Đề cương ôn tập môn Giải tích Lớp 12 (Cơ bản) - Chương I - Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Trường THPT Hiếu Phụng

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Giải tích Lớp 12 (Cơ bản) - Chương I - Bài 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Trường THPT Hiếu Phụng

1. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH (HS ghi tập) I. ĐỊNH NGHĨA * Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên tập D . a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên tập D nếu fx M với mọi x thuộc D và tồn tại xDo sao cho fx o M . Kí hiệu M max fx D b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên tập D nếu fx m với mọi x thuộc D và tồn tại xDo sao cho fx o m . Kí hiệu m min fx D * Ví dụ 1: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3. Giá trị của Mm bằng A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 0 . Lời giải Dựa và đồ thị suy ra f x f 3 3,  x  1;3 M 3 Và f x f 2 2,  x  1;3 m 2 Vậy Mm 3 2 5. Chọn C * Ví dụ 2: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  2; 6 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  2; 6. Giá trị của P M m bằng A. P 9. B. P 8. C. P 9. D. P 8. Lời giải Từ đồ thị suy ra 4 f x 5,  x  2;6 ; Suy ra m f 1 4; M f 4 5 Vậy P M m 9 . Chọn A II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 1. Định lý Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn ab;  * Bước 1: Tính fx . * Bước 2: Tìm các điểm x1 ; x 2 ;...; x n trên khoảng ab; mà tại đó fx 0 hoặc không xác định. * Bước 3: Tính f a ; f b ; f x12 ; f xx ;...; f n . * Bước 4: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên rồi kết luận M max f x ; m min f x ab;  ab;  Trang 1/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
2. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT * Nhận xét (SGK trang 21) a) Nếu đạo hàm fx giữ nguyên dấu trên đoạn ab;  thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, fx đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn ab;  . b) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi x i x i 1 mà tại đó fx bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y f x đơn điệu trên mỗi khoảng xxii; 1 . Khi đó, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn ab;  là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút ab, và tại các điểm xi nói trên. c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có GTLN và GTNN trên khoảng đó. * Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x42 10 x 2 trên đoạn  1;2 bằng A. 2 . B. 23 . C. 22 . D. 7. Lời giải Xét hàm số trên đoạn  1;2 + Ta có: f x 4 x3 20 x . x 0  1;2 (nhan) + fx 0 x 5  1;2 (loai ) + f 12 7; f 0 2; f 22 . + Vậy m min f x 22 . Chọn C. ( chú ý: maxfx 2)  1;2  1;2 * Ví dụ 4: Giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 32 x trên đoạn  3; 3 là A. 4 . B. 16 . C. 20 . D. 0 . Lời giải Xét hàm số trên đoạn có: + f x 33 x2 . x 1 + fx 0 (nhận) x 1 + f 3 20; f 3 16; f 1 0; f 1 4; . Vậy M max f x f 3 20 . Chọn C. ( chú ý: minf x f 3 16)  3; 3  3; 3 31x * Ví dụ 5: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn0; 2 . x 3 Tính giá trị của P M. m . 5 1 14 A. P . B. P . C. P 5. D. M 3 3 3 Lời giải Xét trên đoạn , ta có 3( 3) 1( 1) 8 + y ' yx' 0 ;  0; 2 suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 0; 2 xx 33 22 1 + f 0 , f 25 3 1 15 Vậy M max y f 0 và m min y f 2 5. Suy ra P M. m . 5 . 0; 2 3 0; 2 33 Chọn A Trang 2/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
3. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT * Chú ý 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên ab;  (Sử dụng máy tính cầm tay) Mode 7: Nhập hàm số f(x) = Start ? Nhập số bên trái a của đoạn = End ? Nhập số bên phải b của đoạn = ba ba Step ? Nhập số thập phân = (máy 580VNX ) 19 20 Xem cột f(x): chọn GTLN, GTNN của hàm số * Chú ý 2: Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục y f x trên khoảng ab; * Bước 1: Tính đạo hàm y f x * Bước 2: Giải pt y '0 ( nếu có ), hoặc xác định dấu y ' * Bước 3: Lập BBT trên khoảng ab; * Bước 4: Kết luận + Nếu trên , hàm số chỉ có 1 cực tiểu thì GTNN bằng giá trị cực tiểu : min yy CT ab; + Nếu trên hàm số chỉ có 1 cực đại thì GTLN bằng giá trị cực đại: max y yCĐ ab; + Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì không có cực trị trên 4 * Ví dụ 6: Tìm GTNN, GTLN của hàm số yx trên khoảng ;0 . x Lời giải Xét trên 14x2 Ta có: y' 1 4 22 xx x 2 ; 0 yx' 0 2 4 0 x 2 ; 0 Vậy maxyy CD 4 ;0 * Chú ý 3: Nếu yêu cầu tìm GTLN, GTNN của hàm số mà không cho miền đang xét thì ta tìm trên TXĐ của hàm số đó + Nếu TXĐ là một đoạn ab;  thì ta áp dụng dạng GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn + Nếu TXĐ là một khoảng thì ta áp dụng dạng GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng * Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yx 4 2 . A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Lời giải + Tập xác định: D  2; 2 suy ra hàm số đã cho liên tục trên đoạn  2; 2 x + Ta có: y' 4 x2 + yx' 0 0 2; 2 + f 2 0; f 2 0; f 0 2 Vậy maxfx 2 . Chọn A  2;2 Trang 3/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
4. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1 * Ví dụ 8: Một vật chuyển động theo quy luật s t32 6 t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ 3 khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s) B. 27 (m/s) C. 144 (m/s) D. 36 (m/s) Lời giải Ta có: v s' t2 12 t ; + Khi đó vt' 2 12; + v' 0 t 6 v 36 . + Bảng biến thiên + Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng 0;9 thì hàm số đạt cực đại duy nhất Vậy giá trị lớn nhất vận tốc là v 6 36m / s . Chọn D III. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN CHO TRƯỚC (HS TỰ THAM KHẢO DÀNH CHO HS KHÁ GIỎI) 1. BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bước 1. Tìm nghiệm xii 1,2,... của y'0 thuộc ab;  Bước 2. Tính các giá trị f xi ;; f a f b theo tham số Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận. * Lưu ý: a) Hàm số y f x đồng biến trên đoạn ab;  thì max f x f b ; min f x f a a;; b  a b b) Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn ab;  thì max f x f a ; min f x f b a;; b  a b 2. Các ví dụ xm * Ví dụ 9: Cho hàm số y (Với m là tham số thực) thỏa mãn miny 3. Mệnh đề nào dưới đây x 1 2;4 đúng? A. m 4 . B. 34 m . C. m 1. D. 13 m . Lời giải 1 m * Ta có yx' ;  1 x 1 2 * Trường hợp 1: 1 mm 0 1 suy ra hàm số đồng biến trên 2;4 2 m Do đó minf x f 2 3 m 1 (loại) 2;4 1 * Trường hợp 2: 1 mm 0 1 suy ra hàm số nghịch biến trên 2;4 4 m Do đó minf x f 4 3 m 5 (nhận) 2;4 3 Vậy m 4 thỏa điều kiện bài toán. Chọn A Trang 4/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
5. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT xm 16 * Ví dụ 10: Cho hàm số y (Với là tham số thực) thoả mãn minyy max . x 1 1;2 1;2 3 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m4 . B. 2 m 4 . C. m 0. D. 02 m . Lời giải 1 m Ta có y ' . x 1 2 Trường hợp 1: m 1. yx 1,  1 là hàm hằng nên m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường hợp 2: m 1 1 m Suy ra yx' 0,  1 Hàm số đồng biến trên đoạn 1;2. x 1 2 16 Khi đó: minyy max 1;2 1;2 3 16mm 1 2 16 y 1 y 2 m 5 (loại). 3 2 3 3 Trường hợp 3: m 1 1 m Suy ra yx' 0,  1 x 1 2 Hàm số nghịch biến trên đoạn 1;2. 16 Khi đó: minyy max 1;2 1;2 3 16 2 mm 1 16 y 2 y 1 m 5(nhận) 3 3 2 3 Vậy m 4 thỏa điều kiện bài toán. Chọn A Cách 2: TN m 1 có hàm số là hàm b1/b1 luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định. Khi đó: m Thế vào đề ta thấy nó thỏa mãn. * Ví dụ 11: Cho hàm số y 23 x32 x m (với m là tham số thực). Trên  1;1 , hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m ? A. m 6. B. m 3. C. m 3 . D. 13 m . Lời giải Xét hàm số trên đoạn  1;1 có: 2 x 0 + y' 6 x 6 x 0 x 1 + ym 15 ; ym 0 ; ym 11 + Ta thấy 51 m m m nên minym 5 .  1;1 Do miny 1 5 mm 1 4.  1;1 Vậy m 3 thỏa điều kiện bài toán. Trang 5/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
6. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. (NB) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  1;3  và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1;3 . Giá trị của Mm là A. 2. B. 4. C. 6. D. 5. Câu 2. (NB) Cho hàm số fx liên tục trên  1;5 và có đồ thị trên đoạn  1;5 như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số fx trên đoạn  1;5 bằng A. 1. B. 4 . C. 1. D. 2 . Câu 3. (NB) Cho hàm số y f x liên tục và có đồ thị trên đoạn  2; 4 như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  2; 4 bằng A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. 2 . Câu 4. (NB) Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  1 ; 3 như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. maxf x f 0 . B. maxf x f 3 . C. maxf x f 2 . D. maxf x f 1 .  1;3  1;3  1;3  1;3 Câu 5. (NB) Cho hàm số y f x liên tục trên  3;2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi Mm, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  1; 2 . Tính Mm . A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Câu 6. (TH) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 34 x trên đoạn 0;2. A. miny 2 . B. miny 0 . C. miny 1. D. miny 4 . 0;2 0;2 0;2 0;2 Câu 7. (TH) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x42 8 x 18 trên đoạn  1 ; 3 bằng A. 2 . B. 11. C. 27 . D. 1. xx2 4 Câu 8. (TH) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 0;3 . 21x 3 A. miny 0 . B. min y . C. miny 4 . D. miny 1. 0;3 0;3 7 0;3 0;3 Trang 6/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số
7. Trường THPT Hiếu Phụng GT12 CB Chương I: §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT x 1 Câu 9. (TH) Cho hàm số fx . Kí hiệu M max f x , m min f x . Khi đó Mm bằng: x 1 0;2 0;2 4 2 2 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3 Câu 10. (TH) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2 x 4 6 x trên  3 ; 6. Tổng Mm có giá trị là A. 12 . B. 6. C. 18. D. 4 . Câu 11. (VD) Cho hàm số y x32 2 m 1 x 3 m ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có maxyy 3min 9 . Tổng các phần tử của S là 0;1 0;1 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 1. Câu 12. (VD) Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 1,01 m3 B. 0,96 m3 C. 1,33 m3 D. 1,51 m3 Câu 13. (VD) Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời vt phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số v t t42 8 t 500 m / s . Trong khoảng thời gian ts 0 đến ts 5 chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào? A. t 1 . B. t 4 . C. t 2 . D. t 0 . Trang 7/Bài 3-GTLN, GTNN của hàm số