Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 48: GTLN – GTNN (Tìm GTLN – GTNN của hàm phụ thuộc tham số trên đoạn)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 48: GTLN – GTNN (Tìm GTLN – GTNN của hàm phụ thuộc tham số trên đoạn)

1. DẠNG TOÁN 48: GTNN – GTNN (TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN ĐOẠN . PHẦN I: KHÔNG CÓ KIẾN THỨC CẦN NHỚ - KHÔNG BÀI TẬP MẪU. BÀI TẬP MẪU x m (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số f x ( m là tham số thực). Gọi S là tập x 1 hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f x min f x 2 . Số phần tử của S là 0;1 0;1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán GTLN – GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn (cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được) . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (thầy cô liệt kê hết các công thức cần dùng cho biến đổi của bài toán) + Quy tắc xác định GTLN – GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn: Xét hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b. B1: Tính đạo hàm f x . Tìm các điểm x1, x2 ,..., xn trên khoảng a; b tại đó f x bằng 0 hoặc f x không xác định. B2: Tính f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b . B2: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M max f x ; m min f x . a; b a; b . 3. HƯỚNG GIẢI: (nếu là câu hỏi lý thuyết hay câu hỏi dễ quá chỉ có 1; 2 dòng thì bỏ qua bước này) B1: Xét trường hợp m 1 thấy thỏa mãn bài toán. B2: Tính đạo hàm f x . Xét các trường hợp f x 0, f x 0 để suy ra max f x và min f x . 0;1 0;1 B3: Biện luận để suy ra max f x và min f x từ đó tìm ra đáp số của bài toán. 0;1 0;1 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B + Với m 1: ta có f x 1, x 0;1. Do đó max f x min f x 1 max f x min f x 2 (thỏa mãn đề bài). 0;1 0;1 0;1 0;1
2. 1 m + Với m 1, ta có: f x 0, x 0;1 . x 1 2 m 1 Có f 0 m; f 1 . 2 - Nếu 1 m 0 m 1 thì f x 0 Hàm số f x nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1; . m 1 Khi đó: min f x f 1 0 và max f x f 0 m 0 . 0;1 2 0;1 m 1 Suy ra min f x và max f x m . 0;1 2 0;1 m 1 Theo bài ra ta phải có: m 2 3m 3 m 1 (loại). 2 - Nếu 1 m 0 m 1 thì f x 0 Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . m 1 Khi đó: max f x f 1 và min f x f 0 m . 0;1 2 0;1 1 m 1 2 m Ta xét m m 1 4m2 3m2 2m 1 0 3 . 2 m 1 m 1 +) Khi 0 m 1, ta có max f x và min f x m . 0;1 2 0;1 m 1 Theo bài ra ta phải có: m 2 3m 3 m 1 (loại). 2 1 m 1 +) Khi m 0 , ta có max f x và min f x m . 3 0;1 2 0;1 Theo bài ra ta phải có: m 1 m 1 m 2 m 2 m 3 m 3 (loại). 2 2 1 m 1 m 1 +) Khi m , ta có m nên max f x m và min f x . 3 2 0;1 0;1 2 Theo bài ra ta phải có: m 1 m 1 5 m 2 m 2 3m 5 m (thỏa mãn). 2 2 3 5  Vậy, ta có tập S ;1 , do đó số phần tử của tập S bằng 2. 3  Bài tập tương tự và phát triển :
3. Câu 1. Cho hàm số y x2 6x m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y 1. Mệnh đề nào sau đây 0;4 đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b . Phương pháp - B1: Tính đạo hàm f (x) . - B2: Tìm tất cả các nghiệm xi [a;b] của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i [a;b] làm cho f (x) không xác định. - B3: Tính f (a) , f (b) , f (xi ) , f ( i ) . - B4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . a;b a;b . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ( nhắc lại các công thức, định lý cần dùng cho phần lời giải chi tiết) n n 1  x n x . 1 u  x , u . 2 x 2 u ax b ad bc  2 . cx d cx d  uv u .v v .u . u u .v v .u  2 . v v  k.u k.u k ¡ . . 3. HƯỚNG GIẢI:  B1: Tính đạo hàm f (x) .  B2: Tìm tất cả các nghiệm xi [a;b] của phương trình f (x) 0 và tất cả các điểm i [a;b] làm cho f (x) không xác định.  B3: Tính f (a) , f (b) , f (xi ) , f ( i ) .  B4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f (x) , m min f (x) . a;b a;b Từ đó ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải
4. Chọn D Ta có y 2x 4 0 x 3 . Suy ra min y min y 0 ; y 3 ; y 4  min m;m 9;m 8 m 9 . 0;4 Theo giả thiết ta có m 9 1 m 8 . Vậy 0 m 10 . Câu 2. Cho hàm số y x2 6x m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y 2max y 18 . Mệnh đề nào 0;4 0;4 sau đây đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn D Ta có y 2x 4 0 x 3 . Suy ra +) min y min y 0 ; y 3 ; y 4  min m;m 9;m 8 m 9 0;4 +) max y max y 0 ; y 3 ; y 4  max m;m 9;m 8 m . 0;4 Theo giả thiết ta có min y 2max y 23 m 9 2m 18 m 9 . 0;4 0;4 Vậy 0 m 10 . Câu 3. Cho hàm số y x2 6x m ( m là tham số thực) thỏa mãn max y 3. Mệnh đề nào sau đây 0;4 đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn D Ta có y 2x 4 0 x 3 . Suy ra max y max y 0 ; y 3 ; y 4  max m;m 9;m 8 m . 0;4 Theo giả thiết ta có max y 3 m 3. 0;4 Vậy 0 m 10 . Câu 4. Cho hàm số y x2 6x m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y max y 23 . Mệnh đề nào 0;4 0;4 sau đây đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn B Ta có y 2x 4 0 x 3 . Suy ra
5. +) min y min y 0 ; y 3 ; y 4  min m;m 9;m 8 m 9 0;4 +) max y max y 0 ; y 3 ; y 4  max m;m 9;m 8 m . 0;4 Theo giả thiết ta có min y max y 7 m 9 m 23 m 7 . 0;4 0;4 Vậy 10 m 7 . Câu 5. Cho hàm số y x2 4x m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y 3 . Khẳng định nào sau đây  1;3 đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn B Ta có y 2x 4 0 x 2 . Suy ra min y min y 2 ; y 1 ; y 3  min 5 m;4 m;3 m 5 m .  1;3 Theo giả thiết ta có 5 m 3 m 8 . Vậy 10 m 7 . Câu 6. Cho hàm số y x2 4x m ( m là tham số thực) thỏa mãn max y 10 . Khẳng định nào sau  1;3 đây đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn C Ta có y 2x 4 0 x 2 . Suy ra max y max y 2 ; y 1 ; y 3  max 5 m;4 m;3 m 4 m .  1;3 Theo giả thiết ta có 4 m 10 m 6 . Vậy 7 m 0 . Câu 7. Cho hàm số y x2 4x m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y max y 1. Khẳng định nào  1;3  1;3 sau đây đúng? A. m 10 . B. 10 m 7 . C. 7 m 0 . D. 0 m 10 . Lời giải Chọn C Ta có y 2x 4 0 x 2 . Suy ra +) min y min y 2 ; y 1 ; y 3  min 5 m;4 m;3 m 5 m  1;3 +) max y max y 2 ; y 1 ; y 3  max 5 m;4 m;3 m 4 m .  1;3 Theo giả thiết ta có min y max y 1 5 m 4 m 1 m 1.  1;3  1;3 Vậy 7 m 0 . Câu 8. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có min y 1. Mệnh đề nào sau đây 0;3 đúng? A. -2 < m < 0 . B. 0 < m < 1. C. 1 m 2 . D. 2 < m <4. Lời giải Chọn D
6. Ta có y 3x2 6x . x 0 y 0 . x 2 Ta có y(0) m, y(2) m 4, y(3) m . Suy ra min y m 4 0;3 Do đó min y 1 m 4 1 m 3 . 0;3 Vậy 2 < m <4. Câu 9. Cho hàm số y x3 2 m2 1 x 3 m ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có max y 3min y 9 . Tổng các phần tử của S là. 0;1 0;1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn D Ta có y 3x2 2 m2 1 0,x ¡ . Do đó min y y 0 3 m , max y y 1 2m2 m 6. 0;1 0;1 Suy ra max y 3min y 9 m 3 3 2m2 m 6 9 . 0;1 0;1 2 m 2 2m 2m 12 0 . m 3 Vậy tổng các phần tử của S là 1. Câu 10. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có min y 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0;3 A. -2 < m < 0 . B. 0 < m < 1. C. 1 m 2 . D. 0 < m < 2 . Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 6x . x 0 y 0 . x 2 Ta có y(0) m, y(2) m 4, y(3) m . Suy ra min y m 0;3 Do đó min y 1 m 1. 0;3 Vậy -2 < m < 0 . Câu 11. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có min y 5 . Mệnh đề nào sau đây 0;3 đúng? A. -2 < m < 0 . B. 0 < m < 1. C. 1 m 2 . D. 0 < m < 2 . Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 6x . x 0 y 0 . x 2 Ta có y(0) m, y(2) m 4, y(3) m . Suy ra min y m 4 0;3
7. Do đó min y 5 m 4 5 m 1. 0;3 Vậy -2 < m < 0 . Câu 12. Cho hàm số y x3 3mx2 6 ( với m là tham số thực) có min y 2 . Mệnh đề nào sau đây 0;4 đúng? A. -2 < m < 0 . B. 0 < m < 1. C. 1 m 2 . D. 0 < m < 2 . Lời giải Chọn D Ta có y 3x2 6mx . x 0 y 0 . x 2m Ta có y(0) 6, y(4) 70 48m, y(2m) 6 4m3 . 2321 y(2m) 17 432 Nếu y(4) 2 m min y 2 . 12 17 0;4 x 2m [0;4] 6 y(4) 22 Nếu y(2m) 2 m 1 min y 2 . x 2m 2 [0;4] 0;4 Vậy m = 1. Câu 13. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có min y 0 . Mệnh đề nào sau đây  1;1 đúng? A. m=2 . B. m=4 . C. m 0 . D. m=6 . Lời giải Chọn B Ta có y 3x2 6x . x 0 ( 1;1) y 0 . x 2 ( 1;1) y(0) m Ta có y(1) m 4 min y m 4 0 m 4 .  1;1 y( 1) m 2 Câu 14. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có max y 6 . Mệnh đề nào sau đây  1;1 đúng? A. m=2 . B. m=4 . C. m 0 . D. m=6 . Lời giải Chọn D Ta có y 3x2 6x . x 0 ( 1;1) y 0 . x 2 ( 1;1) y(0) m Ta có y(1) m 4 max y m 6 m 6 .  1;1 y( 1) m 2
8. Câu 15. Cho hàm số y x3 3x2 m ( với m là tham số thực) có min y max y 6 . Mệnh đề nào sau  1;1  1;1 đây đúng? A. m=5. B. m=4 . C. m 0 . D. m=6 . Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 6x . x 0 ( 1;1) y 0 . x 2 ( 1;1) y(0) m Ta có y(1) m 4 min y m 4,max y m .  1;1  1;1 y( 1) m 2 Do đó min y max y 6 m 4 m 6 m 5  1;1  1;1 Câu 16. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 x2 m là 3 2 . Giá trị của m là 2 A. m 2 . B. m 2 2 . C. m . D. m 2 . 2 Lời giải Chọn A Tập xác định D  2;2 . x x 0 x 0 y 1 0 4 x2 x 0 x 2 . 2 2 2 4 x 4 x x x 2 f 2 2 m, f ( 2) 2 m, f ( 2) 2 2 m . Nên giá trị lớn nhất là: 2 2 m 3 2 m 2 . Câu 17. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x2 m là 3 . Giá trị của m là A. m 5 . B. m 3 . C. m 1. D. m 0 . Lời giải Chọn A Tập xác định D  2;2 . x x 0 x 0 y 1 0 4 x2 x 0 x 2 . 2 2 2 4 x 4 x x x 2 f 2 2 m, f ( 2) 2 m, f ( 2) 2 2 m . Nên giá trị nhỏ nhất là: 2 m 3 m 5. Câu 18. Biết rằng tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y x 4 x2 m là 3 . Giá trị của m là A. m 5 . B. m 3 . C. m 1. D. m 0 . Lời giải Chọn C
9. Tập xác định D  2;2 . x x 0 x 0 y 1 0 4 x2 x 0 x 2 . 2 2 2 4 x 4 x x x 2 f 2 2 m, f ( 2) 2 m, f ( 2) 2 2 m . Nên tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là: 2 m 2 2 m 2 2 m 1. 2x m2 m 1 Câu 19. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y có giá trị x 1 lớn nhất trên đoạn 2;4 bằng 3. Số phần tử của S là A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn C m2 m 1 Ta có y 0,x 1. x 1 2 Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; Suy ra max y y 2 m2 m 3 2;4 2 2 m 0 Do đó max y 3 m m 3 3 m m 0 . 2;4 m 1 2x m2 m 1 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y có giá trị nhỏ nhất trên x 1 đoạn 2;4 bằng 3. A. m 1 hoặc m 2 . B. m 2 . C. m 1 hoặc m 0 .D. m 0 . Lời giải Chọn A m2 m 1 Ta có y 0,x 1. x 1 2 Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; m2 m 7 Suy ra min y y 4 2;4 3 2 m m 7 2 m 1 Do đó min y 3 3 m m 2 0 . 2;4 3 m 2 2x m2 m 1 Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y có x 1 min y max y 8 . Tích các phần tử của S là. 2;4 2;4 A. 2 . B. 1. C. 2 . D. 1.
10. Lời giải Chọn A m2 m 2 Ta có y 0,x 1. x 1 2 Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ;1 và 1; . Suy ra m2 m 7 min y y 4 , max y y 2 m2 m 3. 2;4 3 2;4 m2 m 7 Do đó min y max y 8 m2 m 3 8 . 2;4 2;4 3 2 m 1 4m 4m 8 0 . m 2 Vậy tích các phần tử của S là 2 . 2x m2 m Câu 22. Tìm tất cả các số nguyên âm của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y có x 1 giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng 6 A. m 3 . B. m 2 hoặc m 3 . 1 57 C. m . D. m 2 . 2 Lời giải Chọn A m2 m 2 Ta có y ' 0,x 0;1 x 1 2 Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng ; 1 và 1; 2 2 m 3 Suy ra min y y 0 m m 6 m m 6 0 . 0;1 m 2 Do m là số nguyên âm nên m 3 2x m2 m Câu 23. Tìm tất cả các số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y có giá trị lớn nhất trên x 1 đoạn 0;1 bằng 1. A. m 1 hoặc m 0 . B. m 2 hoặc m 3 . 1 57 1 57 C. m . D. m . 2 2 Lời giải Chọn A
11. m2 m 2 Ta có y ' 0,x 0;1 x 1 2 Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng ; 1 và 1; 2 2 m m 2 m 1 Suy ra max y y 1 1 m m 0 . 0;1 2 m 0 2x m2 m Câu 24. Tìm tất cả các số thực m để hàm số y có min y max y 1. x 1 0;1 0;1 A. m 1 hoặc m 0 . B. m 2 hoặc m 3 . 1 57 1 57 C. m . D. m . 2 2 Lời giải Chọn A m2 m 2 Ta có y ' 0,x 0;1 x 1 2 Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng ; 1 và 1; . 2 m2 m min y y 0 m2 m , max y y 1 . 0;1 0;1 2 2 m2 m Suy ra min y max y 1 m2 m 1. 0;1 0;1 2 2 m 0 3m 3m 0 . m 1 x m Câu 25. Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa mãn min y 3 . Mệnh đề nào dưới đây là x 1 2;4 đúng? A. 3 m 4. B. 1 m 3. C. m 4. D. m 1. Lời giải. Chọn C m 1 Ta có y . x 1 2 m 1 TH1. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x nghịch biến trên mỗi x 1 2 khoảng xác định. m 4 Khi đó min y f 4 3 m 5 (chọn). 2;4 3 m 1 TH2. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x đồng biến trên mỗi x 1 2 khoảng xác định.
12. Khi đó min y f 2 m 2 3 m 1 (loại). 2;4 Vậy m 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m 4 . x m Câu 26. Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa mãn max y 3. Mệnh đề nào dưới đây là x 1 2;4 đúng? A. 3 m 4. B. 1 m 3. C. m 4. D. m 1. Lời giải Chọn B m 1 Ta có y . x 1 2 m 1 TH1. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x nghịch biến trên mỗi x 1 2 khoảng xác định. Khi đó max y y 2 m 2 3 m 1(chọn). 2;4 m 1 TH2. Với m 1 suy ra f x 0; x 1 nên hàm số f x đồng biến trên mỗi x 1 2 khoảng xác định. m 4 Khi đó max y y 4 3 m 5 (loại). 2;4 3 Vậy m 1 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện 1 m 3.. x m 16 Câu 27. Cho hàm số y (với m là tham số thực) thỏa mãn min y max y . Mệnh đề nào x 1 1;2 1;2 3 dưới đây là đúng? A. 0 m 2 . B. 2 m 4 . C. m 0 . D. m 4 . Lời giải Chọn D 1 m Ta có y . x 1 2 Suy ra hàm số f x là hàm số đơn điệu trên đoạn 1;2 với mọi m 1. m 1 m 2 16 5m 25 Khi đó min y max y f 1 f 2 m 5. 1;2 1;2 2 3 3 6 6 Vậy m 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m 4 . x m2 m Câu 28. Cho hàm số y . Tìm m để 2max y 3min y 1 x 1 [0;1] [0;1] m 0 A. B. m 0 C. m 1 D. m 1 m 1 Lời giải
13. Chọn A Tập xác định D R \ 1 m2 m 1 m2 m 1 max y y 1 [0;1] 2 y 2 0,x D x 1 min y y 0 m2 m [0;1] Theo đề ta có: 2max y 3min y 1. [0;1] [0;1] 2 m m 1 2 2 3 m m 1. 2 2 m 0 4m 4m 0 . m 1 x m Câu 29. Cho hàm số y . Tìm m để max y 3min y 8 x 1 [2;4] [2;4] 1 1 A. m 1  m B. m 1 C. m D. m 1 5 5 Lời giải Chọn B m 1 Tập xác định D R \ 1 , y x 1 2 TH1: m 1 0 m 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 4 m max y y 4 [2;4] 3 min y y 2 2 m [2;4] 4 m 1 max y 3min y 8 3 2 m 8 m l [2;4] [2;4] 3 5 TH2: m 1 0 m 1 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 4 m min y y 4 [2;4] 3 max y y 2 2 m [2;4] 4 m max y 3min y 8 3 2 m 8 m 1 n [2;4] [2;4] 3 Vậy m 1 x2 m2 x 1 Câu 30. Cho hàm số y ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 14 của tham số m để max y . Hỏi số phần tử của S là 2;4 3 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
14. Lời giải Chọn A 2 x2 2x m2 1 x 1 m2 Ta có y 0 , x 2;4 x 1 2 x 1 2 15 4m2 Do đó a max y y 4 . 2;4 3 15 4m2 14 1 Theo giả thiết, ta có m . 3 3 2 x2 m2 x 1 Câu 31. Cho hàm số y ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của tham số m để min y 3 . Hỏi số phần tử của S là 2;4 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B 2 x2 2x m2 1 x 1 m2 Ta có y 0 , x 2;4 . x 1 2 x 1 2 Do đó min y y 2 2m2 3 . 2;4 Theo giả thiết, ta có 2m2 3 3 m 0. x2 m2 x 1 Câu 32. Cho hàm số y ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực x 1 của tham số m để min y max y 3 . Hỏi tổng các phần tử của S là 2;4 2;4 A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B 2 x2 2x m2 1 x 1 m2 Ta có y 0 , x 2;4 . x 1 2 x 1 2 15 4m2 Do đó min y y 2 2m2 3 , max y y 4 . 2;4 2;4 3 15 4m2 Suy ra min y max y 3 2m2 3 2 . 2;4 2;4 3 10m2 30 0 m 3 . Vậy tổng các phần tử của S là 0 . x2 mx 1 Câu 33. Cho hàm số y (với m là tham số thực âm). Biết min y 1. Mệnh đề nào sau đây x m 2;4 đúng? A. 0 m 1. B. 1 m 2 . C. 2 m 3. D. m 3 . Lời giải Chọn D
15. 2 x2 2mx m2 1 x m 1 Với m 0 , ta có y 0,x 2;4. x m 2 x m 2 4m 15 19 Do đó min y y 4 1 m . 2;4 m 4 5 x2 mx 1 Câu 34. Cho hàm số y (với m là tham số). Biết max y 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? x m 2;4 A. 0 m 1. B. 1 m 2 . C. 2 m 3. D. m 3 . Lời giải Chọn D 2 x2 2mx m2 1 x m 1 Với m 0 , ta có y 0,x 2;4. x m 2 x m 2 3 2m Do đó max y y 2 3 m 3 . 2;4 2 m x2 mx 1 Câu 35. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y (với m là x m tham số) có min y max y 1. Tổng các phần tử của S là. 2;4 2;4 8 8 25 28 A. . B. . C. . D. . 25 25 8 5 Lời giải Chọn D 2 x2 2mx m2 1 x m 1 Với m 0 , ta có y 0,x 2;4. x m 2 x m 2 4m 15 3 2m Do đó min y y 4 , max y y 2 . 2;4 m 4 2;4 2 m 4m 15 3 2m Suy ra min y max y 1 1. 2;4 2;4 m 4 2 m 14 26 5m2 28m 34 0 m . 5 28 Vậy tổng các phần tử của S là . 5 Câu 36. Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x2 2x m trên đoạn  1;2 bằng 5 . A. 5; 2  0;3 . B. 0; . C. 6; 3  0;1 . D. 4;3 . Lời giải Chọn A
16. Xét hàm số f x x2 2x m trên đoạn  1;2. Có f x 2x 2 ; f x 0 x 1. Ta có f 1 m 3, f 1 m 1, f 2 m . Khi đó max y m 3 hoặc max y 1 m .  1;2  1;2 Ta xét các Trường hợp sau: TH1: max y m 3 5 m 2 .  1;2 Thử lại với m 2 . Khi đó y x2 2x 2 x2 2x 2,x  1;2 nên max y 5 .  1;2 Do đó m 2 (thỏa mãn). TH2: max y 1 m 5 m 4 .  1;2 Thử lại với m 4 . Khi đó y x2 2x 4 nên max y 5 .  1;2 Do đó m 4 (thỏa mãn). Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m 1;m 4 . Câu 37. Tìm tất cả các tham số thực m biết giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 m trên 0;4 bằng 20 . A. 16;4 . B. 4 . C. 20;4 . D. 16;20 . Lời giải Chọn A 3 2 ' 2 ' x 0 Ta có f x x 3x m f x 3x 6x;f x 0 . x 2 Do đó, ố max y max y 0 ; y 2 ; y 4  max m ; m 4 ; m 16 20 . 0;4 m 20 m 20 m 4 20 m 16;24 . m 16 20 m 36;4 Thử lại điều kiện max m ; m 4 ; m 16 20 m 16;4 . Câu 38. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m  21;21 để giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x x6 m 2 x5 m2 11 x4 2021 đạt tại x 0 . Số phần tử của tập S là A. 34. B. 42. C. 35. D. 37. Lời giải Chọn C Ta có f x x6 m 2 x5 m2 11 x4 2021 f 0 2021, x ¡
17. 4 2 2 2 2 x x m 2 x m 11 0 , x ¡ x m 2 x m 11 0, x ¡ 2 2 37 m 2 3 m 2 4 m 2 11 0 3m 2 4m 48 0 . 2 2 37 m 3 m ¢ Với m 21;...; 5;4;...;21 S 21;...; 5;4;...;21. m  21;21 Vậy tập S có tất cả 35 phần tử. Câu 39. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m  21;21 để giá trị nhỏ nhất của 4 3 2 hàm số f (x) x 2mx 4mx (2m 2)x 2021 đạt tại x0 2. Số phần tử của tập S là: A. 1. B. 0. C. 2. D. 12. Lời giải Chọn B + Một hàm đa thức muốn đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x x0 thì hệ số của lũy thừa cao nhất f (x0 ) 0 phải dương và đạo hàm phái triệt tiêu tại x x0. Suy ra: an 0 3 2 + Đạo hàm: f (x) 4x 6mx 8mx (2m 2) . 3 2 + Suy ra: f (2) 4.2 6m.2 8m.2 (2m 2) 0 m 3 . 4 3 2 2 2 + Thử lại: Với m 3 f (x) x 6x 12x 8x 2021 (x 2) (x 2x) 2021 . 2 2 + Không thỏa mãn điều kiện: f (x) (x 2) (x 2x) 2021 f (2) 2021 với x ¡ . + Suy ra không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn. Câu 40. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 3 2 f (x) x 2mx 3mx 2mx 2021 đạt giá trị lớn nhất tại x0 1. Số phần tử của tập S là: A. 3. B. 2. C. 1. D. 20. Lời giải Chọn C + Một hàm đa thức muốn đạt giá trị lớn nhất tại điểm x x0 thì hệ số của lũy thừa cao nhất phải f (x0 ) 0 âm và đạo hàm phái triệt tiêu tại x x0. Suy ra: . an 0 3 2 + Đạo hàm: f (x) 4x 6mx 6mx 2m . 3 2 + Suy ra: f (1) 4.1 6m.1 6m.1 2m 0 m 2 . 4 3 2 4 + Thử lại: Với m 2 f (x) x 4x 6x 4x 2021 (x 1) 2020 .
18. 4 + Thỏa mãn điều kiện: f (x) (x 1) 2020 f (1) 2020 với x ¡ . + Suy ra giá trị của tham số m 2 thỏa mãn. Câu 41. Cho hàm số y g x liên tục trên đoạn a;b , hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 4 và 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b lần lượt bằng A. 4 và 0. B. 4 và 3. C. 7 và 3. D. 3 và 0. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x khi biết giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: • Đồ thị hàm số y g x được suy ra từ đồ thị hàm số y g x như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y g x nằm phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y g x nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành, bỏ đi phần đồ thị y g x nằm phía dưới trục hoành. Đồ thị hàm số y g x là hợp của hai phần trên. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số để kiểm tra đồ thị hàm số có cắt trục hoành không. B2: Từ cách vẽ đồ thị hàm số y g x suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y g x từ giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Vì hàm số liên tục trên đoạn a;b nên ta có thể giả sử bảng biến thiên của g x là Suy ra bảng biến thiên của g x
19. Suy ra min g x 0, max g x 4. a;b a;b Câu 42. Cho hàm số y g x liên tục trêna;b , hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 3 và 5. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b lần lượt bằng A. 5và0. B. 3 và 5. C. 5và 3. D. 8 và 0. Phân tích hướng dẫn giải 1.DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán max min hàm số chứa trị tuyệt đối 2.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: a. Cách vẽ hàm số f (x) : B1: Vẽ đồ thị hàm số y= f (x) (C) B2: Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trên trục hoành. B3: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm dưới trục hoành. b. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạna;b : Nếu xo Î [a;b] và f (xo)³ f (x) " x Î [a;b] thì giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b là f (xo). Nếu xo Î [a;b] và f (xo)£ f (x) " x Î [a;b] thì giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a;b là f (xo) 3.HƯỚNG GIẢI B1: Phác thảo đồ thị hàm số y= f (x)(C) B2: Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trên trục hoành. B3: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm dưới trục hoành. B4: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f (x) để kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Từ đó ta có thể giải bài toán cụ thể như sau Lời giải Chọn A Vì hàm số liên tục trên đoạn a;b nên ta có thể giả sử bảng biến thiên của g x là Suy ra bảng biến thiên của g x
20. Kết quả cho ta max g x 5và min g x 0. x a;b x a;b Câu 43. Cho hàm số y g x liên tục trên a;b, hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là  và . Ta gọi giá trị lớn nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b là M, mệnh đề phát biểu sai tương ứng là: A. Nếu  thì M  . B. Nếu  thì M .  C. Nếu  thì M . D. M max  ;  . 2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất của hàm trị tuyệt đối y g x trên đoạn a;b khi biết trước giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Cách biến đổi đồ thị hàm số y g x từ đồ thị hàm số y g x : Gọi C1 là phần đồ thị của hàm số y g x nằm phía trên trục O x , C2 là phần đồ thị của hàm số y g x không nằm phía trên trục O x , C là phần đồ thị đối xứng với đồ thị C qua trục O x . 2 2 Khi đó đồ thị hàm số y g x là C  C . 1 2  Đồ thị hàm số trên đoạn a;b: Đồ thị hàm số y g x trên đoạn a;b là phần đồ thị của hàm số y g x mà có hoành độ x a;b .  Giá trị lớn nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b: Giá trị lớn nhất của hàm số y g x trên đoạn a;b là tung độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y g x trên đoạn a;b. 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất  của hàm số y g x trên đoạn a;b. B2: Xét dấu của . Nếu 0 thì M  . Nếu 0 ta so sánh với  rồi ra kết luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C