Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 35: Số phức

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 35: Số phức

1. DẠNG TOÁN 35: SỐ PHỨC 1. Các kiến thức cơ bản về số phức Tập hợp số phức: £ Số phức (dạng đại số) : z a bi (a,b ¡ ) , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 –1). z là số thực phần ảo của z bằng 0 ( b 0 ). z là số ảo phần thực của z bằng 0( a 0 ). Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số phức bằng nhau Cho số phức z1 a b.i và z2 c d.i . a c Khi đó z1 z2 a b.i c d.i (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau) b d 2. Các phép toán về số phức  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1 a b.i và z2 c d.i . Khi đó z z a b.i c d.i a c b d .i. 1 2  Phép trừ hai số phức z z a b.i c d.i a c b d .i. 1 2  Phép nhân hai số phức z1.z2 a b.i . c d.i ac bd ad bc .i. k.z k.(a bi) ka kbi  Phép chia hai số phức z z .z z .z a b.i . c d.i ac bd bc ad i ac bd bc ad 1 1 2 1 2 i. z z .z z 2 c2 d 2 c2 d 2 c2 d 2 c2 d 2 2 2 2 2  Mô đun của số phức z là: z a2 b2 . z z z.z z z z z z z z z z z z z z z z z  Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z a bi là z a bi . z z 2 2 z z; z z z z ; z z z z ; z.z z.z ; ; z.z a b z z 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: Cho cấp số nhân có công bội q, số hạng đầu u1 .
2. n u1 1 q Đặt S u u ... u , khi đó S q 1 . n 1 2 n n 1 q II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Thực hiện các phép toán.  Tìm phần thực,phần ảo.  Số phức liên hợp .  Tính mô đun của số phức.  Phương trình bậc nhất theo z ( và liên hợp của z).  Hỏi tổng hợp về các khác niệm. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020 Cho hai số phức z1 3 i và z2 1 i . Phần ảo của số phức z1z2 là A. 4 . B. 4i . C. 1. D. i . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định phần ảo của một số phức. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Số phức z a bi a ,b ¡ có phần thực là a và phần ảo là b . + Cho hai số phức z a bi a ,b ¡ và z ' c di c,d ¡ , khi đó: zz ' a bi c di ac bd ad bc i . 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính tích của hai số phức z1z2 . B2: Xác định phần ảo của số phức z1z2 . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có: z1z2 3 i 1 i 3 1 3 1 i 2 4i . Phần ảo của số phức z1z2 là 4 . Bài tập tương tự và phát triển 1:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hai số phức z1 2 3i , z2 4 5i . Số phức z z1 z2 có phần thực là A. 2 .B. 2 .C. 2i .D. 2i .
3. Lời giải Chọn B z z1 z2 2 3i 4 5i 2 2i . Vậy phần thực của số phức là 2 . Câu 2. Số phức liên hợp của số phức z 2 3i là A. z 3 2i . B. z 3 2i .C. z 2 3i .D. z 2 3i . Lời giải Chọn C Số phức liên hợp của số phức z 2 3i là z 2 3i . Câu 3. Phần ảo của số phức z 7 6i bằng A. 6 .B. 6i . C. 6.D. 6i . Lời giải Chọn C Cho số phức z a bi với a,b ¡ . Khi đó phần thực của số phức z là a và phần ảo của số phức z là b . Ta có z 7 6i . Do đó phần ảo của số phức z là 6. Câu 4. Môđun của số phức z 5 2i bằng A. 29 . B. 3 . C. 7 . D. 29 . Lời giải Chọn A Ta có z 5 2i 52 2 2 29 . Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z 4 5i có tọa độ là A. 4;5 . B. 4; 5 . C. 4; 5 . D. 5; 4 . Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z 4 5i có tọa độ là 4;5 . Câu 6. Số phức z 3 2i có tổng của phần thực và phần ảo là A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 2i . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa số phức, phần ảo của số phức là 2 , phần thực là 3 nên tổng của phần thực và phần ảo là 1 .
4. Câu 7. Cho số phức z1 1 i và z2 2 3i . Tìm phần ảo số phức liên hợp của số phức w z1 z2 là? A. 2i . B. 2 . C. 2i . D. 2 . Lời giải Chọn D Vì: z1 1 i và z2 2 3i nên w z1 z2 w 1 2 1 3 i 3 2i w 3 2i . phần ảo số phức liên hợp của số phức w z1 z2 là 2. Câu 8. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . y 3 O x 4 M A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 . B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i . C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 . D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i . Lời giải Chọn C Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z x yi được biểu diễn bởi điểm M (x; y) . Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x 3 và tung độ y 4 . Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . Câu 9. Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 3i . Phần ảo của số phức w 3z1 2z2 là A. 1 B. 11 C. 12 D. 12i Lời giải Chọn C Ta có w 3z1 2z2 3 1 2i 2 2 3i 1 12i . Vậy phần ảo của số phức w là 12. Câu 10. Cho hai số phức z1 1 3i và z2 2 5i . Tìm phần ảo b của số phức z z1 z2 . A. b 2 . B. b 2 . C. b 3 . D. b 3 . Lời giải Chọn D z z1 z2 1 3i 2 5i 3 2i . Vậy phần ảo của z là: 2.  Mức độ 2 4 3i Câu 1. Số phức z có phần thực là i A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 4 . Lời giải
5. Chọn B 4 3i z 3 4i . Vậy phần thực của z là 3 . i Câu 2. Cho hai số phức z1 2 4i và z2 1 3i. Phần ảo của số phức z1 iz2 bằng A.5 .B. 3i .C. 5i .D. 3 . Lời giải Chọn D 2 Ta có: z2 1 3i z2 1 3i iz2 i 1 3i 3i i 3 i Suy ra z1 iz2 2 4i 3 i 1 3i . Vậy phần ảo của số phức z1 iz2 là 3 . Câu 3. Cho số phức z 2 5i . Số phức z 1 có phần thực là 5 2 A. 7. B. . C. . D. 3. 29 29 Lời giải Chọn B 1 1 2 5i 2 5i 2 5 z 1 i. z 2 5i 2 5i 2 5i 29 29 29 2 Số phức z 1 có phần thực là . 29 1 Câu 4. Cho số phức z a bi ab 0, a,b ¡ . Tìm phần thực của số phức w . z2 2ab a2 b2 b2 a2 b2 A. . B.2 . C. . D.2 2 2 . a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 Lời giải Chọn D 1 1 1 a2 b2 2abi w 2 2 2 2 2 . z a bi a b 2abi a2 b2 4a2b2 a2 b2 a2 b2 w Phần thực của là 2 2 . a2 b2 4a2b2 a2 b2 2 Câu 5. Cho số phức z = 5- 3i . Phần thực của số phứcw = 1+ z + (z) bằng A. 22 .B. 22 . C.33.D. 33 . Lời giải Chọn A
6. Ta có z = 5- 3i Þ z = 5+ 3i Þ (z )2 = (5+ 3i)2 = 25+ 30i + 9i2 = 16+ 30i . 2 Suy ra w = 1+ z + (z) = 1+ 5+ 3i + 16+ 30i = 22+ 33i . 2 Vậy phần thực của số phứcw = 1+ z + (z) bằng 22 . Câu 6. Số phức z thỏa mãn z 2z 12 2i có A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2i . B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2 . C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 2i . Lời giải Chọn B Đặt z a bi, a,b ¡ . Ta có: z 2z 12 2i a bi 2 a bi 12 2i a 4 3a bi 12 2i . b 2 i Câu 7. Cho số phức z biết z 2 i . Phần ảo của số phức z2 là 1 i 5 5 5 5 A. . B. i . C. . D. i . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A i i 1 i 1 1 5 1 Ta có z 2 i 2 i 2 i i i . 1 i 1 i 1 i 2 2 2 2 5 1 5 Suy ra z i z2 6 i . 2 2 2 5 Vậy phần ảo của số phức z2 là . 2 Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z + 2.z = 6- 3i . Tìm phần ảo b của số phức z. A.b = 3 .B. b = - 3 .C. b = 3i .D. b = 2. Lời giải ChọnA Đặt z = a + bi (a; b Î ¡ ), suy ra z = a- bi . ïì 3a = 6 ïì a = 2 Theo giả thiết, ta có a + bi + 2(a- bi)= 6- 3i Û 3a- bi = 6- 3i Û íï Û íï . îï - b = - 3 îï b = 3 Vậy phần ảo b của số phức z là 3 . Câu 9. Cho hai số phức: z1 2 3i , z2 1 i . Phần ảo của số phức w 2z1z2 bằng A. 7. B. 5 . C. 2 . D. 5 .
7. Lời giải Chọn C w 2z1z2 10 2i. Phần ảo của số phức là 2 Câu 10. Tìm phần ảo của số phức z 1 i 2 1 i 2 . A. 0. B. 2. C. 4. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có z 1 i 2 1 i 2 2i 2i 0 . Phần thực của số phức là 0. 2 Câu 11. Cho số phức z = 5- 3i . Phần thực của số phứcw = 1+ z + (z) bằng A. 22 .B. 22 . C.33.D. 33 . Lời giải Chọn A Ta có z = 5- 3i Þ z = 5+ 3i Þ (z )2 = (5+ 3i)2 = 25+ 30i + 9i2 = 16+ 30i . 2 Suy ra w = 1+ z + (z) = 1+ 5+ 3i + 16+ 30i = 22+ 33i . 2 Vậy phần thực của số phứcw = 1+ z + (z) bằng 22 . 3 Câu 12. Cho hai số phức z1 = 4- 3i + (1- i) và z2 = 7 + i . Phần thực của số phức w = 2z1z2 bằng A.9 .B. 2 .C. 18.D. - 74 . Lời giải Chọn C 2 3 Ta có z1 = 4- 3i + (1- 3i + 3i - i )= 4- 3i + (1- 3i- 3+ i)= 2- 5i . Suy ra z1.z2 = (2+ 5i)(7 + i)= 9+ 37i Þ z1.z2 = 9- 37i. Do đó w = 2(9- 37i)= 18- 74i . Vậy phần thực của số phức w = 2z1z2 bằng 18. Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn (1+ 2i)z = 5(1+ i)2 . Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức w = z + iz bằng A. 2 . B. 4 .C. 6 . D.8 . Lời giải ChọnD 2 2 5(1+ i) 10i 10i(1- 2i) Ta có (1+ 2i)z = 5(1+ i) Û z = = = = 4+ 2i. 1+ 2i 1+ 2i 5
8. Suy ra w = z + iz = (4- 2i)+ i(4+ 2i)= 2+ 2i . Vậy số phức w có phần thực bằng 2 , phần ảo bằng 2 . Suy ra 22 + 22 = 8 .  Mức độ 3 Câu 1. Số phức z 1 i 1 i 2 ... 1 i 2018 có phần ảo bằng A. 21009 1. B. 21009 1. C. 1 21009 . D. 21009 1 Lời giải Chọn D 2018 2 2018 1 i 1 2018 Có z 1 i 1 i ... 1 i 1 i . 1 i 1 i 1 i 1009 504 Do 1 i 2018 1 i 2 2i 1009 21009. i2 .i 21009 i Suy ra z 1 i . 21009 i 1 21009 1 1 21009 i . Vậy phần ảo của số phức z là 21009 1. Câu 2. Cho số phức z m 1 2i 2m 3 i với m là tham số .Tổng các giá trị của m để z có phần thực bằng 5 . 5 5 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 5 5 Lời giải Chọn A z m 1 2i 2m 3 i z 2m2 5m 5 3m 5 i . Ta có phần thực của số phức z là 2m2 5m 5 m 0 2 Để z có phần thực bằng 5 thì 2m 5m 5 5 5 m 2 5 Vậy tổng các giá trị của m là . 2 Câu 3. Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z 2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. 1; 1 . B. 1;1 . C. 1;1 . D. 1; 1 . Lời giải Chọn D + Gọi z x yi , x, y ¡ . + Ta có z 2i z 2 x yi 2i x yi 2 x y 2 i x 2 yi x x 2 y y 2 x 2 y 2 xy i . + z 2i z 2 là số thuần ảo x x 2 y y 2 0 x 1 2 y 1 2 2 .
9. + Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I 1; 1 . Câu 4. Môđun của số phức z thỏa mãn z 1 5 và 17 z z 5z.z 0 bằng A. 53 . B. 34 . C. 29 và 13 . D. 29 . Lời giải Chọn B Đặt z a bi a;b R 2 2 2 2 z 1 5 a 1 b 25 a b 2a 24 0 Ta có 17 z z 5z.z 0 17.2a 5 a2 b2 0 2 2 17.2a 5 a b 0 2 2 5 a b 2a 24 0 34a 5 2a 24 0 a 5 2 2 5 a2 b2 17.2a a2 b2 34 17.2a 5 a b 0 Suy ra z a2 b2 34 . Câu 5. Xét các số phức z thỏa mãn z 4i z 2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó. A. 1; 2 .B. 1; 2 . C. 1; 2 .D. 1; 2 . Lời giải Chọn B Gọi z x yi x, y ¡ . Ta có z 4i z 2 x y 4 i x 2 yi = x x 2 y y 4 x 2 y 4 i xyi . Theo yêu cầu bài toán ta có x x 2 y y 4 0 x2 y2 2x 4y 0 . Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn có tâm I 1;2 , R 5 . 2(1+ 2i) Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn (2+ i)z + = 7 + 8i . Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và 1+ i phần ảo của số phức w = z + 1+ i . Tính P = a2 + b2. A.13.B. 5 .C. 25 .D. 7 . Lời giải Chọn C 2(1+ 2i) 2(1+ 2i) Ta có (2+ i)z + = 7 + 8i Û (2+ i)z = 7 + 8i- . 1+ i 1+ i 4+ 7i (4+ 7i)(2- i) Û (2+ i)z = 4+ 7i Û z = = = 3+ 2i . 2+ i (2+ i)(2- i)
10. ïì a = 4 Suy ra w = z + 1+ i = 4+ 3i Þ íï ¾ ¾® P = 16+ 9 = 25. îï b = 3 Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn z + 2.z = 6- 3i . Tìm phần ảo b của số phức z. A.b = 3 .B. b = - 3 .C. b = 3i .D. b = 2. Lời giải ChọnA Đặt z = a + bi (a; b Î ¡ ), suy ra z = a- bi . ïì 3a = 6 ïì a = 2 Theo giả thiết, ta có a + bi + 2(a- bi)= 6- 3i Û 3a- bi = 6- 3i Û íï Û íï . îï - b = - 3 îï b = 3 Vậy phần ảo b của số phức z là 3 . Câu 8. Cho số phức z = a + bi (a; b Î ¡ ) thỏa mãn iz = 2(z - 1- i). Tính S = ab. A. S = - 4 .B. S = 4 .C. S = 2. D. S = - 2. Lời giải ChọnA Đặt z = a + bi (a; b Î ¡ ), suy ra z = a- bi . Ta có iz = 2(z - 1- i)Û i(a + bi)= 2(a- bi- 1- i)Û - b + ai = 2a- 2+ (- 2b- 2)i ïì - b = 2a- 2 ïì 2a + b = 2 ïì a = 2 Û íï Û íï Û íï ¾ ¾® S = ab = - 4. îï a = - 2b- 2 îï a + 2b = - 2 îï b = - 2 Câu 9. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z = 10(z + z ) và z có phần ảo bằng ba lần phần thực? A. 0 .B. 1.C. 2 . D.3 . Lời giải ChọnC Đặt z = a + bi (a; b Î ¡ ), suy ra z = a- bi . é ù 2 2 Từ z.z = 10(z + z )¾ ¾® (a + bi)(a- bi)= 10 ë(a + bi)+ (a- bi)ûÛ a + b = 20a. (1) Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b = 3a . (2) ïì a2 + b2 = 20a ïì a = 2 ïì a = 0 Từ (1) và (2), ta có íï Û íï hoặc íï . îï b = 3a îï b = 6 îï b = 0 Vậy có 2 số phức cần tìm là: z = 2+ 6i và z = 0 . Câu 10. Cho số phức z = a + bi (a; b Î ¡ ) thỏa (1+ i)z + 2z = 3+ 2i. Tính P = a + b. 1 1 A. P = . B. P = 1.C. P = - 1.D. P = - . 2 2 Lời giải ChọnC
11. Đặt z = a + bi (a; b Î ¡ ), suy ra z = a- bi . Từ (1+ i)z + 2z = 3+ 2i ¾ ¾® (1+ i)(a + bi)+ 2(a- bi)= 3+ 2i ïì 1 ï a = ïì a- b = 2 ï 2 Û (a- b)i + (3a- b)= 3+ 2i Û íï Û íï ¾ ¾® P = a + b = - 1. ï 3a- b = 3 ï 3 îï ï b = - îï 2  Mức độ 4 Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức z 16 z thỏa mãn và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn 0;1. Tính diện tích S của H 16 z A. S 32 6 . B. S 16 4 . C. 256 . D. 64 . Lời giải Chọn A Giả sử z x yi x, y ¡ . z x y 16 16 16x 16y Ta có: i ; i . 16 16 16 z x yi x2 y2 x2 y2 x 0 1 16 y 0 1 z 16 16 Vì và có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn 0;1 nên   16x 16 z 0 1 x2 y2 16y 0 2 2 1 x y 0 x 16 0 x 16 0 y 16 0 y 16 2 2 2 2 . 0 16x x y x 8 y 64 2 2 2 2 0 16y x y x y 8 64 y 16 C B E I 16 O J A x
12. Suy ra H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn C1 có tâm I1 8;0 , bán kính R1 8 và C2 có tâm I2 0;8 , bán kính R2 8 . Gọi S là diện tích của đường tròn C2 . 1 1 2 1 Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: S1 2 S SOEJ 2 . .8 .8.8 . 4 4 2 Vậy diện tích S của hình H là: 2 2 1 2 1 S 16 .8 2. . .8 .8.8 256 64 32 64 192 32 32 6 . 4 2 Câu 2. Cho số phức z a bi ( a , b là các số thực ) thỏa mãn z z 2z i 0 . Tính giá trị của biểu thức T a b2 . A.T 4 3 2 . B.T 3 2 2 .C. T 3 2 2 . D.T 4 2 3 . Lời giải ChọnC Đặt z a bi a,b ¡ , suy ra z a2 b2 . Ta có z z 2z i 0 a bi a bi 2 a bi i 0 a a2 b2 2a b a2 b2 i 2bi i 0 a a2 b2 2a b a2 b2 i 2bi i 0 2 2 a a2 b2 2 0 2 2 2 2 a a b 2a 0 a a b 2a b a b 2b 1 i 0 b a2 b2 2b 1 0 2 2 b a b 2b 1 0 a 0 a 0 2b 1 . b b2 2b 1 0 b b 2b 1 2b 1 b b 2b 1 b b b b 1 2 . b 2b 1 1 0 b 0 b 2 Suy ra T a b2 3 2 2 . Câu 3. Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5 , đồng thời z1 z2 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2 2 2 A. x 10 y 6 36 . B. x 10 y 6 16 . 2 2 2 2 5 3 5 3 9 C. x y 9 . D. x y . 2 2 2 2 4 Lời giải Chọn A
13. Gọi A , B , M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc đường tròn 2 2 C : x 5 y 3 25 và AB z1 z2 8 . C có tâm I 5;3 và bán kính R 5, gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và IT IA2 TA2 3 . Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J 10;6 và IT là đường trung bình của tam giác OJM , do đó JM 2IT 6 . 2 2 Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình x 10 y 6 36 Câu 4: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 1 i , z2 1 2i , z3 2 i , z4 3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S . 17 19 23 21 A. S . B. S . C. S . D. S . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có z1 1 i A 1;1 , z2 1 2i B 1;2 , z3 2 i C 2; 1 , z4 3i D 0; 3 y B 2 A 1 1 2 x 1 O 1 C 3 D
14.  AC 3; 2 AC 13 , n 2;3 là véc tơ pháp tuyến của AC , phương trình AC : 2 x 1 3 y 1 0 2x 3y 1 0 . Khoảng cách từ B đến AC là: 2 3.2 1 7 1 1 7 7 d B; AC S d B; AC .AC . 13. . 13 13 ABC 2 2 13 2 Khoảng cách từ D đến AC là: 0 9 1 10 1 1 10 d D; AC S .d D; AC .AC . . 13 5 . 13 13 ADC 2 2 13 7 17 Vậy S S S 5 . ABC ADC 2 2 3 5 2 i Câu 5: Cho số phức z có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn z 1 i .z 3 20i i6 . Khi đó môđun của số phức w 1 z z2 z3 có giá trị bằng bao nhiêu? A. 25.B. 5.C. 5 .D. 1. Lời giải Chọn B 3 Ta có 2 i 2 i 3 8 12i 6i2 i3 2 11i. 2 1 i 5 1 i . 1 i 2 1 i . 2i 2 4 4i. Gọi z x yi 3 5 2 i Khi đó z 1 i .z 3 20i i6 x yi 4 4i . x yi 1 9i x 4x 4y 4x 5y i 1 9i x 4x 4y 1 x 1 z 1 i 4x 5y 9 y 1 Suy ra w 1 1 i 1 i 2 1 i 3 5i w 5 . Câu 6: Cho 2z 1 3i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 3. z 1 2i ? A. 4 2 B. 4 3 C. 2 2 D. 4 Lời giải Chọn A
15. 2 2 2 1 3 1 Ta có: . M z I; : x y 2 2 2 2 Gọi A 1;0 , B 1;2 . Chú ý I, A, B thẳng hàng đồng thời ta có IA 3IB . Ta tìm max MA 3MB .   2   2 Ta có: MA2 3MB2 MI IA 3 MI IB    MA2 3MB2 4MI 2 IA2 3IB2 2MI IA 3IB MA2 3MB2 4MI 2 IA2 3IB2 8 . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: MA 3MB MA2 3MB2 1 3 4 2 .) Chọn đáp ánA. Câu 7: Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z 6 8 z i là số thực. Biết rằng z1 z2 4, giá trị nhỏ nhất của z1 3z2 bằng A.5 21 . B. 20 4 21 . C. 20 4 22 . D. 5 22 . Lời giải Chọn C - Giả sử z x yi , x, y ¡ . Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 . Suy ra AB z1 z2 4 . 2 2 - Ta có z 6 8 z i x 6 yi . 8 y xi 8x 6y 48 x y 6x 8y i . Theo giả thiết z 6 8 z i là số thực nên ta suy ra x2 y2 6x 8y 0 . Tức là các điểm A , B thuộc đường tròn C tâm I 3;4 , bán kính R 5.
16.      - Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA 3MB 0 OA 3OB 4OM . Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2 R2 HB2 21; IM HI 2 HM 2 22 . Suy ra điểm M thuộc đường tròn C tâm I 3;4 , bán kính r 22 .    - Ta có z1 3z2 OA 3OB 4OM 4OM , do đó z1 3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất. Ta có OM OM OI r 5 22 . min 0 - Vậy z 3z 4OM 20 4 22 . 1 2 min 0 Câu 8: Giả sử z1 , z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1 z2 2 . Giá trị lớn nhất của z1 z2 bằng A. 4. B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A - Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z 1 i 2 1. - Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I 1; 2 , R 1. - Gọi M , N là điểm biểu diễn z1 , z2 nên MN 2 là đường kính. - Dựng hình bình hành OMPN ta có z1 z2 OP 2 3 . 2 z z 2 z 2 z 2 z z 2 z z 2 16 z z 4 - Ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . - Dấu bằng xảy ra khi z1 z2 MN  OI (OMPN là hình thoi). z2 z 4 Câu 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn là số thực và z z 2 z z 4 . z2 z 4 A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 Lời giải Chọn C
17. Gọi z x yi với x, y R . Nếu y 0 x 4 x 4 . Nếu y 0 z2 z 4 z2 z 4 Vì là số thực nên đặt k k 1 z2 k 1 z 4 k 1 0 . z2 z 4 z2 z 4 2 c Ta có z z .z 4 x2 y2 4 . 1 2 a Vì z z 2 z z 4 x 2 y 4 . Biểu diễn đường tròn C : x2 y2 4 và đường thẳng x 2 y 4 trên cùng hệ trục Oxy . Nhận thấy chúng cắt nhau tại 6 điểm. Vậy có tất cả 8 số phức thoả ycbt. z Câu 10: Cho các số phức z và w thỏa mãn 1 2i z 2 3i . Tìm giá trị lớn nhất của w T w 2 3i . A. 4 13 . B. 13 . C. 3 13 . D. 2 13 . Lời giải Chọn D z z Ta có: 1 2i z 2 3i z 2 2 z 3 i w w 2 2 z Lấy modul hai vế: z 2 2 z 3 w 2 2 t đặt t z điều kiện t 0 . Khi đó phương trình trở thành: t 2 2t 3 w 2 2 2 1 t 2 2t 3 5t 2 16t 13 16 13 1 8 1 1 2 5 2 13 w t t t t 13 13 t 13 w 13 . Khi đó T w 2 3i w 2 3i 13 13 2 13 .
18. w 13 Dấu bằng xảy ra khi 13 . z 8 Bài tập tương tự và phát triển 2: Nhận biết Câu 1. Cho hai số phức z1 = 3+ 2i và z2 = 1- i . Phần thực của số phức z1 + z2 bằng A. 4. B. 4i . C. 1. D. i . Lời giải Chọn A Ta có: z1 + z2 = (3+ 2i)+ (1- i)= 4+ i . Suy ra phần thực của z1 + z2 bằng 4. Câu 2. Cho hai số phức z1 = 3+ i và z2 = 1- 4i . Phần ảo của số phức z1z2 bằng A. 11i . B. 11. C. 7. D. i . Lời giải Chọn B Ta có: z1z2 = (3+ i)(1- 4i)= 7- 11i . Suy ra phần ảo của z1z2 bằng - 11. z1 Câu 3. Cho hai số phức z1 = 3+ i và z2 = 1- 4i . Phần ảo của số phức bằng z2 1 13 1 13 A. . B. i . C. . D. . 17 17 17 17 Lời giải Chọn D
19. z 3+ i 1 13 Ta có: 1 = = - + i . z2 1- 4i 17 17 z 13 Suy ra phần ảo của 1 bằng . z2 17 Câu 4. Cho hai số phức z1 = 5+ 2i và z2 = 3+ 4i . Phần thực của số phức z1 - z2 bằng A. 2 . B. 2i . C. 2 . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có: z1 - z2 = (5+ 2i)- (3+ 4i)= 2- 2i . Suy ra phần thực của z1 - z2 bằng 2 . Câu 5. Cho hai số phức z1 = 3+ 2i và z2 = 1- i . Phần thực của số phức z1 + z2 bằng A. 1. B. 4i . C. 4. D. i . Lời giải Chọn C Ta có: z1 + z2 = (3+ 2i)+ (1+ i)= 4+ 3i . Suy ra phần thực của z1 + z2 bằng 4. Câu 6. Cho hai số phức z1 = 1+ 5i và z2 = 3- i . Phần thực của số phức z1 - z2 bằng A. 2 . B. 4i . C. 2. D. i . Lời giải Chọn A Ta có: z1 + z2 = (1+ 5i)- (3+ i)= - 2+ 4i . Suy ra phần thực của z1 - z2 bằng - 2 . Câu 7. Cho hai số phức z1 = - 3+ 5i và z2 = 2- 4i . Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng A. 1. B. 9 . C. 9 . D. 9i . Lời giải Chọn B Ta có: z1 + z2 = (- 3- 5i)+ (2- 4i)= - 1- 9i . Suy ra phần ảo của z1 + z2 bằng - 9 . Câu 8. Cho hai số phức z1 = 5- 2i và z2 = - 2+ 3i . Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 5i . Lời giải Chọn C Ta có: z1 + z2 = (5+ 2i)+ (- 2+ 3i)= 3+ 5i .
20. Suy ra phần ảo của z1 + z2 bằng 5 . Câu 9. Cho hai số phức z1 = 5- 2i và z2 = - 2+ 3i .Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 + z2 bằng A. 8 . B. 5 . C. 3 . D. 5i . Lời giải Chọn A Ta có: z1 + z2 = (5+ 2i)+ (- 2+ 3i)= 3+ 5i . Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 + z2 bằng 8 . Câu 10. Cho hai số phức z1 = 3+ 2i và z2 = 5+ 7i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 - z2 bằng A. 2 5i . B. 5 . C. 7. D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có: z1 - z2 = (3- 2i)- (5- 7i)= - 2+ 5i . Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức z1 - z2 bằng 3 . Thông hiểu Câu 1. Cho các số phức z 1 2i, w 2 i. Số phức u z.w có A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 . B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3 . C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3i .D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i . Lời giải Chọn A Ta có: u 1 2i 2 i 4 3i . Vậy số phức u có phần thực là 4 và phần ảo là 3 . Câu 2. Cho hai số phức z1 1 2i; z2 2 3i . Xác định phần ảo của số phức z1 2z2 A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 8 . Lời giải Chọn B z1 2z2 1 2i 2 2 3i 3 5i Do đó phần ảo là 5 , chon C z1 Câu 3. Cho hai số phức z1 3 4i; z2 4 i. Số phức z có phần thực bằng z2