1. Trang Chủ
    2. ›
  2. Giáo Án
    3. ›
  3. THPT
    4. ›
  4. Lớp 12
    5. ›
  5. Toán 12

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 24: Phương trình mặt phẳng

docx 36 trang Venus 23/11/2025 1720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 24: Phương trình mặt phẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_12_dang_24_phuong_trinh_mat_pha.docx

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 24: Phương trình mặt phẳng

  1. DẠNG TOÁN 24: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHẦN I: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.  Định nghĩa. Cho n 0 , n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng . Chú ý : Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau. Chẳng hạn n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng suy ra kn k 0 cũng là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Ta có : n  a , n  b và a , b là hai vectơ không cùng phương n a,b . 2. Mối liên hệ giữa quan hệ hình học và quan hệ vectơ được sử dụng để tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.  Ký hiệu n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng , ud là véctơ chỉ phương của đường thẳng d .   Đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng suy ra n  ud .   Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng suy ra n , ud là hai véctơ cùng phương.   Hai mặt phẳng và  song song với nhau suy ra n , n là hai véctơ cùng phương.   Hai mặt phẳng và  vuông góc với nhau suy ra n  n . 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.  Mặt mặt phẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và nhận n A; B;C là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x x0 B y y0 C z z0 0 .  Mặt mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng : Ax By Cz D 0 . Chú ý: mp ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm a;0;0 , 0;b;0 , 0;0;c với abc 0. Có phương trình x y z mặt phẳng theo đoạn chắn là : 1 . a b c
  2. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết.  PTMP trung trực của đoạn thẳng.  PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng).  PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng.  PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu.  PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác.  PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác.  PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng.  PTMP theo đoạn chắn.  PTMP song song với mp, thỏa ĐK.  PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt).  PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu.  PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng.  PTMP song song với mp, thỏa ĐK.  Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng.  Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK. BÀI TẬP MẪU
  3. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 3y z 2 0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của P ? A. n3 2;3;2 . B. n1 2;3;0 . C. n2 2;3;1 . D. n4 2;0;3 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Đối chiếu phương trình của mặt phẳng trong đề bài với công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax By Cz D 0 , A2 B2 C 2 0 suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là n A; B;C . B2: Chọn đáp án đúng. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C - Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax By Cz D 0 , A2 B2 C 2 0 có véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là n A; B;C . - Vì phương trình của mặt phẳng P :2x 3y z 2 0 có dạng Ax By Cz D 0 suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 2;3;1 . Chọn đáp án C. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : y 2z 3 0 . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của ? A. n 0;1; 2 . B. n 0; 1;2 . C. n 0; 1; 2 . D. n 1;0;2 . Lời giải Chọn B Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 0; 1;2 . Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2x y z 1 0 . Vectơ nào dưới đây không là vectơ pháp tuyến của ? A. n 2;1;1 . B. n 2;1; 1 . C. n 2; 1;1 . D. n 4; 2;2 . Lời giải Chọn A Vectơ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 2;1;1 .
  4. Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là r r r r A. n 1;0;0 . B. n 0;1;0 . C. n 0;0;1 . D. n 1;0;1 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng Oyz có phương trình x 0. r r Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là n i 1;0;0 . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là r r r r A. n 1;0;0 . B. n 0;1;0 . C. n 0;0;1 . D. n 1;0;1 . Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxz có phương trình y 0 . r r Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là n j 0;1;0 . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy là r r r r A. n 1;0;0 . B. n 0;1;0 . C. n 0;0;1 . D. n 1;0;1 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng Oxy có phương trình z 0 . r r Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy là n k 0;0;1 . Câu 6. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz ? A. y 0. B. x 0 . C. z 0 . D. y 1 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng Oxz đi qua điểm O 0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là n j 0;1;0 nên có phương trình y 0. Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxy ? A. y 0. B. x 0 . C. z 0 . D. z 1 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng Oxy đi qua điểm O 0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là k 0;0;1 nên có phương trình z 0 .
  5. Câu 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oyz ? A. y 0. B. x 0 . C. z 0 .D. z 1 0 . Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oyz đi qua điểm O 0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là i 1;0;0 nên có phương trình x 0 . Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3;0;0 , N 0; 2;0 và P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là x y z x y z x y z x y z A. 1. B. 0 . C. 1.D. 1. 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 Lời giải Chọn D x y z Mặt phẳng MNP có phương trình là: 1. 3 2 2 Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm I 1;4;2 . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm A 1;2; 1 có một vectơ pháp tuyến là    A. n 0;2; 3 . B. n2 0; 2;3 . C. n 2; 2;3 .D. n 2;2;3 . 1 3 4 Lời giải Chọn D  Ta có AI 2;2;3 . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm A nên AI  tại A .   n4 AI 2;2;3 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .  Mức độ 2 x y z Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng có phương trình 1. Một vectơ pháp 2 1 3 tuyến của mặt phẳng là A. n 3;6; 2 . B. n 2; 1;3 . C. n 3; 6; 2 . D. n 2; 1;3 . Lời giải Chọn A x y z 1 3x 6y 2z 6 0 . 2 1 3 Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n 3;6; 2 .
  6. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng đi qua M 0;0;1 và song song với giá của hai vectơ a 1; 2;3 , b 3;0;5 . Phương trình mặt phẳng là A. 5x 2y 3z 3 0 . B. 5x 2y 3z 3 0 . C. 5x 2y 3z 3 0 . D. 10x 4y 6z 3 0 . Lời giải Chọn C Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng thì n a,b 10;4;6 . Phương trình mặt phẳng đi qua M 0;0;1 và có một véc tơ pháp tuyến n 10; 4;6 là 10 x 0 4 y 0 6 z 1 0 5x 2y 3z 3 0 . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cặp mặt phẳng nào sau đây song song với nhau? A. (P): 2x - y + z - 5 = 0 và (Q):- 4x + 2y - 2z + 10 = 0 . B. (R): x - y + z - 3 = 0 và (S): 2x - 2y + 2z + 6 = 0 . x y z C. (T ): x - y + z = 0 và (U ): - + = 0 . 2 2 2 D. (X ): 3x - y + 2z - 3 = 0 và (Y ): 6z - 2y - 6 = 0 . Lời giải Chọn B. Ta xét hai mặt phẳng (R) và (S )lần lượt có véctơ pháp tuyến là: r r nR = (1;- 1;1) và nS = (2;- 2;2) 1 - 1 1 - 3 Ta có tỉ lệ: = = ¹ Þ (R) // (S). 2 - 2 2 6 . Xét các cặp còn lại ta thấy chúng không song song với nhau. Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 1;1 , B 1;2;4 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB . A. P : x 3y 3z 2 0 .B. P : x 3y 3z 2 0 . C. P : 2x y z 2 0 . D. P : 2x y z 2 0 . Lời giải Chọn B.  Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là AB 1;3;3 . P : x 2 3 y 1 3 z 1 0 x 3y 3z 2 0 x 3y 3z 2 0. Câu 5. Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 1;3; 2 và song song với mặt phẳng P : 2x y 3z 4 0 có phương trình là
  7. A. 2x y 3z 7 0 .B. 2x y 3z 7 0 . C. 2x y 3z 7 0 . D. 2x y 3z 7 0 Lời giải Chọn A Mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P : 2x y 3z 4 0 nên phương trình Q có dạng: Q : 2x y 3z D 0, D 4 . Mặt phẳng Q đi qua điểm A 1;3; 2 , ta có: 2.1 3 3. 2 D 0 D 7 4 (thỏa mãn) Vậy phương trình mặt phẳng Q : 2x y 3z 7 0 . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1;1 , B 3;1;1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là A. 2x y z 2 0 .B. 2x y 2 0 . C. x 2y 2 0 . D. x 2y z 2 0 . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: I 1;0;1 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I 1;0;1 và có vec tơ pháp tuyến là  n AB 4;2;0 . Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 4 x 1 2 y 0 0 2x y 2 0 . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 4x 2y 4 0 và một điểm A 1;1;0 thuộc S . Mặt phẳng tiếp xúc với S tại A có phương trình là A. x y 1 0 . B. x 1 0 . C. x y 2 0 .D. x 1 0 . Lời giải Chọn D  Mặt cầu S có tâm I 2;1;0 , IA 3;0;0 .  Mặt phẳng cần tìm đi qua A và có VTPT IA 3;0;0 có phương trình là 3 x 1 0 y 1 0 z 0 0 3 x 1 0 x 1 0 . Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0;2) là VTPT có phương trình là A. x 2y 5 0 B. x 2z 5 0 C. x 2y 5 0 D. x 2z 1 0 Lời giải. Chọn D
  8. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A( 1;2;0) và nhận n( 1;0;2) là VTPT có phương trình là: 1(x 1) 0(y 2) 2(z 0) 0 x 1 2z 0 x 2z 1 0 . Vậy x 2z 1 0 . Phương pháp trắc nghiệm (nên có) Từ tọa độ VTPT suy ra hệ số B 0 , vậy loại ngay đáp án x 2y 5 0 và x 2y 5 0 Chọn 1 trong 2 PT còn lại bằng cách thay tọa độ điểm A vào. Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 3;2;0 , C 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là A. 2x 3y 6z 0 .B. 4y 2z 3 0 . C. 3x 2y 1 0.D. 2y z 3 0 . Lời giải. Chọn A Phương pháp tự luận   AB 0;4;2 , AC 3;4;3   ABC qua A 3; 2; 2 và có vectơ pháp tuyến AB, AC 4; 6;12 2 2; 3;6 ABC : 2x 3y 6z 0 . Phương pháp trắc nghiệm Sử dụng MTBT tính tích có hướng. Hoặc thay tọa độ cả 3 điểm A, B,C vào mặt phẳng xem có thỏa hay không? Câu 10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua A 2;5;1 và song song với mặt phẳng Oxy là A. 2x 5y z 0 .B. x 2 0 . C. y 5 0. D. z 1 0 . Lời giải. Chọn D Phương pháp tự luận Mặt phẳng qua A 2;5;1 và có vectơ pháp tuyến k 0;0;1 có phương trình: z 1 0 . Phương pháp trắc nghiệm Mặt phẳng qua A và song song với Oxy có phương trình z zA .  Mức độ 3
  9. Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho phương trình của mặt cầu S : x2 y2 z2 2 x 2y 3z 0 . Gọi ba điểm A , B , C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ O ) của mặt cầu S với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz . Phương trình mặt phẳng ABC là A. 6x 3y 2z 12 0. B. 6x 3y 2z 12 0. C. 6x 3y 2z 12 0 . D. 6x 3y 2z 12 0 . Lời giải Chọn C Dễ thấy A 2;0;0 , B 0;4;0 ,C 0;0;6 . x y z Do đó phương trình mặt phẳng ABC là: 1 6x 3y 2z 12 0 . 2 4 6 Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 3;1;4 và gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ABC ? A. 4x 12y 3z 12 0 . B. 3x 12y 4z 12 0 . C. 3x 12y 4z 12 0 . D. 4x 12y 3z 12 0 . Lời giải Chọn A Vì A, B,C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz nên A 3;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;4 . x z Phương trình mặt phẳng ABC : y 1 4x 12y 3z 12 0 . 3 4 Câu 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 0;1;0 , mặt phẳng Q : x y 4z 6 0 và đường x 3 thẳng d : y 3 t . Phương trình mặt phẳng P qua A , song song với d và vuông góc với z 5 t Q là A. 3x y z 1 0 . B. 3x y z 1 0 . C. x 3y z 3 0 . D. x y z 1 0 . Lời giải Chọn A  Mặt phẳng Q có VTPT nQ 1;1; 4 .  Đường thẳng d có VTCP ud 0;1; 1 .  Gọi VTPT của mặt phẳng P là nP .        Từ giả thiết ta có : n  n và n  u nên chọn n n ,u 3;1;1 . P Q P d P Q d  P đi qua điểm A 0;1;0 và có VTPT nP 3;1;1 có phương trình là: 3x y z 1 0 .
  10. Câu 4. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;1;1 , hai đường thẳng cắt nhau là x 1 4t x 1 y 2 z 3 d : và d ': y 2 t . Phương trình mặt phẳng P qua A , song song với 3 2 1 z 2 d và d ' là A. x 4y 5z 2 0 . B. x 4y 5z 2 0 . C. x 4y 5z 2 0 . D. x 4y 5z 2 0 . Lời giải Chọn B  Đường thẳng d và d ' lần lượt có VTCP là u 3;2;1 , u ' 4;1;0 . Gọi n là VTPT của P . P / /d n  u  Do  n u,u ' 1;4; 5 . P / /d ' n  u ' P đi qua điểm A 1;1;1 và có VTPT n 1;4; 5 có phương trình là: x 4y 5z 2 0 . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3y 2z 5 0. Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P . A. Q : 2y 3z 10 0 . B. Q : 2x 3z 11 0 . C. Q : 2y 3z 12 0 . D. Q : 2y 3z 11 0 . Lời giải   Ta có : AB 3; 3;2 và nP 1; 3;2 . Do mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P nên mặt phẳng 1   Q có một vectơ pháp tuyến là n . AB,n 0;2;3 . 4 P Khi đó, mặt phẳng Q qua A 2;4;1 và có VTPT là n 0;2;3 . Q : 2y 3z 11 0 . Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P , Q lần lượt có phương trình là x y z 0 , x 2y 3z 4 và cho điểm M 1; 2;5 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng P và Q . A. 5x 2y z 14 0 . B. x 4y 3z 6 0 . C. x 4y 3z 6 0. D. 5x 2y z 4 0 . Lời giải: Chọn B P có một vectơ pháp tuyến là nP 1;1; 1 .
  11. Q có một vectơ pháp tuyến là nQ 1; 2;3 . Do vuông góc với P và Q nên có một vectơ pháp tuyến là n nP ,nQ 1; 4; 3 . đi qua điểm M 1; 2;5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng P và Q sẽ có phương trình là: x 1 4 y 2 3 z 5 0 x 4y 3z 6 0 . Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 3;0; 1 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Ox có phương trình là A. 2y z 1 0 . B. 2y z 1 0. C. 2y z 1 0. D. 2y z 1 0 . Lời giải Chọn A  Ta có AB 1; 1; 2 , trục Ox có vectơ chỉ phương là i 1;0;0 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Ox nên có một vectơ pháp tuyến  là n AB,i 0; 2;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A 2;1;1 và có VTPT n 0; 2;1 là : 2y z 1 0 . Câu 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 3;0; 1 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Oy có phương trình là A. 2x z 5 0 . B. 2x z 3 0 . C. 2x z 5 0 . D. 2x z 5 0 . Lời giải Chọn C  Ta có AB 1; 1; 2 , trục Oy có vectơ chỉ phương là j 0;1;0 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Oy nên có một vectơ pháp tuyến  là n AB, j 2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A 2;1;1 và có VTPT n 2;0;1 là : 2x z 5 0 . Câu 9. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 3;0; 1 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Oz có phương trình dạng ax by cz 3 0 với a,b,c ¥ . Tính giá trị của biểu thức P 2a b 10c . A. P 4 . B. P 2 . C. P 5. D. P 3. Lời giải Chọn D  Ta có AB 1; 1; 2 , trục Oz có vectơ chỉ phương là k 0;0;1 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song trục Oz nên có một vectơ pháp tuyến  n AB,k 1;1;0 . Phương trình mặt phẳng là x y 3 0 a 1, b 1, c 0 .
  12. Khi đó P 2.1 1 10.0 3 . Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;1;1 , B 3;0; 1 , C 2;0;3 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng OC có phương trình là A. x y z 2 0 . B. 3x 7y 2z 11 0 . C. 4x 2y z 9 0 . D. 3x y 2z 5 0 . Lời giải Chọn B   Ta có AB 1; 1; 2 , OC 2;0;3 . Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng OC nên có một   vectơ pháp tuyến n AB,OC 3; 7;2 . P : 3 x 2 7 y 1 2 z 1 0 . Hay P :3x 7y 2z 11 0 .  Mức độ 4 Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :x2 y2 z2 2x 6y 4z 2 0 và mặt phẳng :x 4y z 11 0 . Gọi P là mặt phẳng vuông góc với , P song song với giá của vecto v 1;6;2 và P tiếp xúc với S . Phương trình của mặt phẳng P là A. 2x y 2z 3 0 ; 2x y 2z 21 0 . B. 2x y 2z 5 0 ; 2x y 2z 2 0 . C. 2x y 2z 2 0 ; x 2y z 21 0. D. x 2y 2z 3 0 ; x 2y z 21 0. Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1; 3;2 và bán kính R 4 .  Vectơ pháp tuyến của là n 1;4;1 .   Vectơ pháp tuyến của P là n n ,v 2; 1;2 . P Suy ra P có dạng: 2x y 2z d 0 . Mặt khác P tiếp xúc với S nên d I, P 4 2 3 4 d d 21 4 . 22 1 2 22 d 3 Vậy Phương trình của mặt phẳng P là: 2x y 2z 3 0 ; 2x y 2z 21 0 . Câu 2. Trong không gian Oxyz cho điểm H 1;1;3 . Phương trình mặt phẳng P đi qua H cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C (khác O ) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là A. x y 3z 7 0 .B. x y 3z 7 0 . C. x y 3z 11 0 .D. x y 3z 11 0 .
  13. Lời giải Chọn D Do H là trực tâm ABC AH  BC . Mặt khác: OA  OBC OA  BC BC  OAH OH  BC .  Tương tự: OH  AB OH  ABC hay OH 1;1;3 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Mặt phẳng P đi qua H 1;1;3 nên phương trình mặt phẳng P là: x y 3z 11 0 . Câu 3. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm S 1;6;2 , A 0;0;6 , B 0;3;0 , C 2;0;0 . Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S.ABC . Mặt phẳng đi qua ba điểm S , B , H có một vectơ pháp tuyến là A. n (1;1; 1) .B. n (1;5; 7) . C. n (7;5; 4) .D. n (1;1;1) . Lời giải Chọn B S B C H A x y z Phương trình Mặt phẳng ABC : 1 3x 2y z 6 0 . 2 3 6 Đường thẳng d qua điểm S và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: x 1 3t d : y 6 2t z 2 t Khi đó H d  ABC . Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
  14. 19 x 14 x 1 3t 31 y y 6 2t 7 19 31 17 H ; ; . z 2 t 17 14 7 14 z 3x 2y z 6 0 14 11 t 14  19 10 17    11 55 11 11 Ta có BH ; ; , SB 1; 3; 2 BH, SB ; ; 1;5; 7 14 7 14 14 14 2 14 Mặt phẳng (SBH ) có vectơ pháp tuyến là n 1;5; 7 . Câu 4. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua G 1;2;3 cắt các trục tọa độ tại điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC có phương trình ax by cz 18 0. Tổng a b c bằng A. 9. B. 12. C. 10. D. 11. Lời giải Chọn D Gọi A m;0;0 ;B 0;n;0 ;C 0;0; p . Mặt phẳng qua G 1;2;3 cắt các trục tọa độ tại điểm A, B,C có dạng x y z P : 1 m n p m 3xG 3 Ta có G 1;2;3 là trọng tâm tam giác ABC n 3yG 6 . p 3zG 9 x y z P : 1 6x 3y 2z 18 0 3 6 9 Vậy a b c 11. Câu 5. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng P đi qua M 1;2;4 và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là x y z x y z A. 1. B. 1. 4 2 4 6 3 12 x y z x y z C. 1. D. 1. 3 6 12 4 4 2 Lời giải Chọn C x y z Gọi A a;0;0 , B 0;0;b , C 0;0;c thì ABC : 1. a b c 1 2 4 M ABC 1. a b c 1    abc V OA,OB .OC . OABC 6 6
  15. Áp dụng BDT Côsi ta có: 1 2 4 8 216 1 1 33 1 abc 36 V 36. a b c abc abc 6 OABC a 3 1 2 4 1 Vậy VOABC đạt giá trị nhỏ nhất là 36 khi b 6 . a b c 3 c 12 x y z Mặt phẳng thỏa yêu cầu có phương trình là 1. 3 6 12 Câu 6. Trong không gian Oxyz cho hai điểm C(0;0;3) và M ( 1;3;2) . Mặt phẳng P qua C , M đồng thời chắn trên các nửa trục dương Ox,Oy các đoạn thẳng bằng nhau. Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là A. n 1;1;1 . B. n 1;1;2 . C. n 1;1; 1 . D. n 1;1; 2 . Lời giải Chọn B Giả sử mặt phẳng P chắn Ox,Oy lần lượt tại A(a;0;0) ; B(0;a;0) với a 0 . x y z Mặt phẳng P qua A, B,C có phương trình là (P) : 1. a a 3 1 3 2 Mặt khác P qua M ( 1;3;2) nên ta có 1 a 6 . a a 3 x y z Do đó (P) : 1 x y 2z 6 0 . 6 6 3  Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n(P) (1;1;2) . Câu 7. Trong không gian Oxyz , biết mặt phẳng P : ax by 2z d 0 với a 0 đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 và tạo với mặt phẳng Oyz một góc 60 . Khi đó tổng a b d bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 . Lời giải Chọn B b d 0 Ta có: A, B P nên . Suy ra a b và d a . a d 0 Suy ra P có dạng ax ay 2z a 0 có vectơ pháp tuyến là n a;a; 2 . Măt phẳng yOz có vectơ pháp tuyến là i 1;0;0 . n.i 1 a 2 2 2 a 1 Ta có: cos60 2a 2 4a 2a 2 . n . i 2 2a2 2.1 a 1 Với a 1 ta có: b 1 và d 1. Ta có: a b d 1 1 1 1. Câu 8. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng P qua M 1;2;1 , lần lượt cắt các tia Ox , Oy , Oz tại các điểm A , B , C sao cho hình chóp O.ABC đều là
  16. A. P :x y z 4 0. B. P :x y z 4 0 . C. P :x y z 1 0 . D. P :x y z 0 . Lời giải Chọn A Gọi mặt phẳng P cắt các tia Ox , Oy , Oz tại các điểm A , B , C sao cho hình chóp O.ABC đều OA OB OC a . x y z Phương trình mặt phẳng P : 1. a a a 1 2 1 Mà P qua M 1;2;1 nên 1 a 4 . a a a Phương trình mặt phẳng P : x y z 4 0 . Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Ozyz cho điểm A 2; 1; 2 và đường thẳng d có phương x 1 y 1 z 1 trình . Gọi P là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng 1 1 1 d và khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng P là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. x 3y 2z 10 0 . B. x 2y 3z 1 0 . C. 3x z 2 0 . D. x y 6 0. Lời giải Chọn C Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d . Suy ra : x y z 1 0 . x 1 t Đường thẳng d có phương trình tham số: y 1 t . z 1 t Gọi K x; y; z là hình chiếu vuông góc của A lên d . Tọa độ của K là nghiệm của hệ x 1 t x 1 y 1 t y 1 . Vậy K 1;1;1 . z 1 t z 1 x y z 1 0 t 0 Ta có d d, P d K, P KH KA 14 . Nên khoảng cách từ d đến P đạt giá  trị lớn nhất bằng 14 khi mặt phẳng P qua A và vuông góc với KA.  Khi đó có thể chọn VTPT của P là KA (1; 2; 3) .
  17.   KA (1; 2; 3) , mặt phẳng 3x z 2 0 có VTPT n (3;0;1) thỏa KA.n 0 . Vậy P vuông góc với mặt phẳng 3x z 2 0 . Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3;0;0 , B 1;2;1 và C 2; 1;2 . Biết mặt phẳng P qua B , C và tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC . Khi đó mặt phẳng P có một vectơ pháp tuyến là 10;a;b . Tổng a b là A. 2 .B. 2.C. 1.D. 1. Lời giải Chọn B Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I x; y; z .     Ta có OB (1;2;1) , OC (2; 1;2) , OB  OC (5;0; 5) nên mặt phẳng (OBC) có một vectơ pháp tuyến là a (1;0; 1) . Phương trình OBC qua O và có VTPT a (1;0; 1) là: x z 0 .     Ta có AB ( 2;2;1) , AC ( 1; 1;2) , AB  AC (5;0; 5) nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là b (5;3;4) . Phương trình ABC qua A và có VTPT b (5;3;4) là: 5x 3y 4z 15 0 . Tâm I cách đều hai mặt phẳng OBC và ABC suy ra: x z 5x 3y 4z 15 y 3z 5 0 . 2 5 2 10x 3y z 15 0  Nhận xét: Hai điểm A và O nằm về cùng phía với nên loại . Hai điểm A và O nằm về khác phía  nên nhận  . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là 10;a;b thì a 3, b 1. Vậy a b 2 . DẠNG TOÁN 24: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHẦN II: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.  Định nghĩa.
  18. Cho n 0 , n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng . Chú ý : Một mặt phẳng có vô số véctơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau. Chẳng hạn n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng suy ra kn k 0 cũng là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng . Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Ta có : n  a , n  b và a , b là hai vectơ không cùng phương n a,b . 2. Mối liên hệ giữa quan hệ hình học và quan hệ vectơ được sử dụng để tìm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.  Ký hiệu n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng , ud là véctơ chỉ phương của đường thẳng d .   Đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng suy ra n  ud .   Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng suy ra n , ud là hai véctơ cùng phương.   Hai mặt phẳng và  song song với nhau suy ra n , n là hai véctơ cùng phương.   Hai mặt phẳng và  vuông góc với nhau suy ra n  n . 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.  Mặt mặt phẳng đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và nhận n A; B;C là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng : A x x0 B y y0 C z z0 0 .  Mặt mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng : Ax By Cz D 0 . Chú ý: mp ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm a;0;0 , 0;b;0 , 0;0;c với abc 0. Có phương trình x y z mặt phẳng theo đoạn chắn là : 1 . a b c II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết.  PTMP trung trực của đoạn thẳng.  PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng).  PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng.  PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu.  PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác.  PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác.
  19.  PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng.  PTMP theo đoạn chắn.  PTMP song song với mp, thỏa ĐK.  PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt).  PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng.  PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác.  PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách.  PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu.  PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng.  PTMP song song với mp, thỏa ĐK.  Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng.  Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng: P : 2x 3y z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? A. n 2;3;2 .B. n 2;3;0 . C. n 2;3;1 .D. n 2;0;3 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định các hệ số của x, y, z trong phương trình MP P . B2: Từ đó suy ra VTPT là n 2;3;1 . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Hệ số x, y, z trong phương trình MP P lần lượt là 2,3,1. Vậy VTPT của MP P là n 2;3;1 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x z 1 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(3; 1;1) . B. n(3;0; 1) . C. n(3;0;1) .D. n(3; 2;1) . Lời giải Chọn B. Hệ số x, y, z trong phương trình MP P lần lượt là 3, 0, 1. Vậy VTPT của MP P là n 3;0; 1 .
  20. Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x 2y z 3 0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: A. n(4; 4;2) .B. n( 2;2; 3) . C. n( 4;4;2) . D. n(3; 2;1) . Lời giải Chọn A Hệ số x, y, z trong phương trình MP P lần lượt là 2,2, 1. Khi đó (4; 4;2) 2( 2;2; 1) . Vậy VTPT của MP P là n(4; 4;2) . Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 1;0;1), B( 2;1;1) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB có một VTPT là: A. n(4; 4;2) .B. n( 3;1;0) . C. n( 1;0;1) .D. n( 1;1;0) . Lời giải Chọn D  Ta có: AB ( 1;1;0) .  Mặt phẳng trung trực của đọan AB nhận AB ( 1;1;0) làm VTPT. Vậy VTPT cần tìm là n( 1;1;0) . Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A( 1;0;1) và song song với mặt phẳng P : x 2y z 1 0 có một VTPT là. A. n(1; 2; 1) .B. n(1;1;0) .C. n(1; 2;1) .D. n( 1;1;0) . Lời giải Chọn A Mặt phẳng song song với (P) có dạng Q : x 2y z D 0 D 1 . Vậy VTPT cần tìm là n(1; 2; 1) . Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Phương trình mặt phẳng qua A 2;5;1 và song song với mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là: A. n(2;1;5) . B. n(1;0;0) .C. n(0;0;1) .D. n(1;0;0) . Lời giải: Chọn C Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là n 0;0;1 Nên mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là n 0;0;1 Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua M 1;4;3 và vuông góc với trục Oy có phương trình là: A. y 4 0 . B. x 1 0 . C. z 3 0 . D. x 4y 3z 0. Lời giải: Chọn A
Giáo Án Liên Quan