Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 15: Tiệm cận của đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 15: Tiệm cận của đồ thị hàm số

1. DẠNG TOÁN 15: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Đường tiệm cận đứng  Định nghĩa: Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) . x x0 x x0 x x0 x x0 2. Đường tiệm cận ngang.  Định nghĩa: Đường thẳng y y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) y0 ; lim f (x) y0 . x x Chú ý: - Đồ thị hàm số y f (x) chỉ có thể có tiệm cận ngang khi TXĐ của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể dần tới hoặc ). - Đồ thị hàm số y f (x) chỉ có thể có tiệm cận đứng khi TXĐ của hàm số có một trong các dạng sau (a;b), [a;b), (a;b],(a; ),( ;a) hoặc là hợp của các tập hợp này và TXĐ không có một trong các dạng sau: ¡ , [c; ), ( ;c], [c;d]. P(x) -Nếu y f (x) là hàm số phân thức hữu tỷ. Q(x) + Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là xo, và xo không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là x x0 + Nếu bậc (P(x)) bậc (Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về đường tiệm cận.  Nhận dạng bảng biến thiên, nhận dạng hàm số.  Tìm đường tiệm cận (biết BBT, đồ thị).  Tìm đường tiệm cận (biết y).  Đếm số đường tiệm cận (Biết BBT, đồ thị).  Đếm số đường tiệm cận (biết y).
2.  Biện luận số đường tiệm cận.  Đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó.  Tổng hợp đường tiệm cận với diện tích, góc, khoảng cách.  BÀI TẬP MẪU x 2 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x 1 A. y 2 .B. y 1.C. x 1. D. x 2 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính giới hạn của hàm số tại và . B2: Kết quả giới hạn là 1, suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 1. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ \ 1 . 2 2 x 1 1 x 2 x Ta có lim lim lim x 1 y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 3 Câu 1. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 2x 3 A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y . B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1. 2 C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0. D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Lời giải Chọn C 1 Vì hàm số có tập xác định D ¡ \  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là x 1. 2  3 Vì lim 0 nên đồ thi hàm số có tiệm cận ngang là y 0. x 1 2x
3. Câu 2. Đường thẳng x 1là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào dưới đây? x 1 x 2 4 x2 2x2 3x 2 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 3 2 x 2 x Lời giải Chọn A x 1  Xét phương án A: y x 1 x 1 x 1 lim ; lim x 1 là TCĐ của đồ thị hàm số. x 1 x 1 x 1 x 1 Phương án A là đáp án đúng. x 2  Xét phương án B: y x 3 x 2 1 lim x 1 không phải là đường TCĐ của đồ thị hàm số. x 1 x 3 4 4 x2  Xét phương án C: y 2 x 4 x2 lim 3 x 1 không phải là đường TCĐ của đồ thị hàm số. x 1 2 x 2x2 3x 2  Xét phương án D: y 2 x 2x2 3x 2 lim 7 x 1 không phải là đường TCĐ của đồ thị hàm số. x 1 2 x Câu 3. Cho hàm số y f x có lim f (x) 2 và lim f (x) 2 . Phát biểu nào sau đây đúng? x x A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y 2 và y 2 . B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x 2 và x 2. C. Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x 2 và x 2. Lời giải Chọn A Vì lim f (x) 2 , lim f (x) 2 nên đồ thi hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y 2 và x x y 2 . Câu 4. Cho hàm số f x xác định, liên tục trên ¡ \ 0 và có bảng biến thiên như sau:
4. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. B. y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. C. x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. D. x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Lời giải Chọn D Vì lim f x nên x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 0 Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y f x có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3.B. 4.C. 2.D. 1. Lời giải: Chọn A Từ bảng biến thiên, ta được: lim y 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0. x lim y 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1. x lim y suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x 2. x 2 Vậy đồ thị hàm số y f x có 3 đường tiệm cận.
5. Câu 6. Biết đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới. Chọn phát biểu đúng. A. Đồ thị hàm số y f x 1 có tiệm cận đứng x 3. B. Đồ thị hàm số y f x 1 có tiệm cận đứng x 2. C. Đồ thị hàm số y f x 1 có tiệm cận đứng x 1. D. Đồ thị hàm số y f x 1 không có tiệm cận đứng. Lời giải: Chọn C Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận đứng là x 2 . Suy ra đồ thị hàm số y f x 1 có tiệm cận đứng x 1 2 x 1. Câu 7. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận ? x 2 x 2 x2 2 2x 1 A. y 2 . B. y . C. y 2 . D. y . x 1 x 1 x 4x 3 x2 4 Lời giải: Chọn C Xét phương án C: x2 2 x2 2 Ta có lim y lim 2 và lim y lim 2 nên x 1, x 3là tiệm x 1 x 1 x 4x 3 x 3 x 3 x 4x 3 cận đứng của đồ thị hàm số. 2 2 1 x 2 2 Ta có lim y lim lim x 1 nên y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm x x 2 x 4 3 x 4x 3 1 x x2 số. x2 2 Vậy đồ thị hàm số y có ba đường tiệm cận. x2 4x 3 1 Câu 8. Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y lần lượt là x 1
6. A. x 0 ; y 1. B. x 1; y 1. C. x 1; y 1. D. x 1; y 0. Lời giải: Chọn D Tập xác đinh D ¡ \ 1 . 1 1 lim y lim lim x 0 , suy ra y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x x 1 x 1 1 x 1 1 lim y lim ; lim y lim , suy ra x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 hàm số. x 3 Câu 9. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? x2 1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải: Chọn B 1 3 x 3 2 Ta có lim lim x x 0 nên y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. x 2 x 1 x 1 1 x2 Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang. Câu 10. Cho hàm số y f (x) có lim f (x) 3 và lim f (x) 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định x x 1 đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận là các đường thẳng y 3 và x 1. D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 . Lời giải: Chọn D Áp dụng định nghĩa về đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.  Mức độ 2 x 4 Câu 1. Cho hàm số y . Tìm m để đồ thị hàm số có tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm x 1 cận ngang nằm trên đường thẳng d : y x m 1.
7. A. 1.B. 1.C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B Vì lim y và lim y suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1. x 1 x 1 Và lim y lim y 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1. x x Suy ra giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I 1;1 d : y x m 1. 1 1 m 1 m 1. Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị của hàm số đã cho có số tiệm cận đứng là n , số tiệm cận ngang là d . Giá trị của T 2019n 2020d là A. 4038 .B. 2018 .C. 2001.D. 4040 . Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên, ta có: lim f x , suy ra đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận đứng là x 2. x 2 lim f x , suy ra đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận đứng là x 0 . x 0 lim f x 0, suy ra đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận ngang là y 0. x n 2;d 1 T 2018. x 4 Câu 3. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x 1 A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C Tập xác định: D= 1; + . 4 1 x 4 Ta có: lim lim x nên đồ thị hàm số không có một tiệm cận ngang. x x 1 x 1 1 x x2 lim y nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng. x 1 Vậy tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1. Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
8. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. .2 C. . 3 D. . 4 Lời giải Chọn A Ta có lim y 5 y 5 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x Mặt khác lim y . x Vậy số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1. Câu 5. Biết hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y f x là A. 2. B. 3. C. 1. D. 4 Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm y f x là Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y f x có 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. x 1 Câu 6. Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là 1 x2 A. 2.B. 3.C. 0.D. 1. Lời giải
9. Chọn D Tập xác định D 1;1 . Ta có: x 1 x 1 lim lim . Suy ra x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 1 x2 x 1 1 x x 1 x 1 lim lim 0 . Suy ra x 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 1 x2 x 1 1 x Mặt khác do tập xác định của hàm số là D 1;1 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số đã cho một đường tiệm cận. 1 x Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là x2 4 A. 1.B. 2.C. 4.D. 3. Lời giải. Chọn B Tập xác định D ; 2  2;1 . 1 x Ta có: lim 0 . Suy ra y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x2 4 1 x lim 2 . Suy ra x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 x 4 1 x Vậy đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận. x2 4 x 1 Câu 8. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x2 2x m2 1 C có hai đường tiệm cận đứng. A. m 0 .B. m 0 .C. m  . D. m ¡ . Lời giải. Chọn A Để đồ thị C có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x2 2x m2 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
10. 2 2 1 m 1 0 2 2 1 2.1 m 1 0 m2 0 m 0 2 m 0 2x 1 Câu 9. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có x 3 diện tích bằng A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 6 . Lời giải: Chọn C 2x 1 Đồ thị hàm số y có các đường tiệm cận là x 3, y 2. x 3 Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng 6 . mx 1 Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y đi 2 x qua điểm A 2; 1 . A. m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 2 . Lời giải: Chọn C mx 1 lim m nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là d : y m . x 2 x d đi qua điểm A 2; 1 nên m 1. Vậy m 1.  Mức độ 3 x 1 Câu 1. Xác định m để đồ thị hàm số y có đúng hai đường tiệm cận đứng. x2 2 m 1 x m2 2 3 3 A. m ;m 1;m 3.B. m ;m 1. 2 2 3 3 C. m .D. m . 2 2 Lời giải: Chọn A
11. x 1 Đồ thị hàm số y có đúng hai tiệm cận đứng x2 2 m 1 x m2 2 phương trình f x x2 2 m 1 x m2 2 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 3 m 2 2 2 ' 0 m 1 m 2 0 2m 3 0 m 1 . f 1 0 2 m2 2m 3 0 1 2 m 1 m 2 0 m 3 x 3 Câu 2. Cho hàm số y có đồ thị C và điểm A C . Tiếp tuyến với C tại A tạo với hai x 1 đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất là bao nhiêu? A. 2 2 2 . B. 4 2 2 . C. 3 2 . D. 4 2 2 . Lời giải: Chọn B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x 1. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y 1. Suy ra I(-1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Phương trình tiếp tuyến với C tại A C là: y yA f xA x xA 4 x 3 y x x A . 2 A x 1 xA 1 A Giả sử M và N lần lượt là hai giao điểm của tiếp tuyến với C tại A với đường tiệm cận đứng xA 7 và đường tiệm cận ngang. Suy ra M 1; ; N 2xA 1;1 . xA 1 8 Suy ra IN 2 xA 1 , IM . xA 1 1 Khi đó diện tích tam giác IMN là S IN.IM 8 IMN 2 2 2 Và chu vi tam giác IMN là C IMN IM IN IM IN 2 IM.IN 2 IM.IN C IMN 8 4 2 . S 8 Vậy bán kính đường tròn nội tiếp IMN lớn nhất là r 4 2 2 . IMN p 4 2 2 Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm y f x như hình vẽ. Hỏi đồ x2 1 thị hàm số g x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f 2 x 4 f x A. 4. B. 3.C. 1.D. 2. Lời giải
12. Chọn A f x 0 Xét f 2 x 4 f x 0 . f x 4 Xét f x 0 có 2 nghiệm x1 1 và x2 1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại x 1. Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Xét f x 4 có 2 nghiệm x3 1 và x4 1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại x 1. Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng. 2x 1 1 x Câu 4. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? x2 x 2 A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 . B. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 0. C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 . D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là hai đường thẳng y 2 và y 2 . Lời giải Chọn D Tập xác định: D 1; . 1 1 1 2 2x 1 1 x 2 Ta có: lim y lim lim x x x 2 . x x 2 x 1 2 x x 2 1 x x2 1 1 1 2 2x 1 1 x 2 lim y lim lim x x x 2 x x 2 x 1 2 x x 2 1 x x2 Vậy, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y 2 và y 2 . 1 Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \  và có bảng biến thiên như sau: 3
13. 1 Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 3 f x 2 A. 3.B. 4.C. 2.D. 1. Lời giải: Chọn D 2 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình f x có duy nhất một nghiệm a (với a ). 3 3 1 1  Nên, tập xác định của hàm số y là ¡ \ ;a . 3 f x 2 3  Ta có 1 ￿ lim ; x a 3 f x 2 1 ￿ lim 0; 1 x 2 f x 3 3 1 ￿ lim 0 . 1 x 2 f x 3 3 1 Do đó, đồ thị hàm số y có 1 đường tiệm cận đứng. 3 f x 2 1 x Câu 6. Số các giá trị nguyên của tham số m  2020;2020 sao cho đồ thị của hàm số y có x m tiệm cận đứng. A. 2019 . B. 1. C. 2022 .D. 2021. Lời giải: Chọn C x 1 Điều kiện: . x m +) Nếu m 1 thì lim y ; lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. x m x m 1 x +) Nếu m 1 thì hàm số trở thành y x 1 1 x 1 lim y lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 1 x Suy ra đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x 1 . lim y không tồn tại. x 1
14. Do đó, m 1 thỏa mãn. 1 x 1 x +) Nếu m 1 thì lim y lim ; lim y lim . x m x m x m x m x m x m Suy ra đường thẳng x m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x m và x m . Vậy m 1 và m  2020;2020 nên có tất cả 2022 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. x 1 Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y có đúng x3 3x2 m hai đường tiệm cận. m 0 m 0 m 0 A. m ¡ . B. .C. .D. . m 4 m 4 m 4 Lời giải: Chọn C x 1 Ta có lim y lim 0 nên y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x x3 3x2 m x 1 Đồ thị của hàm số y có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng x3 3x2 m một tiệm cận đứng. Suy ra phương trình x3 3x2 m 0 có một nghiệm đơn x 1 và một nghiệm kép khác 1 hoặc có đúng một nghiệm khác 1. TH1: Phương trình x3 3x2 m 0 có một nghiệm đơn x 1 và một nghiệm kép khác 1. Phương trình x3 3x2 m 0 có nghiệm x 1 nên 1 3 3 1 2 m 0 m 4 . 3 2 x 1 Với m 4 phương trình trở thành x 3x 4 0 (thỏa mãn vì x 2 là nghiệm x 2 kép). TH2: Phương trình x3 3x2 m 0 có đúng một nghiệm khác 1 x3 3x2 m có một nghiệm khác 1(*) 3 2 2 x 0 Xét hàm số: y x 3x y 3x 6x; y 0 x 2 m 4 m 4 m 4 * m 0 m 0 . m 0 3 2 1 3. 1 m m 4 m 0 Kết hợp 2 TH ta được thỏa mãn yêu cầu đề bài. m 4
15. 2x 1 Câu 8. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng x 1 khoảng cách từ M đến trục hoành. A. M 0; 1 , M 3;2 .B. M 2;1 , M 4;3 . C. M 0; 1 , M 4;3 .D. M 2;1 , M 3;2 . Lời giải: Chọn D 2x 1 2x0 1 Do M thuộc đồ thị hàm số y nên M x0 ; với x0 1. x 1 x0 1 Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x 1 0 d . x 0 y 1 2x0 1 0 0 Ta có: d M ,d d M ,Ox x0 1 x0 1 x0 4 y0 3 Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x mx2 1 có tiệm cận ngang. A. 0 m 1. B. m 1. C. m 1.D. m 1. Lời giải: Chọn D - Nếu m 0 thì y x 1. Suy ra, đồ thị của nó không có tiệm cận ngang. 1 1 - Nếu m 0 thì hàm số xác định mx2 1 0 x . m m Do đó, lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x 1 1 - Với 0 m 1 thì lim y lim x 1 m ; lim y lim x 1 m nên x x 2 x x 2 x x đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. - Với m 1 thì y x x2 1 . 1 lim y lim x 1 1 . x x 2 x 2 2 x 1 x 1 lim y lim lim 0 . x x x2 1 x x 1 x 1 2 1 x Suy ra đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . 1 - Với m 1 thì lim y lim x 1 m x x 2 x
16. 1 lim y lim x 1 m nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x x 2 x 2x 1 Câu 10. Cho hàm số y có đồ thị C . Gọi M là một điểm bất kì trên C . Tiếp tuyến của C x 1 tại M cắt các đường tiệm cận của C tại A và B . Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của C . Tính diện tích của tam giác IAB . A. 2 . B. 12. C. 4 . D. 6 . Lời giải: Chọn C Tập xác định D ¡ \ 1 . 3 y ' ,x 1. x 1 2 C có tiệm cận đứng : x 1 d1 và tiệm cận ngang : y 2 d2 nên I 1;2 . 2x0 1 Gọi M x0 ; C , x0 1. x0 1 Tiếp tuyến của C tại M có phương trình y f ' x0 x x0 f x0 3 2x 1 y x x 0 2 0 x 1 x0 1 0 2x0 2 cắt d1 tại A 1; và cắt d2 tại B 2x0 1;2 . x0 1 2x0 2 4 Ta có IA 2 ; IB 2x0 1 1 2 x0 1 . x0 1 x0 1 1 1 4 Do đó, S IA.IB . .2 x0 1 4 . 2 2 x0 1  Mức độ 4 Câu 1. Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây x2 3x 2 x 1 Hàm số g x có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x f x f x A. .5 B. . 3 C. . 2 D. 4 . Lời giải Chọn D
17. Để biểu thức x 1 có nghĩa ta cần có: x 1. Từ đồ thị hàm số ta có: x x1 2 +) f x 0 với 0 x1 1 . Từ đó suy ra: f x a x x1 x 2 với a 0 . x 2 x 1 2 +) f x 1 0 f x 1 với x2 2 . Từ đó suy ra: f x 1 b x 1 x x2 x x2 với b 0 . x 1 x 2 x 1 1 Khi đó: g x 2 2 . a.b.x x x1 x 2 x 1 x x2 a.b.x x x1 x 2 x 1 x x2 Đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y g x thì cần có x0 1. Đồ thị hàm số y g x có 3 đường tiệm cận đứng là: x 1, x 2, x x2 . vì y f x là hàm số bậc 3 nên x f 2 x f x có bậc là 7 và x2 3x 2 x 1 có bậc nhỏ hơn 7 . Suy ra lim g x 0 x Đồ thị hàm số y g x có 1 đường tiệm cận ngang là: y 0. Vậy, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g x là 4 . x x m 1 Câu 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng 2020;2020 để đồ thị hàm số y x 2 có đúng ba đường tiệm cận? A. 2022 . B. 2021. C. 2020 . D. 2023. Lời giải Chọn A x x m 1 x x m 0 Có y . Điều kiện: . x 2 x 2 Ta có: m 1 m 1 m 1 x 1 x 1 1 x x x x x x lim y lim lim lim 1. x x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 1 x x x m 1 m 1 x 1 x 1 m 1 x x x x 1 lim y lim lim lim x x 1. x x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 1 x x x Suy ra, m ¡ , đồ thị hàm số luôn có 2 đường tiệm cận ngang là y 1 . x x m 1 x2 mx 1 Ta có: y đặt g x x2 mx 1 x 2 x 2 x x m 1 x x m 1 Để đồ thị hàm số y có đúng ba đường tiệm cận thì đồ thị có duy nhất 1 đường x 2 tiệm cận đứng là đường thẳng x 2
18. m 2 2 2 m 0 m 2 3 3 mà m 2020;2020 m 2020;2 \  g 2 0 3 2m 0 m 2 2 Mặt khác m ¢ nên 2019 m 2 .Vậy, số giá trị m thỏa mãn đề bài là 2022. 2x 1 Câu 3. Cho hàm số y có đồ thị là C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Lấy x 1 điểm M x0 , y0 , x0 0 là một điểm trên C sao cho tiếp tuyến với C tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A, B thỏa mãn AI 2 IB2 40 . Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm M thỏa mãn đề bài? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 Lời giải Chọn B + TCĐ: x 1 và TCN: y 2 . Suy ra I 1;2 . 3 3 2x 1 + y . PTTT tại điểm M x , y là d : y x x 0 (với x 0 ) 2 0 0 2 0 x 1 0 x 1 x0 1 0 2x 4 + Giả sử A là giao điểm của d và TCĐ. Suy ra A 1; 0 , B là giao điểm của d và x0 1 TCĐ. Suy ra B 2x0 1;2 . 2 2 2 2x0 4 2 4 2 + AI IB 40 2 2x0 2 40 x0 1 10 x0 1 9 0 x0 1 x0 0 2 x 1 1 x 2 0 0 . 2 x 1 9 x0 4 0 x0 2 Vậy có 3 điểm M thỏa mãn đề bài. Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên dưới đây: 1 Biết tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là số nghiệm 2 f x 9 của phương trình f x m với m ¡ . Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây? 1 A. m 3;1 .B. m ;1 . 2 1 C. m 3; .D. m ; . 2 Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên ta có lim f x lim f x 1 . x x
19. 1 1 1 Do đó lim .Vậy đồ thị hàm số y có 1 đường tiệm cận ngang là x 2 f x 9 11 2 f x 9 1 đường thẳng y . 11 9 9 Ta có 2 f x 9 0 f x vô nghiệm vì đường thẳng d : y không cắt đồ thị hàm 2 2 1 số y f x .Suy ra đồ thị hàm số y không có tiệm cận đứng. 2 f x 9 1 tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 1 2 f x 9 phương trình f x m với m ¡ có 1nghiệm duy nhất. đường thẳng : y m cắt đồ thị hàm số y f x tại duy nhất 1 điểm 1 Từ bảng biến thiên ta được m 3 ; . 2 x 3 Câu 5. Cho hàm số y C .Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng x3 3mx2 2m2 1 x m 6;6 của tham số m để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là nhiều nhất ? A.9 .B. 7 .C. 8 .D. 12. Lời giải Chọn B x 3 Ta có: lim 0 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là x x3 3mx2 2m2 1 x m y 0. Do đó C có tổng số đường tiệm cận là nhiều nhất khi C có 3 đường tiệm cận đứng nên phương trình x3 3mx2 2m2 1 x m 0 1 có 3 nghiệm phân biệt x 3. x m 2 Ta có : 1 x m x 2mx 1 0 2 g x x 2mx 1 0 2 Suy ra m 3 và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 3 m 3 m 3 m 3 2 m 1 0 m 1 0 m 1 g 3 0 10 6m 0 5 m 3 Mà m nguyên thuộc khoảng 6;6 nên m 5; 4; 3; 2;2;4;5 . 2x 3 Câu 6. Cho hàm số y (C) . Gọi d là tiếp tuyến bất kì của C ,d cắt hai đường tiệm cận của đồ x 2 thị C lần lượt tại A, B . Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất là A. 4 .B. 3 2 .C. 2 2 .D. 3 3 .
20. Lời giải: Chọn C 1 Ta có: y x 2 2 Tiệm cận đứng của đồ thị (C) là d1 : x 2 . Tiệm cận ngang của đồ thị (C) là d2 : y 2 . 2x0 3 Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng M x0 ; với x0 2. x0 2 x x 2x 3 Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là y 0 0 d . 2 x 2 x0 2 0 2x0 2 Tọa độ giao điểm của d , d1 là A 2; . x0 2 Tọa độ giao điểm của d , d2 là B 2x0 2; 2 . 2 4 4 x 3 Suy ra AB 4 x 2 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi x 2 1 o 0 2 o x 1 x0 2 o Vậy ABmin 2 2 . x 1 Câu 7. Giả sử đường thẳng (d) : x m cắt đồ thị hàm số y tại một điểm duy nhất, biết khoảng x 2 cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 3. Tổng các giá trị của m là A. 1. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải: Chọn C + Tiệm cận đứng : x 2 . x 1 m 1 + Giao điểm của đường thẳng (d) : x m và đồ thị hàm số y là I m; . x 2 m 2 m 5 + Ta có: d(I, ) m 2 3 . m 1 2x m Câu 8. Số các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm mx 1 cận ngang, đồng thời hai tiệm cận này tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 là A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: