Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 49: Thể tích khối đa diện (Thể tích khối đa diện được cắt ra từ 1 khối khác)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 49: Thể tích khối đa diện (Thể tích khối đa diện được cắt ra từ 1 khối khác)

1. DẠNG TOÁN 49: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ( thể tích khối đa diện được cắt ra từ 1 khối khác) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Thể tích khối đa diện 1 - Thể tích khối chóp : V S .h 3 d - Thể tích khối lăng trụ : V Sd .h . - Thể tích khối lập phương : V a3 , thể tích khối hộp chữ nhật : V a.b.c . 2. Thể tích khối đa diện được phân chia : V SA SB SC +) Khối chóp tam giác : S.ABC VS.A B C SA SB SC S C' A' B' C A B +) Khối chóp tứ giác có đáy là hình hành : VS.ABCD a b c d SA SB SC SD a , b ,c ,d VS.A B C D a.b.c.d SA SB SC SD a c b d
2. S D' A' C' B' A D B C VABC.MNP 1 AM BN CP +) Thể tích khối lăng trụ tam giác : . VABC,A B C 3 AA BB CC C B P A N M C' B' A' VABCD.MNPQ 1 AM BN CP DQ 1 AM CP +) Khối hộp : . VABCD,A B C D 4 AA BB CC DD 2 AA CC AM CP BN DQ AA CC BB DD
3. A D B C M Q N P A' D' B' C' II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Khối đa diện cắt ra từ một khối chóp  Khối chóp cụt  Khối hình hộp khác  Khối lăng trụ khác  Khối da diện cắt ra từ khối lăng trụ  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có chiều cao bằng 8 và diện ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ tích đáy bằng 9. Gọi M , N, P và Q lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A , BCC B ,CDD C và DAA¢D¢. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B,C, D, M , N, P và Q bằng A. 27 .B. 30 . C. 18.D. 36 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích khối đa diện. 2. HƯỚNG GIẢI: B1:Tính thể tích khối B.EMN theo thể tích khối hộp với E là trung điểm cạnh BB¢. B2:Hoàn toàn tương tự, tính thể tích 3 khối nhỏ là VC.NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ . B3: Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối EFGH.ABCD trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng nhau là VB.EMN ;VC.NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
4. Lời giải Chọn B Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của BB¢,CC¢, DD¢ và AA . Ta có: V æ1ö3 1 1 1 1 EMN P A¢B¢C¢ Þ B.EMN = ç ÷ Þ V = V = . V = V . ( ) ( ) ç ÷ B.EMN B.A¢B¢C¢ ABCD.A¢B¢C¢D¢ ABCD.A¢B¢C¢D¢ VB.A¢B¢C¢ è2ø 8 8 6 24 Hoàn toàn tương tự, 1 V = V = V = V . C.NFP D.GPQ A.MHQ 48 ABCD.A¢B¢C¢D¢ Thể tích khối đa diện cần tìm sẽ bằng thể tích khối EFGH.ABCD trừ đi thể tích 4 khối nhỏ bằng nhau là VB.EMN ;VC.NFP ;VD.GPQ ;VA.MHQ . V 4 5 Suy ra V = ABCD.A¢B¢C¢D¢ - V = V . MNPQABCD 2 48 ABCD.A¢B¢C¢D¢ 12 ABCD.A¢B¢C¢D¢ 5 Mà V = 8.9 = 72 nên V = .72 = 30 (đvtt). ABCD.A¢B¢C¢D¢ MNPQABCD 12 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 Câu 1Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , ·ABC 120. Biết góc giữa hai mặt phẳng A BC và A CD bằng 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 3 6 3 2 3 3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V a3 . 8 8 8 8 Lời giải Chọn C
5. Ta có ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC 1200 nên BD a , AC a 3 và 1 a2 3 S AC.BD . ABCD 2 2 Gọi O AC  BD . Ta có BD  A AC BD  A C . Kẻ OM  A C tại M thì A C  BDM A C  MD , do đó góc giữa hai mặt phẳng A BC và A CD là góc giữa hai đường thẳng MB và MD . Vậy B· MD 60 hoặc B· MD 120 . 3 TH1: B· MD 60 thì do MB MD nên tam giác BMD là tam giác đều, do đó OM a 2 OM OC (vô lý vì OMC vuông tại M ). TH2: B· MD 120 thì do tam giác BMD cân tại M nên a 3 a 6 B· MO 60 MO BO.cot 60 , do đó MC OC 2 MO2 . 6 3 AA MO a 6 Có tam giác AA C đồng dạng với tam giác MOC nên AA . AC MC 4 a 6 a2 3 3 2 Vậy V AA .S . a3 . ABCD 4 2 8 Câu 2. 2H1-3.2-2] Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a , cạnh bên AA 2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C . 1 a3 2a3 A. V a3 . B. V . C. V a3 . D. V . 2 3 3 Lời giải Chọn C
6. Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao. 1 HB HA HC AC a , A H A A2 AH 2 2a2 a2 a . 2 1 V A H .S A H . BH. AC a3 . ABC.A B C ABC 2 Câu 3. [2H1-3.2-3] Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ·ABC 120. Góc giữa cạnh bên AA và mặt đáy bằng 60 . Đỉnh A cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. 3a3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V a3 3 . 2 6 2 Lời giải Chọn C Hình thoi ABCD cạnh a , ·ABC = 120° nên góc B· AD 60 , suy ra tam giác ABD đều a2 3 a2 3 cạnh a . Diện tích đáy ABCD là S 2.S 2. . ABD 4 2 Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Ta có A H  ABCD . a 3 a 3 Tính được AO , AH . Góc giữa AA và mặt đáy bằng góc ·A AH 60 . 2 3
7. a 3 a2 3 a3 3 Ta có A H AH.tan 60 . 3 a . Thể tích lăng trụ V A H.S a. . 3 2 2 Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M     và N sao cho MA MB 0 và NC 2ND . Mặt phẳng P chứa MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính V . 2 7 2 2 11 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 18 216 108 216 Lời giải Chọn D A M P B D N Q C   Ta có MA MB 0 , suy ra M là trung điểm AB ;   NC 2ND , suy ra NC 2ND . Từ N kẻ NP // AC , N AD ; M kẻ MQ // AC , Q BC . Mặt phẳng P là MPNQ . Gọi AH là chiều cao khối chóp hạ từ A . 1 2 Ta có V  AH  S . ABCD 3 BCD 12 V VACMPNQ VAMPC VMQNC VMPNC AM AP 1 2 1 Ta có V  V  V V . AMPC AB AD ABCD 2 3 ABCD 3 ABCD 1 1 CQ CN 1 1 2 1 V V   V   V V . MQNC 2 AQNC 2 CB CD ABCD 2 2 3 ABCD 2 ABCD 2 2 1 2 1 AM 2 1 1 1 V V . V   V   V V . MPNC 3 MPCD 3 3 MACD 3 3 AB ABCD 3 3 2 ABCD 9 ABCD 1 1 1 11 11 2 Vậy V VABCD V VABCD . 3 6 9 18 216
8. Câu 5. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 6 a3 5 a3 3 a3 5 A. . B. . C. . D. . 12 8 24 24 Lời giải Chọn D Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BC và EF ; H là trọng tâm tam giác ABC . AEF  SBC Ta có 1 AEF  SBC EF EF // BC Trong mặt phẳng SBC , ta có nên EF  SM 2 . SM  BC Từ (1) và (2) suy ra SM vuông góc với mặt phẳng AEF tại N Mặt khác HM Tam giác SHM vuông tại H có cos M 3 . SM MN Tam giác AMN vuông tại N có cos M 4 AM HM MN Từ (3) và (4) ta có SM.MN HM.AM (vì N là trung điểm SM ) SM AM 1 1 2 a 2 SM 2 AM 2 SM AM 2 3 3 2 1 a 3 a 5 Tam giác SHM vuông tại H có HM .AM và SH SM 2 HM 2 . 3 6 2 3 1 a3 5 Khi đó V .S .SH . S.ABC 3 ABC 24 Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm các cạnh AA và BB ; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng C B tại F . Thể tích khối đa diện EFA B E F bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Lời giải Chọn A
9. C' E' A' E B' F' F A C M B Thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A B C là 3 3 V S .AA .1 . ABC.A B C ABC 4 4 3 Gọi M là trung điểm AB . Suy ra CM  ABB A và CM . 2 Thể tích khối chóp C.ABFE là 1 1 1 3 3 V .S .CM .1. . . C.ABFE 3 ABFE 3 2 2 12 Thể tích khối đa diện A B C EFC là 3 3 3 V V V . A B C EFC ABC.A B C C.ABFE 4 12 6 Ta dễ dàng chứng minh được A và B lần lượt là trung điểm của C E và C F . Thể tích khối chóp C.C E F là 1 1 1 3 3 V .S .CC .4.S .CC .4. .1 . C.C E F 3 C E F 3 C A B 3 4 3 Khi đó, thể tích khối đa diện EFA B E F là 3 3 3 V V V . EFA B E F C.C E F A B C EFC 3 6 6 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC . Gọi là mặt phẳng chứa AG và song song với BC , chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . 4a3 4a3 2a3 5a3 A. . B. . C. . D. . 9 27 9 54 Lời giải Chọn D
10. Trong mặt phẳng SBC , qua G kẻ đường thẳng song song với BC , lần lượt cắt SC , SB tại E và F . Khi đó, khối đa diện không chứa đỉnh S là ABCEF . SE SF SG 2 Gọi M là trung điểm BC . Vì G là trọng tâm của SBC nên . SC SB SM 3 V SF SE 2 2 4 Do đó: S.AFE . . . VS.ABC SB SC 3 3 9 4 4 5 Hay V .V V V .V .V . S.AFE 9 S.ABC ABCEF S . ABC 9 S.ABC 9 S.ABC Vì tam giác ABC vuông cân tại B và AC a 2 nên AB BC a . 1 1 a3 5 a3 5a3 Mặt khác V . .a.a.a . Suy ra V . . S.ABC 3 2 6 ABCEF 9 6 54 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD . Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD là. 1 1 1 1 B. . C. . D. . A. 8 . 4 16 2 Lờ giải Chọn A Vì ABCD là hình bình hành nên S = S ABC ACD . . Do đó VS.ABCD = 2VS.ABC = 2VS.ACD . Ta có.
11. V V + V V V V V S.MNPQ = S.MNP S.MPQ = S.MNP + S.MPQ = S.MNP + S.MPQ VS.ABCD VS.ABCD VS.ABCD VS.ABCD 2VS.ABC 2VS.ACD 1 SM SN SP 1 SM SP SQ 1 1 1 = . . . + . . = + = . 2 SA SB SC 2 SA SC SD 16 16 8 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , ABCD là hình chữ nhật. SA AD 2a . Góc giữa SBC và mặt đáy ABCD là 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp S.AGD là 16a3 32a3 3 8a3 3 4a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 27 27 9 Lời giải Chọn C S G B A M D C SA 2a Vì góc giữa SBC và mặt đáy ABCD là 60 nên S· BA 60 AB . tan 60 3 2a 4a2 3 Khi đó: S AB.AD .2a . ABCD 3 3 1 2a2 3 Gọi M là trung điểm BC , khi đó: S S . ADM 2 ABCD 3 2 2 1 2a2 3 8a3 3 V V . .2a. . S.ADG 3 S.ADM 3 3 3 27 Câu 10. Cho khối lăng trụ ABCD.A B C D có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A .BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A
12. 1 1 VA .BCO d A , BCO .SBCO VABCD.A B C D 1. 3 12 Câu 11. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và B· CD 120 . SA  ABCD và SA a . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp S.AMNP . a3 3 a3 3 2a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 42 21 14 Lời giải Chọn B a 3 Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì AI ; 2 1 a 3 OI AI . 3 6 1 a a 3 Tam giác ICD vuông I có I·CD 60 , ID BD và IC ID.cot 60 . 2 2 6 2a 3 O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD AC AI IC . 3 BD  AC Khi đó BD  SAC BD  SC BD  SA Mà SC  P nên BD // P P  SBD MP Do đó MP // BD SBD  ABCD BD BD  SAC Lại có BD  AN AN  MP AN  SAC SN SA2 SN SA2 3 Tam giác SAC vuông tại A có SN.SC SA2 SC SC 2 SC SA2 AC 2 7 a 3 Tam giác ABC có SD a 2 ; BC IC 2 IB2 và AC 2 AB2 BC 2 3 tam giác ABC vuông tại B BC  SAB ; AM  SAB BC  AM SM 1 Lại có tam giác SAB vuông nên AM  SB M là trung điểm SB SB 2 SP SM 1 Mà MP // BD nên SD SB 2 Mặt khác
13. a2 3 1 a2 3 a3 3 S S S CB.CD.sin1200 . Suy ra V V . ABCD ABC BCD 4 2 3 S.ABCD 9 VS.AMN SM SN 3 1 3 3 3 Khi đó . . VS.ANP V . Do đó VS.ANM V . VS.ABC SB SC 7 2 14 28 28 3 VS.AMNP 3 a 3 Vậy VS.AMNP . VS.ABCD 14 42 Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng P qua A và vuông góc SC cắt SC, SB, SD lần lượt tại B ,C , D . Biết rằng 3SB 2SB . Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp V S.A B C D và S.ABCD . Tỉ số 1 là V2 V 4 V 1 V 2 V 2 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 9 V2 3 V2 3 V2 9 Lời giải Chọn B SB' 2 SD' 2 SC ' Ta có , bây giờ cần tìm SB 3 SD 3 SC Tọa độ hóa với Ox  OC,Oy  OB,OS Oz và đặc biệt hóa cho OA 1 A 1;0;0  C 1;0;0 ,S 0;0;a SC 1;0; a P : x 1 az 0 x az 1 0. x 0  Ta có B 0;1;0 SB 0;1; a SB : y 1 t t ¡ . z at 2 1 1 Cho giao với P a t 1 0 B' 0;1 2 ; . a a Ta có 3 3 2 1 1 a2 S 0;0; 3 3 0;1 2 ; a 2 0;1; a a 3 a a 3 3a 2a P : x z 3 1 0 a
14. Cho SC giao với VS.AB 'C ' 2 1 1 . 1 3 SC ' 1 VS.ABC 3 2 3 1 P C ' ;0; VS.AB 'C ' D ' VS.ABCD . 2 2 SC 2 V 1 2 1 3 S.AC ' D ' . VS.ACD 2 3 3 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho SM 2MD . Mặt phẳng ABM cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABNM . A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Lời giải Chọn C . M ABM  SCD Có : . AB / /CD ABM  SCD MN / /CD . VS.ABNM VSANM VSANB 1 SM SN SN 5 . . VSABCD 2VSACD 2VSACB 2 SD SC SC 9 5 Vậy : V .V 10 . S.ABNM 9 SABCD Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng V P chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B và D . Tỷ số S.AB'MD' là VS.ABCD 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình bình hành đáy. I AO  SO . Đường thẳng qua I và song song BD cắt SB, SD tại B , D . Ta có VSAB MD VSAB M VSAMD . VSAB M SB SM 2 1 1 1 . . nên VSAB M VSABCD . VSABC SB SC 3 2 3 6 VSAMD 1 1 1 Tương tự nên VSAMD VSABCD do đó VSAB MD VSABCD . VSACD 3 6 3
15. S M D' B' I A D O B C . Câu 15. Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 3 4 8 2 Lời giải Chọn C Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP . VS.MNP SM SN SP 1 V Ta có: . . nên VS.MNP . VS.ABC SA SB SC 8 8 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng AHK , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp S.AHIK là: a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 18 36 Lời giải Chọn C
16. Ta có S· BA 45 SA AB a . BC  SA Lại có BC  SAB BC  AH . BC  AB Mà AH  SB AH  SBC AH  SC SC  AH . Tương tự SC  AK SC  AHK SC  AI . SA2 SI a2 1 SI 1 Ta có . AC 2 IC 2a2 2 SC 3 VS.AHI SA SH SI 1 1 1 Tỉ số . . 1. . VS.AHI VS.ABCD . VS.ABC SA SB SC 2 3 12 VS.AIK SA SI SK 1 1 1 Tỉ số . . 1. . VS.AIK VS.ABCD . VS.ACD SA SC SD 3 2 12 1 1 1 a3 V V V V . .a.a2 . S.AHIK S.AHI S.AIK 6 S.ABCD 6 3 18 Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V . 36 9 6 18 Lời giải Chọn D S M F E I D A O B C Trong mặt phẳng SBD : EF  SO I . Suy ra A, M , I thẳng hàng. SI 2 Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM , SO cắt nhau tại I suy ra . SO 3
17. SE SF SI 2 Lại có EF // BD . SB SD SO 3 V SE SM 1 V SF SM 1 Ta có: S.AEM  . S.AFM  . VSABC SB SC 3 VSADC SD SC 3 V V 1 V 1 Vậy S.AEM S.AFM S.AEMF . VS.ABC VS.ADC 3 VS.ABCD 3 a 6 Góc giữa cạnh bên và đáy của S.ABCD bằng góc S· BO 60 suy ra SO BO 3 . 2 1 a3 6 Thể tích hình chóp S.ABCD bằng V SO.S . S.ABCD 3 ABCD 6 a3 6 Vậy V . S.AEMF 18 Câu 18. Cho tứ diện ABCD có DA 1, DA  ABC . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba DM 1 DN 1 DP 3 cạnh DA , DB , DC lấy điểm M , N, P mà , , . Thể tích V của tứ diện DA 2 DB 3 DC 4 MNPD bằng 2 3 3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 96 12 96 12 Lời giải Chọn C 1 3 3 V . .1 . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP . . . . . VDABC DA DB DC 2 3 4 8 1 3 3 V . . DMNP 8 12 96 1 Câu 19. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A sao cho SA SA. 3 Mặt phẳng qua A và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại B ' , C , D . Tính thể tích khối chóp S.A B C D . V V V V A. . B. . C. . D. . 81 27 3 9 Lời giải Chọn A
18. . SA SB SC SD 1 Ta có (theo Talet). SA SB SC SD 3 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: VS.A B C D SA .SB .SC .SD 1 1 1 1 1 V . . . VA B C D . VS.ABCD SA.SB.SC.SD 3 3 3 3 81 81 Câu 20. Cho tứ diện ABCD có DA 1; DA  ABC . ABC là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên DM 1 DN 1 DP 3 cạnh DA, DB, DC lấy 3 điểm M , N , P sao cho ; ; . Thể tích của tứ DA 2 DB 3 DC 4 diện MNPD bằng 2 3 3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 96 12 96 12 Lời giải Chọn C 1 3 3 V . .1 . ABCD 3 4 12 V DM DN DP 1 1 3 1 DMNP . . . . . VDABC DA DB DC 2 3 4 8 1 3 3 Suy ra V . . DMNP 8 12 96  Mức độ 4 Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SM ABCD và SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1. Khi đó giá trị của k SA để mặt phẳng BMC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A
19. SM SN Giả sử MBC cắt SD tại N . Khi đó MN // BC // AD suy ra k k 0 . SA SD V SM V SM SN Ta có S.MBC k, S.MNC  k 2 . VS.ABC SA VS.ADC SA SD V k V k 2 Do đó: S.MBC ; S.MNC . VS.ABCD 2 VS.ABCD 2 k k2 1 1 5 Bài toán thoả mãn khi k2 k 1 0 k . 2 2 2 2 Vậy chọn đáp ánA. Câu 2.] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a 2 . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại B , D , C . Thể tích khối chóp SAB C D là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 3 9 3 Lời giải Chọn C
20. S C' D' B' D A O B C 1 a3 2 Ta có: V .a2.a 2 . S.ABCD 3 3 Ta có AD  SDC AD  SD ; AB  SBC AB  SB . Do SC  AB D SC  AC . Tam giác SAC vuông cân tại A nên C là trung điểm của SC . SB SA2 2a2 2 Trong tam giác vuông SAB ta có . SB SB2 3a2 3 VSAB C D VSAB C VSAC D 1 SB SC SD SC SB SC 2 1 1    . . VS.ABCD VS.ABCD 2 SB SC SD SC SB SC 3 2 3 a3 2 Vậy V . SAB C D 9 Câu 3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC . Điểm P là một điểm trên cạnh CD sao cho PC 2PD . Mặt phẳng MNP cắt cạnh AD tại Q . Thể tích của khối đa diện BDMNPQ bằng 11 2 2 5 2 7 2 A. . B. . C. . D. . 216 27 108 216 Lời giải Chọn D Vì M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC . Khi đó MN // AC MNP  ACD PQ // MN với P CD và Q AD .