Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 34: Ứng dụng tích phân (Tính diện tích hình phẳng)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 34: Ứng dụng tích phân (Tính diện tích hình phẳng)

1. DẠNG TOÁN 34: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng  Dạng 1 : Biết cận tích phân Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f(x),y g(x) và hai đường thẳng x a,x b,(a b) . b Khi đó diện tích miền D là : S f (x) g(x) dx . a b TH 1: Nếu f(x) g(x) 0 vô nghiệm trên a;b thì S f (x) g(x)dx a TH 2: Nếu f(x) g(x) 0 có nghiệm a x1 x2 ... xn b thì : x1 x2 b S f (x) g(x)dx f (x) g(x)dx ... f (x) g(x)dx a x1 xn b Chú ý: Nếu g(x) 0 (trục Ox) thì S f (x) dx . a
2.  Dạng 2: Chưa biết cận tích phân Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f(x),y g(x) . + Giải phương trình f(x) g(x) 0 tìm nghiệm x1 x2 ... xn . x2 x3 xn + Tình S f (x) g(x)dx f (x) g(x)dx ... f (x) g(x)dx x1 x2 xn 1 Chú ý: Nếu biết một cận thì ta tìm cận còn lại.  Dạng 3: Miền cần tính giới hạn bởi 3 đồ thị + Tìm giao điểm từng cặp đồ thị. + Vẽ đồ thị xác định miền D. + Chia miền D để tính diện tích từng phần rồi cộng lại. DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT: Hình elip Hình parabol
3. x2 y2 Diện tích parabol có chiều cao h và bán kính Cho elip có phương trình 2 2 1 , a b 4 khi đó diện tích elip là : S ab đáy r là: S r.h 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân.  Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ.  Diện tích hình phẳng y=f(x), Ox.  Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x).  Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x), y=h(x).  Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x2 , y 1, x 0 và x 1 được tính bởi công thức nào dưới đây? 1 1 A. S 2x2 1 dx .B. S 2x2 1 dx . 0 0 1 1 2 C. S 2x2 1 dx .D. S 2x2 1 dx . 0 0 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định các đường giới hạn của hình phẳng y f1(x) , y f2 (x) , x a , x b y f x 2x2 , y f x 1, x a 0 và x b 1 1 2 B2: Đưa ra công thức tính diện tích hình phẳng b 1 1 S f (x) f (x) dx S 2x2 1 dx 2x2 1 dx 1 2 a 0 0
4. B3: Phân tích để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 1 1 Diện tích của hình phẳng là S 2x2 1 dx 2x2 1 dx 0 0 1 1 2 2 2 Vì 2x 1 0,x ¡ nên 2x 1 dx 2x 1 dx . 0 0 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1: Với hàm f x tùy ý liên tục trên ¡ , a b , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và các đường thẳng x a , x b được tính theo công thức b b b b A. S f x dx . B. S f x dx . C. S f x dx . D. S f x dx . a a a a Lời giải Chọn A Theo công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành b và các đường thẳng x a , x b a b . Ta có S f x dx a ln x Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0 , x 1, x e . Mệnh x2 đề nào dưới đây đúng? 2 2 e ln x e ln x e ln x e ln x A. S dx .B. S dx . C. S dx . D. S dx . 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x Lời giải Chọn B e ln x Ta có S dx . 2 1 x ln x e ln x Vì x [1;e], ln x 0 0 S dx . 2 2 x 1 x Câu 3: Diện tích phần hình phẳng tô màu trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào dưới đây?
5. 3 3 A.  f (x) g(x)dx . B. g(x) f (x)dx . 2 2 0 3 0 3 C.  f (x) g(x)dx g(x) f (x)dx . D. g(x) f (x)dx  f (x) g(x)dx . 2 0 2 0 Lời giải Chọn C Từ đồ thị hai hàm số y f (x) và y g(x) ta có diện tích phần hình phẳng tô màu trong hình vẽ 3 là: S f (x) g(x) dx 2 0 3 f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx 2 0 0 3  f (x) g(x)dx g(x) f (x)dx 2 0 Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào? 3 3 A. x2 3x dx. B. x2 3x dx . 0 0 3 3 3 3 C. x2 4x 2 dx x 2 dx . D. x 2 dx x2 4x 2 dx. 0 0 0 0 Lời giải Chọn B 3 3 2 2 Ta có x 2 x 4x 2 dx x 3x dx . 0 0
6. Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a, x b (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng ? b c b A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . a a c c b c b C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . a c a c Lời giải Chọn B c b Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta được S f x dx f x dx . a c Câu 6: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y x3 3x , y x . Tính S . A. S 4 . B. S 8. C. S 2 . D. S 0 . Lời giải Chọn B x 2 3 3 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x 3x x x 4x 0 x 0 . x 2 0 2 Vậy S x3 4x dx x3 4x dx 4 4 8 . 2 0 Câu 7: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3x , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S 3xdx . B. S 32xdx . C. S 3xdx . D. S 32xdx . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A 2 Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức S 3xdx . 0 Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x3 , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 1 bằng 1 1 2 A. . B. . C. . D. 1. 3 2 3 Lời giải Chọn B Giải phương trình: x3 0 x 0
7. 1 0 1 1 Khi đó: S x3 dx x3dx x3dx (đvdt). 1 1 0 2 Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử SD là diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? 0 b 0 b A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx . D D a 0 a 0 0 b 0 b C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . D D a 0 a 0 Lời giải Chọn B b 0 b Ta có S f x dx f x dx f x dx . D a a 0 Vì f x 0,x a;0, f x 0,x 0;b nên: 0 b 0 b S f x dx f x dx f x dx f x dx. D a 0 a 0 2 Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 1, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 bằng 2 3 1 7 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 Ta có: S x 2 1 dx x2 4x 3 dx x2 4x 3 dx . 1 1 1 3  Mức độ 2 Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x3 11x 6 và y 6x2 là 1 1 A. 52 . B. 14 . C. . D. . 4 2 Lời giải Chọn D
8. x 1 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : x3 11x 6 6x2 . x 2 x 3 2 3 Diện tích của hình phẳng là : S x3 6x2 11x 6 dx x3 6x2 11x 6 dx 1 2 2 3 4 4 x 3 11 2 x 3 11 2 1 1 1 2x x 6x 2x x 6x . 4 2 4 2 4 4 2 1 2 Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f x x ; g x x 2 trong hình sau y 2 O 2 4 x 7 10 11 7 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B 4 4 4 2 3 x2 10 S x x 2 dx x x 2 dx x 2 2x . 3 2 3 0 0 2 Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong y x3 12x và y x2 . 937 343 793 397 A. S .B. S .C. S .D. S . 12 12 4 4 Lời giải Chọn A Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong: x 0 3 2 2 x 12x x x(x x 12) 0 x 3 . x 4 4 0 4 Diện tích cần tìm là: S x3 x2 12x dx x3 x2 12x dx x3 x2 12x dx 3 3 0 0 4 0 4 4 3 4 3 3 2 3 2 x x 2 x x 2 x x 12x dx x x 12x dx 6x 6x 4 3 4 3 3 0 3 0
9. 99 160 937 . 4 3 12 x 1 Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H : y và các trục tọa độ. Khi x 1 đó giá trị của S bằng A. S 2ln 2 1. B. S ln 2 1. C. S ln 2 1. D. S 2ln 2 1. Lời giải Chọn A x 1 H : y , H cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A 1;0 , B 0; 1 . x 1 x 1 Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y 0, x 0 x 1 1 x 1 1 2 x 1 Suy ra S dx 1 dx (do không đổi dấu với x 0;1 ) 0 x 1 0 x 1 x 1 4 x 2ln 1 x 2 ln 2 1 . 0 Vậy S 2ln 2 1. Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 0 0 A. x2 3x dx .B. x2 3x dx . 3 3 0 0 C. x2 5x 2 dx .D. x2 5x 2 dx . 3 3 Lời giải Chọn B. Ta thấy: x  3;0 : x 1 x2 4x 1 nên 0 0 2 2 S x 1 x 4x 1 dx x 3x dx . 3 3
10. Câu 6: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1 A. 2x3 3x2 1 dx . B. 2x3 x2 2x 3 dx . 1 1 2 2 1 1 C. 2x3 3x2 1 dx . D. 2x3 x2 2x 3 dx . 1 1 2 2 Lời giải Chọn C. 1 3 2 2 Ta thấy: x ;1 : 2x 2x x 1 x x 2 nên 2 3 3 3 2 2 3 2 S 2x 2x x 1 x x 2 dx 2x 3x 1 dx . 1 1 Câu 7: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 3 3 A. x3 5x2 9x 7 dx . B. x3 5x2 9x 7 dx . 1 1 3 3 C. x3 x2 9x 9 dx .D. x3 x2 9x 9 dx . 1 1 Lời giải
11. Chọn C Ta thấy: x 1;3 : 2x2 9x 8 x3 3x2 1 nên 3 3 2 3 2 3 2 S 2x 9x 8 x 3x 1 dx x x 9x 9 dx . 1 1 Câu 8: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. 2x2 2x 4 dx .B. 2x 2 dx . 1 1 2 2 C. 2x 2 dx D. 2x2 2x 4 dx 1 1 Lời giải Chọn D Từ đồ thị hai hàm số y x2 3 và y x2 2x 1 ta có x2 3 x2 2x 1, x  1;2 . Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là 2 2 2 2 2 S x 3 x 2x 1 dx 2x 2x 4 dx . 1 1 Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4x x2 và trục Ox 34 31 32 A. 11. B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4x x2 và trục Ox .
12. 2 x 0 Xét phương trình 4x x 0 . x 4 4 4 4 x3 32 Ta có S 4x x2 dx (4x x2 )dx (2x2 ) . 0 0 3 0 3 Câu 10: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y e2x , trụcO x,Oy và đường thẳng x = 2 . Tính S hình phẳng trên. 1 1 1 A. .e 4 1 B. e4 1 . C. . e4 D. . e4 1 2 2 2 Lời giải Chọn B 2 1 2 1 Ta có: S = e2x dx = e2x = e4 - 1 . ò 0 ( ) 0 2 2  Mức độ 3 Câu 1: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên ? 109 109 61 61 A. . B. . C. . D. . 6 3 12 9 Lời giải Chọn A 5 2 Ta có diện tích hình phẳng: S x 3 x 4x 3 dx 0 1 3 5 2 2 2 x 3 x 4x 3 dx x 3 x 4x 3 dx x 3 x 4x 3 dx 0 1 3 1 3 5 x2 5x dx x2 3x 6 dx x2 5x dx 0 1 3
13. 1 3 5 x3 5x2 x3 3x2 x3 5x2 6x 3 2 3 2 3 2 0 1 3 . 13 26 22 109 6 3 3 6 Câu 2: Biết rằng parabol P : y2 2x chia đường tròn C : x2 y2 8 thành hai phần lần lượt có b b diện tích là S , S (như hình vẽ). Khi đó S S a với a,b,c nguyên dương và là 1 2 2 1 c c phân số tối giản. Tính S a b c . y S2 S1 x O A. S 13 . B. S 16 . C. S 15 . D. S 14 . Lời giải Chọn C y S2 S1 x O 1 2 2 2 x2 y2 8 x2 2x 8 0 x 4  x 2 x 2 Xét hệ . 2 2 2 2 y 2x y 2x y 2x y 4 2 2 2 S 2 2xdx 2 8 x2 dx 1 0 2 2 2 2 16 I 2 2xdx 2. 2. x3 . 1 0 3 0 3
14. 2 2 I 2 8 x2 dx 2 2 Đặt x 2 2 cost dx 2 2 sin tdt x 2 t , x 2 2 t 0 . 4 0 4 4 4 2 2 1 I 2 8 8cos t 2 2 sin tdt 16 sin tdt 8 1 cos 2t dt 8 t sin 2t 2 4 . 2 0 0 2 0 4 4 S I I 2 . 1 1 2 3 2 4 S 2 2 S 6 . 2 1 3 8 S S 4 . 2 1 3 Vậy a 4 , 8 , c 3 S a b c 15 . x2 2ax 3a2 Câu 3: Tìm số thực dương a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y và 1 a6 a2 ax y có diện tích đạt giá trị lớn nhất. 1 a6 1 A. 2. B. . C. 1. D. 3 3 . 3 2 Lời giải Chọn C x2 2ax 3a2 a2 ax Phương trình hoành độ giao điểm của 2 hàm số là: 1 a6 1 a6 2 2 x a x 3ax 2a 0 x 2a Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là: a x2 3ax 2a2 1 x3 3 a S dx ax2 2a2 x 6 6 2a 1 a 1 a 3 2 2a 3 1 a 3 3 3 8 3 3 3 6 a 2a a 6a 4a 1 a 3 2 3 3 3 a Cauchy a 1 = . Dấu " " a6 1 a 1,vì a 0 . 6 1 a6 12 a3 12 1 Vậy diện tích S đạt giá trị lớn nhất là , khi a 1. 12
15. Câu 4: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 và nửa đường tròn tâm H bán kính bằng 2 nằm phía trên trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của H được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1 A. S 2 x2 3x2 dx . B. S 2. 4 x2 3x2 dx . 0 0 1 1 C. S 3x2 4 x2 dx . D. S 4 x2 3x2 dx . 0 0 Lời giải Chọn B Phương trình đường tròn tâm O bán kính bằng 2 là: x2 y2 4. Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành là: y 4 x2 với x  2;2 . Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là: x2 1 (TM ) 2 2 2 4 4 2 4 x 3x 4 x 3x 3x x 4 0 4 x 1. x2 (L) 3 1 1 Diện tích hình phẳng H là: S 4 x2 3x2 dx 2. 4 x2 3x2 dx. 1 0 (Vì trục Oy chia hình H thành 2 nửa bằng nhau, có diện tích bằng nhau và trên  1;1, đồ thị của nửa đường tròn nằm phía trên parabol. Câu 5: Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y m và y n chia (H ) thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức T (4 m)3 (4 n)3 bằng
16. 320 512 75 A. T . B. T . C. T 405 . D. T . 9 15 2 Lời giải Chọn A *) Chứng minh công thức tính nhanh diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 2 số y ax bx c (a 0) cắt trục hoành tại 2 điểm x1, x2 và trục hoành ( x1 x2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ax2 bx c (a 0) và trục hoành là x2 S ax2 bx c dx x1 Không mất tính tổng quát, sử a<0. Vì đồ thị hàm số đã cắt trục hoành tại hai điểm 2 phân biệt x1, x2 nên ax bx c 0, x x1; x2 . Do đó, x2 x2 S (ax2 bx c)dx a 3 b 2 a 3 3 b 2 2 ( x x cx) (x2 x1 ) (x2 x1 ) c(x2 x1 ) 3 2 x 3 2 x1 1 a b a b2 c b b (x x ) (x2 x x x2 ) (x x ) c ( ) ( ) c 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 a 3 a a 2 a 2 2 3 b 4ac b 4ac 2 2 . Vậy S 2 hay S 4 a 6a a 6a 6a 6a 36a *) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải bài tập: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x và trục hoành 16 16 32 Ta có S 6a2 6 3 2 +) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x (P) và y m Tịnh tiến (P) xuống dưới m đơn vị ta được đồ thị hàm số y x2 4x m 2 Khi đó S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x m và trục Ox 3 3 2 2 1 (16 4m) 3 36S1 S1 4 (4 m) 3 (1) 36a1 36 4 2 +) Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x (P) và y n Tịnh tiến (P) xuông n đơn vị ta được đồ thị hàm số y x2 4x n 2 Khi đó S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x n và trục Ox 3 3 2 2 2 (16 4n) 3 36S2 S2 4 (4 n) 3 (2) 36a2 36 4
17. S 32 2S 64 Theo bài ra ta có S ; S= 1 3 9 3 9 36(S 2 S 2 ) 9 5120 320 Từ (1) và (2) ta có T 1 2 . 43 16 81 9 . 2 Câu 6: Cho Parabol P : y x 1 và đường thẳng d : y mx 2 với m là tham số. Gọi m0 là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và d là nhỏ nhất. Hỏi m0 nằm trong khoảng nào? 1 1 1 A. 2; .B. 0;1 . C. 1; . D. ;3 . 2 2 2 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ của P và d là x2 mx 1 0 1 . Dễ thấy 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi a, b a b là các nghiệm của 1 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và d là b b b 3 2 2 2 x mx S x mx 1 dx x mx 1 dx x 3 2 a a a b3 a3 m(b2 a 2 ) b2 ab a2 m(b a) (b a) b a . 1 3 2 3 2 2 2 b a ab m b a = b a 4ab. 1 3 2 2 2 m 2 4 Mà a b m, ab 1 nên S m 4. . 6 3 3 4 Do đó min S khi m 0 . 3 Câu 7: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  5;3 có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích các hình phẳng A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và trục hoành lần 1 lượt bằng 6, 3, 12, 2. Tích phân 2 f 2x 1 1 dx bằng 3
18. y (C) (A) (D) -5 (B) O 3 x A. 27 . B. 25 . C. 17 . D. 21 Lời giải Chọn A 1 1 1 Tính 2 f 2x 1 1 dx 2 f 2x 1 dx dx 3 3 3 1 d 2x 1 3 2 f 2x 1 f x dx 4 3 2 5 3 Mà f x dx bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x) và trục hoành 5 3 Suy ra f x dx 6 3 12 2 23. 5 1 Vậy 2 f 2x 1 1 dx 23 4 27 . 3 b b Câu 8: Cho b 0 và xdx x2dx . Diện tích của phần tô màu của hình bên dưới là 0 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 6 4 3 Lời giải Chọn B
19. b b b 0 b b x2 x3 b2 b3 Vì xdx x2dx nên 3 , do b 0 nên ta loại b 0 . 2 3 2 3 b 0 0 0 0 2 Phương trình hoành độ giao điểm của y x2 và y x là x2 x x 0  x 1. Diện tích phần tô đậm bị giới hạn bởi đường cong y x2 và đường thẳng y x trên đoạn 3 2 3 2 1 1; là x x dx . 2 1 6 1 Vậy diện tích phần tô đen bằng . 6 1 Câu 9: Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx 1 và g x dx2 ex a,b,c,d,e ¡ . Biết rằng đồ 2 thị của hàm số y f (x) và y g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3; 1;2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 125 A. . B. .C. .D. 12 12 48 48 Lời giải Chọn C f x g x 0 a x 3 x 2 x 1 0 a x2 4x 3 x 2 0 a(x3 2x2 5x 6) 0 3 3 a 1 Đồng nhất hệ số với phương trình ax3 b d x2 c e x 0 ta có: 2 a 2 1 6 4
20. 1 f x g x x3 2x2 5x 6 4 2 1 253 Do đó S x 3 x 1 x 2 dx . 3 4 48 Câu 10: Hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị C của hàm đa thức bậc ba và parabol P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng 37 7 11 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm số bậc ba và đồ thị hàm số bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là y 2, y 0 nên ta xét hai hàm số là y ax3 bx2 cx 2 , y mx2 nx Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là x 1; x 1; x 2 nên ta có phương trình hoành độ giao điểm ax3 bx2 cx 2 mx2 nx a x 1 x 1 x 2 0 . Với x 0 ta được 2a 2 a 1. 2 37 Vậy diện tích phần tô đậm là: S x 1 x 1 x 2 dx . 1 12  Mức độ 4 Câu 1: Cho hàm số f x ax4 bx3 cx2 dx e với a 0 và g x px2 qx 3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới . Đồ thị hàm số y f x đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y g x tại điểm có hoành độ lần lượt là 2; 1;1 và m. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x g x tại 15 điểm có hoành độ x 2 có hệ số góc bằng . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hai hàm số y f x và y g x (phần được tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình H bằng