Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 50: Phương trình mũ - Logarit

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 50: Phương trình mũ - Logarit

1. DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: x ⬥Phương trình logarit cơ bản: loga x = b Û a = b với 0 < a ¹ 1. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa 2 2 mãn log3 (x + y)= log4 (x + y ) A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán liên quan đến giải phương trình logarit. . 2. HƯỚNG GIẢI: 2 2 B1:Đặt log3 (x + y)= log4 (x + y )= t . Điều kiện: x + y > 0 . B2:Tính tổng S = x + y và tích P = xy . Để tồn tại cả x, y thì S2 ³ 4P , suy ra điều kiện t . B3: Với điều kiện đó, tìm những giá trị x nguyên thỏa mãn. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 2 2 Đặt log3 (x + y)= log4 (x + y )= t . Điều kiện: x + y > 0 . t t ïì x + y = 3 ïì + = t ïì x + y = 3 ï t t ï x y 3 ï ï t 9 - 4 Suy ra í Û í Û í t t nên S = 3 và P = . ï 2 2 t ï 2 t ï 9 - 4 îï x + y = 4 ï (x + y) - 2xy = 4 ï xy = 2 îï îï 2 æ t t ö æ öt 2 2 t ç9 - 4 ÷ t t ç9÷ Để tồn tại x, y thì S ³ 4P Û (x + y) ³ 4xy nên 9 ³ 4ç ÷Û 9 £ 2.4 Û ç ÷ £ 2 . èç 2 ø÷ èç4ø÷ Khi đó t £ log 9 2 . 4 log 9 2 2 2 2 2 4 Ta có: log4 (x + y )= t £ log 9 2 Û x + y £ 4 » 3,27 . 4 Mặt khác x là số nguyên nên x = - 1; x = 0, x = 1.
2. Thử lại: y 3t 1 t 0 Với x 1 ta có x2 y2 5 . Suy ra loại x 1. 2 t y 1 4 1 y 2 y 3t t 0 Với x 0 ta có . Suy ra nhận x 0 . 2 t y 4 y 1 y 3t 1 t 0 Với x 1 ta có . Suy ra nhận x 1. 2 t y 4 1 y 2 Vậy có hai giá trị nguyên của x thỏa yêu cầu bài toán là x 0 và x 1. Bài tập tương tự và phát triển: 4a 2b 5 Câu 1. Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn log5 a 3b 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất a b của biểu thức T a2 b2 . 1 3 5 A. . B. 1. C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D 4a 2b 5 log5 a 3b 4 log5 4a 2b 5 log5 a b a 3b 4 a b log5 4a 2b 5 4a 2b 5 log5 5 a b 5 a b (*). Xét hàm f x log5 x x, x 0 . 1 Đạo hàm f x 1 0,x 0. Suy ra hàm số f x đồng biến trên 0; . x.ln5 Phương trình (*) viết lại: f 4a 2b 5 f 5 a b 4a 2b 5 5 a b a 3b 5 . 2 5 Mặt khác: 52 a 3b 12 32 . a2 b2 T a2 b2 . 2 a b 1 3 Dấu " " xảy ra a ;b . 1 3 2 2 2x y 1 Câu 2. Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn log x 2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 x y 1 2 thức T x y
3. A. 3 3 B. 4 C. 3 2 3 D. 6 Lời giải Chọn B 2x y 1 Ta có log x 2y log 2x y 1 log x y x 2y 3 x y 3 3 log3 2x y 1 log3 3x 3y x 2y 1 log3 2x y 1 2x y 1 log3 3x 3y 3x 3y (*) Xét hàm số f t log3 t t với t 0 . 1 Khi đó f t 1 0,t 0 , suy ra hàm số f t liên tục và đồng biến trên 0; t ln 3 . Do đó * 2x y 1 3x 3y x 2y 1 x 1 2y . 1 Vì x, y 0 0 y . 2 1 2 1 2 1 1 1 Xét T x y 1 2y y 1 2y y y 1 2 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có T 3.3 3.3 3. 8 6 . y 1 2y 2y 1 2y 1 x 1 2y x 2 Dấu " " xảy ra 1 2y y . 1 2y 1 2y y 4 x y z Câu 3 . Cho các số thực x, y, z thỏa mãn log x x 2 y y 2 z z 2 . Tổng 16 2 2 2 2x 2y 2z 1 x y z giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F bằng x y z 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Điều kiện: x y x 0 . x y z Ta có: log x x 2 y y 2 z z 2 . 16 2 2 2 2x 2y 2z 1 2log 4 x y z 4 x y z 2log 2x2 2y2 2z2 1 2x2 2y2 2z2 1 1 . 16 16 2 Xét hàm số f t 2log t t trên 0; . Có: f t 1 0;t 0; . 16 t ln16
4. Vậy hàm số f t 2log16 t t đồng biến trên 0; . 1 Từ đó suy ra: 2x2 2y2 2z2 1 4 x y z S : x2 y2 z2 2x 2y 2z 0 . 2 x y z F F x y z x y z P : F 1 x F 1 y F 1 z 0 . x y z Mặt phẳng P và mặt cầu S có điểm chung nên: 3F 1 5 d(I;(P)) R 3F 2 2F 13 0 . F 1 2 F 1 2 F 1 2 2 1 2 10 1 2 10 2 F min F max F . 3 3 3 Câu 4. Có tất cả bao giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 1999;2050 để 2017 a a 1 2017 1 2 a 2 2017 . 2 2 A. 29 B. 33 . C. 34 D. 32 Lời giải Chọn B 2017 a a 1 2017 1 Ta có: 2 a 2 2017 2 2 2017ln 2a 2 a a ln 22017 2 2017 ln 2a 2 a ln 22017 2 2017 . a 2017 ln 2x 2 x Xét hàm số f x . Tập xác định D ¡ \ 0 . x 2x 2 x ln 2 2x 2 x ln 2x 2 x f x . x2 2x 2 x Vì : ln 2 ln 2x 2 x và 0 2x 2 x 2x 2 x ( Do x 1999;2050 ) Suy ra f ' x 0 f x nghịch biến. ln 2a 2 a ln 22017 2 2017 Do đó: . a 2017
5. a 2017 . Vậy có: 33 giá trị của a Câu 5. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x; y thỏa mãn 2 2 2 log 2 2 4x 4y 6 m 1 và x y 2x 4y 1 0 . x y 2 A. S 5; 1;1;5 . B. S 1;1. C. S 5;5 . D. S 7 5; 1;1;5;7. Lời giải Chọn B y 2 m I J -3 -1 O 1 2 x Nhận thấy x2 y2 2 1 với mọi x, y ¡ nên: 2 2 2 2 log 2 2 4x 4y 6 m 1 4x 4y 6 m x y 2 x y 2 2 2 x2 y2 4x 4y 8 m2 0 x 2 y 2 m2 (*). x 2 Khi m 0 thì (*) . Cặp 2; 2 không là nghiệm của phương trình y 2 x2 y2 2x 4y 1 0 . Khi m 0 , tập hợp các điểm x; y thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J 2;2 , bán kính là m . Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường tròn tâm I 1;2 , bán kính 2 và hình tròn tâm J 2;2 , bán kính m có đúng một điểm chung (hình vẽ) Điều này xảy ra khi m 1 m 1 (thỏa mãn m 0 ). Vậy S 1;1. Câu 6.. Giả sử a;b là các số thực sao cho: x3 y3 a 103z b102z đúng với mọi các số thực dương z; y; z thỏa mãn: log x y z và log x2 y2 z 1. Giá trị của a b là: 31 29 31 25 A. .B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B
6. Đặt t 10z . Khi đó: x3 y3 a.t3 b.t 2 . log x y z x y 10z t t 2 10.t Ta có: xy . 2 2 2 2 z log x y z 1 x y 10.10 10t 2 2 3 3t t 10t 1 Khi đó: x3 y3 x y 3xy x y t3 t3 15t 2 . 2 2 1 Suy ra: a và b 15 . 2 29 Vậy a b . 2 Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn 0 x 2020 và y log4 512x 768 2x 1 2y 16 ? A. 2019 B. 0 C. 2020 D. 1 Lời giải Chọn B Ta có: y log4 512x 768 2x 1 2y 16 2 y log4 256 2x 3 2x 1 2y 4 2 y log4 2x 3 2x 3 2y 4 . Xét hàm số f t t 4t trên ¡ . f ' t 1 4t ln 4 0,x ¡ . Suy ra hàm số đồng biến trên ¡ . 16 y 3 Khi đó: log 2x 3 2y 2x 3 16 y x . 4 2 16 y 3 Vì: 0 x 2020 0 2020 3 16 y 4043 log 3 y log 4043 . 2 16 16 Mà y ¢ y 1;2. 13 Với y 1 x l . 2 253 Với y 2 x l . 2
7. Vậy không có cặp số x; y thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 8. Cho hai số thực a;b thỏa mãn: log a b 1 và a2 b2 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức a2 b2 P 2a 4b 3 là: 10 A. 10 B. 2 1 C. D. 2 10 10 Lời giải Chọn B Do a2 b2 1 nên log a b 1. a2 b2 a2 a b2 b 0 . 2 2 1 1 1 a b . 2 2 2 1 1 Ta có: P 2a 4b 3 2 a 4 b . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 P 2 4 a b 10 . 2 2 Suy ra: 10 P 10 . 2 2 Câu 9. Cho log8 x log4 y 5 và log8 y log4 x 7 . Tìm giá trị của biểu thức P x y . A. P 56. B. P 16. C. P 8 . D. P 64 . Lời giải Chọn A Ta có: 1 1 log x log y2 5 log x log y2 5 . 8 4 3 2 2 2 3 3 3 3 5 5 15 log2 x log2 y 5 x . y 2 x . y 2 2 1 . 2 3 21 Tương tự: log8 y log4 x 7 y . x 2 2 . Lấy 1 nhân 2 được x4.y4 236 x2.y2 218 3 . y2 1 Lấy 1 chia 2 được x2 26.y2 4 . x2 26
8. 4 Thay 4 vào 3 được 26.y4 218 y4 212 23 y 23 8. 2 Thay y 8 vào 4 được x2 26.64 26 x 26 64 . Do đó P x y 56 . ì x- y y ï 2 - 2 + x = 2y Câu 10. Cho hệ phương trình íï (1), m là tham số. Gọi S là tập các giá trị ï 2x + 1= m2 + 2 .2y. 1- y2 îï ( ) m nguyên để hệ (1) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử? A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B Điều kiện y £ 1Û y Î [- 1;1]. Từ phương trình thứ nhất của hệ (1) ta có 2x- y + (x- y)= 2y + y (2). Xét hàm số y = f (t)= 2t + t với t Î ¡ . Dễ thấy y¢= 2t.ln 2+ 1> 0 với mọi t Î ¡ nên hàm số y = f (t) đồng biến trên ¡ . Do đó phương trình (2) tương đương với x- y = y Û x = 2y . Thay x = 2y vào phương trình thứ hai của hệ (1) ta được 4y + 1= (m2 + 2).2y. 1- y2 (3). Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải có nghiệm duy nhất y Î [- 1;1]. y0 2 y0 2 Giả sử y0 Î [- 1;1] là một nghiệm của (3) thì 4 + 1= (m + 2).2 . 1- y0 . 2 - y0 2 - y0 y0 2 y0 2 Khi đó 4 + 1= (m + 2).2 . 1- (- y0 ) Û 4 + 1= (m + 2).2 . 1- y0 nên - y0 cũng là nghiệm của (3). Suy ra y0 = - y0 Û y0 = 0 . Thay y = 0 vào (3) ta được m = 0 . 1 Thử lại: với m = 0 thì (3) viết thành 4y + 1= 2.2y. 1- y2 Û 2y + = 2 1- y2 (4). 2y 1 Ta có VT (4)³ 2 , dấu bằng khi 2y = Û y = 0 ; VP(4)£ 2, dấu bằng khi y = 0 . 2y Suy ra phương trình (4) có nghiệm duy nhất là y = 0 . Vậy m = 0 thỏa mãn. log (2x y) 1 Câu 11. Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình x2 2 y2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2x y bằng: 9 9 9 A. .B. . C. . D.9. 4 2 8 Lời giải Chọn B x2 2y2 1 0 x2 2y2 1 Bất PT log 2 2 (2x y) 1 (I), (II) . x 2 y 2 2 2 2 2x y x 2y 0 2x y x 2y Xét T= 2x y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 T 2x y x2 2y2 1
9. 1 9 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x2 2y2 2x y (x 1)2 ( 2y )2 . Khi đó 2 2 8 1 1 9 2 1 2 1 2 9 2x y 2(x 1) ( 2y ) (2 ) (x 1) ( 2y ) 2 2 2 4 2 2 2 4 9 9 9 9 . 2 8 4 2 9 1 Suy ra : maxT (x; y) (2; ) 2 2 BÌNH LUẬN y log b - Sử dụng tính chất của hàm số logarit a đồng biến nếu a 1 nghịch biến nếu 0 a 1 a 1 g x 0 f x g x log f x log g x a a 0 a 1 f x 0 f x g x 2 2 2 2 - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai bộ số a;b , x; y thì ax by a b x y a b Dấu “=” xảy ra khi 0 x y Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số x; y thỏa mãn 3x 5 y x 3 y 1 2 2 e e 1 2x 2y , đồng thời thỏa mãn log3 3x 2y 1 m 6 log3 x m 9 0 A. 6 . B. 5 . C. 8 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có: e3x 5 y ex 3 y 1 1 2x 2y e3x 5 y 3x 5y ex 3 y 1 x 3y 1 . Xét hàm số f t et t trên ¡ . Ta có f t et 1 0 nên hàm số đồng biến trên ¡ . Do đó phương trình có dạng: f 3x 5y f x 3y 1 3x 5y x 3y 1 2y 1 2x . 2 2 Thế vào phương trình còn lại ta được: log3 x m 6 log3 x m 9 0 . 2 2 Đặt t log3 x , phương trình có dạng: t m 6 t m 9 0 . Để phương trình có nghiệm thì 0 3m2 12m 0 0 m 4 . Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn. 2 2 2 x + 2017 Câu 13. Có bao nhiêu cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 2016 y - x = ; y2 + 2017 3log3 (x + 2y + 6) = 2log2 (x + y + 2) + 1 A. 2 B. 1
10. C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A ì 2 ï y2 - x2 x + 2017 ï 2016 = (1) Ta có íï y2 + 2017 . ï ï 3log (x + 2y + 6) = 2log (x + y + 2) + 1 2 îï 3 2 ( ) ïì x + 2y + 6 > 0 Điều kiện íï . îï x + y + 2 > 0 2 2 2 x + 2017 (1)Û log 2016 y - x = log 2016 2016 y2 + 2017 2 2 2 2 Û y - x = log2016 (x + 2017)- log2016 (y + 2017) . 2 2 2 2 Û y + log2016 (y + 2017)= x + log2016 (x + 2017)(3) 2 2 Xét hàm số f (t)= t + log2016 (t + 2017) trên [0,+ ¥ ). Ta có. 2t f ¢(t)= 2t + ³ 0, " t Î [0,+ ¥ ). (t 2 + 2017)ln 2016 Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [0,+ ¥ ). éy = x Do đó (3)Û y2 = x2 Û ê . ëêy = - x Với y = x thay vào phương trình (2) ta được. 3log3 (3x + 6)= 2log2 (2x + 2)+ 1 . Û 3é1+ log x + 2 ù= 2 é1+ log x + 1 ù+ 1Û 3log x + 2 = 2log x + 1 ë 3 ( )û ë 2 ( )û 3 ( ) 2 ( ). t t ïì ïì 3 ïì t = 3log x + 2 ï 3 ï x + 2 = 3 (4) ï 3 ( ) ï x + 2 = 3 ï ( ) Đặt í Þ íï Û íï . ï t = 2log (x + 1) ï t ï t îï 2 ï 2 ï x + 1= 2 (5) îï x + 1= 2 îï ( ) t t t t æ ö æ ö 3 2 ÷ 1 Lấy (5) thay vào (4), ta được 2 + 1= 3 Û ç ÷ + ç ÷ = 1Þ phương trình có ( ) ( ) ç 3 ÷ ç 3 ÷ èç 3 ø÷ èç 3ø÷ nghiệm duy nhất t = 6 . Suy ra phương trình có nghiệm x = 7 . Suy ra nghiệm của hệ phương trình là (7;7). Với y = - x thay vào phương trình (2) ta được. 3log3 (y + 6)= 3 Û log3 (y + 6)= 1Þ y = - 3, x = 3. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (3;- 3), (7;7). x y Câu 14. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x2 y 2y2 x 9xy 27 A. P .B. P 18. C. P 27 .D. P 12 . max 2 max max max
11. Lời giải Chọn B Ta có 4 2x 2 y 2 2x y 4 2x y x y 2 . 2 x y Suy ra xy 1. 2 Khi đó P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy . P 2 x y x y 2 3xy 2xy 2 10xy 4 4 3xy 4x2 y2 10xy 16 2x2 y2 2xy xy 1 18 Vậy Pmax 18khi x y 1. Câu 15. Xét các số thực x , y x 0 thỏa mãn 1 2018x 3 y 2018xy 1 x 1 2018 xy 1 y x 3 . 2018x 3 y Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. m 0;1 . B. m 1;2 . C. m 2;3 . D. m 1;0 . Lời giải Chọn D 1 Ta có 2018x 3 y 2018xy 1 x 1 2018 xy 1 y x 3 2018x 3 y 2018x 3 y 2018 x 3 y x 3y 2018 xy 1 2018xy 1 xy 1 f x 3y f xy 1 1 Xét hàm số f t 2018t 2018 t t , với t ¡ ta có f t 2018t ln 2018 2018 t ln 2018 1 0 , t ¡ . Do đó f t đồng biến trên ¡ nên 1 x 3y xy 1 x 1 2 x 1 y x 3 x 1 y T x . x 3 x 3 2 x 1 Xét hàm số f x x , với x 0; có x 3 4 x2 6x 5 f x 1 2 0 , x 0; . x 3 2 x 3 2 Do đó f x đồng biến trên 0; f x f 0 . 3 2 Dấu “ ” xảy ra x 0 m . 3  Mức độ 4
12. 2 2 Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 22x y 3x y ? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải Chọn B 2 2 2x2 y2 x y 2x y log t Đặt 2 3 t , suy ra 2 . x y log3 t 2 2 1 1 2 2 Ta có x y . 2x 1.y 1 2x y nên suy ra: 2 2 3 3 3 log2 t log t log 3.log t log t log 3 2,74 . 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 Do đó 2x y log2 t log2 3.log3 t 3,7 . Mà x ¢ nên x 1;0;1 . 2 y log2 t log2 3.log3 t 2 y 0 + Với x 0 , ta có , suy ra y y.log2 3 . y log 3 y log3 t 2 2 2 y log2 t log2 3.log3 t + với x 1, ta có , suy ra 1 y log3 t 2 2 2 y log2 3. 1 y y log2 3.y 2 log2 3 0 phương trình có nghiệm. 2 2 y log2 t log2 3.log3 t + Với x 1, ta có , suy ra 1 y log3 t 2 2 2 y log2 3. 1 y y log2 3.y 2 log2 3 0 phương trình vô nghiệm. 2 2 Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn log3 x 2y log2 x y ? A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số. Lời giải Chọn B x 2y 3t Đặt log x 2y log x2 y2 t (*) 3 2 2 2 t x y 2 t 2 2 2 2 2 t t 9 Ta có x 2y 1 4 x y 5 x y nên: 9 5.2 5 t log 9 5. 2 2 log 9 5 Suy ra x2 y2 2t 2 2 2.1. Vì y ¢ nên y 1;0;1. t x 1 3 2 +Với y 1, hệ (*) trở thành 3t 1 1 2t 9t 2.3t 2t 2 0 (**) 2 t x 1 2
13. Nếu t 0 thì 2 2t 0 9t 2.3t 2t 2 0 . Nếu t 0 9t 2t 0 9t 2.3t 2t 2 0. Vậy (**) vô nghiệm. t t x 3 9 - Với y 0 thì hệ (*) trở thành 9t 2t 1 t 0 x 1. 2 t x 2 2 t x 1 3 2 - Với y 1 thì hệ (*) trở thành 3t 1 2t 1 *** . 2 t x 1 2 Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm t 0 x 0 . Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y 0, y 1. x y Câu 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên x, y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy. 3 x2 y2 xy 2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D x y Điều kiện 0 x y 0. x2 y2 xy 2 x y log x x 3 y y 3 xy 3 x2 y2 xy 2 2 2 2 2 2log3 x y 2log3 x y xy 2 x y xy 3x 3y 2 2 2 2 2log3 x y 2 2log3 x y xy 2 x y xy 2 3x 3y 2 2 2 2 2log3 3x 3y 3x 3y 2log3 x y xy 2 x y xy 2 2 Xét hàm đặc trưng f t 2log t t, t 0; , ta có f t 1 0,t 0; . 3 t.ln 3 Suy ra hàm f t đồng biến trên khoảng 0; . Phương trình f 3x 3y f x2 y2 xy 2 x2 y2 xy 2 3x 3y x2 3 y x y2 3y 2 0 . 2 Điều kiện của y để phương trình có nghiệm là 3 y 4 y2 3y 2 0 3 2 2 3 2 2 3y2 6y 1 0 y . 3 3 Do y ¢ nên y 0;1;2 . 2 x 1 + Với y 0, ta được x 3x 2 0 . x 2
14. 2 x 0 + Với y 1, ta được x 2x 0 . x 2 2 x 0 + Với y 2 , ta được x x 0 . x 1 Vậy có 6 cặp số thỏa mãn đề bài. Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời 3x 5 y 10 x 3 y 9 2 2 e e 1 2x 2y và log5 3x 2y 4 m 6 log5 x 5 m 9 0. A. 3 . B. 5 .C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có e3x 5 y 10 ex 3 y 9 1 2x 2y e3x 5 y 10 ex 3 y 9 x 3y 9 3x 5y 10 e3x 5 y 10 3x 5y 10 ex 3 y 9 x 3y 9 1 . t Xét hàm số f t et t liên tục trên ¡ , có f t et 1 0,t ¡ nên hàm số f t e t đồng biến trên ; . Do đó 1 3x 5y 10 x 3y 9 2x 2y 1 Khi đó phương trình 2 2 log5 3x 2y 4 m 6 log5 x 5 m 9 0 2 2 log5 x 5 m 6 log5 x 5 m 9 0 . Đặt t log5 x 5 ,t ¡ , ta được t 2 m 6 t m2 9 0 2 . 2 2 có nghiệm m 6 4 m2 9 3m2 12m 0 0 m 4 . Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị. y Câu 5: Cho 0 x 2020 và log2 (2x 2) x 3y 8 .Có bao nhiêu cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên? A. 2019. B. 2018. C. 1.D. 4. Lời giải Chọn D Do 0 x 2020 nên log2 (2x 2) luôn có nghĩa. y Ta có log2 (2x 2) x 3y 8 3y log2 (x 1) x 1 3y 2
15. log2 (x 1) 3y log2 (x 1) 2 3y 2 (1) Xét hàm số f (t) t 2t . Tập xác định D ¡ và f (t) 1 2t ln 2 f (t) 0 t ¡ . 3y Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên ¡ . Do đó (1) log2 (x 1) 3y x 1 2 y log8 (x 1) . Ta có 0 x 2020 nên 1 x 1 2021 suy ra 0 log8 (x 1) log8 2021. Lại có log8 2021 3,66 nên nếu y ¢ thì y 0;1;2;3. Vậy có 4 cặp số (x; y) nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0) , (7;1) , (63;2) , (511;3) .