Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 29: Logarit có tham số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 29: Logarit có tham số

1. DẠNG TOÁN 29: LOGARIT CÓ THAM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a 1. Số thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b . Ta viết: loga b a b. 1. Các tính chất: Cho a, b 0, a 1, ta có: loga a 1, loga 1 0 loga b a b, loga (a ) * Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 1, ta có loga (b1.b2 ) loga b1 loga b2 * Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 1, ta có b1 loga loga b1 loga b2 b2 1 Đặc biệt : với a, b 0, a 1 log log b a b a * Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b 0, a 1, với mọi , ta có loga b loga b 1 Đặc biệt: log n b log b a n a * Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a 1,c 1, ta có logc b loga b logc a 1 1 Đặc biệt : log c và log b log b với 0 . a a a logc a * Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên : Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết : log10 b logb lgb Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết : loge b ln b II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Biến đổi bằng công thức cơ bản.  Biến đổi bằng công thức cơ bản 1 tham số.  Biến đổi bằng công thức cơ bản nhiều tham số.  BÀI TẬP MẪU
2. a b (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét các số thực a và b thỏa mãn log3 3 .9 log9 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 2b 2 .B. 4a 2b 1.C. 4ab 1.D. 2a 4b 1. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán biểu diễn các tham số trong biểu thức lôgarit. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa các logarit về cùng cơ số B2: Áp dụng công thức. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D a 2b 1 a 2b 1 1 a b log 3 .9 log 3 log3 3 .3 log3 3 log3 3 a 2b 3 9 2 2 2 2a 4b 1 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 I log a Câu 1. Cho a là số thực dương khác 1. Tính a . 1 1 A. I = . B. I = - . C. I = - 2 . D. I = 2. 2 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có a a 2 . Nên log a log a 2log a 2 . a 1 a a 2 1 3 2 Câu 2. Cho a là số thực dương khác 1. Tính P loga a .a . 3 1 7 5 A. P . B. P . C. P . D. P . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 1 7 3 2 2 7 P loga a .a loga a . 2 Câu 3. Cho a là số thực dương khác 1. Tính log a . a2 A. log a 0,5. B. log a 0,5 . C. log a 2 . D. log a 2 . a2 a2 a2 a2 Lời giải
3. Chọn A 1 1 log a log a . a2 2 a 2 Câu 4. Cho hai số thực dương a và b tùy ý. Giá trị của log ab10 bằng A. 10 log ab . B. 10log ab . C. 10log a logb . D. log a 10logb . Lời giải Chọn D Câu hỏi lí thuyết. 1 Câu 5. Cho log b 4 , log c thì giá trị của log a bằng a b 2 c 1 1 A. . B. 2. C. 4. D. . 2 4 Lời giải Chọn A 1 1 1 1 Ta có log a c log c log b.log c 1 2 a a b 4. 2 2 4 Câu 6. Nếu loga b p thì loga a b bằng A. 4 p 2. B. 4 p 2a . C. a2 p4 . D. p4 2a . Lời giải Chọn A 2 4 2 4 loga a b loga a loga b 2 4loga b 2 4 p . 2 Câu 7. Cho log2 x 2 . Tính giá trị của biểu thức P log2 x log 1 x log4 x . 2 3 2 2 4 2 A. P . B. P . C. P 2 2 . D. P . 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 Ta có P log2 x log x log x 2 2 2 2 2 1 2 4 2 P 2 2 2 2 . 2 2 2 4 27. 3 9 Câu 8. Tính giá trị của biểu thức T log . 3 3 11 11 11 11 A. T B. T C. T D. T 4 24 6 12 Lời giải Chọn C 4 27. 3 9 T log log 4 27. 3 9 log 3 3 3 3 3 3 2 17 4 3 12 17 11 2log3 3 .3 1 2log3 3 1 2. 1 12 6
4. a2.3 a.5 a4 Câu 9. Tính: B log a 4 a 173 177 173 173 A. . B. . C. . D. . 60 50 90 30 Lời giải Chọn A 1 4 2 a2.3 a.5 a4 a 3 5 173 173 173 Ta có a 60 . Vậy B log a 60 . 4 a 1 a 60 a 4 Câu 10. Cho a, b là các số thực dương khác 1, thoả log b log a 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? a2 b2 1 1 A. a .B. a b . C. a . D. a b2 . b b2 Lời giải Chọn B Ta có: log b log a 1 log b log a 2 a2 b2 a b 1 2 loga b 2 loga b 1 0 loga b loga b 1. Suy ra: a b . a 3 Câu 11. Đặt 2 3 , khi đó log3 16 bằng 3a 3 4 4a A. . B. . C. . D. . 4 4a 3a 3 Lời giải 1 4a Ta có 2a 3 log 3 a log 2 log 3 16 2 3 a 3 3 a 3 Câu 12. Đặt 2 3, khi đó log3 16 bằng 3a 3 4 4a A. B. C. D. 4 4a 3a 3 Lời giải 4 a 4 4 4 3 3 Ta có: 2 3 a log2 3; Mặt khác log3 16 log3 2 log3 2 3 3log2 3 3a 1 Câu 13. Cho log3 a . Giá trị của bằng? log81 1000 3a 4a 1 A. . B. . C. . D. 12a. 4 3 12a Lời giải Chọn B 1 4 4a Ta có log 81 log 34 log3 . 1000 103 log81 1000 3 3
5. Câu 14. Cho a,b là các số thực dương và a 1, a b thỏa mãn loga b 2 . Khi đó log a ab bằng b 3 3 A. . B. 6 . C. . D. 0. 2 2 Lời giải 1 1 1 log b (1 2) log ab a 3 Đổi về cơ số a ta có log ab a 2 2 . a a 1 log b 1 2 2 b log a a b 2 2 a Câu 15. Cho log 2 b 3 (với a 0, b 0, ab 0, ab 1). Tính log 3 . ab ab b A. 5 B. 10 C. 12 D. 14 Lời giải Chọn D log b log b 3 Ta có: log b a a 3 log b . ab2 2 a loga ab 1 2loga b 5 a loga 3 a b 1 3loga b Khi đó: log 3 14 . ab b log ab 1 a 1 log b 2 a  Mức độ 2 Câu 16. Đặt log2 5 a , log5 3 b . Khi đó log24 15 bằng ab 1 a b 1 b 1 ab 1 A. . B. . C. . D. . b 3 ab a 1 a 1 Lời giải Chọn B Ta có ab log2 5.log5 3 log2 3 . 1 1 1 1 log24 15 log24 3 log24 5 log3 24 log5 24 1 3log3 2 log5 3 3log5 2 1 1 ab a a b 1 . 3 3 1 b ab 3 ab 3 ab a a3 T log Câu 17. Cho a,b,c 0,c 1 và đặt logc a m , logc b n , c . Tính T theo m,n . 4 b3 3 3 3 3 3 3 A. T m n . B. T 6n m . C. T m n . D. T 6m n . 2 8 2 2 8 2 Lời giải Chọn D a3 3 3 T log log a3 log 4 b3 6log a log b 6m n c c c c c 4 b3 2 2 a Câu 18. Cho a, b là các số thực dương và ab 1 thỏa mãn log a2 3 thì giá trị của log 3 bằng: ab ab b
6. 3 3 8 2 A. . B. . C. .D. . 8 2 3 3 Lời giải Chọn D a 1 a 1 a2 1 1 3 2 2 logab logab logab . logab a logab ab . logab a 1 b 3 b 3 ab 3 3 a 1 2 Giả thiết log a2 3 nên log 3 . 3 1 ab ab b 3 3 1 2 2 2 Câu 19. Tính giá trị của biểu thức sau: log a log 2 a 1 a 0 . 1 a a 17 13 11 15 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn A 1 2 2 2 2 1 17 Ta có: log a log 2 a 2log a + log a . 1 a a a a 4 4 Câu 20. Cho a,b,c là các số thực dương (a,b 1) và loga b 5,logb c 7 . Tính giá trị của biểu thức b P log . a c 2 1 A. P . B. P 15 . C. P . D. P 60 . 7 14 Lời giải Chọn D b Vì P 2loga 2(loga b loga c) 2(5 loga b.logb c) 2(5 5.7) 60 . c 9b log log 3 3 Câu 21. Xét các số thực a và b thỏa mãn 3 a 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 27 1 1 1 1 A. a 2b .B. a 2b .C. 2b a .D. 2a b . 18 18 18 18 Lời giải Chọn A 9b 1 1 1 1 log log 3 3 log 32b a log 33 2 2b a . a 2b . 3 a 1 1 3 3 3 27 32 3 3 18 a 3 Câu 22. Đặt 2 3 , khi đó log3 16 bằng 3a 3 4 4a A. . B. . C. . D. . 4 4a 3a 3 Lời giải Chọn D 1 4a Ta có 2a 3 log 3 a log 2 log 3 16 2 3 a 3 3 a 3 Câu 23. Đặt 2 3, khi đó log3 16 bằng
7. 3a 3 4 4a A. B. C. D. 4 4a 3a 3 Lời giải Chọn C 4 a 4 4 4 3 3 Ta có: 2 3 a log2 3; Mặt khác log3 16 log3 2 log3 2 3 3log2 3 3a 1 Câu 24. Cho log3 a . Giá trị của bằng? log81 1000 3a 4a 1 A. . B. . C. . D. 12a. 4 3 12a Lời giải Chọn B 1 4 4a Ta có log 81 log 34 log3 . 1000 103 log81 1000 3 3 Câu 25. Cho a,b là các số thực dương và a 1, a b thỏa mãn loga b 2 . Khi đó log a ab bằng b 3 3 A. . B. 6 . C. . D. 0. 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 1 log b (1 2) log ab a 3 Đổi về cơ số a ta có log ab a 2 2 . a a 1 log b 1 2 2 b log a a b 2 2 a Câu 26. Cho log 2 b 3 (với a 0, b 0, ab 0, ab 1). Tính log 3 . ab ab b A. 5 B. 10 C. 12 D. 14 Lời giải Chọn D log b log b 3 Ta có: log b a a 3 log b . ab2 2 a loga ab 1 2loga b 5 a loga 3 a b 1 3loga b Khi đó: log 3 14 . ab b log ab 1 a 1 log b 2 a Câu 27. Đặt log2 5 a , log5 3 b . Khi đó log24 15 bằng ab 1 a b 1 b 1 ab 1 A. . B. . C. . D. . b 3 ab a 1 a 1 Lời giải Chọn B Ta có ab log2 5.log5 3 log2 3 . 1 1 1 1 log24 15 log24 3 log24 5 log3 24 log5 24 1 3log3 2 log5 3 3log5 2
8. 1 1 ab a a b 1 . 3 3 1 b ab 3 ab 3 ab a a Câu 28. Cho a là số thực dương khác 1 và b 0 thỏa log b 3 . Tính A log bằng a ab2 b2 4 3 13 13 4 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 11 11 12 12 Lời giải Chọn A a Ta có A log log a log b2 ab2 b2 ab2 ab2 1 2 1 2 2 2 2 2 loga ab logb ab loga a loga b logb a logb b 1 2 1 2 3 1 2 3 4 3 13 . 1 2log b 1 11 a 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 loga b a2.3 a.5 a4 Câu 29. Tính: B log a 4 a 173 177 173 173 A. . B. . C. . D. . 60 50 90 30 1 4 2 a2.3 a.5 a4 a 3 5 173 173 173 Ta có a 60 . Vậy B log a 60 . 4 a 1 a 60 a 4 2 3 1 Câu 30. Cho biết a,b,c 1thỏa mãn 6 6 . Tìm kết luận đúng loga c logb c 6 37 2 3 3 2 2 3 6 2 3 A. a b c . B. a b c . C. a b c . D. a b c 6 . Lời giải Chọn A Theo công thức đổi cơ số ta có 2 3 1 2log a 3log b log a2b3 log a2b3 a2b3 c . 6 6 c6 c6 c6 c6 loga c logb c 6  Mức độ 3 3 a log a b log Câu 31. Cho các số thực dương a và b thỏa mãn b a và logb a 0 . Tính m logb a b b 13 13 7 A. m .B. m .C. m .D. m 1. 3 6 6 Lời giải Chọn B
9. 3 a 1 1 log log a 3 a 1 b 1 b Ta có log a b log log a b log a 3 2 b a b 2 b 2 1 b b a log logb a 1 b b 2 logb a 0 1 2 13 13 logb a logb a 0 13 logb a vì logb a 0 . 2 12 log a 6 b 6 1 4 Câu 32. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn log a 2log 0 .Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 1 4 4 b A. ab 4 . B. a2b 16 . C. ab2 16 . D. ab 8 . Lời giải Chọn C 1 4 1 4 4 Từ giả thiết: log a 2log 0 log a log 0 log a log 2 1 2 2 2 2 4 4 b 2 b b 4 a ab2 16 b Câu 33. Cho alà số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn loga c logb c loga 2020.logb c .Mênh đề nào dưới đây đúng?. A. abc 2020 .B. ac 2020 . C. bc 2020 . D. ab 2020 . Lời giải Chọn D Ta có: loga c logb c loga 2020.logb c 1 1 log 2020 1 c . (công thức đổi cơ số) logc a logc b logc a logc b logc a logc b logc 2020 logc ab logc 2020 ab 2020 . Câu 34. Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log c x2 1 và log b3 log a x . Tính b a2 3 c S x2 x2 1 . 8 8 9 3 A. S .B. S . C. S . D. S . 9 3 8 8 Lời giải Chọn C 2 2 Ta có: logb c x 1 logb c 2 x 1 , 3 4 log b3 x log b x log b x , a2 4 a a 3 x log a x 3.log a x log a . 3 c c c 3
10. 4 2 x 8 2 2 Khi đó: loga b.logb c.logc a x.2 x 1 . x x 1 3 3 9 loga c 1 Mà: loga b.logb c.logc a loga b. . 1, loga b logc a 8 9 x2 x2 1 1 S x2 x2 1 . 9 8 Câu 35. Đặt log3 5 a . Mệnh đề nào sau đây đúng? a 1 2a 1 2a 1 2a 1 A. log 75 .B. log 75 . C. log 75 . D. log 75 . 15 2a 1 15 a 1 15 a 1 15 a 1 Lời giải Chọn B 2 2 1 2 1 log15 75 log15 5 log15 3 2log15 5 log15 3 1 log5 5 log5 3 log3 5 log3 3 1 a a 1 2a 1 Thu gọn ta có log 75 . 15 a 1 Câu 36. Cho a log2 m với 0 m 1. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 3 a 3 a A. log 8m . B. log 8m 3 a a . C. log 8m . D. log 8m 3 a a . m a m m a m Lời giải Chọn A 3 3 a log 8m log m log 8 1 log 23 1 3log 2 1 . m m m m m a a Câu 37. Gọi c là cạnh huyền, a,b là hai cạnh góc vuông của môt tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng: A. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a B. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a C. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a D. logb c a logc b a logb c a.logc b a Lời giải Theo giả thiết, ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c b c 1 1 loga c b loga c b 2 2 logc b a logc b a logb c a logc b a 2logb c a.logc b a (đpcm). Chọn A. Câu 38. Cho các số dương a,b thỏa mãn 4a2 9b2 13ab . Chọn mệnh đề đúng? 2a 3b 1 1 A. log log a logb . B. log 2a 3b 3log a 2logb . 5 2 4 2a 3b 1 C. log 2a 3b log a 2log b . D. log log a logb . 4 2 Lời giải Chọn A Ta có 4a2 9b2 13ab 2a 3b 2 25ab 2b 3b 5 ab . 2a 3b 1 Lấy logarit thập phân log log ab log a logb . 5 2
11. Câu 39. Giả sử p , q là các số thực dương thỏa mãn log16 p log20 q log25 p q . Tìm giá trị của p ? q 4 1 8 1 A. .B. 1 5 . C. .D. 1 5 . 5 2 5 2 Lời giải Chọn D t t t Đặt t log16 p log20 q log25 p q p 16 , q 20 , p q 25 . Suy ra : t 4 1 5 2t t 4 4 5 2 16t 20t 25t 1 0 . t 5 5 4 1 5 5 2 t t 4 4 1 5 Vì 0 nên . 5 5 2 t p 16t 4 1 5 Từ đó ta được t . q 20 5 2 x Câu 40. Cho x, y 0 thỏa mãn log x log y log 2x 2y . Tính . 6 9 4 y 3 1 3 3 A. .. B. 1 3. C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B t t t Đặt log6 x log9 y log4 2x 2y t , suy ra x 6 , y 9 và 2x 2y 4 . 2t t t t t t 2 2 2 Có phương trình: 2.6 2.9 4 2 2 0 1 3 . 3 3 3 t x 6t 2 x Mà t nên 1 3 . y 9 3 y 1 1 Câu 41. Cho các số a,b 0 thỏa mãn log a log b log a b . Giá trị bằng 3 6 2 a2 b2 A. 18. B. 45. C. 27. D. 36. Lời giải Chọn B a 3t t t t t t 3 t Đặtt log3 a log6 b log2 a b b 6 3 6 2 3 1 1 2 t a b 2
12. t t 3 t 3 3 t Xét hàm số f t 3 trên ¡ , có f ' t .ln 3 .ln 3 0,t ¡ f t đồng 2 2 2 1 1 1 1 biến trên ¡ và 1 f t f 1 t 1 a ,b 45. 3 6 a2 b2 a Câu 42. Nếu a 0 , b 0 thỏa mãn log a log b log a b thì bằng 4 6 9 b 5 1 5 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Lời giải Chọn A a 4k k Đặt: log4 a log6 b log9 a b k b 6 . k a b 9 k k 2k k k k k 4 6 2 2 Do đó: 4 6 9 1 1 (*) 9 9 3 3 1 5 k t 2 2 2 Đặt t t 0 , lúc đó phương trình (*) trở thành: t t 1 0 . 3 1 5 t l 2 k a 4k 2 1 5 Do đó: k . b 6 3 2 2 2 Câu 43. Với các số a, b 0 thỏa mãn a b 6ab , biểu thức log2 a b bằng 1 1 A. 3 log a log b . B. 1 log a log b . 2 2 2 2 2 2 1 1 C. 1 log a log b . D. 2 log a log b . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: a2 b2 6ab a2 b2 2ab 6ab 2ab a b 2 8ab * . ab 0 Do a, b 0 , lấy logarit cơ số 2 hai vế của * ta được: a b 0 2 log2 a b log2 8ab 2log2 a b 3 log2 a log2 b 1 log a b 3 log a log b . 2 2 2 2  Mức độ 4
13. 1 xy Câu 44. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log 2xy x y 3 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu 2 x y 5 a a thức x y là , trong đó a,b Z * là phân số tối giản. Giá trị a b là 4 b b A. 5 B. 3 C. 9 D. 7 Lời giải Chọn B Ta có: 1 xy log 2xy x y 3 log 1 xy log x y x y 2 xy 1 1 2 x y 2 2 log2 2 1 xy 2 1 xy log2 x y x y Xét hàm số : f t t log2 t , t 0 . 1 Ta có: f ' t 1 0 t 0 . Vậy hàm số y f t đồng biến trên 0; t.ln 2 2 x 5 5 2 x Do đó * 2 1 xy x y y . Khi đó: x y x . 1 2x 4 4 1 2x Vì x, y 0 0 x 2 5 2 x 25 Xét hàm số: f x x , x 0;2 .Ta có: f ' x 1 ; 4 1 2x 4 1 2x 2 3 x t / m 2 4 f ' x 0 4 1 2x 25 7 x ktm 4 Ta có bảng biến thiên: 5 11 a 11 Vậy: x y có giá trị nhỏ nhất là . Ta có a b 3 4 8 b 8 Câu 45. Cho a,b,c là ba số thực dương, a 1 và thỏa mãn 2 2 3 3 bc 2 loga bc loga b c 4 4 c 0 .Số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Lời giải
14. Chọn B 2 3 3 bc 2 2 2 2 1 1 3 3 bc 2 2 Ta có: b c b c bc b c bc bc bc 0 b c b c 4 4 2 4 2 2 3 3 bc 2 2 4 4 2 loga bc loga b c 4 4 c loga bc loga b c 4 4 c 4 2 2 loga bc 2 4 c 0 log bc 2 a 2 2 a 2 3 3 bc 2 2 1 Nên loga bc loga b c 4 4 c 0 4 c 0 b . 4 4 1 bc c 2 2 Có 1 bộ số a,b,c thỏa mãn bài toán. ì log y = log x ï x y Câu 46. Cho các số thực dương x, y khác 1 và thỏa mãn í . ï log x- y = log x + y îï x ( ) y ( ) Giá trị của x2 + xy - y2 bằng A.0.B.3.C.1.D.2. Lời giải Chọn D ĐK: x > y . Ta có ïì é 1 ïì 1 ï êy = ì log y = log x ï log y = ï ê ï x y ï x ï x í Û í log x y Û í ê ï log (x- y)= log (x + y) ï ï ëêx = y îï x y ï log x- y = log x + y ï îï x ( ) y ( ) ï log (x- y)= log - 1 (x + y) îï x x ïì 1 ïì 1 ï y = ï y = ïì xy = 1 Û ï x Û ï x Û ï Þ x2 + xy - y2 = 2 . í í í 2 2 ï ï 2 2 ï x - y = 1 ï log x- y + log x + y = 0 ï log x - y = 0 îï îï x ( ) x ( ) îï x ( ) 2019 2 Câu 47. Cho a, b là các số thực và hàm số f x a log x 1 x bsin x.cos 2018x 6 . Biết f 2018ln 2019 10 . Tính P f 2019ln 2018 A. P 4 B. P 2 C. P 2 D. P 10 Lời giải Chọn B  Xét g x f x 6 a log2019 x2 1 x bsin x.cos 2018x .
15. Suy ra: f x g x 6 . Ta có x2 1 x x2 x x x x x 0 . Do đó tập xác định của hàm số y g x là D ¡ . Ta có: x D x D . g x a log2019 x2 1 x bsin x .cos 2018x 1 a log2019 x2 1 x bsin x .cos 2018x a log2019 x2 1 x bsin x .cos 2018x g x Vậy hàm số y g x là hàm lẻ.  Ta có: 2018ln 2019 2019ln 2018 . Khi đó: P f 2019ln 2018 f 2018ln 2019 g 2018ln 2019 6 ln 2019 g 2018 6 ln 2019 f 2018 6 6 12 f 2018ln 2019 2 Câu 48. Cho a, b , c là ba số thực dương, a 1 và thỏa mãn 2 2 3 3 bc 2 loga bc loga b c 4 4 c 0 . Số bộ a;b;c thỏa mãn điều kiện đã cho là 4 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn B Điều kiện 4 c2 0 2 c 2 , kết hợp giả thiết ta có 0 c 2 . 2 2 3 3 bc 2 Do a 1 nên ta có loga bc loga b c 4 4 c 4 2 bc log2 bc log 2 b3c3. 4 4 c2 log2 bc 4log bc 4 4 c2 a a a a 4 2 2 loga bc 2 4 c 0 .
16. 1 loga bc 2 0 bc a2 2 4 c 0 c 2 a 2 bc b3c3 1 1 Đẳng thức xảy ra 4 bc b . 2 4 a 1 a 1 c 2 b 0 b 0 0 c 2 0 c 2 Vậy có duy nhất một bộ số a;b;c thỏa mãn bài toán. Câu 49. Cho a,b là các số dương thỏa mãn b 1 và a b a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a P log a 2log a b . b b A. 6. B. 7. C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: P 4. log a 1 4. log a 1 1 log b b 1 b a 1 logb a t Đặt t log a . Vì a b a log a 1 log a 1 t 1 t 2 . b b b 2 1 t P 4 t 1 4 t 1 với t 1;2 . 1 1 t 1 t t Xét hàm số f (t) 4 t 1 với t 1;2 . t 1 3 t tm 1 2 1 2 f (t) 4, f (t) 0 t 1 . t 1 2 4 1 t l 2 Bảng biến thiên t 3 3 -∞ 1 2 +∞ 2 2 f '(t) - 0 + +∞ f (t) 6 5
17. 3 Từ bảng biến thiên suy ra: minf t f 5. 1;2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 5 . 1 Câu 50. Cho các số thực a,b thay đổi, thỏa mãn a ,b 1. Khi biểu thức 3 4 2 P log3a b logb a 9a 81 đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a b bằng A. 3 9 2 B. 9 2 3 C. 2 9 2 D. 3 3 2 Lời giải Chọn A 2 1 Do a4 9a2 81 9a2 a2 9 0 đúng a ; Dấu bằng xảy ra khi a 3 3 2 Suy ra P log3a b logb 3a log3a b 2logb 3a 2 2 a 3 a 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 log3a b 2logb 3a b 9 Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a b 3 9 2. ey ex Câu 51. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho y x ex x y e y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P logx xy logy x . 2 1 2 2 1 2 A. B. 2 2 C. D. 2 2 2 Lời giải y x y x x x e y y e x x e y y e Ta có: y e x e ln y e ln x e x y x ln y xe y y ln x yex (*) (vì y ex ln x có ln x ex ln y e y 1 y ' ex 0;x 1 nên y y 1 e 0 ) x t ln t et 1 tet Xét hàm số: f t t trên 1; ta có f ' t 2 . Với hàm số ln t e ln t et 1 g t ln t et 1 tet có g ' t ln t et 1 tet ' tet 0,t 1 t Nên g t g 1 1 f ' t 0;t 1 y f t là hàm nghịch biến trên 1; nên với (*) f x f y y x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Khi đó P log x xy log y x log x y 2 log x y. 2 2 log x y 2 2 log x y 2
18. 1 1 2 2 Dấu “=” xảy ra khi: log x y log x y 2 y x 2 log x y 1 2 2 Vậy: P . min 2 1 y Câu 52. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3xy x 3y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất P 3 x 3xy min của P x y . 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 4 A. P . B. P . C. P . D. P . min 3 min 3 min 9 min 9 Lời giải Chọn A 1 y Để 0 mà từ giả thiết x, y 0 suy ra 1 y 0 y 1. Vậy ĐKXĐ: x 0;0 y 1. x 3xy 1 y 1 y 3 1 y Ta có: log 3xy x 3y 4 33xy x 3 y 4 33xy x 3 y 3 3 x 3xy x 3xy x 3xy 3 1 y 33xy x 3 3y .33 3 y 3xy x .33xy x (*) x 3xy 33 3y Xét f t t.3t với t 0. Ta có f t 3t t.3t.ln 3 0 với t 0 , suy ra f t đồng biến trên khoảng 0; . Từ (*) ta có f 3 3y f 3xy x với 3 3y 0,3xy x 0 nên 3 x 3 3y 3xy x y . 3(x 1) 3 x 3 x 1 4 Ta có P x y x x 1 3 x 1 3 x 1 3 3 4 4 4 4 4 3 4 P x 1 2 x 1 . . 3 x 1 3 3 x 1 3 3 4 x 1 3 x 1 2 3 3 x 4 3 4 3 x 3 Vậy Pmin y . 3 3 x 1 2 3 1 y x 0;0 y 1 3 Câu 53. Cho a,b,c là ba số thực dương, a 1 và thỏa mãn 2 2 3 3 bc 2 loga bc loga b c 4 4 c 0 .Số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Lời giải Chọn B
19. 2 3 3 bc 2 2 2 2 1 1 3 3 bc 2 2 Ta có: b c b c bc b c bc bc bc 0 b c b c 4 4 2 4 2 2 3 3 bc 2 2 4 4 2 loga bc loga b c 4 4 c loga bc loga b c 4 4 c 4 2 2 loga bc 2 4 c 0 log bc 2 a 2 2 a 2 3 3 bc 2 2 1 Nên loga bc loga b c 4 4 c 0 4 c 0 b . 4 4 1 bc c 2 2 Có 1 bộ số a,b,c thỏa mãn bài toán. x y ln Câu 54. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 .5ln x y 2ln5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P (x 1)ln x (y 1)ln y . A. Pmax 10 . B. Pmax 0 . C. Pmax 1 . D. Pmax ln 2 . Lời giải Chọn B x y ln 2 2 .5ln(x y) 2ln5 2ln(x y) ln 2.5ln(x y) 2ln5 2ln(x y).5ln(x y) 2ln5.2ln 2 10ln(x y) 2ln10 ln(x y) log 2ln10 ln(x y) ln10.log 2 eln(x y) eln10.log 2 x y 10log 2 x y 2. Do đó P x 1 ln x 3 x ln 2 x . Xét hàm số f (x) (x 1)ln x (3 x)ln(2 x) x 1 3 x x 2 2x f (x) ln x ln(2 x) ln . x 2 x 2 x x(2 x) 1 2 x 2x2 4x 4 f x 2 . 2 0,x 0;2 2 x x 2x x2 Do đó f x 0 có nhiều nhất một nghiệm trên 0;2 Mà x 1 là một nghiệm của pt f x 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất là x 1 . Lập bảng biến thiên ta được max f x f 1 0 .