: a 2 2 2  0 2a 2 4a d B, SCD . 2 3 2 2 11 Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc B· AD 120 . Các mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối a3 3 chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a. 3 a 228 a 228 2 5a 2 5a A. h .B. h .C. h . D. h . 38 19 5 19 Lời giải Chọn A. S z S M M K y A D A D O B B H C C x Cách 1: phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng SAB và SAD cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng DM 1 1 ABCD nên SA  ABCD . Ta có d M , SBC d D, SBC AD//BC DS 2 2 1 1 AD// SBC d D, SBC d A, SBC . Vậy d M , SBC d A, SBC 2 2 Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều nên AH  BC , lại có SA  ABCD SA  BC nên BC  SAH SBC  SAH Dựng AK  SH AK  SBC d A, SBC AK .
15. a2 3 Diện tích hình thoi ABCD là : S AB.BC.sin 600 ABCD 2 3V a 3 Từ đó suy ra SA S.ABCD 2a . Tính được AH SABCD 2 Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên : 1 1 1 4 1 19 a 228 AK . AK 2 AH 2 SA2 3a2 4a2 12a2 19 1 a 228 Vậy d M , SBC AK . 2 38 Cách 2: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Oz//SA. Khi đó ta có a a 3 a O 0;0;0 , A ;0;0 , B 0; ;0 ,C ;0;0 2 2 2 a 3 a a a 3 D 0; ;0 S ;0;2a , M ; ;a 2 2 4 4  a a 3   a a 3 SB ; ; 2a , SC a;0; 2a , SM ; ; a 2 2 4 4    SB, SC .SM a 228 Vậy d M , SBC   . 38 SB, SC Câu 7. Cho hình tứ diện EFGH có EF, EG, EH đôi một vuông góc EF 6a , EG 8a , EH 12a , với a 0,a R . Gọi I , J tương ứng là trung điểm của hai cạnh FG , FH . Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng EIJ theo a . 12 29.a 6 29.a 24 29.a 8 29.a A. d . B. d . C. d . D. d . 29 29 29 29 Lời giải Chọn C. G z 8a I N x E 6a F K 12a M J y H
16. Cách 1: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH nên EG  (EFH ) . Gọi K là trung điểm của EF suy ra IK  (EFH ) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của K trên EJ và IM ta có d K, EIJ KN . Ta có: d F, EIJ 2d K, EIJ 2KN . Trong tam giác EKJ vuông tại K và tam giác IKM vuông tại K ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29 12 29 KN a . KN 2 KM 2 KI 2 KJ 2 KE 2 KI 2 9a2 16a2 36a2 144a2 29 24 29.a Vậy d . 29 Cách 2: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH nên EG  (EFH ) . Gọi K là trung điểm của EF suy ra IK  (EFH ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có: K 0;0;0 , I 0;0;4a , E 3a;0;0 , J 0;6a;0 x y z Phương trình mặt phẳng EIJ : 1 4x 2y 3z 12a 0 3a 6a 4a 12a 24a 24 29a d F, EIJ 2d K, EIJ 2 . 4 9 16 29 29 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là 45, gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD. a 5 a 5 a 3 a 2 A. h .B. h .C. h .D. h . 2 3 2 3 Lời giải Chọn D S z S G A D G D y K A N M O M O B B C C x Cách 1 : phương pháp dựng hình Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. AD//MN AD// SMN d AD, MN d AD, SMN d A, SMN MN  AB, MN  SA MN  SAB SMN  SAB Dựng AK  SN AH  SMN d A, SMN AK
17. Lại có SA  ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD Từ đó suy ra ·SC, ABCD ·SC, AC S· CA 450 . Vậy giác SAC vuông cân, suy ra SA AC a 2 Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra : 1 1 1 1 4 9 a 2 AK . AK 2 SA2 AN 2 2a2 a2 2a2 3 Cách 2 : phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được SA a 2 Khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 ,C a;a;0 , D 0;a;0 , S 0;0;a 2 a a a 2a a 2  a a a 2 Suy ra O ; ;0 ,G ; ; ,OG ; ; 2 2 3 3 3 6 6 3      a a AD,OG .AO a 2 AD 0;a;0 , AO ; ;0 . Vậy d AD,OG   . 2 2 3 AD,OG Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD 2a , AB BC SA a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD . a 6 a 6 a 3 a A. h .B. h .C. h .D. h . 6 3 6 3 Lời giải Chọn A S H A M D B C C1: phương pháp dựng hình. 1 Tứ giác ABCM là hình vuông nên CM a AD 2 Suy ra tam giác ACD vuông tại C Ta có CD  AC,CD  SA CD  SAC Kẻ AH  SC tại H khi đó do
18. CD  SAC CD  AH AH  SCD 1 1 Vậy d M , SCD d A, SCD AH 2 2 1 1 1 1 1 3 Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH nên AH 2 SA2 AC 2 a2 2a2 2a2 a 6 a 6 Suy ra AH d M , SCD . 3 6 C2: Phương pháp tọa độ z S y A M D B x C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có : A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;2a;0 , S 0;0;a  Từ đó suy ra M 0;a;0 ,C a;a;0 SM 0;a; a   SC a;a; a , SD 0;2a; a     2 2 2 2 SC, SD a ;a ;2a , SC, SD 6a Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCD là    3 SC, SD .SM a a 6 d M , SCD   . a2 6 6 SC, SD Câu 10. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a, OC a 3 . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM. a 5 a 3 a 15 a 3 A. h .B. h .C. h . D. h . 5 2 5 15 Lời giải Chọn C Cách 1 : phương pháp dựng hình
19. A H O C N K M B Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó OM //BN ( tính chất đường trung bình ) do đó OM // ABN . Suy ra d OM , AB d OM , ABN d O, ABN . Dựng OK  BN , OA  OBC BN  OA BN  AK Dựng OH  AK khi đó OH  ABN . Từ đó d OM , AB OH Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên 1 1 1 1 1 4 OK 2 ON 2 OB2 3a2 a2 3a2 Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên 1 1 1 4 1 5 a 15 OH OH 2 OK 2 OA2 3a2 3a2 3a2 5 a 15 Vậy d OM , AB . 5 Cách 2 : Phương pháp tọa độ z A O C y B M x Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. a a 3 Khi đó , . O 0;0;0 , A 0;0;a 3 , B a;0;0 ,C 0;a 3;0 M ; ;0 2 2  a a 3   Suy ra OM ; ;0 , AB a;0; a 3 ,OB a;0;0 2 2   3a2 a2 3 a2 3   a2 15 AB,OM ; ; , AB,OM 2 2 2 2
20.    AB,OM .OB a 15 Vậy d AB,OM   . 5 AB,OM Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc B· AD 120 . Các mặt 2 3a3 phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là . 3 Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 2 5a a 3 a 6 a 6 A. h .B. h .C. h .D. h . 5 2 2 3 Lời giải Chọn B. S z S d K A D A D H O B O B x C C y Cách 1 : phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng SAB và SAD cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD nên SA  ABCD . Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC. Dựng AH  d, AK  SH . Ta chứng minh được AK  SBH AC//HB AC// SBH d AC, SB d AC, SBH AK BO  AC, AH  HB AH  AC suy ra AH //BO . Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên AH BO a 3 0 2 Diện tích hình thoi ABCD là SABCD AB.BC.sin 60 2 3a 3V Suy ra AH S.ABCD a SABCD Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên 1 1 1 1 1 4 a 3 a 3 AK . Vậy d AC, SB . AK 2 AH 2 SA2 3a2 a2 3a2 2 2 Cách 2 : phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Oz//SA. Khi đó ta có O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0; 3a;0 ,C a;0;0 , S a;0;a