Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 41: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 41: Tính đơn điệu của hàm số

1. DẠNG TOÁN 41: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  Định nghĩa: Cho hàm số y f x được gọi là đồng biến trên K ( K có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). -Hàm số y f x được gọi là đồng biến trên K nếu x1, x2 K : x1 x2 f x1 f x2 . -Hàm số y f x được gọi là nghịch biến trên K nếu x1, x2 K : x1 x2 f x1 f x2 .  Định lý: Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên K . a) Nếu f x 0,x K thì hàm số y f x đồng biến trên K . b) Nếu f x 0,x K thì hàm số y f x nghịch biến trên K .  Định lý mở rộng: a) Nếu f x 0,x K và f x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số đồng biến trên K . b) Nếu f x 0,x K và f (x) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.  Tìm điều kiện m để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)  Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong phương trình, hệ bất phương trình, bất phương trình để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.  Tìm m để phương trình f x m có đúng n nghiệm. . BÀI TẬP MẪU
2. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 f x x3 mx2 4x 3 đồng biến trên R ? 3 A. 5.B. 4 .C. 3.D. 2 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm m để hàm số đồng biến trên R . 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính đạo hàm f (x) x2 2mx 4 . a 0 B2: f (x) đồng biến trên ¡ f x 0,x R . 0 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B TXĐ: ¡ . Ta có f '(x) x2 2mx 4 . Để f (x) đồng biến trên ¡ f (x) 0,x ¡ x2 2mx 4 0,x ¡ ' m2 4 0 2 m 2. Do m ¢ nên m 2; 1;0;1;2 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số này? A. Hàm số đồng biến trên ¡ . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1  0;1 . Lời giải Chọn B Ta có: y 4x3 4x .
3. x 0 y 0 x 1. x 1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; . 2x 1 Câu 2. Hàm số y đồng biến trên khoảng nào? 3x 6 1 1 1  A. ;2 và 2; . B. ; và ; . C. R \ 2 . D. R \  . 2 2 2 Lời giải Chọn A 2x 1 Ta có: y . 3x 6 TXĐ: D R \ 2. 15 y 0 , x 2 . 3x 6 2 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . 3 2 Câu 3. Hàm số y x 3x 9x 1 đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau? A. 1;3 . B. 4;5 . C. 0;4 . D. 2;2 . Lời giải Chọn A 2  Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3x 6x 9. 2 x 3 y 26 Xét y 0 3x 6x 9 0 . x 1 y 6 Bảng biến thiên: x 1 3
4. f x 0 0 f x 6 26 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 3; . Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 4;5 . Câu 4. Cho hàm số y f x đồng biến trên tập số thực ¡ . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Với mọi x1; x2 ¡ ; x1 x2 f x1 f x2 . B. Với mọi x1, x2 ¡ f x1 f x2 . C. Với mọi x1; x2 ¡ ; x1 x2 f x1 f x2 . D. Với mọi x1, x2 ¡ f x1 f x2 . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên ¡ . Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 0 1 y 0 0 y 5 1 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 .B. 1; .C. 0;1 .D. ;0 . Lời giải: Chọn D Ta thấy trên khoảng ;0 thì bảng biến thiên thể hiện hàm số đồng biến. Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây là đúng?
5. A. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;1  1; . B. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . C. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; .. D. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . Lời giải: Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . Câu 7. Cho đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; 2 . B. ; 0 . C. 0; 2 . D. 2; . Lời giải: Chọn C Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0; 2 Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
6. A. ; 1 . B. 1; C. 0;1 . D. 1;0 Lời giải: Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên 1;0 . 3 2 Câu 9. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y x 3x 1. A. 2;0 . B. 0;2 . C. 0;3 . D. 1;3 . Lời giải: Chọn B TXĐ: D ¡ . 2 x 0 y 3x 6x; y 0 . x 2 y 0 0 x 2 . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và y f x 0,x 3;5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f 2 f 2 B. f 3 f 5 . C. f 3 f 5 D. f 0 f 5 Lời giải: Chọn D Dễ thấy hàm số nghịch biến trên đoạn  3;5 và 3 5 nên suy ra f 3 f 5  Mức độ 2 Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 1, x ¡ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . Lời giải Chọn C Ta có f x x2 1 0, x ¡ Hàm số đồng biến trên khoảng ; . Câu 2. Cho hàm số y x2 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 .
7. C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ). D. Hàm số đồng biến trên ; . Lời giải. Chọn C Hàm số có tập xác định D ; 11; nên loại A,B,D. x 1 Câu 3. Cho các hàm số y , y tan x , y x3 x2 4x 2017 . Số hàm số đồng biến trên ¡ là x 2 A. 0.B. 3.C. 1.D. 2. Lời giải Chọn C x 1 * Loại hai hàm số y , y tan x vì không xác định trên ¡ . x 2 * Với hàm số y x3 x2 4x 2017 ta có y ' 3x2 2x 4 0,x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Vậy chỉ có 1 hàm số đồng biến trên ¡ . Câu 4. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ¡ ? 1 1 A. y x4 – 2x2 –1 B. y x3 x2 3x 1 3 2 x 1 C. y D. y x3 4x2 3x –1 x 2 Lời giải. Chọn B 2 1 3 1 2 2 1 11 Hàm số y x x 3x 1 có y x x 3 x 0,x ¡ . 3 2 2 4 Câu 5. Cho các khẳng định: I : Hàm số y 2 đồng biến trên ¡ . II :Hàm số y x3 12x nghịch biến trên khoảng 1;2 . 2x 5 III : Hàm số y đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . x 2 Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 2.B. m 0.C. m  .D. m ¡ . Lời giải. Chọn A Ta có hàm số y 2 là hàm hằng nên khẳng định I là khẳng định sai. 3 2 Hàm số y x 12x có y 3x 12 y 0 2 x 2 . Nên hàm số y x3 12x nghịch biến trên khoảng 1;2 .
8. Do đó khẳng định II là khẳng định đúng. 2x 5 1 Hàm số y có y 0,x 2. 2 x 2 x 2 2x 5 Nên hàm số y đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . x 2 Do đó khẳng định III là khẳng định đúng. 2x 7 Câu 6. Cho hàm số y có đồ thị C . Hãy chọn mệnh đề sai: x 2 3 A. Có đạo hàm y .. B. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm x 2 2 7 A ;0 2 C. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . D. Hàm số có tập xác định là: D R \ 2 Lời giải: Chọn C 3 Vì y 0 ,x 2 . x 2 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 ; 2; . Câu 7. Hàm số y x2 7x 12 đồng biến trên. 3 A. ,3 . B. 4, . C. , .D. ¡ . 2 Lời giải: Chọn B 2 x 3 Điều kiện x 7x 12 0 . Hàm số có tập xác định D ,34, . x 4 2x 7 7 Ta có y , y 0 x D . 2 x2 7x 12 2 Bảng biến thiên.
9. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên 4, . ax b Câu 8. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên dưới. cx d y 1 O 1 x Xét các mệnh đề sau: (I) Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . (II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; . (III) Hàm số đồng biến trên tập xác định. Số các mệnh đề đúng là: A. 0 . B. 3. C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x x x 2 ,x ¡ . Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 2; . B. 0; . C. ;0 .D. 0; 2 . Lời giải: Chọn D x 0 Ta có f x 0 . x 2 Bảng biến thiên
10. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên 0; 2 . Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 2 2 x x 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3; 1 và 2; . . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 3 và 2; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;2 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;2 . Lời giải: Chọn C x 1 . f x 0 x 2 x 3 Bảng xét dấu f x Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 3;2 .  Mức độ 3 m Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 m 1 x2 m 2 x 5 đồng biến 3 trên ¡ . 1 1 A. m . B. m 0. C. m 0. D. m 0. 4 4 Lời giải: Chọn A TXĐ D ¡ . y mx2 2 m 1 x m 2 . TH1: m 0 ta có y 2x 2 (không thỏa mãn) TH2: m 0 , hàm số nghịch biến trên ¡ y 0,x ¡ . m 0 m 0 m 0 1 2 m . 0 m 1 m m 2 0 1 4m 0 4 Câu 2. Cho hàm số y x3 3(m2 3m 3)x2 3(m2 1)2 x m 2 .Gọi S là tập các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên 1; . S là tập hợp con của tập hợp nào sau đây? A. ( 1; ).B. ( 3;2) . C. ( ; 2) .D. ( ;0) . Lời giải Chọn D
11. 2 Ta có : y =3x2 6 m2 3m 3 x 3 m2 1 . 2 2 Khi đó : 9 m2 3m 3 9. m2 1 9 3m 2 . 2m2 3m 4 . 2 TH1 : Nếu 0 m . Khi đó ta có a 3 0nên y 0 với mọi x ¡ . Do đó hàm 3 số đã cho đồng biến trên 1; . 2 TH2: Nếu 0 m . Khi đó y 0 có hai nghiệm phân biệt x và x . 3 1 2 Ta có y 0 x ; x1  x2 ; và y 0 x x1; x2 . Do đó để hàm số đã cho đồng biến trên 1; thì 1;  x2 ; . x x 1 2 1 Ta có : x1 x2 1 2 . x1 1 . x2 1 0 x x 2 Xét 1 2 1 m2 3m 3 1 m2 3m 2 0 2 m 1 ( vô lý vì m ). 2 3 2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 1; thì m . 3 3 2 Câu 3. Cho hàm số y x 3x mx m . Gọi m0 là giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên a a khoảng có độ dài bằng 3.Giả sử m ( với là phân số tối giản). Khi đó biểu thức a 2b có giá trị 0 b b bằng A. 23 B. 34 . C. 34 . D. 20 . Lời giải Chọn B 2 y 3x 6x m 0 có 2 nghiệm x1, x2 và x1 x2 3. 36 12m 0 0 15 2 m m . x1 x2 4x1x2 9 4 4 9 4 3 mx3 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f (x) 7mx2 14x m 2 3 nghịch biến trên nửa khoảng [1; ) ? 14 14 14 14 A. 2; B. ; . C. ; . D. ; . 15 15 15 15 Lời giải Chọn D Tập xác định D R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
12. 14 mx2 14mx 14 0,x 1, tương đương với g(x) m (1) x2 14x 14 Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g(x) g(1) x 1 15 14 Kết luận: (1) min g(x) m m x 1 15 mx 4 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến khoảng 0; . x m A. 0 m 2 .B. 0 m 2 .C. 0 m 2 .D. 2 m 2 . Lời giải: Chọn C m2 4 Tập xác định của hàm số là : D ; m  m; . Ta có y . x m 2 m 0 Để hàm số nghịch biến trên khoảng 0; thì 2 0 m 2 m 4 0 Vậy giá trị cần tìm của m là 0 m 2 . 2sin x 1 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên khoảng sin x m 0; ? 2 1 1 A. m . B. m . 2 2 1 1 C. m 0 hoặc m 1 . D. m 0 hoặc m 1. 2 2 Lời giải: Chọn D Đặt t sin x 2sin x 1 2t 1 Hàm số y đồng biến trên khoảng 0; khi f (t) đồng biến trên sin x m 2 t m khoảng 0;1 . 2m 1 Ta có f (t) . t m 2
13. 2t 1 Hàm số f (t) đồng biến trên khoảng 0;1 t m 1 m 1 2m 1 0 2 m 0 khi 2 . m 0;1 m 0 m 1 m 1 Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 9 x 4 2 . Khi đó hàm số y f x2 đồng biến trong khoảng nào? A. 2;2 . B. 3; . C. ;3 . D. ; 3 và 0;3 . Lời giải: Chọn B Ta có y f x2 y 2xf x2 . 2 2 Mặt khác f x x 2 x 9 x 4 2 nên y 2xf x2 2x. x2 x2 9 x2 4 . Do đó y 2x5 x 3 x 3 x 2 2 x 2 2 x 0 y 0 5 2 2 2x x 3 x 3 x 2 x 2 0 x 3 x 2 2 2 (Trong đó: x 2; x 2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x 2 0 và x 2 0 ) Ta có bảng biến thiên sau. Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y f x2 đồng biến trên khoảng 3;0 và 3; . Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x 1 x m có nghiệm thực? A. m 3.B. m 2. C. m 3.D. m 2. Lời giải: Chọn D Điều kiện: x 1. Ta có 2 x 1 x m 2 x 1 x m * .
14. Số nghiệm của phương trình * bằng số giao điểm của hai đồ thị y 2 x 1 x C và y m . 1 Xét hàm số y x 1 x với x 1 ta có y 1. x 1 Giải phương trình y 0 x 1 1 x 0. Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có phương trình 2 x 1 x m có nghiệm khi m 2. Câu 9. Cho hàm số y f x x 1 x2 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn f x m với mọi x  1; 1 . A. m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 . Lời giải: Chọn B Hàm số y f x x 1 x2 xác định và liên tục trên đoạn  1; 1. x 1 x2 x x 0 1 2 f x 1 ; f x 0 1 x x 0 2 2 x . 1 x2 1 x2 1 x x 2 1 Ta có f 2 ; f 1 1 và f 1 1. 2 1 Suy ra max f x 2 khi x và min f x 1 khi x 1.  1; 1 2  1; 1 Do đó, f x m với mọi x  1; 1 khi và chỉ khi m max f x m 2 .  1; 1 Câu 10. Cho hàm số y x2 4x 3 . Khẳng định nào đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 2;3 . Lời giải: Chọn D
15. TXĐ: ¡ 2 x 4x 3 khi x ;13; Ta có: y 2 x 4x 3 khi x 1;3 2x 4 khi x ;1  3; y 2x 4khi x 1;3 y x y 1 x2 4x 3 0 lim lim lim x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y x y 1 x2 4x 3 0 lim lim lim x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y x y 1 y x y 1 lim lim hàm số không có đạo hàm tại x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Chứng minh tương tự hàm số không có đạo hàm tại x 3 y 0 x 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 2;3 .  Mức độ 4 Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn  2019;2019 của tham số thực m để hàm số y x3 3 m 2 x2 3m m 4 x đồng biến trên khoảng 0;2 ? A. 4039.B. 4037.C. 2019.D. 2016. Lời giải Chọn B Xét hàm số f x x3 3 m 2 x2 3m m 4 x trên khoảng 0;2 2 2 f ' x 3x 6 m 2 x 3m m 4 3 x 2 m 2 x m m 4 x m f ' x 0 . x m 4 Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x luôn đi qua điểm O 0;0 . Trường hợp 1: Nếu m 0
16. Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0;2 0;2  0;m m 2 Kết hợp với m 0, ta có m 2. Trường hợp 2: Nếu m 0 m 4 4 m 0 Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0;2 0;2  0;m 4 m 4 2 m 2 Kết hợp với 4 m 0 , ta có 2 m 0 . Trường hợp 3: Nếu m 4 0 m 4 Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y f x luôn đồng biến trên khoảng 0; nên hàm số y f x đồng biến m 2 trên khoảng với mọi m 4 .Vậy 0;2 2 m 0 m 4 Mà m nguyên thuộc khoảng  2019;2019 nên có 4037 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
17. 1 Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y cot3 x mcot2 x cot x 1 3 nghịch biến trên khoảng 0; . Tập S có chứa bao nhiêu số nguyên dương? 2 A. 0. B. 1. C. 2.D. 3. Lời giải Chọn B 1 3 2 Xét hàm số y cot x mcot x cot x 1 trên khoảng 0; . 3 2 1 2 Ta có: y 2 cot x 2mcot x 1 . sin x Hàm số đã cho nghịch biến trên 0; y 0, x 0; (dấu “ ” xảy ra tại hữu 2 2 2 hạn điểm trên 0; ) cot x 2mcot x 1 0, x 0; (1) 2 2 Đặt t cot x. Khi x 0; ta có: t 0; . 2 2 1 1 Khi đó (1) t 2mt 1 0, t 0; m t , t 0; (*) 2 t 1 1 1 1 Xét f t t , t 0; . Ta có: f t .2 t. 1, dấu " " xảy ra khi t 1. 2 t 2 t Tập giá trị của f t trên 0; là 1; , do đó: (*) m 1. Vậy S ;1 nên S chứa đúng 1 số nguyên dương. Câu 3. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ và có đạo hàm f (x) thỏa mãn f (x) 1 x x 2 .g x 2018 trong đó g x 0,x ¡ . Hàm số y f (1 x) 2018x 2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. 0;3 . B. ;3 .C. 3; .D. 1; .
18. Lời giải Chọn C Từ f (x) 1 x x 2 .g x 2018 f (1 x) x 3 x .g 1 x 2018 Nên đạo hàm của hàm số y f (1 x) 2018x 2019 là y x 3 x .g 1 x 2018 2018 x 3 x g 1 x . Xét bất phương trình y 0 x 3 x 0 x ;0  3; , do g x 0,x ¡ . Câu 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2019; 2019 để hàm số y f cos x 2x m đồng biến trên nửa khoảng 0; ? A. 2019. B. 2020. C. 4038. D. 4040. Lời giải: Chọn A Ta có y ' sin x 2 . f ' cos x 2x m Hàm số y f cos x 2x m liên tục trên nửa khoảng 0; , suy ra: Hàm số y f cos x 2x m đồng biến trên 0; khi và chỉ khi sin x 2 . f ' cos x 2x m 0, x 0; 1 Do sin x 2 0, x ¡ nên 1 f ' cos x 2x m 0, x 0; 2 Dựa vào đồ thị ta có cos x 2x m 2, x 0; cos x 2x 2 m, x 0; 3a 2 . cos x 2x m 0, x 0; cos x 2x m, x 0; 3b Xét hàm g x cos x 2x trên 0; có g ' x sin x 2 0, x 0; nên g x đồng biến trên 0; đồng thời g x liên tục trên 0; suy ra min g x g 0 1 và lim g x . Do đó, không có giá trị m thỏa 3b ; 0; x 3a min g x 2 m 1 2 m m 1. 0;
19. Vậy có tất cả 2019 giá trị nguyên của tham số m . Câu 5. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d với a, b, c, d; a 0 là các số thực, có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( 2020;2020) để hàm số g(x) f x3 3x2 m nghịch trên khoảng 2; ? A. 2020. B. 2013. C. 4040. D. 4038. Lời giải: Chọn B Ta có g (x) (3x2 6x) f (x3 3x m) . Với mọi x (2; ) ta có 3x2 6x 0 nên hàm số g(x) f x3 3x2 m nghịch biến trên khoảng 2; f (x3 3x2 m) 0,x (2; ) . Dựa vào đồ thị ta có hàm số y f (x) nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (3; ) nên f (x) 0 với x ;13; . x3 3x2 m 1,x (2; ) Do đó: f (x3 3x2 m) 0,x (2; ) 3 2 x 3x m 3,x (2; ) m x3 3x2 1,x (2; ) . 3 2 m x 3x 3,x (2; ) Nhận thấy lim ( x3 3x2 1) nên trường hợp m x3 3x2 1,x (2; ) không x xảy ra. Trường hợp: m x3 3x2 3,x (2; ) . Ta có hàm số h(x) x3 3x2 3 liên tục trên 2; và h (x) 3x2 6x 0,x (2; ) nên h(x) nghịch biến trên 2; suy ra max h(x) h(2) . 2; Do đó m x3 3x2 3,x (2; ) m max h(x) h(2) m 7 . 2; Do m nguyên thuộc khoảng ( 2020;2020) nên m 7;8;9;...;2019. Vậy có 2013 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
20. Câu 6. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (0;2020) để hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 2020 nghịch biến trên khoảng a;b sao cho b a 3 là A. 8. B. 2019. C. 2018. D. 2013. Lời giải Chọn D Ta có: y 6x2 6 m 1 x 6 m 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng a;b x2 m 1 x m 2 0,x a;b (rõ ràng 2 dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Có: m2 6m 9 m 3 . TH1: 0 x2 m 1 x m 2 0 ; x ¡ . (không thỏa mãn yêu cầu). TH2: 0 m 3 y có hai nghiệm x1 , x2 x2 x1 . Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng x1; x2 . 2 2 Yêu cầu đề bài: x2 x1 3 x2 x1 9 S 4P 9. 2 2 m 6 m 1 4 m 2 9 m 6m 0 . m 0 Do m nguyên thuộc khoảng (0;2020) nên m 7;8;9;...;2019. Vậy số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (0;2020) là 2013 Câu 7. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3mx2 6 m2 2 x đồng biến trên khoảng 2; có dạng ;a  b; . Tính T a b . A. T 1. B. T 0. C. T 2. .D. T 1.. Lời giải: Chọn D Tập xác định của hàm số: ¡ . 2 2 Hàm số đồng biến trên khoảng 2; y ' 3x 6mx 6 m 2 0, x 2; x2 2mx 2 m2 2 0, x 2; . m 2 m2 2 m2 2 0 ' 0 m 2 m 2 m 0 ' 0 2 2 2 m 2 m 2 m 2 0 m 2 . m 2 x x 2 2 m 0 2 m 0 1 2 m 4 m 2 m 2 Vậy a 0;b 2 T 2.. 2 Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 3x4 mx3 1 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x f x2 đồng biến trên khoảng 0; ?