Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 23: Xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 23: Xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu

1. DẠNG TỐN 23: XÁC ĐỊNH TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MẶT CẦU. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Phương trình mặt cầu dạng chính tắc: Cho mặt cầu cĩ tâm I a;b;c , bán kính R . Khi đĩ phương trình chính tắc của mặt cầu là S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 .  Phương trình mặt cầu dạng khai triển là S :x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 . Khi đĩ mặt cầu cĩ cĩ tâm I a;b;c , bán kính R a2 b2 c2 d a2 b2 c2 d 0 . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Hệ Oxyz ( Tìm tọa độ tâm mặt cầu )  Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu  PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)  PTMC biết 2 đầu mút của đường kính  PTMC ngoại tiếp tứ diện  PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK  PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng  PTMC biết tâm và đường trịn trên nĩ  PTMC biết tâm và ĐK của dây cung  PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK  PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK  PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác  Tốn Max-Min liên quan đến mặt cầu  Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK  Tốn thực tế, liên mơn liên quan PTMC BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong khơng gian oxyz , cho mặt cầu S : x 2 2 y 4 2 z 1 2 9. Tâm của S cĩ tọa độ là
2. A. 2;4; 1 .B. 2; 4;1 C. 2;4;1 . D. 2; 4; 1 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn xác định tâm của mặt cầu. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Cho mặt cầu S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 thì S cĩ tâm là I a;b;c . Từ đĩ, ta cĩ thể giải bài tốn cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta cĩ mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 9 cĩ tọa độ tâm là 2; 4;1 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 16. Tâm của (S) cĩ tọa độ là A. (- 1;- 2;- 3). B. (1;2;3). C. (- 1;2;- 3). D. (1;- 2;3). Lời giải Chọn D Từ phương trình mặt cầu dạng 1, suy ra tâm I (1;- 2;3). Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu cĩ phương trình x 1 2 y 3 2 z2 9 . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đĩ A. I 1;3;0 ; R 3. B. I 1; 3;0 ; R 9. C. I 1; 3;0 ; R 3. D. I 1;3;0 ; R 9. Lời giải Chọn C Mặt cầu đã cho cĩ tâm I 1; 3;0 và bán kính R 3. Câu 3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 6x 4y 8z 4 0 . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu S . A. I 3; 2; 4 . B. I 3;2;4 . C. I 3; 2;4 . D. I 3;2; 4 . Lời giải Chọn C Mặt cầu S cĩ tâm là I 3; 2;4 . Câu 4. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 - 2y + 4z + 2 = 0. Độ dài đường kính của mặt cầu (S) bằng A. 2 3. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải
3. Chọn A Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra I (0;1;- 2),R = 0 + 1+ 4 - 2 = 3 , Câu 5. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (- 1;2;0), bán kính R = 3 là A. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 3. B. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 9. C. (x - 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 9. D. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 3. Lời giải Chọn B Phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (- 1;2;0), bán kính R = 3 là (x + 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 9. Câu 6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S cĩ phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 5 0 . Tính diện tích mặt cầu S . A. 42 . B. 36 . C. 9 . D. 12 . Lời giải Chọn B Mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 và bán kính R 12 22 32 5 3. Diện tích mặt cầu S là: S 4 R2 4 32 36 . Câu 7. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z2 9 . Mặt cầu S cĩ thể tích bằng 4 A. V 16 . B. V 36 . C. V 14 . D. V . 36 Lời giải Chọn B Mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z2 9 cĩ tâm là 1; 2;0 , bán kính R 3. 4 Thể tích mặt cầu V R3 36 . 3 Câu 8. Trong khơng gian Oxyz , Cho mặt cầu S 3x2 3y2 3z2 6x 12y 18z 3 0 . Tâm của (S) cĩ tọa độ là A. I 3; 6;9 .B. I 1;2; 3 . C. I 1; 2;3 . D. I 3;6; 9 . Lời giải Chọn C Ta cĩ 3x2 3y2 3z2 6x 12y 18z 3 0 x2 y2 z2 2x 4y 6z 1 0 . Mặt cầu S cĩ tâm là I 1; 2;3 . 2 Câu 9. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S x2 y2 z 3 25.Điểm nào dưới đây thuộc S
4. A. M 4;0;0 . B. N 0;4;0 . C. P 0;4;0 . D. Q 0;0;4 . Lời giải Chọn A Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ cĩ tọa độ điểm M thỏa mãn. Câu 10. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 1 2 z2 2 . Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngồi mặt cầu S ? A. M 1;1;1 B. N 0;1;0 C. P 1;0;1 D. Q 1;1;0 Lời giải Chọn C Mặt cầu S cĩ tâm I 0;1;0 , bán kính R 2 . Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu: MI 2 R ; NI 0 R , PI 3 R , QI 1 R . Do đĩ điểm P nằm ngồi mặt cầu.  Mức độ 2 Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, tìm tất cả các tham số m để x 2 + y2 + z2 + 2x - 4y - m = 0 là một phương trình mặt cầu. A. m > 5. B. m ³ - 5. C. m £ 5. D. m > - 5. Lời giải Chọn D 2 Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra 02 + (- 1) + 22 + m > 0 Û m > - 5. Câu 2. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z - m = 0 cĩ bán kính R = 5. Giá trị của tham số m bằng A. - 16. B. 16. C. 4. D. - 4. Lời giải Chọn B Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I (1;- 2;2). R = 1+ 4 + 4 + m = 5 Û m = 16. Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 - 4x + 8y - 2mz + 6m = 0 cĩ đường kính bằng 12 thì tổng các giá trị của tham số m bằng A. - 2. B. 2. C. - 6. D. 6. Lời giải Chọn D Đường kính bằng 12, suy ra bán kính R = 6. Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I (2;- 4;m), R = 4 + 16 + m2 - 6m = 6 ,
5. 2 Suy ra m - 6m - 16 = 0 Û m1 + m2 = 6. (Theo Viet) Câu 4. Trong khơng gian Oxyz, phươngtrình mặt cầu (S) cĩ tâm I (1;- 3;2) và qua điểm A(5;- 1;4) là A. (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 24. B. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 24. C. (x + 1)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 24. D. (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 24. Lời giải Chọn D Phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (1;- 3;2) bán kính R = IA = 42 + 22 + 22 = 2 6 là (x - 1)2 + (y + 3)2 + (z - 2)2 = 24. Câu 5. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S cĩ tâm là điểm I 1;0; 1 và đi qua điểm M 2;2; 3 . Phương trình của S là A. (x 1)2 y2 (z 1)2 3 . B. (x 1)2 y2 (z 1)2 3 . C. (x 1)2 y2 (z 1)2 9 .D. (x 1)2 y2 (z 1)2 9 Lời Giải Chon D IM 12 22 2 2 3 R Tâm I(1;0;-1) 2 2 2 Mặt cầu (S) co ùPT : x 1 y z 1 9 R = 3 Câu 6. Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu (S) cĩ đường kính AB với A 2;1;1 , B 0;3; 1 là 2 2 A. x2 y 2 z2 3. B. (x 1)2 y 2 z2 3 , 2 2 2 C. (x 1)2 y 2 z 1 9 . D. (x 1)2 y 2 z2 9 . Lời Giải Chọn B 2 0 3 1 1 1 Tọa độ trung điểm của AB: I ; ; I 1;2;0 2 2 2 2 Tâm I 1;2;0 IA 12 1 12 3 R . Mặt cầu (S) : R = 3 cĩ PT: (x 1)2 y 2 2 z2 3 Câu 7. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x-2y-2z-8=0 . Phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 1 3 .B. x 1 y 2 z 1 3.
6. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 1 9 .D. x 1 y 2 z 1 9 . . Lời Giải Chọn C 1 4 2 8 d I, P 3 R 12 2 2 2 2 Tâm I 1;2; 1 2 2 2 Mặt cầu (S) cĩ PT: x 1 y 2 z 1 9 R = 3 Câu 8. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 và tiếp xúc với trục hồnh cĩ dạng 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 3 13 .B. x 1 y 2 z 3 5 . 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 3 9 .D. x 1 y 2 z 3 25. . Lời Giải Chọn A d I,Ox 22 32 13 R Tâm I 1;2;3 2 2 2 Mặt cầu (S) cĩ phương trình x 1 y 2 z 3 13 R = 13 x 1 t Câu 9. Viết phương trình mặt cầu cĩ tâm I 1;2;3 và đi qua giao điểm của đường thẳng d : y 2 t z 3 t với mặt phẳng Oxy . A. (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 27 B. (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 27 C. (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 3 3 D. (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 3 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxyz là : z 0 Gọi A d  (Oxyz) t 3 A( 2;5;0) Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là R IA ( 3)2 32 ( 3)2 3 3 . Phương trình mặt cầu S tâm I 1;2;3 và bán kính R 3 3 là 2 (x 1)2 (y 2)2 z 3 27 . Câu 10. Cho mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 và diện tích bằng 32 . Phương trình của S là
7. 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 2 z 3 16. B. x 1 y 2 z 3 16. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 2 z 3 8. D. x 1 y 2 z 3 8. Lời giải Chọn C Ta cĩ: S 4 R2 4 R2 32 R 8 . gTâm: I 1;2;3 Khi đĩ S : gBán kính: R 8 2 2 2 S : x 1 y 2 z 3 8.  Mức độ 3 Câu 1. Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A 2;0;0 , B 0; 3;0 và C 0;0;6 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp OABC là 7 7 A. . B. 11 . C. 11. D. . 2 3 Lời giải Chọn A Phương trình mặt cầu cĩ dạng: S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 . Do A , B , C và O thuộc mặt cầu S nên: 4 4a d 0 9 6b d 0 3 a 1, b , c 3 , d 0 . 36 12c d 0 2 d 0 7 Do đĩ, mặt cầu cĩ bán kính bằng: R a2 b2 c2 d . 2 Câu 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , Viết phương trình mặt cầu đi qua A 2 ;3 ; 3 , B 2; 2 ; 2 , C 3 ;3 ;4 và cĩ tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . A. (x - 6)2 + (y - 1)2 + z2 = 29. B. (x + 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29. C. (x - 6)2 + (y - 1)2 + z2 = 29 . D. (x + 6)2 + (y + 1)2 + z2 = 29 . Lời giải Chọn A
8. Giả sử I a;b;0 (Oxy) và r là tâm và bán kính của mặt cầu (S)và đi qua A 2 ;3 ; 3 , B 2; 2 ; 2 , C 3 ;3 ;4 Phương trình mặt cầu (S) là (x - a)2 + (y - b)2 + z2 = r 2 Vì mặt cầu đi qua A 2 ;3 ; 3 , B 2; 2 ; 2 , C 3 ;3 ;4 nên (2 a)2 (3 b)2 ( 3)2 r 2 10b 10 0 b 1 2 2 2 2 (2 a) ( 2 b) 2 r 2a 12 0 a 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 a) (3 b) 4 r (3 a) (3 b) 4 r r 29 Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x - 6)2 + (y - 1)2 + z2 = 29. Câu 3. Cho I 1; 2;3 . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3 . 2 2 2 2 2 2 A. (x 1) (y 2) (z 3) 16 . B. (x 1) (y 2) (z 3) 20 . 2 2 2 2 2 2 C. (x 1) (y 2) (z 3) 25. D. (x 1) (y 2) (z 3) 9 . Lời giải Chọn A Gọi M là hình chiếu vuơng gĩc của I (1; -2;3) trên trục Ox M (1;0;0) và M là trung điểm của AB 2 2 2 AB Ta cĩ: IM 1 1 0 2 0 3 13, AM 3 . 2 IMA vuơng tại M IA IM 2 AM 2 13 3 4 R 4 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y 2 z 3 16 . Câu 4. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S cĩ tâm I 1;1;3 và mặt phẳng P : 2x 3y 6z 11 0 . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường trịn cĩ bán kính bằng 3 . Viết phương trình của mặt cầu S . A. S : x 1 2 y 1 2 z 3 2 25.B. S : x 1 2 y 1 2 z 3 2 5 . C. S : x 1 2 y 1 2 z 3 2 25 .D. S : x 1 2 y 1 2 z 3 2 7 . Lời giải Chọn A
9. 2.1 3.1 6.3 11 Ta cĩ : d d I, P 4 . 22 3 2 62 Suy ra R d 2 r 2 42 32 5 . Vậy, mặt cầu cĩ phương trình : S : x 1 2 y 1 2 z 3 2 25. x 2 y z 1 Câu 5. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : và điểm I 1; 2;5 . Lập phương 3 6 2 trình mặt cầu S tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho tam giác IAB vuơng tại I . A. S : x 1 2 y 2 2 x 5 2 40 .B. S : x 1 2 y 2 2 x 5 2 49 C. S : x 1 2 y 2 2 x 5 2 69.D. S : x 1 2 y 2 2 x 5 2 64. Lời giải Chọn A. A H B O Đường thẳng d đi qua M 2;0;1 và cĩ một véc tơ chỉ phương là u 3;6;2 .  IM ,u Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta cĩ IH d I,d , với u   IM ,u IM 1;2; 4 , u 3;6;2 IH d I,d 20 . u Theo đề bài ta cĩ tam giác IAB vuơng cân tại I nên IA IH 2 40 . Vậy phương trình mặt cầu S là S : x 1 2 y 2 2 x 5 2 40 . x 1 y 1 z 1 Câu 6. Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(1; 0;3) và cắt d : tại hai 2 1 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB vuơng tại I 2 2 40 2 2 40 A. x 1 y2 z 3 . B. x 1 y2 z 3 . 9 9
10. 2 2 2 10 2 2 2 10 C. x 1 y2 z 3 . D. x 1 y2 z 3 . 3 3 Lời giải Chọn A Đường thẳng d cĩ một vectơ chỉ phương u 2;1;2 và P 1; 1;1 d .    u, IP 20 Ta cĩ: IP 0; 1; 2 u, IP 0; 4;2 . Suy ra: d I;d . u 3 40 IAB vuơng tại I IAB vuơng cân tại I IA 2d I,d . 3 2 2 40 Vậy (S) : x 1 y2 z 3 . 9 Câu 7. Cho mặt cầu S cĩ tâm I 1;1;1 . Một mặt phẳng (P) cắt S theo giao tuyến là một đường trịn C . Biết chu vi lớn nhất của C bằng 2 2. Phương trình của S là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y 1 z 1 4. B. x 1 y 1 z 1 2. 2 2 2 2 2 2 C. x 1 y 1 z 1 4. D. x 1 y 1 z 1 2. Lời giải Chọn D Đường trịn C đạt chu vi lớn nhất khi C đi qua tâm I của mặt cầu S . Ta cĩ: C 2 R 2 2 R 2 . gTâm: I 1;1;1 Khi đĩ (S) : gBán kính: R 2 S : x 1 2 y 1 2 z 1 2 2. Câu 8. Cho I 1; 2;3 . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB 2 3 . 2 2 2 2 2 2 A. (x 1) (y 2) (z 3) 16 . B. (x 1) (y 2) (z 3) 20 . 2 2 2 2 2 2 C. (x 1) (y 2) (z 3) 25. D. (x 1) (y 2) (z 3) 9 . Lời giải Chọn A Gọi M là hình chiếu vuơng gĩc của I (1; -2;3) trên trục Ox
11. M (1;0;0) và M là trung điểm của AB 2 2 2 AB Ta cĩ: IM 1 1 0 2 0 3 13, AM 3 . 2 IMA vuơng tại M IA IM 2 AM 2 13 3 4 R 4 . 2 2 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y 2 z 3 16 . x 1 y z 3 Câu 9. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và mặt cầu S 1 2 1 tâm I cĩ phương trình S : x 1 2 y 2 2 z 1 2 18 . Đường thẳng d cắt S tại hai điểm A, B . Tính diện tích tam giác IAB . 8 11 16 11 11 8 11 A. . B. . C. .D. . 3 3 6 9 Lời giải Chọn A Đường thẳng d đi qua điểm C 1;0; 3 và cĩ vectơ chỉ phương u 1;2; 1 Mặt cầu S cĩ tâm I 1;2; 1 , bán kính R 3 2 Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên đường thẳng d .  IC,u  Khi đĩ: IH , với IC 0; 2; 2 ; 2x y 3z 4 0 u 62 22 22 66 Vậy IH 1 4 1 3 22 4 6 Suy ra HB 18 3 3 1 1 66 8 6 8 11 Vậy, S IH  AB   . IAB 2 2 3 3 3 Câu 10. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S cĩ tâm I 1;2;3 cắt mặt phẳng  : 2x y 2z 8 0 theo một hình trịn giao tuyến cĩ chu vi bằng bằng 8 cĩ diện tích bằng A. 80 . B. 50 . C. 100 . D. 25 .
12. Lời giải Chọn A Đường trịn giao tuyến cĩ chu vi bằng 8 nên bán kính của nĩ là r 4 . 2 2 6 8 Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d d I,  2 . 22 11 22 Theo cơng thức R2 r 2 d 2 20 . Diện tích của mặt cầu S là S 4 R2 80 .  Mức độ 4 Câu 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 16 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu S sao cho biểu thức A 2xM yM 2zM đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức B xM yM zM bằng. A. 21 B. 3 C. 5 D. 10 Lời giải Chọn D Ta cĩ A 2xM yM 2zM 2 xM 1 yM 2 2 zM 3 6 22 12 22 x 1 2 y 2 2 z 3 2 6 3.4 6 18 . xM 1 2t xM 1 yM 2 zM 3 Dấu bằng xảy ra khi t 0 yM 2 t , thay vào phương trình 2 1 2 ZM 3 2t 2 2 2 4 11 2 17 S ta được: 4t t 4t 16 t . Do đĩ M ; ; và B xM yM zM 10 . 3 3 3 3 x 1 y 2 z 1 Câu 2. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm I 3;4;0 và đường thẳng : . Phương 1 1 4 trình mặt cầu S cĩ tâm I và cắt tại hai điểm A , B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12 là A. x 3 2 y 4 2 z2 25 B. x 3 2 y 4 2 z2 5 C. x 3 2 y 4 2 z2 5 D. x 3 2 y 4 2 z2 25 Lời giải Chọn D Đường thẳng đi qua điểm M 1;2; 1 và cĩ véc-tơ chỉ phương u 1;1; 4 .    Ta cĩ IM 2; 2; 1 IM ,u 9; 9;0 IM ,u 9 2 .  IM ,u 9 2 Khoảng cách từ I đến đường thẳng là d I, 3 . u 18
13. 2S 2.12 Diện tích tam giác IAB bằng 12 nên AB IAB 8. d I, 3 2 AB 2 2 2 Bán kính mặt cầu S là R d I, 4 3 5 . 2 Phương trình mặt cầu S cần lập là x 3 2 y 4 2 z2 25 . Câu 3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 1 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Gọi S là mặt cầu cĩ tâm I nằm trên mặt phẳng P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho 17 diện tích tam giác OIA bằng . Tính bán kính R của mặt cầu S . 2 A. R 3.B. R 9. C. R 1. D. R 5. Lời giải Chọn A Gọi I a;b;c 1 1 Ta cĩ IA IO R hình chiếu của I lên OA là trung điểm H ;0; của OA . 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 S OIA IH.OA a b c . 1 0 1 2 2 2 2 17 1 1 a2 b2 c2 a c . 2 17 2a2 2b2 2c2 2a 2c 1 2 2 2 2a2 2b2 2c2 2a 2c 16 0 . OI IA 2 2 2 2 2 2 a b c a 1 b c 1 17 2 2 2 Theo bài ra ta cĩ S OIA 2a 2b 2c 2a 2c 16 0 2 a b c 3 0 I P a c 1 0 1 2 2 2 a b c a c 8 0 2 . a b c 3 0 3 a c 1 a 1 c Từ 1 và 3 ta cĩ thế vào 2 ta cĩ b 2 b 2 I 1;2; 2 2 2 c 2 c 1 4 c c 1 c 8 0 OI R 3 . c 1 I 2;2;1
14. 1 3 S : x2 y2 z2 8. Câu 4. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M ; ;0 và mặt cầu Đường thẳng 2 2 d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A và B . Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB. A. S 7 B. S 4 C. S 2 7 D. S 2 2 Lời giải Chọn A Mặt cầu S cĩ tâm O 0;0;0 và bán kính R 2 2 . Vì OM 1 R nên M thuộc miền trong của mặt cầu S . Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB . Đặt x OH , ta cĩ 0 x OM 1, đồng thời HA R2 OH 2 8 x2 . Khi đĩ diện tích tam giác OAB là: 1 S OH.AB OH.HA x 8 x2 . OAB 2 Khảo sát hàm số f (x) x 8 x2 trên 0;1, ta được max f x f 1 7 . 0;1 Vậy giá trị lớn nhất của S OAB 7 , đạt được khi x 1 hay H  M , nĩi cách khác là d  OM . 2 2 2 Câu 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 y 3 z 5 9 và tam giác ABC với A(5;0;0), B(0;3;0), C(4;5;0) . Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC cĩ thể tích lớn nhất. A. M 0;0;3 B. M 2;3;2 C. M 2;3;8 D. M 0;0; 3 Lời giải Chọn C 1 Kẻ MJ  ABC , V .S .MJ M .ABC 3 ABC Để VM .ABC lớn nhất MJ lớn nhất MJ đi qua tâm I của mặt cầu (S) M IJ  S Phương trình mặt phẳng ABC : z 0 x 2 Đường thẳng JI : y 3 M 2;3;5 t z 5 t
15. 2 2 2 M S 2 2 3 3 5 t 5 9 t 3 M 2;3;2 , M1 2;3;8 Do MJ d M1, ABC d M , ABC M1 2;3;8 2 2 2 Câu 6. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 3 z 2 4 . Gọi N x0 ; y0 ; z0 là điểm thuộc S sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Oxz lớn nhất. Giá trị của biểu thức P x0 y0 z0 bằng A. 6 B. 8 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn B Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I 1;3;2 của mặt cầu S và vuơng gĩc với Oxz . x 1 Phương trình tham số của d : y 3 t , t ¡ . z 2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và S suy ra: A 1;5;2 , B 1;1;2 . Ta cĩ: d A; Oxz d B; Oxz . Theo đề bài thì N  A N 1;5;2 x0 y0 z0 8 . Câu 7. Cho mặt phẳng P : 2x 2y 2z 15 0 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2y 2z 1 0. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng P đến một điểm thuộc mặt cầu S là 3 3 3 3 A. . B. 3 . C. . D. 2 2 3 Lời giải Chọn A Mặt cầu S cĩ tâm I 0;1;1 và bán kính R 3. Gọi H là hình chiếu của I trên P và A là giao điểm của IH với S .
16. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng P đến một điểm thuộc mặtcầu S là 3 3 đoạn AH, AH d I, P R . 2 Câu 8. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 2;1;2 và mặt cầu S : x2 y2 z2 2y 2z 7 0 . Mặt phẳng P đi qua A và cắt S theo thiết diện là đường trịn C cĩ diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường trịn C là A. .1 B. . 5 C. . 3 D. 2 . Lời giải Chọn D Mặt cầu S cĩ tâm I 0;1;1 và bán kính R 3 . 2 2 2 Ta cĩ IA 2 0 1 1 2 1 5 3 R nên A nằm trong mặt cầu S . Đặt h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P , r là bán kính đường trịn C . Khi đĩ: h IA 5 và h 5 khi và chỉ khi IA  P . 2 r 2 R2 h2 32 5 4 r 2 . Đường trịn C cĩ diện tích nhỏ nhất nên r 2 . Câu 9.Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 27 . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;0; 4 , B 2;0;0 và cắt S theo giao tuyến là đường trịn C sao cho khối nĩn đỉnh là tâm của S và đáy là là đường trịn C cĩ thể tích lớn nhất. Biết rằng : ax by z c 0 , khi đĩ a b c bằng A. 4 .B. 8 .C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A Mặt cầu S cĩ tâm I 1; 2;3 và bán kính R 3 3 . Vì : ax by z c 0 đi qua hai điểm A 0;0; 4 , B 2;0;0 nên c 4 và a 2 . Suy ra : 2x by z 4 0 .
17. Đặt IH x , với 0 x 3 3 ta cĩ r R2 x2 27 x2 . 1 1 1 Thể tích khối nĩn là V πr 2 IH π 27 x2 x π 27 x2 . 27 x2 .2x2 18π . 3 3 3 2 2 2 Vmax 18π khi 27 x x x 3 . 2b 5 Khi đĩ, d I; 3 2b 5 2 9 b2 5 b 2 . b2 5 Vậy a b c 4 . Câu 10.Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9 và mặt phẳng P :2x 2y z 3 0 . Gọi M a;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến P lớn nhất. Khi đĩ: A. a b c 8 . B. a b c 5 . C. a b c 6 . D. a b c 7 . Lời giải Chọn D Mặt S cầu cĩ tâm I 1;2;3 , R 3 . 2.1 2.2 3 3 4 d I, P R mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trịn 22 2 2 12 3 Gọi M a;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến P lớn nhất. Khi M thuộc đường thẳng vuơng đi qua M và vuơng gĩc với P x 1 2t 2 2 2 : y 2 2t . Thay vào mặt cầu S 2t 2t t 9 9t 2 9 t 1 z 3 t 2.3 2.0 4 3 10 Với t 1 M 3;0;4 d M ; P 22 2 2 12 3 2. 1 2.4 2 3 1 Với t 1 M 1;4;2 d M ; P 22 2 2 12 3 Vậy M 3;0;4 a b c 7 .