Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 39: Tổ hợp. Xác suất (Xác suất của biến cố)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 39: Tổ hợp. Xác suất (Xác suất của biến cố)

1. DẠNG TOÁN 39: TỔ HỢP – XÁC SUẤT(XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Qui tắc đếm :  Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện.  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A B n A n B .  Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. 2. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp.  Hoán vị : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. + Số các hoán vị Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn n! n 1  Chỉnh hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. +Số các chỉnh hợp n! Kí hiệu Ak là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n) . Ta có: Ak 1 k n n n n k !  Tổ hợp : + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. + Số các tổ hợp: n! Kí hiệu C k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n) . Ta có: C k (0 k n) . n n k!(n k)! 3. Tính xác xuất : n A  Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của biến cố A : P A . n   Tính xác suất bằng công thức :
2. + Quy tắc cộng xác suất : * Nếu hai biến cố A,B xung khắc nhau thì P A B P A P B * Nếu các biến cố A1, A2 , A3 ,..., Ak xung khắc nhau thì P A1  A2 ...  Ak P A1 P A2 ... P Ak + Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là: P A 1 P A + Quy tắc nhân xác suất : * Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P AB P A .P B * Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1, A2 , A3 ,..., Ak là độc lập thì P A1, A2 , A3 ,..., Ak P A1 .P A2 ...P Ak II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Mô tả không gian mẫu, biến cố  Mối liên hệ giữa các biến cố  Tính xác suất bằng định nghĩa  Tính xác suất bằng công thức cộng xác suất  Tính xác suất bằng công thức nhân xác suất  Toán tổng hợp về hai công thức xác suất  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng 1 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 6 20 15 5 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính xác suất của biến cố. 2. HƯỚNG GIẢI: Do học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước. Lưu ý: Nếu học sinh lớp C ngồi đầu dãy thì chỉ cần 1 học sinh lớp B ngồi bên cạnh, còn nếu học sinh lớp C không ngồi đầu dãy thì ở cả 2 bên học sinh này đều phải là học sinh lớp B. B1: Xét TH1: học sinh lớp C ngồi đầu dãy. Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp các học sinh còn lại vào dãy ghế. B2: Xét TH2: học sinh lớp C không ngồi đầu dãy. Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp các học sinh còn lại vào dãy ghế. B3: Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp chỗ cho 6 học sinh thỏa mãn để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B.
3. B4: Sử dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Số cách xếp 6 học sinh vào ngồi ở dãy ghế là: 6! cách. Do học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước. TH1: học sinh lớp C ngồi ở vị trí đầu dãy ghế: Có 2 cách. + Chọn 1 học sinh lớp B trong 2 học sinh lớp B xếp cạnh học sinh lớp C: Có 2 cách. + Xếp 3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B còn lại vào 4 ghế trống: Có 4! cách. Vậy có 2.2.4! 96 (cách). TH2: học sinh lớp C không ngồi ở vị trí đầu dãy. Vì học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp 2 học sinh lớp B ngồi 2 bên của học sinh lớp C: Có 2 cách. Coi 3 học sinh này là 1 nhóm cố định. + Xếp 3 học sinh lớp A và nhóm học sinh nói trên vào 6 ghế trống: Có 4! cách. Vậy có 2.4! 48 (cách). Số cách xếp chỗ cho 6 học sinh thỏa mãn để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B là: 96 48 144 (cách). 144 1 Suy ra xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B là: . 6! 5 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 Câu 1. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, , 8. Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là 3 25 1 11 A. . B. . C. . D. . 14 36 2 14 Lời Giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n  8 7 56 . Gọi A là biến cố: “tích nhận được là số lẻ”. n A 4 3 12 . n(A) 56 12 44. n(A) 44 11 xác suất biến cố A : P(A) . n() 56 14
4. Câu 2. Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, , 9. Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là: 5 25 1 13 A. . B. . C. . D. . 9 36 2 18 Lời Giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: n  9 8 72 . Gọi A là biến cố: “tích nhận được là số lẻ”. n A 5 4 20 . n(A) 72 20 52 . n(A) 52 13 xác suất biến cố A : P(A) . n() 72 18 Câu 3. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X 0;1;2;3;4;5;6;7. Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước. 2 11 3 3 A. B. C. D. 7 64 16 32 Chọn C Từ 8 số đã cho có thể lập được : số có3 chữ số. Số cần chọn có dạng abc trong đó a b c . TH1: a b c. Chọn ra 3 số thuộc tập 1;2;3;4;5;6;7 ta được 1 số thỏa mãn. 3 Do đó có C7 35 số. 2 TH2: a b c có C7 số thỏa mãn. 2 TH3: a b c có C7 số thỏa mãn. 1 TH4: a b c có C7 số thỏa mãn. 3 2 1 Vậy có: C7 2C7 C7 84 số thỏa mãn chữ số đứng sau luôn lớn hơn bằng chữ số đứng trước. 84 3 Vậy xác suất cần tìm là: P . 448 16 Câu 4. Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS khối 11 và 6 HS khối 10. Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ. Tính xác suất để 6 HS được chọn có đủ 3 khối. 4248 757 151 850 A. . B. . C. . D. . 5005 5005 1001 1001 Lời giải Chọn D 6 Số phần tử của không gian mẫu n  C15 5005. Gọi A là biến cố: “6 HS được chọn có đủ 3 khối”. Xét các trường hợp của biến cố A
5. 6 6 + Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 11: C11 C6 6 6 + Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 12: C10 C6 6 + Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 11 và 12: C9 6 + Số cách chọn được 6 HS khối 10: C6 6 6 6 6 Vậy n A C11 C10 C9 C6 755 n A 5005 755 4250 4250 850 Vậy xác suất cần tìm là: P A . 5005 1001 Câu 5. Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng: 23 21 139 81 A. . B. . C. . D. 44 44 220 220 Lời giải Chọn C 3 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C12 220 Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”. 2 - Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: C8 28 cách 2 - Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: C3 3 cách 1 2 - Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: C8.C3 24 cách 1 2 - Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: C3.C8 84 cách Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n A 28 3 24 84 139 cách n A 139 Xác suất cần tìm là: P A n  220 Câu 6. Một trường có 50 em học sinh giỏi trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè. Tính xác suất trong 3 em ấy không có cặp anh em sinh đôi. 9 1216 12 1213 A. 1225.B. 1225.C. 1225.D. 1225. Lời giải Chọn A 3 3 Số cách chọn ra 3 học sinh mà không có điều kiện gì là 50 cách ⇒|훺| = 50. Ta sẽ loại trừ các trường hợp có 1 cặp anh em sinh đôi. Đầu tiên ta chọn 1 cặp sinh đôi có 4 cách chọn. Sau đó chọn 1 học sinh còn lại từ 48học sinh, có 48 cách chọn. 3 Vậy số cách chọn 3 em học sinh thỏa yêu cầu đề bài là: 50 ― 4.48 = 19408. |훺 | 19408 1213 Vậy xác suất cần tìm là 푃 = = 3 = . |훺| 50 1225 Câu 7. Một hộp kín có 5 bút bi màu xanh khác nhau và 10 bút bi màu đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 bút bi. Xác suất để lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ là 200 2 3 45 A. . B. . C. . D. . 273 3 4 91 Lời giải Chọn D
6. 3 Số phần tử của không gian mẫu n  C15 . 1 2 Gọi A là biến cố lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ n A C5.C10 . 1 2 C5.C10 45 Xác suất của biến cố A là P A 3 C15 91 Câu 8. Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam và năm bạn nữ ngồi vào chín ghế kê theo hàng ngang. Xác suất để có được năm bạn nữ ngồi cạnh nhau bằng: 5 1 5 5 A. B. . C. . D. 21 2520 126 18 Lời giải Chọn C Ta có: n  9! 362880 1 Gọi biến cố A: “Xếp năm bạn nữ ngồi cạnh nhau” n A C5 5! 4! 14400 n A 14400 5 Khi đó: P A n  362880 126 Câu 9. Cho tập A 1;2;3;4;5;6. Tính xác suất biến cố chọn được số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ tập A, sao cho tổng 3 chữ số bằng 9 . 1 7 9 3 A. . B. .C. D. . 20 20 20 . 20 Lời giải Chọn D Gọi A là biến cố: “ số tự nhiên 3 chữ số khác nhau, có tổng 3 chữ số bằng 9 .“ 3 - Số số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể lập được là: A6 120 . Không gian mẫu:  120 . - Ta có 1 2 6 9;1 3 5 9;2 3 4 9 . Số số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có tổng bằng 9 là:3! 3! 3! 18. n A 18. n A 18 3 P A .  120 20 Câu 10. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp A. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5. 9 1 10 9 A. B. C. D. 41 5 41 50 Lời giải Chọn A Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng abc
7. Vì abc là số tự nhiên chẵn nên c 0, 2, 4, 6, 8 2 TH1: c 0 . Ta có A9 72 số tự nhiên chẵn 2 1 TH2: c 2,4,6,8. Ta có 4 A9 A8 256 số tự nhiên chẵn. Vậy, số phần tử trong tập hợp A là: 328 số tự nhiên chẵn, suy ra  328 Gọi X là biến cố số lấy ngẫu nhiên ra từ A chia hết cho 5, suy ra  A 72  72 9 Vậy, xác suất xảy ra biến cố A là P A A  328 41 Câu 11. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ bằng: 41 40 16 1 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 2 Lời Giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: n() 9 9 8 648. Gọi A là biến cố: “tổng các chữ số là số lẻ ”. Gọi số cần tìm là: abc a,b,c ¥ . Th1: ba chữ số a,b,c đều lẻ có 5 4 3 60 số. Th 2: hai chữ số chẵn một chữ số lẻ có: a chẵn,b chẵn, c lẻ có 4 4 5 80 số. a chẵn,b lẻ, c chẵn có 4 5 4 80 số. a lẻ,b chẵn, c chẵn có 5 5 4 100 số. n(A) 60 80 80 100 320 . n(A) 320 40 xác suất biến cố A : P(A) . n() 648 81 Câu 12. Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5}. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . 1 3 22 2 A. . B. . C. . D. . 30 25 25 25 Lời giải Chọn B 3 4 Số phần tử của tập n S A5 A5 P5 300 Các bộ số có tổng 10: 2,3,5 ; 1,4,5 ;(1,2,3,4)
8. n B 36 3 n B 2P P 36 P B 3 4 n S 300 25 Câu 13. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tích các chữ số là chẵn bằng 41 49 4 98 A. . B. . C. . D. . 81 54 9 135 Lời Giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: n  9 9 8 648 . Gọi A là biến cố: “Số được chọn có tích các chữ số là lẻ” n A 5 4 3 60 . n A 648 60 588. n(A) 588 49 xác suất biến cố A : P A . n() 648 54 Câu 14. Một tập thể có 14 người trong đó có hai bạn tên A và B . Người ta cần chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tính số cách chọn sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa A hoặc B phải có mặt nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ. A. 11088.B. 9504.C. 15048.D. 3003 Lời giải Chọn B 6 Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có C14 cách. 4 Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả A và B , có C12 cách. 6 Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn A và B , có C12 cách. Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt A hoặc B . nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong 6 4 6 tổ là: C14 C12 C12 1584 cách. Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách. Vậy có 1584.6 9504 cách chọn thỏa yêu cầu đề. Câu 15. Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95. A. 6 .B. 7 .C. 5 .D. 4 . Lời giải Chọn A Gọi n là số trận An chơi. Gọi A là biến cố “ An thắng ít nhất 1 trận trong loạt chơi n trận”
9. n A là biến cố “ An thua cả n trận” P A 1 P A 1 0.6 n Ta tìm số nguyên dương n thỏa P A 0.95 0.05 0.6 Vậy n nhỏ nhất bằng 6. An chơi tối thiểu 6 trận. Câu 16. Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người để làm 3 nhiệm vụ khác nhau. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ. 16 8 292 292 A. . B. . C. . D. . 55 55 1080 34650 Lời giải Chọn A 4 4 Không gian mẫu C12.C8 .1 34650 . 1 3 Chỉ có 3 nữ và chia mỗi nhóm có đúng 1 nữ và 3 nam.Nhóm 1 có C3.C9 252 cách. 1 3 Lúc đó còn lại 2 nữ, 6 nam, nhóm thứ 2 có C2.C6 40 cách chọn. Cuối cùng còn 4 người là một nhóm: có 1 cách. 10080 16 Theo quy tắc nhân thì có: 252.40.1 = 10080 cách. Vậy xác suất cần tìm là P = = . 34650 55 Câu 17. Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số 8 14 29 37 A. . B. . C. . D. . 33 33 66 66 Lời giải Chọn D Không gian mẫu là số cách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi. 2 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là  C12 66 . Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.'' ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 16 cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh). ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 12 cách. ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 9 cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là  A 16 12 9 37 .
10.  37 Vậy xác suất cần tính P(A) A .  66 Câu 18. Một nhóm gồm 3 học sinh lớp 10 , 3 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngồi vào một hàng có 9 ghế, mỗi em ngồi 1 ghế. Xác suất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau. 11 1 7 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Lời giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu là số hoán vị của 9 phần tử : n  9! Gọi A là biến cố “ 3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế liền nhau” A là biến cố “ 3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế không liền nhau” Xem 3 học sinh lớp 10 như một khối đoàn kết, xếp khối này với 6 học sinh còn lại ( lớp 11 và lớp 12) ta có 7! cách xếp, sau đó hoán đổi vị trí 3 học sinh lớp 10 cho nhau ta lại có 3! cách xếp. Vậy số biến cố thuận lợi n A 7!.3! n A 1 Xác suất của biến cố A là P A . n  12 11 Vậy xác suất cần tìm P A 1 P A . 12 Câu 19. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên. 436 463 436 463 A. .B. . C. .D. . 410 410 104 104 Lời giải Chọn A Thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu có 4 cách chọn một phương án nên ta có 410 cách để hoàn thành bài kiểm tra n  410 . Gọi A là biến cố thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên. 2 2 Trường hợp 1: Thí sinh làm sai 2 câu, có C10.3 cách. 1 Trường hợp 2: Thí sinh làm sai 1 câu, có C10.3 cách. Trường hợp 3: Thí sinh làm đúng cả 10 câu, có 1 cách. 2 2 1 n A C10.3 C10.3 1 436 n A 436 Vậy xác suất để thí sinh đạt từ 8,0 điểm trở lên là P A . n  410 Câu 20. Cho đa giác đều 20 cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều. Xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều bằng 3 7 7 5 A. . B. . C. . D. . 38 114 57 114 Lời giải Chọn C
11. 3 Đa giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh có C20 cách. Để 3 đỉnh là 3 đỉnh một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều thực hiện theo các bước: Lấy một đường kính qua tâm đường tròn có 10 cách ta được 2 đỉnh. Chọn đỉnh còn lại trong 20 2 4 14 đỉnh (loại đi 2 đỉnh thuộc đường kính và 4 đỉnh gần ngay đường kính đó) cách. Vậy có tất cả 10 14 140 tam giác thoả mãn. 140 7 Xác suất cần tính bằng 3 . C20 57  Mức độ 4 Câu 1. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là 118 460 119 272 A. .B. .C. .D. . 429 1001 429 1001 Lời giải Chọn A Gọi A là biến cố: “ 5 bút được chọn có đúng hai màu”. 5 Ta có n  C15 . Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp: TH1: Có đúng hai màu xanh và đen: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có C9 cách chọn. 5 5 - Trong C9 cách chọn 5 bút trên, có C5 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và không có cách chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh. 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng C9 C5 . TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C11 cách chọn.
12. 5 5 5 - Trong C11 cách chọn 5 bút trên, có C5 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và C6 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ. 5 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và đen bằng C11 C5 C6 . TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C10 cách chọn. 5 5 - Trong C10 cách chọn 5 bút trên, có C6 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ và không có cách chọn cả 5 bút đều màu xanh. 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng C10 C6 . 5 5 5 5 5 5 5 C9 C5 C11 C5 C6 C10 C6 118 Vậy P A 5 . C15 429 Câu 2. Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút. Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là 118 460 119 272 A. .B. .C. .D. . 429 1001 429 1001 Lời giải Chọn A Gọi A là biến cố: “ 5 bút được chọn có đúng hai màu”. 5 Ta có n  C15 . Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp: TH1: Có đúng hai màu xanh và đen: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có C9 cách chọn. 5 5 - Trong C9 cách chọn 5 bút trên, có C5 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và không có cách chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh. 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng C9 C5 . TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có C11 cách chọn. 5 5 5 - Trong C11 cách chọn 5 bút trên, có C5 cách chọn cả 5 bút đều màu đen và C6 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ. 5 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và đen bằng C11 C5 C6 . TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh: 5 - Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có C10 cách chọn.
13. 5 5 - Trong C10 cách chọn 5 bút trên, có C6 cách chọn cả 5 bút đều màu đỏ và không có cách chọn cả 5 bút đều màu xanh. 5 5 Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng C10 C6 . 5 5 5 5 5 5 5 C9 C5 C11 C5 C6 C10 C6 118 Vậy P A 5 . C15 429 Câu 3. Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 . Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng 3 3 1 1 1 1 2C3 C4 C3C3C4 A. . B. 3 . 3 C10 3 3 1 1 1 2C3 C4 2C3C3C4 C. 3 . D. 3 . C10 C10 Lời giải Chọn B 3 Số cách rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi có 10 thẻ là: C10 cách. Trong các số từ 1 đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho 3 dư 1, ba số chia cho 3 dư 2 . Để tổng các số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 thì ba thẻ đó phải có số được ghi thỏa mãn: - Ba số đều chia hết cho 3. - Ba số đều chia cho 3 dư 1. - Ba số đều chia cho 3 dư 2 . - Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2 . Do đó số cách rút để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 là 3 3 3 1 1 1 C3 C4 C3 C3C4C3 cách. 3 3 1 1 1 2C3 C4 C3C3C4 Vậy xác suất cần tìm là: 3 . C10 Câu 4. Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50 . Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 . 11 1 9 409 A. .B. .C. .D. . 171 12 89 1225 Lời giải Chọn D 3 Số phần tử không gian mẫu:  C50 19600 . Gọi A là tập các thẻ đánh số a sao cho 1 a 50 và a chia hết cho 3 . A 3;6;...; 48 A 16
14. Gọi B là tập các thẻ đánh số b sao cho 1 b 50 và b chia 3 dư 1. B 1; 4;...; 49 B 17 Gọi C là tập các thẻ đánh số c sao cho 1 c 50 và c chia 3 dư 2 . C 2;5;...;59 C 17 . Với D là biến cố: “Rút ngẫu nhiên 3 thẻ được đánh số từ 1 đến 50 sao cho tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3 ”. Ta có 4 trường hợp xảy ra: 3 ￿Trường hợp 1: Rút 3 thẻ từ A : Có C16 (cách). 3 ￿Trường hợp 2: Rút 3 thẻ từ B : Có C17 (cách). 3 C 3 ￿Trường hợp 3: Rút thẻ từ : Có C17 (cách). ￿Trường hợp 4: Rút mỗi tập 1 thẻ: Có 16.17.17 4624 (cách). 3 3 Suy ra D 2.C17 C16 4624 6544 . D 6544 409 Vậy xác suất cần tìm P .  19600 1225 Câu 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau đôi một. Xác suất để số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau? 2 8 85 58 A. . B. C. .D. . 75 147 567 567 Lời Giải Chọn C 4 Số phần tử của không gian mẫu là n  9.A9 . Gọi A là biến cố: “Số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau”. 3 2 Có C5 cách chọn 3 chữ số chẵn, có A5 cách chọn 2 chữ số lẻ và xếp chúng kề nhau, có 4! Cách 3 2 xếp sao cho 2 chữ số lẻ đứng kề nhau. Suy ra có C5 .A5 .4! cách xếp thoả mãn (kể cả chữ số 0 đứng đầu). 2 Ta tính số các số thoả mãn đề mà có số chữ số 0 đứng đầu, ta xét 4 chữ số cuối: Có C4 cách 2 chọn 2 chữ số trong 4 chữ số chẵn, có C5 cách chọn 2 chữ số lẻ, coi 2 chữ số lẻ là một nhóm ta 2 2 có số các số là C4 .C5 .2!.3!. 3 2 2 2 Suy ra số các số thoả mãn đề bài là: n A C5 .A5 .4! C4 .C5 .2!.3! 4080 . n A 4080 85 P A 4 . n  9.A9 567 Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 13 14 1 365 A. B. C. D. 27 27 2 729 Lời giải Chọn A
15. Gọi A là tập tất cả các số nguyên dương đầu tiên, A 1; 2; 3;......; 26; 27 2 Chọn hai số khác nhau từ A có: n Ω C27 351. Tổng hai số là số chẵn khi cả hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ. Do đó: 2 Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập A có: C13 78 2 Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập A có: C14 91 Số cách chọn là: 78 91 169 169 13 Xác suất cần tìm là: P 351 27 Câu 7. Cho tập hợp A 1;2;...;100. Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử của A. Xác suất để 3 phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 132 66 33 11 Lời giải Chọn B 3 Chọn ngẫu nhiên 3 phần tử từ tập A Không gian mẫu là  C100 . Gọi biến cố A:“Ba phần tử được chọn lập thành một cấp số cộng”. Cách 1. Giả sử 3 phần tử đó là x; x d; x 2d với x,d ¥ . 99 Với x 1 thì ta có x 2d 100 d d 1;2;...;49 có 49 bộ ba số thỏa mãn. 2 98 Với x 2 thì ta có x 2d 100 d d 1;2;...;49 có 49 bộ ba số thỏa mãn. 2 97 Với x 3 thì ta có x 2d 100 d d 1;2;...;48 có 48 bộ ba số thỏa mãn. 2 3 Với x 97 thì ta có x 2d 100 d d 1 có 1 bộ ba số thỏa mãn. 2 Với x 98 thì ta có x 2d 100 d 1 d 1 có 1 bộ ba số thỏa mãn. 1 Với x 99 thì ta có x 2d 100 d d  không có bộ ba số thỏa mãn. 2 49 49 1 Do đó ta thấy có tất cả 2 49 48 47 ... 2 1 2. 2450 bộ ba số thỏa mãn. 2 Cách 2. Giả sử 3 phần tử đó là a;b;c với a, b, c A . Trong tập A có 50 số lẻ, 50 số chẵn. Do a,b, c lập thành một CSC nên a c 2b là một số chẵn. Do đó hai số a,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Đồng thời ứng với 1 cách chọn hai số a,c thì xác định được duy nhất 1 số b . 2 2 Tổng số bộ ba số a,b, c là C50 C50 2450 (bộ ba).
16. 2450 1 Vậy xác suất của biến cố A là P 3 . C100 66 Câu 8. Cho tập hợp S 1;2;3;4;.....;17 gồm 17 số . Chọn ngẫu nhiên một tập con có ba phần tử của tập S . Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3. 27 23 9 9 A. . B. .C. .D. . 34 68 34 12 Lời giải Chọn B Tập hợp các số từ tập S chia hết cho 3là 3;6;9;12;15. Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 1 là 1;4;7;10;13;16. Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17 . 3 *) TH1: Ba số lấy từ tập S đều chia hết cho 3: Có C5 cách chọn. 3 *) TH2: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 1: Có C6 cách chọn. 3 *) TH3: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 2: Có C6 cách chọn. 1 1 1 *) TH4: Một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2: Có C5.C6.C6 cách chọn. Vậy số phần tử của biến cố A : “ Chọn được ba số có tổng chia hết cho 3” là : 3 3 3 1 1 1 n A C5 C6 C6 C5.C6.C6 230 . 3 Số phần tử không gian mẫu là n  C17 . 230 23 Xác suất của biến cố A là P A 3 . C17 68 Câu 9. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a1a2a3a4a5a6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 a2 a3 a4 a5 a6. 35 37 37 74 A. B. .C. .D. . 34020 34020 3402 34020 Lời giải Chọn B Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn 5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 ”. Khi đó: n M 9.A9 (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì a1 5 có chín cách chọn, a2a3a4a5a6 là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có A9 ). 5 TH1: a6 0 thì a1a2a3a4a5 có C9 cách chọn. 5 TH2: a6 2thì a1a2a3a4a5 có C7 cách chọn. 5 TH3: a6 4thì a1a2a3a4a5 có C5 cách chọn.
17. 5 5 5 n A C9 C7 C5 148 n A 148 37 Do đó P A 5 . n  9.A9 34020 Câu 10. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ bằng 41 40 41 16 A. . B. . C. . D. . 81 81 648 81 Lời giải Chọn B Số phần tử của không gian mẫu n() 9.9.8 648 A: “Số được chọn có tổng các chữ số là số lẻ” Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số lẻ 3 Số cách chọn ra và sắp xếp ba chữ số lẻ là A5 . Trường hợp 2: Số được chọn gồm có 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ. 2 1 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số là số lẻ là C5 .C5 .3! 1 1 Số cách chọn ra và sắp xếp 2 chữ số là số chẵn và 1 chữ số lẻ có số 0 đứng đầu là C4 .C5 .2! 2 1 1 1 Vậy nên số số thỏa biến cố A là: C5 .C5 .3! C4 .C5 .2! 260 . Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) 60 260 320 n(A) 320 40 Vậy P(A) . n() 648 81 Câu 11. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S . Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn a b c . 1 11 13 9 A. .B. . C. . D. . 6 60 60 11 Lời giải Chọn B Số phần tử của không gian mẫu n  9.102 900 . Gọi biến cố A :“Chọn được một số thỏa mãn a b c ”. Vì a b c mà a 0 nên trong các chữ số sẽ không có số 0 . Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số.
18. Trường hợp 2: Số được chọn tạo bởi hai chữ số khác nhau. 2 Số cách chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: C9 . Mỗi bộ 2 chữ số được chọn tạo ra 2 số thỏa mãn yêu cầu. 2 Vậy có 2.C9 số thỏa mãn. Trường hợp 3: Số được chọn tạo bởi ba chữ số khác nhau. 3 Số cách chọn ra 3 chữ số khác nhau từ 9 chữ số trên là: C9 . Mỗi bộ 3 chữ số được chọn chỉ tạo ra một số thỏa mãn yêu cầu. 3 Vậy có C9 số thỏa mãn. 2 3 Vậy n A 9 2.C9 C9 165 n A 165 11 Xác suất của biến cố A là: P A . n  900 60 Câu 12. Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1, có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng 176400 151200 5 201600 A. . B. . C. . D. . 98 98 9 98 Lời giải Chọn D Ta có: n() 98. TH1: Xếp bất kỳ Xếp hai chữ số 1, hai chữ số 2 bất kỳ và 4 chữ số còn lại: Có C 2.C 2.A4 352.800 (cách). 8 6 7 TH2: Số các cách xếp sao cho không thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 4 Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: 7.C6 .A7 cách. 2 4 Xếp hai chữ số 2 đứng liền nhau: 7.C6 .A7 cách. Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên: + Coi hai chữ số 1 đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y 4 + Xếp X, Y và 4 số còn lại có: C7 .6! (cách) 2 4 4 Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là: 2.7.C6 .A7 C7 .6! 151200 (cách) 201600 Vậy n(A) 352.800 151.200 201.600 p(A) 98
19. Câu 13. Cho tập A 0;1;2;3;4;5;6;7 , gọi S là tập hợp các số có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , xác suất để số được chọn có tổng 4 chữa số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối bằng 3 4 12 1 A. . B. . C. . D. . 35 35 245 10 Lời giải Chọn B 7.8 Tổng các chữ số của tập S là T 28 2 Ta chia tập S thành hai tập B, C mỗi tập 4 phần tử sao cho tổng các phần tử của B, C đều bằng 14 và BC  Suy ra: B C 0;1;6;7 2;3;4;5 0;2;5;7 1;3;4;6 0;3;4;7 1;2;5;6 0;3;5;6 1;2;4;7 Số các số có 8 chữ số lập từ tập S là 7.7! Gọi a1a2....a8 là số có 8 chữ số thỏa mãn đề bài. TH1 a1a2a3a4 lấy từ các chữ số từ tập C khi đó có: 4.4!.4! số thỏa mãn. TH2 a1a2a3a4 lấy từ các chữ số từ tập B khi đó có: 4.3.3!.4! số thỏa mãn. Vậy có 4.4!.4! 4.3!.4! 4.4! 3! 4! số Xác suất để số được chọn có tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối là 4.4! 3.3! 4! 4 P 7.7! 35 Câu 14. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 41 25 10 25 A. .B. .C. .D. . 81 81 27 1944 Lời giải Chọn B 5 Ta có không gian mẫu n  9A9 136080 . Gọi biến cố A : “Số được chọn có mặt chữ số 0 và 1”. Số cần tìm có dạng là: abcdef a 0 .
20. ▪ Trường hợp 1: a 1. Khi đó số 0 có 5 cách chọn vị trí. 4 Các chữ số còn lại có A8 cách chọn. 4 Vậy có 5.A8 8400 số. ▪ Trường hợp 2: a 1. Khi đó số 1 có 5 cách chọn vị trí. Số 0 có 4 cách chọn vị trí. 4 Các chữ số còn lại có A8 cách chọn. 4 Vậy có 5.4.A8 33600 . Do đó n A 8400 33600 42000. n A 42000 25 Xác suất để số được chọn có mặt chữ số 0 và 1 là P A . n  136080 81 Câu 15. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 8, 9. Tính xác suất để chọn được số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102. 83 119 31 119 A. . B. .C. . D. . 120 180 45 200 Lời giải Chọn C Giả sử số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd . Ta có n  6.6.5.4 720 . Gọi A là biến cố: “Số được chọn số lớn hơn số 2019 và bé hơn số 9102”. Tính n A : TH1: a 2, b 0, c 3, d tuỳ ý khác a,b,c suy ra có 1.1.4.4 16 số. TH2: a 2,b 0 có 1.5.5.4 100 số. TH3: a 3;4;8 , b;c;d khác nhau và khác a , có 3.6.5.4 360 số. TH4: a 9;b 0 , c;d khác nhau và khác a;b có 1.1.5.4 20 số. Suy ra n A 16 360 100 20 496 . n A 31 Vậy P A . n  45