Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 6: Nguyên hàm

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 6: Nguyên hàm

1. DẠNG TOÁN 6: NGUYÊN HÀM I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f x xác định trên K . Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x x K . 2. Tính chất của nguyên hàm  f ' x dx f x C .  kf x dx k f x dx với k 0 .  [ f x g(x)]dx f x dx g(x)dx . 3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng 1 0dx C 1 ax b ax b dx C , 1 a 1 1.dx x C 1 1 dx ln ax b C x 1 ax b a x dx C, ( 1) 1 1 1 1 dx . C 1 ax b 2 a ax b dx ln x C ; x ax b 1 ax b x x e dx e C, (a 0) e dx e C a a x 1 a xdx C (0 a 1) cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) ln a a 1 cos xdx sin x C sin(ax b)dx cos(ax b) C a sin xdx cos x C 1 1 dx tan ax b C 2 1 cos ax b a dx tan x C 2 cos x 1 1 2 dx cot ax xb C 1 sin ax b a dx cot x C sin2 x 4) Một số phương pháp tính nguyên hàm a) Áp dụng bảng nguyên hàm b) Phương pháp đổi biến  Định lí: Cho ò f (u) du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
2. é ù ¢ é ù ò f ëêu(x)ûúu (x) dx = F ëêu(x)ûú+ C. Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm Một số dạng đổi biến thường gặp é n PP êI = ò f (ax + b) .x dx ¾ ¾ ¾® t = ax + b Þ dt = a dx ê m ê æ n ö x ÷ PP n+ 1 n  êI = ç ÷ dx ¾ ¾ ¾® t = x + 1 Þ dt = (n + 1)x dx , với m, n Î ¢. ê òç n+ 1 ÷ ê èçax + 1ø ê 2 n PP 2 êI = f (ax + b) .x dx ¾ ¾ ¾® t = ax + b Þ dt = 2ax dx ë ò I = ò n f (x).f ¢(x) dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = n f (x) Þ t n = f (x) Þ nt n- 1 dt = f ¢(x) dx. é 1 é 1 êI = f (ln x) dx êt = ln x Þ dt = dx ê ò PP ê  ê x ¾ ¾ ¾® Đặt ê x × ê 1 ê b êI = f (a + bln x) dx êt = a + bln x Þ dt = dx ë ò x ë x ét = ex Þ dt = ex dx I = f (ex ).ex dx ¾ ¾PP ¾® Đặt ê × ò êt = a + bex Þ dt = bex dx ëê ét = cosx Þ dt = - sin x dx I = f (cosx).sin x dx ¾ ¾PP ¾® Đặt ê × ò êt = a + bcosx Þ dt = - bsin x dx ëê ét = sin x Þ dt = cosx dx I = f (sin x).cosx dx ¾ ¾PP ¾® Đặt ê × ò êt = a + bsin x Þ dt = bcosx dx ëê dx 1 I = f (tan x) ¾ ¾PP ¾® Đặt t = tan x Þ dt = dx = (1+ tan2 x) dx. ò cos2 x cos2 x dx dx I = f (cot x) ¾ ¾PP ¾® Đặt t = cot x Þ dt = - = - (1+ cot 2 x) dx. ò sin2 x sin2 x ét = sin2 x Þ dt = sin 2x dx I = f (sin2 x;cos2 x).sin 2x dx ¾ ¾PP ¾® Đặt ê × ò êt = cos2 x Þ dt = - sin 2x dx ëê I = ò f (sin x ± cosx).(sin x m cosx)dx ¾ ¾PP ¾® Đặt t = sin x ± cosx.  Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x.  Nhóm 1. I f ax b n .xdx PP t ax b dt adx m xn I dx PP t axn 1 1 dt a n 1 xn dx,khi m,n Z . n 1 ax 1 n I f ax2 b .xdx PP t ax2 b dt 2axdx
3.  Nhóm 2. Hai công thức thường được sử dụng là: dx 2 2 3 ax b C và ax bdx ax b C . ax b a 3a  Nhóm 3. 1 1 +Nếu : I f ln x . dx Đặt : t ln x dt dx x x 1 b + Nếu : I f a bln x . dx Đặt : t a bln x dt dx x x  Nhóm 4. t ex dt exdx Tìm I f (ex ).exdx PP Đặt  x x t a be dt be dx  Nhóm 5. Nhóm đổi biến hàm số lượng giác c) Phương pháp từng phần  Định lý: Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm và liên tục trên K thì I u x v x dx u x v x v x u x dx hay I udv uv vdu .  Vận dụng giải toán: Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ: ex sin xdx, xln xdx,... u ......... du ......dx + Đặt . Suy ra I udv uv vdu . dv ......dx v ......... + Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại. + Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. + Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. 5) Nguyên hàm của hàm ẩn Nhóm 1. Sử dụng định nghĩa F ¢(x) = f (x). Nhóm 2. Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn Vận dụng tính chất ò f ¢(x)dx = f (x) + C, ò f ¢¢(x)dx = f ¢(x) + C,... vào các dạng sau: g ò(u¢v + v¢u)¢dx = ò(u.v)¢dx = uv + C. g òn.un- 1.u¢dx = ò(un )¢dx = un + C. æ ö¢ u¢v - v¢u çu÷ u u¢ ¢ g dx = ÷ dx = + C. g dx = ln u dx = ln u + C. 2 ç ÷ ( ) ò v òèçv ø÷ v ò u ò ¢ u¢ u¢ æ1ö 1 g dx = ( u)¢dx = u + C. g - dx = ç ÷ dx = + C. ò ò ò 2 òç ÷ 2 u u èçuø÷ u
4. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: * DẠNG 1: Tính nguyên hàm bằng địng nghĩa và bảng nguyên hàm. * DẠNG 2: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ. * DẠNG 3: Nguyên hàm từng phần. * DẠNG 4: Nguyên hàm đổi biến. * DẠNG 5: Nguyên hàm hàm ẩn. BÀI TẬP MẪU Câu 6. (ĐỀ MINH HỌA BDG LẦN 2 NĂM 2019-2020) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu A. F '(x) f (x),x K. B. f '(x) F(x),x K. C. F '(x) f (x),x K. D. f '(x) F(x),x K. Lời giải Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm. 2. HƯỚNG GIẢI: Sử dụng định nghĩa : Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x , x K . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu F '(x) f (x),x K. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 x3 Câu 1. Hàm số F x ex là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây? 3 x4 x4 A. f x ex . B. f x 3x2 ex . C. f x ex .D. f x x2 ex . 3 12 Lời giải Chọn D Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x  F ' x f x . 3 / x x 2 x Suy ra hàm số cần tìm f x e x e . 3 Câu 2. Cho f x dx F x C . Khi đó với a 0 , a , b là hằng số ta có f ax b dx bằng
5. 1 1 A. f ax b dx F ax b C .B. f ax b dx F ax b C . a a b C. f ax b dx F ax b C . D. f ax b dx aF ax b C . Lời giải Chọn A 1 Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: f ax b dx F ax b C . a Câu 3. Giá trị m để hàm số F x mx3 3m 2 x2 4x 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 10x 4 là A. m 3 . B. m 0 .C. m 1. D. m 2 . Lời giải Chọn C Ta có F x 3mx2 2 3m 2 x 4 . m 1 Theo đề bài ta có: m 1. 2 3m 2 10 Câu 4. Tìm nguyên hàm F x 2dx . 3 2 x2 A. F x 2 x C . B. F x 2 x C . C. F x C . D. F x C . 3 2 Lời giải Chọn A Ta có F x 2dx 2 x C (vì 2 là hằng số). Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f x (x2 3x)(x 1) là x4 2 3 x4 2 3 A. x3 x2 C . B. x3 x2 . 4 3 2 4 3 2 x4 2 3 x4 2 3 C. x3 x2 C .D. x3 x2 C . 4 3 2 4 3 2 Lời giải Chọn D x4 2 3 Phân phối được: I (x3 2x2 3x)dx x3 x2 C 4 3 2 1 Câu 6. Nguyên hàm của hàm số f x x2 3x là x x3 3x2 x3 3x2 1 A. ln x C . B. C . 3 2 3 2 x2 x3 3x2 C. x3 3x2 ln x C . D. ln x C . 3 2 Lời giải
6. Chọn A 3 2 2 1 x 3x f x dx x 3x dx ln x C . x 3 2 3 Câu 7. Nguyên hàm của hàm số f x x3 2x là. x2 x4 3 x4 3 2x A. 2x.ln 2 C .B. C . 4 x 4 x ln 2 x3 1 x4 C. 2x C . D. 3ln x2 2x.ln 2 C . 3 x3 4 Lời giải Chọn B 4 x 3 3 x x 3 2 Ta có: x 2 2 dx C . x 4 x ln 2 Câu 8. Cho hàm số f x e2019x . Nguyên hàm f x dx là e2019x A. f x dx e2019x C . B. f x dx C . 2019x 1 C. f x dx 2019e2019x C .D. f x dx e2019x C . 2019 Lời giải Chọn D 1 Ta có f x dx e2019x C . 2019 ln x Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . x 1 A. f x dx ln2 x C .B. f x dx ln2 x C . 2 C. f x dx ln x C D. f x dx ex C Lời giải Chọn B 1 Ta có f x dx ln xd ln x ln2 x C . 2 Câu 10. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2018x . cos 2018x cos 2018x A. C B. C 2018 2019 cos 2018x C. C D. 2018cos 2018x C 2018 Lời giải Chọn C
7. cos 2018x Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: sin 2018xdx C . 2018 Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f x x2 cos x là 1 1 A. 2 x sin x C .B. x3 sin x C . C. x3 sin x C . D. x 3 sin x C . 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: x2 cosx dx x3 sin x C . 3 Câu 12. Mệnh đề nào sau đây đúng? dx dx 1 dx A. 2 x C . B. C . C. ln x C . D. 2x dx 2x C . x x2 x x 1 Lời giải Chọn A dx Xét A có 2 x C là mệnh đề đúng. x dx 1 dx 1 Xét B có C sai vì C . x2 x x2 x dx dx Xét C có ln x C sai vì ln x 1 C . x 1 x 1 2x Xét D có 2x dx 2x C sai vì 2x dx C . ln 2 Câu 13. Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx .B. 2 f x dx 2 f x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx .D. f x g x dx f x dx g x dx . Lời giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng (do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm) nên A sai. 1 Câu 14. Nếu f x dx ln x C thì f x là x 1 A. f x x ln x C .B. f x x ln x C . x 1 x 1 C. f x ln x C .D. f x . x2 x2 Lời giải Chọn D
8. 1 1 1 x 1 x 1 Ta có ln x C 2 2 , suy ra f x 2 là hàm số cần tìm. x x x x x x2 x 1 Câu 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . x 1 1 1 x2 A. x C .B. 1 C .C. ln x 1 C .D. x2 ln x 1 C . x 1 x 1 2 2 Lời giải: Chọn C x2 x 1 1 Ta có f x x x 1 x 1 x2 f x dx ln x 1 C . 2 Câu 16. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 52x . 52x 25x A. 52x dx 2. C .B. 52x dx C . ln 5 2ln 5 25x 1 C. 52x dx 2.52x ln 5 C .D. 52x dx C . x 1 Lời giải Chọn B 25x 25x Ta có 52x dx 25x dx C C . ln 25 2ln 5 3 1 3 Câu 17. Hàm số f x 2x 1 có một nguyên hàm F x thỏa F 4 . Tính P F . 2 2 A. P 32. B. P 34. C. P 18. D. P 30. Lời giải Chọn B 4 4 3 1 2x 1 2x 1 2x 1 dx . C C . 2 4 8 4 1 2x 1 F 4 2 C 4 C 2 F x 2 . 2 8 3 Do đó F 34. 2 4 Câu 18. Tìm họ nguyên hàm của f x . x2 6x 9 4 2 4 4 A. dx C .B. dx C . x2 6x 9 x 3 x2 6x 9 x 3
9. 4 4 4 4 C. dx C . D. dx C . x2 6x 9 x 3 x2 6x 9 x 3 Lời giải Chọn B 4 4 4 1 4 I dx dx . C C. 2 2 x 6x 9 x 3 1 x 3 x 3  Mức độ 2 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f x 2sin 3x cos 2x là: 1 1 A. cos5x cos x C . B. cos5x cos x C . 5 5 C. 5cos5x cos x C . D. Kết quả khác. Lời giải Chọn A 1 2sin 3x cos 2x dx sin 5x sin x dx sin 5xdx sin xdx cos5x cos x C . 5 Câu 20. Tính I (sin x cos x)2 dx . 1 1 A. I x cos2x C . B. I x cos2x C . 2 2 1 1 C. I x cos2x C .D. I x cos2x C . 2 2 Lời giải Chọn A 1 I (sin x cos x)2 dx (sin2 x 2sin x cos x cos2 x)dx (1 sin 2x)dx x cos 2x C 2 Câu 21. Tính I = ò ex 5- ex dx . 2 3 2 3 A. I = 5- ex + C . B. I = - 5- ex + C . 3( ) 3( ) 3 3 2 2 C. I = - 5- ex + C . D. I = - 5- ex + C . 4( ) 3( ) Lời giải Chọn B Đặt t = 5- ex Þ t 2 = 5- ex Þ 2tdt = - exdx 2 I = ex 5- ex dx = t.(- 2t)dx = - 2t 2dt = - t3 + C . ò ò ò 3 2 3 Vậy I = - 5- ex + C . 3( )
10. Câu 22. Hãy xác định hàm số F x ax3 bx2 cx 1. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số y f x thỏa mãn f 1 2 , f 2 3 và f 3 4 . 1 1 A. F x x3 x2 x 1. B. F x x3 x2 2x 1. 2 3 1 1 1 C. F x x2 x 1. D. F x x3 x2 x 1. 2 3 2 Lời giải Chọn C f x 3ax2 2bx c. a 0 3a 2b c 2 1 Theo để 12a 4b c 3 b . 2 27a 6b c 4 c 1 1 Vậy f x x2 x 1. 2 x 2 Câu 23. Cho F (x) là một nguyên hàm của y . Nếu F 1 3 thì F (x) bằng x3 1 1 1 1 1 1 1 1 A. 3. B. 3. C. 1.D. 1. x x2 x x2 x x2 x x2 Lời giải Chọn D x 2 1 1 1 1 F(x) 3 dx 2 2 3 dx 2 C , x x x x x 1 1 mà F 1 3 C 1 F(x) 1. x x2 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 22x.3x.7x là 84x 22x.3x.7x A. C . B. C . C. 84x C . D. 84x.ln84 C . ln84 ln 4.ln 3.ln 7 Lời giải Chọn A x x 84 Ta có: f x dx 22x.3x.7x dx 4.3.7 dx 84x dx C ln84 2x 1 Câu 25. Nguyên hàm của hàm số là. ex 2x 2x A. e x C .B. e x C . ex ln 2 1 ex ln 2 1 2x 2x C. e x C . D. 2e x C . ex ln 2 1 ex ln 2 1
11. Lời giải Chọn B x x x 2 1 2 1 2 x Ta có x dx x dx x dx dx e dx e e e e x 2 x e 2 e x C e x C . 2 x ln e ln 2 1 e sin2 2xdx Câu 26. Nguyên hàm là. 1 1 1 A. x sin 4x C . B. sin3 2x C . 2 8 3 1 1 1 1 C. x sin 4x C . D. x sin 4x C . 2 4 2 8 Lời giải Chọn A 2 1 cos 4x 1 1 1 1 Ta có: sin 2xdx dx x sin 4x C x sin 4x C. 2 2 4 2 8 . Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f x 4x 1 ln x là A. 2x2 ln x 3x2 . B. 2x2 ln x x2 . C. 2x2 ln x 3x2 C .D. 2x2 ln x x2 C . Lời giải Chọn D I f x dx 4x 1 ln x dx 4xdx 4 x ln xdx . + 4xdx 2x 2 C . 1 x2 x2 x2 1 x2 x x2 x2 + x ln xdx ln xd ln x . dx ln x dx ln x C 2 2 2 x 2 2 2 4 2 Suy ra I 2x2 2x2 ln x x2 C 2x2 ln x x2 C . Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 8x 25 .7x . A. . f x dx 7x ln 7 8x 25 8ln 7 C 7x 7x B. f x dx 8x 25 8 C . ln 7 ln 7 1 8 C. . f x dx 8x 25 .7x 7x C 2 ln 7 ln 7 1 8 D. f x dx 8x 25 .7x 7x C . 2 ln 7 ln 7 Lời giải Chọn D
12. Cách 1: Sử dụng phương pháp từng phần ïì du = 8dx ïì u = 8x- 25 ï Đặt ï Þ ï x í x í 7 îï dv = 7 dx ï v = îï ln 7 7x 8 7x 8 Vậy f x dx 8x 25 7xdx 8x 25 7x C . 2 ln 7 ln 7 ln 7 ln 7 Cách 2: Dùng sơ đồ đường chéo 7x 7x I 8x 25 8 C . ln 7 ln2 7 1 æpö Câu 29. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x)= (4x- 5)sin 2x và F (0)= . Khi đó giá trị F ç ÷ 2 èç4ø÷ bằng bao nhiêu? A. 2 . B. - 3 .C. - 1. D. 3 . Lời giải Chọn C Cách 1: (Dùng mẹo tính nhanh) 1 1 F(0)= 5 Suy ra F (x)= - (4x- 5)cos 2x + sin 2x + C ¾ ¾ ¾2® + C = - 2 2 2 1 æpö Khi đó F (x)= - (4x- 5)cos 2x + sin 2x- 2 Þ F ç ÷= - 1. 2 èç4ø÷ Cách 2: (Dùng định nghĩa tích phân, kết hợp Casio).
13. p p 4 p æpö 4 Ta có (4x- 5)sin 2xdx = F (x)|4 = F ç ÷- F (0) = (4x- 5)sin 2xdx + F (0). ò 0 èç ø÷ ò 0 4 0 æpö 3 1 Suy ra F ç ÷= - + = - 1. èç4ø÷ 2 2 Cách 3: ïì du = 4dx ïì u = 4x- 5 ï 1 Đặt: í Þ í 1 Þ F (x)= - (4x- 5)cos 2x + 2ò cos 2xdx îï dv = sin 2xdx ï v = - cos 2x 2 îï 2 1 = - (4x- 5)cos 2x + sin 2x + C . 2 1 5 1 1 Có F (0)= Û + C = Þ C = - 2 Þ F (x)= - (4x- 5)cos 2x + sin 2x- 2 2 2 2 2 æpö Þ F ç ÷= - 1. èç4ø÷ Chú ý: Ở cách số 2 khi dùng định nghĩa tích phân, chỉ làm được khi hàm số xác định và liên tục é p ù trên ê0; ú. ëê 4 ûú x 3 Câu 30. Khi tính nguyên hàm dx , bằng cách đặt u x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. 2u u2 4 du . B. u2 4 du .C. 2 u2 4 du . D. u2 3 du . Lời giải Chọn C 2 dx 2udu Đặt u x 1 , u 0 nên u x 1 2 . x u 1 x 3 u2 1 3 Khi đó dx .2udu 2 u2 4 du . x 1 u 1+ ln x Câu 31. Tìm nguyên hàm I = dx ò x ln2 x ln2 x A. I = ln x + + C . B. I = x + + C . 2 2 C. I = ln x + ln2 x + C . D. I = x + ln2 x + C . Lời giải Chọn A 1+ ln x ln2 x Ta có: I = dx = (1+ ln x)d ln x = ln x + + C ò x ò 2 I = x(1- x2 )2017 dx Câu 32. Tính ò
14. (1- x2 )2018 (1- x2 )2018 A. I = - + C . B. I = + C . 2018 2018 (1- x2 )2018 (1- x2 )2018 C. I = - + C . D. I = + C . 4036 4036 Lời giải Chọn C 1 (1- x2 )2018 Cách 1: Ta có: I = x(1- x2 )2017 dx = - (1- x2 )2017 d(1- x2 ) = - + C ò 2 ò 4036 1 Cách 2: Đặt t = 1- x2 Þ dt = - 2xdx Þ xdx = - dt, 2 1 1 t 2018 (1- x2 )2018 Khi đó I = t 2017 (- dt) = - t 2017dt = - + C = - + C ò 2 2 ò 4036 4036 4x- 1 I = dx ò 2 Câu 33. Tính 4x - 2x + 5 1 1 A. I = + C . B. I = - + C . 4x2 - 2x + 5 4x2 - 2x + 5 1 C. I = ln 4x2 - 2x + 5 + C .D. I = ln 4x2 - 2x + 5 + C . 2 Lời giải Chọn D 4x- 1 d(2x2 - x) 1 d(4x2 - 2x + 5) 1 Ta có: I = dx = = = ln 4x2 - 2x + 5 + C ò 4x2 - 2x + 5 ò 4x2 - 2x + 5 2 ò 4x2 - 2x + 5 2 2 Câu 34. Hàm F x nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x xex ? 1 2 1 2 A. F x ex 2 . B. F x ex 5 . 2 2 1 2 1 2 C. F x ex C . D. F x 2 ex . 2 2 Lời giải Chọn C 2 1 Ta có f x dx xex dx. Đặt t x2  dt 2xdx xdx dt. 2 1 1 1 2 Khi đó f x dx etdt et C ex C . 2 2 2 3 a a Câu 35. Cho ex ex 1 dx (ex 1)m C (với a,b Z , là phân số tối giản). Tìm H a2 b m . b b A. H 4 . B. H 1 . C. H 4 .D. H 1. Lời giải Chọn D 3 1 ex ex 1 dx (ex 1)3 d(ex 1) (ex 1)4 C . 4
15. a 1 2 2 b 4 H a b c 1 4 4 1 m 4 Câu 36. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x x ln x . Tính F x . 1 A. F x 1 ln x .B. F x .C. F x 1 ln x . D. F x x ln x . x Lời giải Chọn C Ta có: F x f x dx x ln xdx F x x ln x F x ln x 1. Câu 37. Tìm họ của nguyên hàm f x tan2x. A. tan2x dx 2 1 tan2 2x C .B. tan 2x dx ln cos2x C . 1 1 C. tan2x dx 1 tan2 2x C.D. tan 2x dx ln cos2x C . 2 2 Lời giải Chọn D sin 2x 1 d cos2x 1 Ta có: tan 2x dx dx ln cos2x C . cos2x 2 cos2x 2  Mức độ 3 2x Câu 38. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)= (2x- 5)e và F (3)= 1. Biết x = xo là nghiệm của F (x)= xe2x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 3 3 3 3 1 A. < x < B. < x < 1 C. - 1< x < - D. - < x < - 3 0 4 4 0 0 4 4 0 3 Lời giải Chọn D ïì du = 2dx ïì u = 2x- 5 ï Ta có F x = 2x- 5 e2xdx. Đặt ï Þ ï ( ) ò( ) í 2x í 1 2x îï dv = e dx ï v = e îï 2 (2x- 5)e2x (2x- 5)e2x 1 Khi đó F (x)= - e2xdx = - e2x + C = (x- 3)e2x + C 2 ò 2 2 Từ F (3)= 1Û C = 1Þ F (x)= (x- 3)e2x + 1. Khi đó: æ ö 2x 2x 2x 2x 1 1 ç 3 1÷ F (x)= xe Û (x- 3)e + 1= xe Û e = Û x = x0 = - ln 3 » - 0,55 Î ç- ;- ÷ 3 2 èç 4 3ø÷ Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 sin x là
16. x2 x2 A. xsin x cos x C .B. x cos x sin x C . 2 2 x2 x2 C. x cos x sin x C . D. xsin x cos x C . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: f x dx x 1 sin x dx xdx x.sin xdx xdx xd cos x x2 x2 = x cos x cos xdx = x cos x sin x C . 2 2 Câu 40. Tìm nguyên hàm I = ò(x2 - 2x + 3)sin xdx . A. I = - (x2 - 2x- 3)cos x + 2(x- 1)sin x + C .B. I = - (x- 1)2 cos x + 2(x- 1)sin x + C . C. I = - (x2 - 2x- 5)cos x- 2(x- 1)sin x + C . D. I = (x- 1)2 cos x- 2(x- 1)sin x + C . Lời giải Chọn B Cách 1. (Dùng mẹo tính nhanh) Þ I = - (x2 - 2x + 3)cos x- (2x- 2)(- sin x)+ 2cos x + C = - (x- 1)2 cos x + 2(x- 1)sin x + C . Cách 2. Đặt ïì u = x2 - 2x + 3 ïì du = 2(x- 1)dx íï Þ íï ( )Þ I = - x2 - 2x + 3 cos x + 2(x- 1)cos xdx (1). ï ï ( ) ò îï dv = sin xdx îï v = - cos x Đặt ïì u = 2(x- 1) ïì du = 2dx íï Þ íï ï ï îï dv = cos xdx îï v = sin x Þ ò 2(x- 1)cos xdx = (2x- 2)sin x- 2òsin xdx = (2x- 2)sin x + 2cos x (2) Thay (2) vào (1), ta được I = - (x- 1)2 cos x + 2(x- 1)sin x + C . I = (x 2 + x + 1)e x dx Câu 41. Tính ò
17. A. I = (x 2 - x + 2)e x + C . B. I = (- x 2 - x + 2)e x + C . C. I = (x 2 + x + 2)e x + C . D. I = (x 2 - x - 2)e x + C . Lời giải Chọn A ïì u = x 2 + x + 1 ïì du = (2x + 1)dx Đặt íï Þ íï . ï x ï x îï dv = e dx îï v = e Khi đó I = (x 2 + x + 1)e x - ò(2x + 1)e x dx . ïì u1 = 2x + 1 ïì du1 = 2dx Tính J = (2x + 1)e x dx . Đặt íï Þ íï . ò ï x ï x îï dv1 = e dx îï v1 = e Suy ra J = (2x + 1)e x - 2ò e x dx = (2x - 1)e x + C '. Do đó I = (x 2 + x + 1)e x - J = (x 2 + x + 1)e x - (2x - 1)e x + C. Vậy I = (x 2 - x + 2)e x + C . Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số I cos 2xe3xdx e3x e3x A. I 3cos 2x 2sin 2x C. B. I 3cos 2x 2sin 2x C. 13 13 e3x e3x C. I 3cos 2x 2sin 2x C. D. I 3cos 2x 2sin 2x C.. 13 13 Lời giải Chọn D du 2sin 2xdx u cos 2x Đặt . 3x 1 3x dv e dx v e 3 1 2 Khi đó I e3x cos 2x sin 2xe3xdx . 3 3 du1 2cos 2xdx u1 sin 2x Tính J sin 2xe3xdx . Đặt . 3x 1 3x dv1 e dx v1 e 3 1 2 1 2 Suy ra J e3x sin 2x cos 2xe3xdx e3x sin 2x I . 3 3 3 3 1 3x 2 1 3x 2 1 3x 2 Do đó I e cos 2x J e cos 2x e sin 2x I 3 3 3 3 3 3 1 2 4 e3x cos 2x e3x sin 2x I . 3 9 9 e3x Vậy I 3cos 2x 2sin 2x C. 13
18. Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ex sin x. 1 A. ex sin xdx ex sin x C. B. ex sin xdx ex sin x ex cos x C. 2 1 C. ex sin xdx ex cos x C. D. ex sin xdx ex sin x ex cos x C . 2 Lời giải Chọn D u sin x du cos xdx Đặt x x . dv e dx v e Khi đó sin xexdx ex sin x cos xexdx ex sin x K . 1 u cos x du sin xdx Tính K cos xexdx . Đặt . x x dv e dx v e Suy ra K ex cos x sin xexdx. 2 Từ 1 và 2 , suy ra sin xexdx ex sin x ex cos x sin xexdx 1 2 sin xexdx ex sin x ex cos x sin xexdx ex sin x ex cos x . 2 Vì các nguyên hàm sai khác nhau hằng số C nên ta chọn D Câu 44. Tính I 2x 1 ln x 1 dx . 1 1 A. I x2 x ln x 1 x2 C . B. I x2 x ln x 1 x2 C . 2 2 1 1 C. I x2 x ln x 1 x2 C . D. I x2 x ln x 1 x2 C . 2 2 Lời giải Chọn C dx u ln x 1 du Đặt x 1 . dv 2x 1 dx 2 v x x x2 x Khi đó I x2 x ln x 1 dx x2 x ln x 1 xdx x 1 1 x2 x ln x 1 x2 C. 2 1 Vậy I x2 x ln x 1 x2 C. 2 1 Câu 45. Nguyên hàm dx bằng. 1 x A. 2 x 2ln | x 1 | C . B. 2 x C .
19. C. 2ln | x 1| C .D. 2 x 2ln x 1 C . Lời giải Chọn D Đặt x t x t 2 dx 2tdt . 2t 2 dt 2 dt 2t 2ln 1 t C 2 x 2ln | x 1| C 2 x 2ln x 1 C . 1 t 1 t 1 Câu 46. Nguyên hàm của hàm số f x là. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 A. C .B. C . 2 2 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 C. C . D. x 1 x 1 x 1 x 1 C . 4 4 Lời giải Chọn B 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có dx dx dx . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 1 1 1 2 2 dx x 1 dx x 1 dx 2 2 2 2 3 3 1 x 1 2 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 . . C C . 2 3 2 3 3 3 2 2 x2dx Câ 47. Tính I . 10 x 3 1 3 1 1 3 1 A. I C .B. I C . x 3 7 4 x 3 8 x 3 9 7 x 3 7 4 x 3 8 x 3 9 1 3 1 1 3 1 C. I C . D. I C . 7 x 3 7 x 3 8 x 3 9 7 x 3 7 4 x 3 8 x 3 9 Lời giải Chọn B dt dx Đặt t x 3 , suy ra . x t 3 2 t 3 8 9 10 1 3 1 Khi đó I 10 dt t 6t 9t dt 7 8 9 C t 7t 4t t 1 3 1 C . 7 x 3 7 4 x 3 8 x 3 9
20. 1 3 1 Vậy I C. 7 x 3 7 4 x 3 8 x 3 9 x Câu 48. Tính I dx . 4 1 x 1 1 1 1 A. I C .B. I C . 2 1 x 2 3 1 x 3 2 1 x 2 3 1 x 3 1 1 1 1 C. I C . D. I C . 3 1 x 2 4 1 x 3 3 1 x 2 4 1 x 3 Lời giải Chọn B dx dt Đặt t 1 x ta có: . x 1 t 1 t 1 1 1 1 1 1 Khi đó I dt dt C C . 4 3 4 2 3 2 3 t t t 2t 3t 2 1 x 3 1 x 1 1 I C 2 1 x 2 3 1 x 3 cos3 x Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sau phép đặt t = 2+ sin x là 2+ sin x t 2 A. F(t) = - 4t + 3ln | t | + C . B. F(t) = t 2 - 2t - ln | t | + C . 2 t 2 C. F(t) = - t 2 + 2t + ln | t | + C .D. F(t) = - + 4t - 3ln | t | + C . 2 Lời giải Chọn D cos3 x 1- sin2 x ïì dt = cos xdx Ta có: ò f (x)dx = ò dx = ò cos xdx = I . Đặtt = 2+ sin x Þ íï . 2+ sin x 2+ sin x îï sin x = t - 2 1- (t - 2)2 æ 3ö t 2 Khi đó: I = F(t) = dt = ç- t + 4- ÷dt = - + 4t - 3ln | t | + C . ò t òèç t ø÷ 2 dx Câu 50. Tìm nguyên hàm I . 1 ex A. I x ln 1 e x C .B. I x ln 1 e x C . C. I x ln 1 ex C . D. I x ln 1 e x C . Lời giải Chọn B dx exdx I . x x x 1 e e 1 e Đặt t ex dt exdx .