Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 18: Nguyên hàm. Tích phân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 18: Nguyên hàm. Tích phân

1. DẠNG TOÁN 18: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ( TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT TÍNH PHÂN) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa tích phân: Định nghĩa: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b. Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên đoạn a;b, hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b ( hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn a;b của hàm số f x ). b b Kí hiệu: f x dx F x F b F a . a a Nhận xét: tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f , vào cận a,b mà không phụ thuộc vào biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn a;b thì tích phân b f x dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường a thẳng x a, x b . b S f x dx a 2. Tính chất tích phân. a f x dx 0 . a b a f x dx f x dx . a b b b kf x dx k f x dx k ¡ . a a b c b f x dx f x dx f x dx a c b . a a c b b b f x g x dx f x dx g x dx . a a a
2. a Nếu y f x là hàm lẻ, liên tục trên đoạn  a;a thì: f x dx 0 . a a a Nếu y f x là hàm chẵn, liên tục trên đoạn  a;a thì: f x dx 2 f x dx . a 0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về tích phân. Sử dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học của tích phân. Các bài toán liên quan tổng, hiệu, tích với các số thực, các hàm đơn giản. Các bài toán liên quan nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm mở rộng. Các bài toán liên quan nguyên hàm chứa nhánh. Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ. Tích phân lượng giác đặc biệt.  BÀI TẬP MẪU 1 1 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Nếu f x dx 4 thì 2 f x dx bằng 0 0 A.16.B.4.C.2.D.8. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tích phân dựa vào tính chất của tích phân. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: b b Tính chất tích phân: k. f x dx k f x dx k ¡ ,k 0 . a a 3. HƯỚNG GIẢI: b b Dựa vào tính chất của tích phân k. f x dx k f x dx k ¡ ,k 0 ta được kết quả. a a Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: 2 f x dx 2 f x dx 2.4 8. 0 0 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1
3. 2 2 Câu 1. Nếu f x dx 3 thì 3 f x dx bằng 2 2 A. 3. B. 0. C. 1. D. 9. Lờigiải Chọn D 2 2 Ta có: 3 f x dx 3 f x dx 9 . 2 2 2 2 2 Câu 2. Nếu f x dx 2; g x dx 1 thì 3 f x g x dx bằng 0 0 0 A. 5. B. 1. C. 7. D. 3. Lờigiải Chọn A 2 2 2 Ta có : 3 f x g x dx 3 f x dx g x dx 5 . 0 0 0 1 1 Câu 3. Nếu f x dx 5 thì f x 3 dx bằng 2 2 A. 8.B.14.C.15.D.11. Lờigiải ChọnB 1 1 1 Ta có : f x 3 dx f x dx 3 dx 5 3 x 1 14 . 2 2 2 2 2 2 1 Câu 4. Nếu f x dx 2, f x dx 1 thì f x dx bằng 1 3 3 A.8.B.14.C. 1 .D.11. Lờigiải ChọnC 1 2 1 2 2 Ta có : f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 1. 3 3 2 3 1 2 2 Câu 5. Nếu f x dx 4 thì 2 f x 8 dx bằng 0 0 A.8.B. 8 . C.0. D.4. Lờigiải ChọnB 2 2 2 Ta có : 2 f x 8 dx 2 f x dx 8 dx 2.4 8 x 2 8 . 0 0 0 0
4. 4 4 3 Câu 6. Nếu f x dx 2, f x dx 5 thì f x dx bằng 3 1 1 A.3.B.-3.C.7. D.-7. Lờigiải ChọnA 3 4 3 4 4 Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 3. 1 1 4 1 3 1 1 1 Câu 7. Biết rằng f x g x dx 3, f x dx 5 . Tính g x dx? 0 0 0 A.2.B.5.C.8.D.-2. Lờigiải ChọnD 1 1 1 Ta có : f x g x dx f x dx g x dx 0 0 0 1 1 1 g x dx f x g x dx f x dx 3 5 2 . 0 0 0 2 2 f x Câu 8. Nếu f x dx 3 thì dx bằng 1 1 3 A.9.B.3.C.1.D.6. Lờigiải ChọnC 2 f x 1 2 Ta có : dx f x dx 1. 1 3 3 1 2 2 Câu 9. Nếu 2 f x 1 dx 3 thì f x dx bằng 0 0 5 1 3 A.2.B. .C. .D. . 2 2 2 Lờigiải ChọnB 2 2 2 2 Ta có : 2 f x 1 dx 2 f x dx dx 2 f x dx 2 . 0 0 0 0 2 2 2 f x 1 dx 2 0 5 f x dx . 0 2 2
5. 2 2 Câu 10. Nếu 3 f x x dx 5 thì f x dx bằng 0 1 7 5 5 A. . B. .C.2.D. . 3 2 3 Lờigiải ChọnA 2 2 2 2 2 2 x 2 Ta có : 3 f x x dx 3 f x dx xdx 3 f x dx 3 f x dx 2 . 0 0 0 0 0 2 0 2 2 3 f x x dx 2 0 7 f x dx . 0 3 3  Mức độ 2 4 2 Câu 1. Nếu f x dx 3 thì f 2x dx bằng 0 0 3 A.3.B.6.C. .D.12. 2 Lờigiải ChọnC Đặt t 2x dt 2dx . x 0 t 0 Đổi cận : . x 2 t 4 2 4 f t 3 f 2x dx dt . 0 0 2 2 2 5 Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y f x có dạng như hình bên và f x dx 1, f x dx 6 . 0 2 Diện tích phần gạch sọc là: y O 2 x 5 2
6. A.4.B.6.C.5.D.7. Lờigiải ChọnD 2 5 2 5 Diện tích phần gạch sọc: S f x dx f x dx f x dx f x dx 7 . 0 2 0 2 1 0 Câu 3. Nếu f x dx 2 thì f 2x 1 dx bằng 1 1 A. 4.B.4.C. 1. D. 1. Lờigiải ChọnC Đặt t 2x 1 dt 2dx . x 1 t 1 Đổi cận : . x 0 t 1 0 1 1 f 2x 1 dx f t dt 1. 1 2 1 1 1 Câu 4. Biết y f x là hàm số chẵn, xác định, liên tụctrên  1;1và f x dx 2 .Tính f x dx 0 1 A.0.B.4.C. 1. D.2. Lờigiải ChọnB 1 1 Vì y f x là hàm số chẵn,xác định,liên tục trên  1;1 nên f x dx 2 f x dx 4 . 1 0 0 2 Câu 5. Biết y f x là hàm số lẻ, xác định, liên tục trên  2;2 và f x dx 4 .Tính f x dx 2 0 A. 4.B.4.C.0.D.2. Lờigiải ChọnA Vì y f x là hàm số lẻ,xác định,liên tục trên  2;2 nên 2 0 2 2 0 f x dx 0 f x dx f x dx 0 f x dx f x dx 4 . 2 2 0 0 2 2 2 2 Câu 6. Biết 3 f x 2g x dx 8, 4 f x g x dx 7 .Tính f x dx 1 1 1 A.1.B.4.C.3.D.2.
7. Lờigiải Chọn D 2 2 3a 2b 8 a 2 Đặt a f x dx, b g x dx . Theo đề bài ta có: . 1 1 4a b 7 b 1 2 Vậy f x dx 2 . 1 2 2 2 Câu 7. Cho 3 f x 2g x dx 1, 2 f x g x dx 3. Khi đó, f x dx bằng 1 1 1 11 5 6 16 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn B. 5 2 2 a 3a 2b 1 7 Đặt a f x dx , b f x dx , ta có hệ phương trình 2a b 3 11 1 1 b 7 2 5 Vậy f x dx . 1 7 2 2 12 Câu 8. Cho f x dx 3, f 5x 2 dx 3 . Khi đó f x dx bằng 1 0 1 A. 18. B. 12. C. 6 . D. 10. Lời giải Chọn A Đặt t 5x 2 dt 5dx , với x 0 t 2 ; x 2 t 12 . 2 1 12 12 2 f 5x 2 dx f t dt f t dt 5. f t dt 15. 0 5 2 2 1 12 2 12 Vậy ta có f x dx f x dx f x dx 3 15 18 . 1 1 2 2 1 2 Câu 9. Cho f x dx 5 , g x dx 3 . Khi đó f x g x dx bằng 1 2 1 A. 8 . B. 8 . C. 2 . D. 2. Lời giải Chọn A 1 2 Ta có : g x dx 3 g x dx 3 . 2 1 2 2 2 f x g x dx f x dx g x dx 8 . 1 1 1 3 Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;3, f 1 3 và f x dx 10 . Khi đó 1 giá trị f 3 bằng
8. A. 13 .B. 13. C. 7 . D. 7 . Lời giải Chọn B 3 3 Ta có : f x dx f x f 3 f 1 10 f 3 10 f 1 13 . 1 1  Mức độ 3 2 2 2019 Câu 1. Cho f x dx 1. Tính f x sin x dx 2 2 A. 1. B. 2019.C.1. D. 2019 . Lời giải Chọn C 2 2019 2019 Vì y sin x là hàm số lẻ, xác định và liên tục trên ; nên sin xdx 0 . 2 2 2 2 2 2 2019 2019 f x sin x dx f x dx sin xdx 1. 2 2 2 0 Câu 2. Cho hàm số f x là hàm số lẻ, liên tục trên  4;4. Biết rằng f x dx 2 và 2 2 4 f 2x dx 4 . Tính tích phân I f x dx . 1 0 A. 10 . B. 10 .C. 6 . D. 6 . Lời giải Chọn B 0 0 2 Vì f x là hàm số lẻ nên : 2 f x dx f x dx f x dx . 2 2 0 Đặt t 2x dt 2dx . Đổi cận: x 1 t 2, x 2 t 4 . 2 2 1 4 4 f 2x dx f 2x dx f t dt 4 f t dt 8 . 1 1 2 2 2 4 f x dx 8 . 2 4 2 4 Vậy I f x dx f x dx f x dx 2 8 6 . 0 0 2 Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1, thỏa 2 f x 3 f 1 x 1 x2 . Giá trị tích 1 phân f x dx bằng? 0 1 3 A.0. B. 1.C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B
9. 2 2 f 0 3 f 1 1 f 0 2 5 Ta có: 2 f x 3 f 1 x 1 x . 2 f 1 3 f 0 0 3 f 1 5 1 1 Vậy: f x dx f x f 1 f 0 1. 0 0 Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 và 1 1 x2018 f x dx 2 . Giá trị của x2019 f x dx bằng 0 0 2 2 A. . B. 4038 . C. .D. 4038 2019 2019 Lời giải Chọn B 1 1 1 1 Ta có: I x2019 f x dx x2019d f x x2019 f x 2019x2018 f x dx 0 0 0 0 1 f 1 2019 x2018 f x dx 0 2019.2 4038 . 0 2 Câu 5. Cho y f x , y g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;2 và g x . f x dx 2 , 0 2 2 g x . f x dx 3. Tính tích phân I f x .g x dx . 0 0 A. I 1.B. I 6 .C. I 5 . D. I 1. Lời giải Chọn C 2 2 Xét tích phân I f x .g x dx f x .g x f x .g x dx 0 0 2 2 g x . f x dx g x . f x dx 5 . 0 0 1  2 Câu 6. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x và f 0 1, f 1 2 . Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. 4 ln15 .B. 2 ln15 . C. 3 ln15 . D. ln15. Lời giải Chọn C 1 2. d 2x 1 2 Ta có f x f x dx dx 2 ln 2x 1 c . 2x 1 2x 1
10. 1 +) Với x từ giả thiết f 0 1 C 1 f x ln 2x 1 1. 2 1 1 +) Với x từ giả thiết f 1 2 C 2 f x ln 2x 1 2 . 2 2 ) f 0 1 c 1 f x ln 2x 1 1. f 1 ln 3 1 f 1 f 3 3 ln15 . f 3 ln 5 2 1 1 3 Câu 7. Cho 1 3x f x dx 2019; 4 f 1 f 0 2020 Tính f 3x dx 0 0 1 1 A. . B. 3 . C. D. 1. 9 3 Lời giải Chọn A u 1 3x du 3dx Đặt dv f x dx v f x 1 1 3x f x dx 2019 0 1 1 1 3x . f x 3. f x dx 2019 0 0 1 4 f 1 f 0 3 f x dx 2019 0 1 1 f x dx 0 3 1 3 1 1 1 1 1 Ta có: f 3x dx f t dt . . 0 3 0 3 3 9 ln x khi x 0 Câu 8. Cho hàm số f (x) , biết f ' x x và thoả mãn f (1) 0 , f ( 1) 1. Tính 3 4 x 2 khi x 0 f (e) f (0) . 33 31 A. 33 . B. . C. . D.31. 2 2 Lời giải Chọn B ln x 1 Với x 0 ta có f (x) f '(x)dx dx ln xd ln x ln2 x C x 2 1 1 Do f (1) 0 nên C 0 . Suy ra f (x) ln2 x 1 2 Với x 0 ta có f (x) f '(x)dx 4(x 2)3 dx 4(x 2)3 d(x 2) (x 2)4 C 2
11. 4 Do f ( 1) 1 nên C2 0 . Suy ra f (x) (x 2) . 1 2 ln x khi x 0 Vậy f x 2 . 4 x 2 khi x 0 1 33 Khi đó f (e) ; f (0) 16 f (e) f (0) 2 2 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị hàm số y f x trên đoạn 0;5 được cho như hình bên. Tìm mệnh đề đúng. A. f 0 f 5 f 3 .B. f 3 f 0 f 5 . C. f 3 f 0 f 5 .D. f 3 f 5 f 0 . Lời giải Chọn D 5 Ta có: f x dx f 5 f 3 0 f 5 f 3 . 3 3 f x dx f 3 f 0 0 f 3 f 0 . 0 5 f x dx f 5 f 0 0 f 5 f 0 . 0 Vậy f 3 f 5 f 0 . 7 Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên 3;7 và thỏa mãn f x f 10 x với x 3;7 và f x dx 4 3 7 . Tính I xf x dx ? 3 A.20. B. -20. C. 40. D. -40. Lời giải Chọn A Đặt t 10 x dt dx . Đổi cận x 3 t 7, x 7 t 3 . 3 7 7 Khi đó I 10 t f 10 t dt 10 t f 10 t dt 10 x f 10 x dx . 7 3 3 7 7 7 Vì f x f 10 x I 10 x f x dx 10 f x dx xf x dx . 3 3 3 I 10.4 I I 20 .  Mức độ 4 3 5 1 Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có f (x)dx 8 và f (x)dx 4. Tính f ( 4x 1)dx 0 0 1
12. 9 11 A. . B. . C. 3 . D. 6 . 4 4 Lời giải Chọn C 1 1 4 1 Ta có: f ( 4x 1)dx f ( 4x 1)dx f (4x 1)dx . 1 1 1 4 1 4 1 Tính: A f ( 4x 1)dx . Đặt t 4x 1 dt dx 1 4 1 0 1 5 A f (t)dt f (t)dt 1 4 5 4 0 1 1 Tính: B f (4x 1)dx . Đặt t 4x 1 dt dx 1 4 4 1 3 B f (t)dt 2 . 4 0 1 Vậy f ( 4x 1)dx A B 3. 1 ln3 Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên tập hợp ¡ và thỏa mãn f ex 3 dx 1, 0 6 2x 1 f x 6 dx 3. Giá trị của f x dx bằng 4 x 3 4 A. 10. B. 5 . C. 4 . D. 12. Lời giải Chọn C ln3 Đặt I f ex 3 dx 1. 1 0 dt Đặt ex 3 t ex t 3 exdx dt dx t 3 Đổi cận: x 0 t 4 , x ln 3 t 6 . 6 f t dt 6 f x dx Khi đó: I 1. 1 4 t 3 4 x 3 6 2x 1 f x 6 2x 6 f x 5 f x 6 6 f x Ta có dx dx 2 f x dx 5 dx 3. 4 x 3 4 x 3 4 4 x 3 6 6 2 f x dx 5 3 f x dx 4. 4 4
13. 4 1 x2 f x Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên . Biết f tan x dx 4 và dx 2 . Tính ¡ 2 0 0 x 1 1 I f x dx . 0 A. I 4 . B. I 3 .C. I 6 . D. I 2 . Lời giải Chọn C x 0 4 2 dt Đặt t tan x;dt tan x 1 dx;dx 2 và đổi cận t 1 t 0 1 4 1 f t 1 f x Ta được f tan x dx dt dx 4; 2 2 0 0 t 1 0 x 1 1 1 x2 1 f x 1 f x 1 x2 f x I f x dx dx dx dx 4 2 6 . 2 2 2 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 2 5 f x 5 Câu 4. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa f x2 5 x dx 1, dx 3. Tính f x dx. 2 2 1 x 1 A. -15. B. -2. C. -13. D. 0. Lời giải Chọn C 2 2 5 t 1 5 Đặt: t x 5 x x dx 2 dt . 2t 2 2t 5 1 5 1 5 5 5 f t Ta có: 1 f t dt f t dt dt 2 2 1 2 2t 2 1 2 1 t 1 5 5 5 f t 5 13 f t dt 1 dt 1 .3 2 2 1 2 1 t 2 2 5 f t dt 13. 1 Câu 5. Cho hàm số y f x là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn  ; , thỏa mãn f x dx 2 . Giá 0 f x trị tích phân I dx bằng? 2020x 1 1 1 A. .B. . C. 22020 .D. 2 . 2020 22020 Lờigiải Chọn D Đặt t x dt dx . Đổi cận x t , x t . f t f t I dt dt ( vì y f x là hàm số chẵn nên f t f t ). 2020 t 1 2020 t 1
14. t t 2020 f t 2020 1 1 f t f t I dt dt f t dt dt 2020t 1 2020t 1 2020t 1 2I f t dt 2 f t dt ( vì y f t là hàm số chẵn ) 0 Vậy I f t dt 2 . 0 2020 a xsin x Câu 6. Biết I 2020 2020 dx c, a,b,c ¢ . Tính P a.b.c 0 sin x cos x b A. 4 .B. 0 . C. 22020 . D. 42020 . Lời giải Chọn B Đặt t x dt dx . Đổi cận x 0 t , x t 0 . 2020 2020 2020 0 t sin t sin t sin t I dt dt I I dt . sin2020 t cos2020 t 0 sin2020 t cos2020 t 2 0 sin2020 t cos2020 t Đặt u t du dt . Đổi cận t 0 u , t u . 2 2 2 2020 2020 sin t 2 cos u I dt du 0 2020 2020 2020 2020 2 sin t cos t 2 2 sin u cos u cos2020 u Vì f u là hàm số chẵn, liên tục trên ; nên sin2020 u cos2020 u 2 2 2020 2020 2 cos u 2 cos u I du du . 2020 2020 0 2020 2020 2 2 sin u cos u sin u cos u sin2020 t Xét J 2 dt . 0 sin2020 t cos2020 t 2 Ta có: I J 2 dt . 0 2 cos2020 u sin2020 t Mặt khác: I 2 du 2 dt J ( dễ dàng suy ra được 0 sin2020 u cos2020 u 0 sin2020 t cos2020 t thông qua phép đổi biến t u ). 2 2 I J . 4 Vậy abc 0 . Câu 7. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ.
15. 4 2 Giá trị của biểu thức I f ' x 2 dx f ' x 2 dx bằng 0 0 A. 2 . B. 2 . C. 6 . D. 10. Lờigiải Chọn C Cách1: 4 2 Đặt I f ' x 2 dx , I f ' x 2 dx . 1 2 0 0 Tính I1 : Đặt u x 2 du dx . Đổi cận: 2 2 Ta có: I f ' u du f ' x dx f x 2 f 2 f 2 2 2 4 . 1 2 2 2 Tính I2 : Đặt v x 2 dv dx . Đổi cận: 4 4 Ta có: I f ' v dv f ' x dx f x 4 f 4 f 2 4 2 2 . 2 2 2 2 Vậy: I I1 I2 4 2 6 . 4 2 4 2 Cách2: I f ' x 2 dx f ' x 2 dx f ' x 2 d x 2 f ' x 2 d x 2 0 0 0 0 4 2 f x 2 0 f x 2 0 f 2 f 2 f 4 f 2 2 2 4 2 6 . x2 2x 3 Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và f x f 1 x , x 0;1. x 1 1 Tính f x dx 0 3 3 3 A. ln 2 . B. 2ln 2 . C. 2ln 2 . D. 3 ln 2 . 4 2 4 Lờigiải Chọn A
16. x2 2x 3 Theo giả thiết, ta có: f x f 1 x , x 0;1 và f x liên tục trên 0;1 nên x 1 2 1 1 x2 2x 3 1 1 1 x 1 2 f x f 1 x dx dx f x dx f 1 x dx dx (1) 0 0 x 1 0 0 0 x 1 Đặt 1 x t thì dx dt , với x 0 t 1, với x 1 t 0 1 0 1 1 Do đó: f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 0 1 0 0 1 1 1 f x dx f 1 x dx 2 f x dx (2). 0 0 0 2 1 1 x 1 2 1 2 x2 3 Lại có dx x 1 dx x 2ln x 1 2ln 2 (3) x 1 x 1 2 2 0 0 0 1 3 1 3 Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 f x dx 2ln 2 f x dx ln 2. 0 2 0 4 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x  1;1với mọi 2 x 0;2. Biết rằng f 0 f 2 1. Đặt I f x dx , phát biểu nào dưới đây đúng? 0 A. I ;0 . B. I 1; . C. I 1; . D. I ;0 . Lờigiải Chọn C 2 1 2 Ta có: I f x dx f x dx f x dx . 0 0 1 1 Xét f x dx . 0 1 u f x du f x dx 1 1 Đặt f x dx x 1 f x x 1 f x dx . 0 0 dv dx v x 1 0 1 1 1 1 f x dx 1 1 x f x dx 1 x dx . 0 0 0 2 2 Xét f x dx . 1 2 u f x du f x dx 2 2 Đặt f x dx x 1 f x x 1 f x dx . 1 1 dv dx v x 1 1 2 2 2 1 f x dx 1 1 x f x dx 1 x dx . 1 1 1 2 Vậy I 1 . 1 Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;1và thỏa mãn xf x dx 0 và max f x 1.Tích 0 0;1 1 phân I ex f x dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? 0
17. 5 3 5 3 A. ; . B. ;e 1 . C. e 1; .D. ; . 4 2 4 2 Lờigiải Chọn D 1 1 1 Ta có: 0 xf x dx a xf x dx axf x dx, với mọi a 0;1. 0 0 0 Với mọi a 0;1 ta có: 1 1 1 1 1 ex f x dx ex f x dx axf x dx ex ax f x dx ex ax . f x dx 0 0 0 0 0 1 1 ex ax .Max f x dx ex ax dx . 0 0;1 0 1 Đặt I a ex ax dx . 0 1 1 Suy ra ex f x dx I a , a 0;1 ex f x dx Min I a . 0 0 0;1 1 2 1 x x ax a Mặt khác: I a e ax dx e e 1, a 0;1 . 0 2 2 0 3 1 1 3 Min I a e ex f x dx ex f x dx e 1,22 . 0;1 2 0 0 2 5 3 Vậy I ; . 4 2