Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 11: Rút gọn biểu thức Lôgarit đơn giản

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 11: Rút gọn biểu thức Lôgarit đơn giản

1. DẠNG TOÁN 11: RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT ĐƠN GIẢN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a 1. Số thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b . Ta viết: loga b a b. 2. Các tính chất: Cho a, b 0, a 1, ta có: • loga a 1, loga 1 0 loga b • a b, loga (a ) 3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 1, ta có • loga (b1.b2 ) loga b1 loga b2 4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a 1, ta có b1 • loga loga b1 loga b2 b2 1 • Đặc biệt : với a, b 0, a 1 log log b a b a 5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b 0, a 1, với mọi , ta có • loga b loga b 1 • Đặc biệt: log n b log b a n a 6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a 1,c 1, ta có logc b • loga b logc a 1 1 Đặc biệt : và log b log b với 0 . • loga c a a logc a  Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên  Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết : log10 b logb lgb  Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết : loge b ln b II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit .  Các mệnh đề liên quan đến lôgarit  BÀI TẬP MẪU 3 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Với a là số thực đương tùy ý, log2 a bằng: 3 1 A. log a..B. log a. . C. 3 log a..D. 3log a. . 2 2 3 2 2 2
2. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán lý thuyết về logarit. Phương pháp - Áp dụng công thức logb a logb a. . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Công thức logarit của luỹ thừa: logb a logb a. . 3. HƯỚNG GIẢI: - B1: Áp dụng công thức logb a logb a. 3 - B2: log2 a 3log2 a . Từ đó ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Áp dụng công thức logb a logb a. 3 Do đó log2 a 3log2 a . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Nếu log 4 a thì log 4000 bằng A. 3 a . B. 4 a . C. 3 2a . D. 4 2a . Lời giải Chọn A Ta có log 4000 log 4.103 log 4 log103 log 4 3 a 3. Câu 2. Cho các số thực a b 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? 2 1 A. .l n ab ln a2 B.ln b2 ln ab ln a ln b 2 2 a a 2 2 C. .l n ln a ln b D. . ln ln a ln b b b Lời giải Chọn B Phương án B sai vì ln a,ln b không xác định khi a b 0 . Câu 3. Với các số thực dương x, y bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3. x log2 x A. log2 . B. log2 x y log2 x log2 y. y log2 y x2 C. log2 2log2 x log2 y. D. log2 xy log2 x.log2 y. y Lời giải Chọn C 2 x 2 Vì log2 log2 x log2 y 2log2 x log2 y . y Câu 4. Với a, b, c 0, a 1, 0 bất kỳ. Tìm mệnh đề sai. b A. log bc log b log c. B. log log b log c. a a a a c a a log b log b. C. a a D. loga b.logc a logc b. Lời giải Chọn C 1 Dựa vào công thức đổi cơ số log b log b . a a Câu 5. Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ln ab ln a ln b . B. ln ab ln a.ln b . a ln a a C. ln . D. ln ln b ln a . b ln b b Lời giải Chọn A Chọn đáp án A vì đây là tính chất của logarit. Câu 6. Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai? x 1 A. log2 log2 x log2 y. B. log xy log x log y . y 2 2 2 2 C. log2 xy log2 x log2 y. D. log2 x y log2 x log2 y. Lời giải Chọn D Do log2 x log2 y log2 xy . Câu7. Cho a 0, a 1, khẳng định nào sau đây sai? 1 A. log a2 2. B. log a . C. log 2a 2. D. log 2a 1 log 2. a a2 2 a a a Lời giải Chọn C Ta có: loga 2a loga 2 loga a loga 2 1. Câu 8. Với a;blà các số thực dương và m;nlà các số nguyên, mệnh đề nào sau đây sai? A. am.an am n . B. .log a logb log(a.b) log a am C. log a logb . D. am n . logb an
4. Lời giải Chọn C a Đáp án C sai vì log a logb log . b Câu 9. Cho a là số dương khác 1, b là số dương và là số thực bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A. log b log b. B. log b log b. a a a a C. log b log b. D. log b log b. a a a a Lời giải Chọn B Câu 10. Với các số thực dương a,b bất kì. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? a A. log ab log a b . B. log logb a . b a C. log ab log a logb . D. log log a b . b Lời giải Chọn C a Theo định nghĩa ta có công thức log ab log a logb và log log a logb . b  Mức độ 2 6 Câu 1. Cho a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn: log2 360 log2 2 a log2 3 blog2 5 . Tính a b . 1 A. .5 B. . C. .2 D. . 0 2 Lời giải Chọn B 360 1 1 1 Ta có log 6 360 log 2 log 6 360 log 6 8 log 6 log 45 log 3 log 5 2 2 2 2 2 8 6 2 3 2 6 2 1 a 6 3 1 Theo đề ta có log2 360 log2 2 a log2 3 blog2 5 a b 1 2 b 6 Câu 2. Cho các số dương a,b thỏa mãn 4a2 9b2 13ab . Chọn mệnh đề đúng? 2a 3b 1 1 A. log log a logb . B. log 2a 3b 3log a 2logb . 5 2 4 2a 3b 1 C. log 2a 3b log a 2log b . D. log log a logb . 4 2 Lời giải Chọn A Ta có 4a2 9b2 13ab 2a 3b 2 25ab 2a 3b 5 ab . 2a 3b 1 Lấy logarit thập phân log log ab log a logb . 5 2
5. Câu 3. Cho a 0;b 0 thỏa mãn a2 b2 14ab. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? a b 1 A. log log a logb B. 2 log a logb log 14ab 4 2 1 C. log a b 2 log a logb D. log a b 4 log a logb 2 Lời giải Chọn A Phân tích: Ta nhận thấy nếu lấy loga hai vế luôn thì log a2 b2 sẽ khó phân tích ra bởi không có công thức log x y . Do vậy, nhìn vào các phương án nhận thấy B là phương án lừa để ta chọn, tuy nhiên không có công thức biến đổi vế trái như vậy. Nên, để có thể biến đổi được vế trái ta đưa về dạng pt a b 2 2ab 14ab a b 2 16ab . Lời giải 2 2 a b pt a b 16ab ab . 16 a b 2 Lấy logarit hai vế ta được log log ab 16 a b a b 1 2log log a logb log log a logb 4 4 2 Câu 4. Cho hai số thực dương a và b, với a 1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 1 1 A. log 2 ab log b. B. log 2 ab log b. a 2 a a 4 a 1 1 C. log 2 ab 2 2loga b. D. log 2 ab log b. a a 2 2 a Lời giải Chọn D Với a, b 0 và a 1, ta có 1 1 1 1 1 log 2 ab log ab log a log b 1 log b log b. a 2 a 2 a a 2 a 2 2 a Câu 5. Cho a,b 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. alnb bln a . B. ln2 (ab) ln a2 ln b2 . a ln a 1 C. ln . D. ln ab (ln a ln b) . b ln b 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ln a.ln b ln b.ln a ln bln a ln alnb bln a alnb . Câu 6. Cho a , b , c , d là các số thực dương, khác 1 bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? c d a c c d ln a d A. a b ln . B. a b . b d ln b c c d ln a c c d a d C. a b . D. a b ln . ln b d b c Lời giải
6. Chọn B ln a d ac bd c ln a d ln b  ln b c Câu 7. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2a3 2a3 1 A. log2 1 3log2 a log2 b . B. log2 1 log2 a log2 b . b b 3 2a3 2a3 1 C. log2 1 3log2 a log2 b . D. log2 1 log2 a log2 b . b b 3 Lời giải Chọn A Ta có 3 2a 3 3 log2 log2 2a log2 b log2 2 log2 a log2 b 1 3log2 a log2 b . b Câu 8. Với mọi số thực dương a,b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 log 3 a log 3 b a b A. . B. log2 (a b ) 2log(a b) . 4 4 2 1 C. log 2 a log 2 b a b . D. log a log a . a 1 a 1 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 log a log b a b Do a 1 1 a2 1 a2 1 Câu 9. Cho a , b là hai số thực dương, khác 1. Đặt loga b m , tính theo m giá trị của P log b log a3. a2 b 4m2 3 m2 12 m2 12 m2 3 A. . B. . C. . D. . 2m 2m m 2m Lời giải Chọn B 1 Nhận xét: m 0. Từ log b m log a . a b m 1 3 1 1 6 m2 12 P log b log a3 log b log a log b 6log a m . a2 b 2 a 1 b 2 a b 2 m 2m 2 Câu 10. Cho a log2 m với 0 m 1. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 3 a 3 a A. log 8m . B. log 8m 3 a a . C. log 8m . D. log 8m 3 a a . m a m m a m Lời giải Chọn A 3 3 a log 8m log m log 8 1 log 23 1 3log 2 1 . m m m m m a a  Mức độ 3
7. Câu 1. Kết quả rút gọn của biểu thức C loga b logb a 2 loga b logab b loga b là: 3 2 A. loga b . B. . loga b . C. loga b . D. loga b . Lời giải Chọn C C loga b logb a 2 loga b logab b loga b 2 2 loga b 1 loga b loga b 1 loga b 2 loga b loga b loga b loga b loga b 1 loga b loga b 1 loga b 1 1 Câu 2. Cho các số thực x , y , z thỏa mãn 1 log x , 1 log y . Mệnh đề nào sau đây đúng? y 10 z 10 1 1 1 1 A. 1 log z . B. . C. 1 log z . D. 1 log z . x 10 x 101 ln z x 10 x 10 Lời giải Chọn D 1 1 1 1 y 101 log x log y ; z 101 log y log y 1 1 log x log z 1 1 1 1 Suy ra 1 log x x 101 log z. 1 log x log z 1 log z Câu 3. Rút gọn biểu thức A loga b logb a 2 loga b logab b logb a 1 ta được kết quả là: 1 logb a A. B. logb a C. logb a D. logb a 3 Lời giải Chọn A A loga b logb a 2 loga b logab b logb a 1 loga b logb a 2 loga b logab b logb a 1 loga b logb a 2 1 logab blogb a 1 loga b logb a 2 1 logab a 1 2 1 1 loga b 1 log b log b 2 1 1 a 1 a log b 1 log b loga b 1 loga b a a 1 loga b 1 loga b Câu 4. Gọi c là cạnh huyền, a,b là hai cạnh góc vuông của môt tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng: A. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a B. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a C. logb c a logc b a 2logb c a.logc b a D. logb c a logc b a logb c a.logc b a Lời giải Chọn A Theo giả thiết, ta có: a2 b2 c2 a2 c2 b2 a2 c b c b 1 1 loga c b loga c b 2 2 logc b a logc b a logb c a logc b a 2logb c a.logc b a (đpcm).
8. Câu 5. Tính: 5 5 5 5 (n dấu căn) C log5 log5 ... 5 A. n. B. 3n. C. 3n. D. 2n. Lời giải Chọn A n n 1 1 n 5 5 5 5 5 5 1 Ta có: ... 5 5 C log5 log5 5 log5 n. 5 Câu 6. Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? n log log ... 2 n log log ... 2 A. 2 2  . B. 2 2  . n c¨n bËc hai n c¨n bËc hai n 2 log log ... 2 n 2 log log ... 2 C. 2 2  . D. 2 2  . n căn bËc hai n căn bËc hai Lời giải Chọn B +Tự luận: m Đặt -log2 log2 ... 2 m. Ta có: m 2 .  log2 ... 2 2 ... 2 2 n c¨n bËc hai 2 n 1 1 1 n Ta thấy: 2 2 2 . 2 22 , 2 2 ,....., ... 2 2 2 m n n log log ... 2 Do đó ta được: 2 2 m n . Vậy 2 2  . n c¨n bËc hai +Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio, lấy n bất kì, chẳng hạn n 3. Nhập biểu thức ( có 3 dấu căn ) vào máy tính ta thu được kết quả bằng – 3. log2 log2 2 2 2 Câu 7. Nếu log8 a log4 b 5 và log4 a log8 b 7 thì giá trị của ab bằng A. 29. B. 218. C. 8. D. 2. Lời giải Chọn A x y Đặt x log2 a a 2 ; y log2 b b 2 . 1 2 x y 5 log8 a log4 b 5 3 x 3y 15 x 6 x y 9 Ta có . Suy ra ab 2 2 . log a2 log b 7 1 3x y 21 y 3 4 8 x y 7 3 p Câu 8. Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log p log q log p q . Tìm giá trị của 9 12 16 q 4 8 1 1 A. B. C. 1 3 D. 1 5 3 5 2 2 Lời giải Chọn D t t t t t Đặt: t log9 p log12 q log16 p q thì: p 9 , q 12 , 16 p q 9 12 (1)
9. 2t t t t 4 4 4 q Chia hai vế của (1) cho 9 ta được: 1 , đặt x 0 đưa về phương 3 3 3 p trình: 1 q 1 x2 x 1 0 x 1 5 do x 0 , suy ra 1 5 . 2 p 2 Câu 9. Cho a log6 3 blog6 2 c log6 5 5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? A. a b . B. a b . C. b a . D. c a b . Lời giải Chọn A Ta có: a log6 3 blog6 2 c log6 5 5 a b c a b c 5 5 5 0 log6 (3 2 5 ) 5 3 2 5 6 3 .2 .5 Do a,b,c là các số hữu tỉ nên a = b = 5 và c = 0 . 1 1 1 Câu10 . Cho n 1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức ... bằng log2 n! log3 n! logn n! A. 0. B. n. C. n!. D. 1. Lời giải Chọn D Vì n 1,n ¢ nên 1 1 1 1 ... logn! 2 logn! 3 logn! 4 ... logn! n log2 n! log3 n! log4 n! logn n! logn! 2.3.4...n logn! n! 1  Mức độ 4 2 2 Câu 1. Cho a,b, x là các số dương, khác 1 và thỏa mãn 4loga x 3logb x 8loga x.logb x (1). Mệnh đề (1) tương đương với mệnh đề nào sau đây? A. a3 b2 . B. x ab . C. a b2 . D. a b2 hoặc a3 b2 . Lời giải Chọn D Đặt m loga x,n logb x , vì x 1 nên m 0,n 0 . 2 2 2 2 2 m m Khi đó 4loga x 3logb x 8loga x.logb x trở thành 4m 3n 8mn 4 8 3 0. n n m 1 m 3 Giải được hoặc . n 2 n 2 1 Với 2m n log x log x a b2 a 2 b 1 1 1 1 Với m n log x log x a3 b2 . 3 2 3 a 2 b Câu 2. Cho a,b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, trong đó c b 1 và c b 1. Kết luận nào sau đây là đúng?
10. A. logc b a logc b a 2logc b a.logc b a . B. logc b a logc b a 2logc b a.logc b a . C. logc b a logc b a logc b a.logc b a . D. logc b a logc b a logc b a.logc b a . Lời giải Chọn A Ta có a2 b2 c2 a2 c2 b2 logc b a logc b (c b) 1 logc b a logc b a logc b a logc b a logc b (c b) logc b (c b) 2 2 2 logc b (c b ) logc b a logc b a logc b a 2logc b a.logc b a logc b (c b) logc b (c b) Câu 3. Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức log2 a log3 a log5 a log2 a.log3 a.log5 a A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn A (*) log2 a log3 2.log2 a log5 2.log2 a log2 a.log3 5.log5 a.log5 a 2 log2 a. 1 log3 2 log5 2 log2 a.log3 5.log5 a 2 log2 a. 1 log3 2 log5 2 log3 5.log5 a 0 a 1 a 1 log2 a 0 1 log 2 log 2 2 1 log3 2 log5 2 3 5 1 log 2 log 2 log 5.log a 0 log a log 5 3 5 3 5 5 a 5 3 log3 5 Câu 4. Gọi (x; y) là nghiệm nguyên của phương trình 2x y 3 sao cho P x y là số dương nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. log2 x log3 y không xác định. B. log2 (x y) 1. C. log2 (x y) 1. D. log2 (x y) 0 . Lời giải Chọn A Vì x y 0 nên trong hai số x và y phải có ít nhất một số dương mà x y 3 x 0 nên suy ra x 3 mà x nguyên nên x 0; 1; 2;... + Nếu x 2 suy ra y 1 nên x y 1 + Nếu x 1 thì y 1 nên x y 2 + Nếu x 0 thì y 3 nên x y 3 + Nhận xét rằng: x 2 thì x y 1. Vậy x y nhỏ nhất bằng 1. log a logb log c b2 Câu 5. Cho log x 0; x y . Tính y theo p, q, r . p q r ac p r A. .y q2 pB.r . C.y y 2q p r . D. .y 2q pr 2q Lời giải Chọn C
11. b2 b2 x y log log x y ac ac y log x 2logb log a log c 2q log x p log x r log x log x 2q p r y 2q p r (do log x 0 ). axy 1 Câu 6. Cho log 12 x , log 24 y và log 168 , trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính 7 12 54 bxy cx giá trị biểu thức S a 2b 3c. A. S 4 . B. S 19. C. S 10. D. S 15. Lời giải Chọn D log7 24.7 log7 24 1 log7 12log12 24 1 Ta có: log54 168 log7 54 log7 54 log7 54 log 12log 24 1 xy 1 7 12 log7 12log12 54 x.log12 54 3.2.12.24 24 Tính log 54 log 27.2 3log 3 log 2 3log12 log12 . 12 12 12 12 2.12.24 12 123 24 3log log 3 3 2log 24 log 24 1 8 5log 24 8 5y . 12 242 12 12 12 12 12 xy 1 xy 1 Do đó: log 168 . 54 x 8 5y 5xy 8x a 1 Vậy b 5 S a 2b 3c 15. c 8 1 1 Câu 7. Với a 0,a 1, cho biết: t a1 loga u ;v a1 loga t . Chọn khẳng định đúng: 1 1 1 1 A. u a1 loga v . B. u a1 loga t . C. u a1 loga v . D. u a1 loga v . Lời giải Chọn D 1 1 Từ giả thiết suy ra: loga t .loga a 1 loga u 1 loga u 1 1 1 1 log u log v .log a a a 1 log t a 1 log t 1 log u a a 1 a 1 loga u loga v loga u 1 loga u loga u 1 loga v 1 1 1 1 loga v loga u u a 1 loga v Câu 8. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10082 20172 log 2019 a a 3 a n a a
12. A. 2017 . B. 2019 . C. 2016 . D. 2018 . Lời giải Chọn C log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10082 20172 log 2019 (*) a a 3 a n a a Ta có n2 log 2019 n2.n.log 2019 n3 log 2019 . Suy ra n a a a 2 3 3 3 n(n 1) VT (*) 1 2 ... n .loga 2019 .loga 2019 2 2 2 VP (*) 1008 2017 loga 2019 . Khi đó (*) được: n2 (n 1)2 22.10082.20172 20162.20172 n 2016. a.2b b.2a Câu 9. Cho hai số a, b dương thỏa mãn điều kiện: a b . Tính P 2017a 2017b. 2a 2b A. 0. B. 2016. C. 2017. D. 1. Lời giải Chọn A b a a.2 b.2 a b b a Từ giả thiết, ta có a b a b  a b 2 2 a.2 b.2 . 2 2  a.2a a.2b b.2a b.2b a.2b b.2a a.2a b.2b. Xét hàm số f x x.2x với x 0 , có f x 2x x.2x.ln 2 2x 1 x.ln 2 0; x 0 . Suy ra hàm số f x là đồng biến trên khoảng 0; . Nhận thấy f a f b a b. Khi a b thì 2017a 2017b 2017a 2017a 0 . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox, các đỉnh A, B và C lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y log x, y log x và y log x với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a . a a 3 a A. a 3 . B. a 3 6 . C. a 6 D. a 6 3 . Lời giải Chọn D Do AB POx A, B nằm trên đường thẳng y m m 0 . Lại có A, B lần lượt nằm trên đồ thị của các hàm số y log x, y log x . a a m m Từ đó suy ra A a ;m , B a 2 ;m . m Vì ABCD là hình vuông nên suy ra x x a 2 . Lại có C nằm trên đồ thị hàm số y log x , C B 3 a m 3m suy ra C a 2 ; . 2
13. m m a a 2 6 AB 6 Theo đề bài SABCD 36 BC 6 3m m 6 2 m 12 m 12 hoặc . 1 6 a 6 1 loaïi a 3 3