Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 33: Nguyên hàm. Tích phân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 33: Nguyên hàm. Tích phân

1. DẠNG TOÁN 33: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN PHẦN I I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: b b 1. Công thức tính tích phân: f x dx F x F b F a . a a b b * Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f x dx hay f t dt. Tích phân đó a a chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 2. Tính chất của tích phân: Giả sử cho hai hàm số f x và g x liên tục trên K ; a,b,c K . Khi đó ta có: a b a . f x dx 0 .. f x dx f x dx . a a b b c b b b b . f x dx f x dx f x dx .. f x g x dx f x dx g x dx . a a c a a a b b b . kf x dx k. f x dx với k 0 .. Nếu f x 0,x a;b thì : f x dx 0 x a;b . a a a b b . Nếu x a;b: f x g x f x dx g x dx . a a b . Nếu x a;b Nếu M f x N thì M b a f x dx N b a . a 3. Phương pháp đổi biến số: a) Đổi biến số dạng 1: • Bước 1: Đặt x u t . Tính vi phân hai vế : x u t dx u ' t dt x b t  • Bước 2: Đổi cận: (nhớ: đổi biến phải đổi cận) x a t • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t b    Vậy: I f x dx f u t u t dt g t dt G t G  G . a b) Đổi biến số dạng 2: • Bước 1: Đặt u u x du u x dx . x b u u b • Bước 2: Đổi cận : (nhớ: đổi biến phải đổi cận) x a u u a • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b b u b Vậy: I f x dx g u x .u x dx g u du . a a u a 4. Phương pháp tích phân từng phần: Cho hai hàm số u và v là các hàm số có đạo hàm liên tục trên b b b đoạn a;b . Khi đó: udv uv vdu * . a a a Phương pháp chung
2. • Bước 1: Viết f x dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f x làm u x và phần còn lại dv v '(x)dx . • Bước 2: Tính du u dx và v dv v x dx . b b • Bước 3: Tính vu x dx và uv . a a II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Hàm đa thức  Hàm phân thức (chỉ biến đổi, không đặt)  Hàm lượng giác (Chỉ cần biến đổi, không đặt)  Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối  Thể hiện quy tắc đổi biến (cho sẵn phép đặt t)  Đổi biến t không qua biến đổi (dt có sẵn)  Đổi biến t sau khi biến đổi (dt bị ẩn)  Đổi biến bằng phương pháp lượng giác hóa  Kết hợp biến đổi, đổi biến, từng phần  Kỹ thuật riêng của hàm phân thức (có đặt)  Kỹ thuật riêng của hàm lượng giác (có đặt) BÀI TẬP MẪU 2 2 x2 2 x2 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét xe dx , nếu đặt u x thì xe dx bằng 0 0 2 4 1 2 1 4 A. 2 eudu .B. 2 eudu .C. eudu .D. eudu . 0 0 2 0 2 0 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. b 2. HƯỚNG GIẢI: Để tính tích phân: I g x dx ta thực hiện các bước: a B1: Biến đổi để chọn phép đặt t u x dt u (x)dx . B2: Thực hiện phép đổi cận: Với x a thì t u a ; Với x b thì t u b . (Nhớ: đổi biến phải đổi cận). u(b) B3: Đưa về dạng I f (t)dt đơn giản và dễ tính hơn. u(a) Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 2 2 du Đặt u x du x dx 2xdx xdx 2 Đổi cận: Với x 0 thì u 02 0 , Với x 2 thì u 22 4 . 2 4 4 x2 u du 1 u Suy ra xe dx e e du . 0 0 2 2 0 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1
3. 1 Câu 1. Tích phân I 4x3 ax 5 dx có giá trị là 2 5a 3a 5a 3a A. I 30 .B. I 30 . C. I 22 .D. I 22 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 1 2 1 3 4 ax a 4a 3a Tích phân I 4x ax 5 dx x 5x 1 5 16 10 30 . 2 2 2 2 2 2 3 dx Câu 2. bằng 1 2x 1 1 2 5 A. ln5 .B. ln 5. C. .D. ln . 2 15 2 Lời giải Chọn A 3 dx 1 3 1 1 Ta có ln 2x 1 ln 5 ln1 ln 5 . 1 2x 1 2 1 2 2 3 1 a Câu 3. Biết dx với a, b là các số nguyên. Tính T a 3b . 2 cos x b 3 6 A. T 1. B. T 1 . C. T 8 . D. T 4 . Lời giải Chọn B 3 1 3 1 2 a a 2 Ta có dx tan x 3 . 2 cos x 3 3 b 3 b 1 6 6 Vậy T a 3b 2 3 1. e ln x Câu 4. Khi đổi biến t ln x , tích phân I dx trở thành tích phân nào? 1 x 1 e e 1 A. I tdt . B. I tdt . C. I dt . D. I dt . 0 1 1 0 Lời giải Chọn A dx Đặt t ln x dt . x x 1 e Đổi cận: . t ln x 0 1 e ln x 1 I dx tdt . 1 x 0 3 exdx Câu 5. Tích phân có giá trị bằng x 0 e 3
4. e3 3 e3 3 A. ln . B. ln . C. ln 4 e3 3 . D. ln e3 1 . 3 4 Lời giải Chọn B x 3 exdx 3 d e 3 e3 3 ln ex 3 ln e3 3 ln 1 3 ln . x x 0 e 3 0 e 3 0 4 2020 Câu 6. Tích phân I 2 x dx bằng 0 1 2 2020 22020 1 A. . B. . C. 1 2 2020 . D. 22020 1. ln 2 ln 2 Lời giải Chọn A 2020 2020 2020 2 x 1 2 2020 I 2 x dx 2 x d x . 0 0 ln 2 0 ln 2 2 Câu 7. Tích phân I 2x 1 ln xdx bằng 1 1 3 1 1 A. 2ln . B. 2ln . C. 2ln 2 . D. 2ln 2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 u ln x du dx Đặt : x . 2 dv 2x 1 dx v x x 2 2 2 2 2 x 1 Khi đó : I x x ln x x 1 dx 2ln 2 x 2ln 2 . 1 1 2 1 2 2 Câu 8. Giá trị tích phân x 2dx bằng: 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 1 2 A. x 2 2 .B. x 2 2 . C. x 2 2 .D. 2 x 2 2 . 2 1 3 1 2 1 1 Lời giải Chọn B 2 2 1 2 3 2 Ta có x 2dx x 2 2 dx x 2 2 . 1 1 3 1 π u x Câu 9. Tính tích phân I x cos 2xdx bằng cách đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 dv cos 2xdx 1 1 π 1 1 π A. I xsin 2x sin 2xdx . B. I xsin 2x sin 2xdx . 2 0 2 0 2 0 2 0 π π C. I xsin 2x sin 2xdx . D. I xsin 2x sin 2xdx . 0 0 0 0 Lời giải
5. Chọn B du dx u x Ta có: 1 . dv cos 2xdx v sin 2x 2 π 1 1 π Khi đó: I x cos 2xdx xsin 2x sin 2xdx . 0 2 0 2 0 2 1 1 Câu 10. Tích phân I dx bằng 2 1 x x 1 2 1 2 1 1 2 1 2 A. ln x . B. ln x . C. 2 3 . D. ln x . x 1 x 1 x x 1 x 1 Lời giải Chọn B 2 1 1 1 2 Ta có: I dx ln x 2 1 x x x 1  Mức độ 2 b Câu 1. Biết rằng e3x 1dx 2 với b ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 1 3 3 1 A. b 0; .B. b 1; . C. b ;2 .D. b ;1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D b b e3x 1 e3b 1 1 1 ln 7 Ta có: e3x 1dx 2 e3b 1 7 b 0,982 . 1 1 3 3 3 3 3 1 Vậy b ;1 . 2 2 dx Câu 2. Tích phân bằng x2 3x 2 0 3 3 A. ln 6 .B. 0. C. ln .D. ln . 2 8 Lời giải Chọn C 2 2 2 dx 1 1 dx ln x 1 ln x 2 ln 3 ln 4 ln1 ln 2 . 2 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 e 2x 3 Câu 3. Tính tích phân I dx . 2 1 x 3 3 3 2 A. I 2 . B. I 5 . C. I 1. D. I . e e e e Lời giải Chọn B
6. e 2x 3 e 2 3 3 e 3 3 I dx dx 2ln x 2 3 5 . 2 2 1 x 1 x x x 1 e e 4 b Câu 4. Biết sin2 xdx với a, b, c là các số nguyên dương. Tính a b2 c . 0 a c A. 5. B. 17 . C. 1. D. 11. Lời giải Chọn C 3 3 3 3 2 1 cos2x 1 1 1 1 sin xdx dx cos2x dx x sin 2x 2 2 2 2 4 6 6 6 6 1 1 2 1 1 3 b . sin . sin . 2 3 4 3 2 6 4 3 4 4 a c Suy ra a 4;b 3;c 4 . Vậy a b2 c 1. 2 Câu 5. Biết I cos 3x .sin x dx . Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 3 2 1 1 A. I 0; . B. I 0. C. I ;1 . D. I ¢ . 5 5 Lời giải Chọn C Ta có: 2 5 1 2 cos 3x .sin x dx sin 4x sin 2x dx 24 24 2 6 4 2 2 1 1 1 4 cos 4x cos 2x 2 4 6 2 4 2 1 1 5 1 3 1 1 13 1 3 cos cos cos cos 2 4 6 2 4 2 4 6 2 4 1 3 2 1 3 2 3 . 2 8 4 2 8 4 8 2 2 Câu 6. Tính tích phân I x x2 1dx bằng cách đặt t x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 1 9 9 1 2 2 2 2 A. I tdt . B. I 2 tdt . C. I tdt . D. I 2 tdt . 2 1 1 2 0 0 Lời giải. Chọn A
7. dt Đặt t x2 1 dt 2xdx xdx . 2 x 0 2 2 Đổi cận: t x2 1 1 9 9 dt 1 9 I t tdt . 1 2 2 1 6 2x Câu 7. Tính I dx , bằng cách đặt u x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 x 3 6 3 6 2 u2 3 3 A. I 4 u2 3 du . B. I u2 3 du . C. I du . D. I 4 u2 3 du 1 2 1 u 2 Lời giải Chọn C dx 2udu Đặt u x 3 , u 0 nên u2 x 3 . 2 x u 3 x 1 6 Đổi cận: u x 3 2 3 2 6 2x 3 2 u 3 3 Khi đó I dx 2udu 4 u2 3 du . 1 x 3 2 u 2 2 dx Câu 8. Khi đổi biến x 2 tan t, tích phân I trở thành tích phân nào? 2 0 x 4 4 1 4 4 1 4 A. I dt B. I dt C. I 2 dt D. I dt 0 2 0 0 4 0 Lời giải Chọn B 2 Đặt x 2 tan t, t ; dx 2 tan t 1 dt . 2 2 x 2 tan t 0 2 Đổi cận: . t 0 4 2 2 dx 4 2 tan 1 1 4 Khi đó : I dt dt . x2 4 2 2 0 0 2 tan t 4 0 2 x 2 Câu 9. Biết rằng 1 dx a b với a,b là các số hữu tỉ. Khi đó a 2b bằng 2 4 1 3 A. . B. 1. C. 1. D. . 2 2 Lời giải Chọn C x Đặt sin t x 2sin t t ; . 2 2 2 dx 2costdt
8. x 2sin t 2 2 Đổi cận: t 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 1 cos 2t I 1 dx 1 sin t.2costdt 2cos t dt 2 dt 2 2 2 2 2 2 sin 2t 2 t a b . 2 2 2 2 Suy ra a 1;b 0 . Vậy a 2b 1. 2 Câu 10. Giá trị của tích phân I x2 3x 2 dx bằng 0 2 7 A. .B. 1.C. 3 .D. . 3 3 Lời giải Chọn B Bảng xét dấu hàm số f x x2 3x 2 trên 0;2 : 2 1 2 Suy ra I x2 3x 2 dx x2 3x 2 dx x2 3x 2 dx 0 0 1 3 2 1 3 2 2 x 3x x 3x 5 2 5 2x 2x 1. 3 2 0 3 2 1 6 3 6  Mức độ 3 1 x3 2x2 3x Câu 1. Giá trị của tích phân I dx bằng 2 2 x 5x 6 15 15 3 7 A. 12ln 2. B. 12ln 2 . C. 6ln 2. D. 6ln2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 1 x3 2x2 3x 1 x 3 x x 1 1 x2 x 1 6 I dx dx dx x 3 dx 2 2 x 5x 6 2 x 2 x 3 2 x 2 2 x 2 x2 1 7 15 3x 6ln x 2 4 6ln 4 12ln 2 . 2 2 2 2 2 Câu 2. Có bao nhiêu số thực a thuộc khoảng ; sao cho sin 2x dx 1? a 6 A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải
9. Chọn B 2 1 1 2 1 1 4 1 1 Ta có: sin 2x dx cos 2x cos cos 2a a 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 a 2a k2 a k 1 6 3 12 cos 2a , k ¢ , k ¢ . 6 2 2a k2 a k 6 3 4 Vì a ; nên 13 11 11  • k k k ¢ k 1;0 a ;  . 12 12 12 12 12 3 5 3  • k k k ¢ k 0;1 a ;  . 4 4 4 4 4  Do đó, có 4 số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 2020 Câu 3. Cho I x3 2 x2 dx và đặt u 2 x2 . Khẳng định nào sau đây sai? 0 1 1 1 2 A. I u2021 2u2020 du . B. I 2 u u2020du . 2 2 2 1 1 2 1 2 C. I 2u2020 u2021 du . D. I 2 u u2020du 2 1 2 1 Lời giải Chọn B Đặt u 2 x2 x2 2 u . du du 2xdx xdx . 2 x 0 1 Đổi cận: t 2 x2 2 1 1 1 1 2020 2020 1 I x3 2 x2 dx x2 2 x2 xdx 2 u u2020du 0 0 2 2 1 2 1 2 2 u u2020du 2u2020 u2021 du . 2 1 2 1 6 Câu 4. Cho I sin5 x cos3 xdx và u sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 1 1 1 1 2 2 2 6 8 2 6 1 u 2 8 1 u 2 u u 7 5 A. I u . B. I u . C. I du . D. u u du . 6 8 6 8 0 6 8 0 0 0 Lời giải Chọn A Đặt u sin x du cos xdx. x 0 6 Đổi cận: 1 t sin x 0 2
10. 1 6 6 6 2 I sin5 x cos3 xdx sin5 x cos2 x cos xdx sin5 x 1 sin2 x cos xdx u5 1 u2 du 0 0 0 0 1 1 1 2 6 8 2 5 7 u u 2 6 1 u 2 u u du u . 0 6 8 6 8 0 0 a dx Câu 5. Biết tích phân I 5 a 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 0 a x A. 5a . B. 2a . C. a 0 . D. a . 4 5 2 5 4 Lời giải Chọn B Đặt x a tan t t ; . 2 2 dx a 1 tan2 t dt . x a tan t 0 a Đổi cận: . t 0 4 4 2 4 a 1 tan t dt 1 t 4 I dt . 2 2 0 a 1 tan t 0 a a 4a 0 Để I 5 a . Vậy mệnh đề: 2a là mệnh đề đúng. 4a 20 5 1 Câu 6. Biết rằng tích phân I ex e dx a.eb c.e trong đó a,b,c là các số nguyên. Giá trị của biểu 3 thức a b c bằng A. 7 .B. 1.C. 7 .D. 1. Lời giải Chọn D Xét hàm số f x ex e trên  3;1 . f x ex 1. f x 0 x 0 . Bảng biến thiên hàm số f x ex e trên  3;1 : Nhận xét: x  3;1, f x ex e 0. 1 1 1 Suy ra I ex e dx ex e dx ex ex e 3 3e a.eb c.e . 3 3 3 Hay a 1;b 3;c 3 .
11. Vậy a b c 1. e x 1 Câu 7. Biết dx ln ae b , với a , b là các nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 1 x x ln x T a2 ab b2 . A. 3 . B. 1. C. 0. D. 8 . Lời giải Chọn B 1 e e 1 e x 1 d x ln x e Ta có dx x dx ln x ln x ln e 1 . 2 1 1 x x ln x 1 x ln x 1 x ln x Vậy a 1, b 1 nên T a2 ab b2 1. e 1 e2 b b Câu 8. Biết x ln x dx với a, b, c là các số nguyên; là phân số tối giản. Tính 1 x a c c a b c . A. 11. B. 9 . C. 7 . D. 13 . Lời giải Chọn A e 1 a c 2 Xét I x ln x dx e . 1 x b d e e 1 I x ln x dx ln x dx . 1 1 x e Tính I x ln x dx . 1 1 1 du dx u ln x x Đặt . dv x dx x2 v 2 e e x2 1 e e2 x2 e2 e2 1 e2 1 Khi đó I .ln x x dx . 1 2 1 2 1 2 4 1 2 4 4 4 4 e 1 Tính I ln x dx . 2 1 x 1 Đặt t ln x dt dx . Đổi cận x 1 t 0; x e t 1. x 1 1 t 2 1 I t dt . 2 0 2 0 2 e2 1 1 3 e2 e2 b Do đó I a 4; b 3; c 4 . 4 4 2 4 4 a c Vậy a b c 11. 3 x2 3x 2 Câu 9. Cho I dx a bln 2 c ln 3 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c 2 2 x 3x 2 bằng A. 19. B. 6 . C. 12. D. 4 .
12. Lời giải Chọn D 3 x2 3x 2 3 6x 4 3 2 8 Ta có: I dx 1 dx 1 dx 2 2 2 x 3x 2 2 x 3x 2 2 x 1 x 2 0 x 2ln x 1 8ln x 2 0 8ln 2 2 2ln 3 8ln 4 2 2 8ln 2 2ln 3 a bln 2 c ln 3. Suy ra a 2;b 8;c 2 . Vậy a b c 4 . ln 6 dx Câu 10. Biết I a ln b bln a với a , b là các số nguyên dương. Tính P a b . x x ln3 e 2e 3 A. P 5. B. P 1. C. P 6 . D. P 1. Lời giải Chọn B ln 6 dx ln 6 exdx Ta có I . x x 2x x ln3 e 2e 3 ln3 e 3e 2 Đặt: t ex dt exdx . x 0 ln 2 Đổi cận: t 1 2 2 1 2 1 1 t 1 2 3 2 9 Khi đó I dt dt ln ln ln ln 2ln 3 3ln 2 . 2 1 t 3t 2 1 t 1 t 2 t 2 1 4 3 8 Suy ra a 2, b 3 . Vậy, P a b 1.  Mức độ 4 m 173 Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để tích phân I 3x 2 dx ? 0 6 A. 7 .B. 1.C. 7 .D. 1. Lời giải Chọn D Bảng xét dấu hàm số f x 3x 2 : + TH1: m 0 . m 0 0 3x2 0 3m2 I 3x 2 dx 3x 2 dx 3x 2 dx 2x 2m 0 nên trường 0 m m 2 m 2 hợp này không thỏa mãn. 2 m 3x2 m 3m2 + TH2: 0 m I 3x 2 dx 2x 2m . 3 0 2 0 2 3m2 173 3m2 173 Ta có: I 2m 2m 0 (vô nghiệm). 2 6 2 6
13. 2 2 m 3 m 2 2 2 3x 3 3x + TH3: m I 3x 2 dx 3x 2 dx 2x 2x 2 3 0 2 2 2 0 3 3 2 3m2 2 3m2 4 2m 2m . 3 2 3 2 3 2 m 5 ; 2 2 3m 4 173 3m 55 3 Ta có: I 2m 2m 0 . 2 3 6 2 2 11 2 m ; 3 3 Vậy chỉ có một giá trị duy nhất m 5 thỏa điều kiện bài toán. 4 sin x 4 1 b b Câu 2. Cho I dx ln , với a, b, c là các số nguyên dương, là 0 5sin x 7 cos x 5 2sin x a c c phân số tối giản. Biểu thức S abc bằng A. 6 . B. 12. C. 24 . D. 48 . Lời giải Chọn C 1 4 sin x 4 sin x cos x 4 I dx 2 dx 0 5sin x 7 cos x 5 2sin x 0 1 sin 2x 5 sin x cos x 6 1 4 sin x cos x dx . 2 2 0 sin x cos x 5 sin x cos x 6 Đặt: t sin x cos x dt cos x sin x dx . x 0 t 1 Đổi cận: . x t 0 4 0 1 0 dt 1 0 1 1 1 t 2 1 2 1 1 4 I dt ln ln ln ln 2 2 1 x 5x 6 2 1 t 2 t 3 2 t 3 1 2 3 2 2 3 1 b ln . a c Suy ra: a 2;b 4;c 3. Vậy S abc 2.4.3 24 . 3 sin xdx 1 b 1 Câu 3. Cho I ln , với a, b là các số nguyên b 0 . Mệnh đề nào sau 0 sin x cos x a 2 2 đây đúng? a a a 1 a A. 1. B. 2 . C. . D. 1. b b b 2 b Lời giải Chọn B 3 cos xdx Xét thêm tích phân liên kết là J . 0 sin x cos x
14. 3 3 sin x cos x dx 3 Ta có I J dx x 1 0 sin x cos x 0 3 0 3 sin x cos x dx Xét tích phân I J . 0 sin x cos x Với tích phân trên ta đặt: t sin x cos x dt cos x sin x dx sin x cos x dx dt . x 0 t 1 Đổi cận 3 1 . x t 3 2 3 1 3 sin x cos x dx 2 dt 3 1 3 1 Suy ra I J ln t 2 ln 2 . 1 0 sin x cos x 1 t 2 1 3 1 I J I ln 3 6 2 2 Từ 1 , 2 ta có hệ phương trình . 3 1 1 3 1 I J ln J ln 2 6 2 2 1 3 1 1 b 1 a Vậy I ln ln a 6;b 3 . Hay 2 . 6 2 2 a 2 2 b 1 x2 1 Câu 4. Cho I dx , với a, b là các số nguyên b 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 4 0 x 1 a a a 1 a A. 1. B. 2 . C. . D. 1. b b b 2 b Lời giải Chọn B 1 2 1 x 1 2 Ta có: F x dx x dx . 4 1 x 1 x2 x2 1 dt 1 2 dx 1 x Đặt: t x . x 1 t 2 x2 2 x2 1 1 2 dt 1 1 1 1 t 2 Suy ra: F x x dx dt ln C . 1 2 x2 t 2 2 2 t 2 t 2 2 2 t 2 x2 1 x 2 2 1 t 2 1 1 x 1 x 2 F x ln C ln x C ln C . 1 2 2 2 t 2 2 2 x 2 2 2 x 1 x 2 x 1 1 x2 1 1 x2 1 x 2 1 2 2 1 Suy ra: I dx ln ln ln 2 1 . x4 1 2 2 x2 1 x 2 2 2 2 2 2 0 0
15. 3 2 3x 1 a c a c Câu 5. Biết dx ln 2 , trong đó a,b,c,d là các số nguyên dương và , là phân 2 1 x 4x 5 b d b d ac số tối giản. Tính ta được kết quả. bd 1 8 7 7 A. . B. . C. . D. . 14 7 8 4 Lời giải Chọn C 3 2 3x 1 3 2 3x 1 dx dx . 2 2 1 x 4x 5 1 x 2 1 Đặt x 2 tan t x tan t 2 t ; . 2 2 dx 1 tan2 t dt . x tan t 2 1 3 2 Đổi cận: . t 4 3 3 3 tan t 2 1 3 3 I 1 tan2 t dt 3 tan t 2 1 dt 3tan t 7 dt 2 1 tan t 4 4 4 3 3 3 sin t 3 3 d cost 7 3 7 3 tan tdt 7 dt 3 dt 7t 3 3ln cost cost cost 12 12 4 4 4 4 4 4 1 7 3 7 a c 3ln ln 2 ln 2 . 2 12 2 12 b d a 3 c 7 ac a c 3 7 7 Suy ra ; . Vậy . . . b 2 d 12 bd b d 2 12 8 2 1 p 2 x p Câu 6. Biết x 1 e x dx me q n , trong đó m,n, p,q là các số nguyên dương và là phân số tối 1 q giản. Tính T m n p q . A. T 11. B. T 10 . C. T 7 . D. T 8. Lời giải Chọn B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x  Ta có: I x 1 e x dx x2 2x 1 e x dx x2 1 e x dx 2x.e x dx . 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 x 1 2  Xét I x2 1 e x dx x2e x . dx x2e x d x x d e x . 1 2 1 1 x 1 x 1 u x2 du 2xdx 1 Đặt x 1 . x x dv d e x v e
16. 2 1 1 2 2 1 x x x I x2d e x x 2 e x 2xe x dx . 1 1 1 1 2 1 1 2 3 x x I 2xe x dx x2e x 4.e 2 1. 1 1 1 3  Vậy I 4e 2 1 suy ra m 1,n 1, p 3,q 2 . Do đó: T m n p q 10 . 0 2 n Câu 7. Biết n là số tự nhiên sao cho x2 1 xdx 1302 . Tính tích phân sin x cosn xdx . 2 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 5 6 5 Lời giải Chọn A 0 n 1 0 0 2 n 1 n 1 n 1 x 1 1 5 1302 x2 1 xdx x2 1 d x2 1 2 2 2 2 n 1 2 n 1 2 5n 1 1 2604 * . n 1 5n 1 1 56 1 Nhận xét: với n 5: 2604 . Suy ra n 5 là một nghiệm của * . n 1 7 5n 1 1 Xét hàm số f n . n 1 5n 1 ln 5 n 1 5n 1 1 5n 1 n 1 ln 5 1 1 f n 0 n ¥ . n 1 2 n 1 2 Vậy * chỉ có duy nhất một nghiệm là n 5. 2 2 6 2 5 5 cos x 1 Khi đó I sin x cos xdx cos xd cos x . 6 6 0 0 0 3 x2020 Câu 8. Tích phân I dx có giá trị là x 3 e 1 32021 32020 32019 A. 0 . B. . C. . D. . 2021 2020 2019 Lời giải Chọn B Đặt x t dx dt . Đổi cận: x 3 t 3; x 3 t 3 2020 3 t 3 t 2020.et 3 t 2020.et 3 x2020.ex Khi đó: I dt dt dt dx . t t t x 3 e 1 3 e 1 3 e 1 3 e 1
17. 3 2021 3 x2020 3 x2020.ex 3 x2021 32021 3 2.32021 Suy ra 2I dx dx x2020dx . x x 3 e 1 3 e 1 3 2021 3 2021 2021 32021 I . 2021 3 dx Câu 9. Cho I . Biết I a b c với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2 x x 1 x 1 x a T c . b 10 26 5 A. . B. . C. . D. 2 . 3 3 2 Lời giải Chọn D 3 dx 3 dx Đặt I . 2 x x 1 x 1 x 2 x x 1 x x 1 x 1 x dx dt Đặt t x x 1 dt dx 2 . 2 x x 1 x x 1 t x 2 3 Đổi cận: t 2 3 3 2 3 2 3 dx 3 2 dt 1 1 1 I 2 2 2 2 t t 3 2 2 3 2 x x 1 x x 1 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 4 48 8 4. I 48 8 4 a b c a 48;b 8;c 4 . a Vậy T c 2 . b 2 9 a b Câu 10. Biết I sin xdx với a,b,c là các số nguyên, c 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 c A. 3a b 4c . B. 3a b 10c. C. 6a b 7c. D. 3a b 5c . Lời giải Chọn C 1 Đặt t x dt dx dx 2tdt . 2 x x 0 t 0 Đổi cận 2 . x t 9 3 2 9 3 3 I 3 I sin xdx sint.2tdt 2 t.sintdt t.sintdt . 0 0 0 2 0 u t du dt Đặt . dv sin tdt v cost
18. 3 I 3 3 3 3 27 t cost costdt t cost sin t . 2 0 6 2 6 0 0 0 27 a b I . 3 c Suy ra a 1;b 27;c 3. Vậy 6a b 7c. DẠNG TOÁN 33: NHẬN DẠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN KHI ĐỔI BIẾN SỐ. PHẦN II: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: b 1.Đổi biến số loại 1:Bài toán : Tính tích phân I g u x .u x dx . a
19. Cách giải: Đặt t u x dt u x dx . u b x a t u a Đổi cận: . Khi đó I g t dt. x b t u b u a Dấu hiệu nhận biết : Dấu hiệu Có thể đặt 1 Có f (x) t f (x) 2 Có (ax b)n t ax b 3 Có a f (x) t f (x) 1 4 Có và ln x t ln x hoặc biểu thức chứa ln x x 5 Có ex t ex hoặc biểu thức chứa ex 6 Có sin x t cos x 7 Có cos x t sin x 1 8 Có t tan x cos2 x 1 9 Có t cot x sin2 x 2.Phương pháp đổi biến số loại 2: Đặt x u t (Đổi biến qua lượng giác). b Bài toán: Tính I f x dx . a Cách giải : Đặt x u t dx u t dt . Đổi cận: x a u ; x b u  . b Suy ra I f u t u t dt . a Dấu hiệu Đặt  Nếu hàm f x có dx d asin t a cost dt đặt x a sin t 2 2 2 2 2 chứa a2 x2 thì a x a a sin t a cost  Nếu hàm f x có adt dx d a tan t 2 cos t chứa a2 x2 thì đặt x a tan t a a2 x2 a2 a2 tan2 t cost
20.  Nếu hàm f x có a costdt dx 2 a sin t chứa x2 a2 thì đặt x sin t cos2 t x2 a2 a2 sin2 t  Nếu hàm f x có dx d a cos 2t 2asin 2tdt a x đặt x a cos 2t a x 1 cos 2 t cos2 t chứa thì a x a x 1 cos 2 t sin2 t II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Hàm phân thức (chỉ biến đổi, không đặt)  Hàm lượng giác (Chỉ cần biến đổi, không đặt)  Thể hiện quy tắc đổi biến (cho sẵn phép đặt t)  Đổi biến t không qua biến đổi (dt có sẵn)  Đổi biến t sau khu biến đổi (dt bị ẩn)  Đổi biến bằng phương pháp lượng giác hóa  Kết hợp biến đổi, đổi biến, từng phần  Kỹ thuật riêng của hàm phân thức (có đặt)  Kỹ thuật riêng của hàm lượng giác (có đặt) BÀI TẬP MẪU 2 2 2 2 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét xex dx , nếu đặt u x2 thì xex dx bằng 0 0 2 4 1 2 1 4 A. 2 eudu . B. 2 eudu . C. eudu . D. eudu . 0 0 2 0 2 0 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Nhận dạng nguyên hàm- tích phân khi đổi biến. 2. HƯỚNG GIẢI: du B1: Tính vi phân 2 vế du = 2xdx Û xdx = . 2 B2:Đổi cận x = 0 Þ u = 0; x = 2 Þ u = 4 . B3:Thay cận và biến mới vào tích phân. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải