Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 25: Phương trình đường thẳng (Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 25: Phương trình đường thẳng (Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng)

1. DẠNG TOÁN 25: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và có vectơ chỉ phương x x0 ta1 a a1;a2 ;a3 là phương trình có dạng: y y0 ta2 trong đó t là tham số. z z0 ta3 Chú ý: Nếu a1 ; a2 ; a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của dưới dạng chính tắc: x x y y z z 0 0 0 a1 a2 a3  + Cho A xA; yA; zA , B xB ; yB ; zB ta có : AB xB xA; yB yA; zB zA + Hình chiếu của M a;b;c trên Ox là M a;0;0 , trên Oy là M 0;b;0 , trên Oz là M 0;0;c . 1 2 3 + Hình chiếu của M a;b;c trên Oxy là M a;b;0 , trên Oyz là M 0;b;c , trên Oxz là 1 2 M 3 a;0;c . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Phương trình đường thẳng( Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng đã cho) Tìm VTCP, các vấn đề về lý thuyết PT hình chiếu vuông góc của d lên (P) Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 2 z 1 d : . Điểm nào dưới đây thuộc d ? 2 3 1 A. P 1;2; 1 . B. M 1; 2;1 . C. N 2;3; 1 . D. Q 2; 3;1 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Xác định điểm thuộc đường thẳng cho trước . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Phương trình tham số của đường thẳng d :
2. 2 2 2 Cho đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ chỉ phương u a;b;c , a b c 0 . Khi đó x x0 at phương trình tham số của đường thẳng d : y y0 bt t ¡ z z0 ct x x y y z z + Nếu a.b.c 0 thì đường thẳng d có phương trình chính tắc: 0 0 0 . a b c . 3. HƯỚNG GIẢI: Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A 1 1 2 2 1 1 Thay tọa độ điểm P 1;2; 1 vào phương trình đường thẳng d ta có: 0 2 3 1 Ta suy ra được P d . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 x 1 2t Câu 1. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 2 t đi qua điểm nào dưới đây ? z 2 t A. M 2; 1;2 . B. N 1; 2; 2 .C. P 1;2;3 .D. Q 2;1; 1 . Lời giải Chọn B Ta thấy N 1; 2; 2 d . x 1 y 4 z Câu 2. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : đi qua điểm nào dưới đây ? 2 1 2 A. M 2; 1;2 . B. N 1; 4;0 .C. P 1; 4; 2 .D. Q 2;1; 1 . Lời giải Chọn B 1 1 4 4 0 Thay tọa độ điểm N 1; 4;0 vào phương trình đường thẳng d ta có: 0 2 1 2 N 1; 4;0 d .
3. x 1 y 2 z 3 Câu 3. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : đi qua điểm nào sau đây? 2 1 2 A. Q 2; 1;2 . B. M 1; 2; 3 .C. P 1;2;3 . D. N 2;1; 2 . Lời giải Chọn C 1 1 2 2 3 3 Thay tọa độ điểm P 1;2;3 vào phương trình đường thẳng d ta có: 0 2 1 2 P 1;2;3 d . x 1 y 2 z 3 Câu 4. Cho đường d :  Điểm nào sau đây không thuộc d ? 3 2 4 A. N 4;0; 1 . B. M 1; 2;3 . C. P 7;2;1 . D. Q 2; 4;7 . Lời giải Chọn D Thay tọa độ P 7;2;1 vào phương trình đường thẳng d không thỏa mãn nên P d. x 2 y 1 z 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thằng d : ? 1 1 2 A. P 1;1;2 . B. N 2; 1;2 . C. Q 2;1; 2 . D. M 2; 2;1 . Lời giải Chọn C Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q 2;1; 2 d x 1 y 2 z 3 Câu 6. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : không đi qua điểm nào dưới 1 3 5 đây? A. Q(1;2; 3) . B. M (2; 1;2) . C. P(0;2; 8) . D. N(0;5; 8) Lời giải Chọn C 0 1 2 2 8 3 Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy: P d 1 3 5 x 1 y 2 z 3 Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình . 3 2 4 Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ? A. P 7;2;1 . B. M 1; 2;3 . C. N 4;0; 1 . D. Q 2; 4;7 .
4. Lời giải Chọn A 1 Thế tọa độ điểm P 7;2;1 vào đường thẳng d ta có: 2 2 nên P 7;2;1 không thuộc 2 đường thẳng d . x 2 t Câu 8. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 1 2t có một vectơ chỉ phương là z 3 t A. u3 2;1;3 B. u4 1;2;1 C. u2 2;1;1 D. u1 1;2;3 Lời giải Chọn B x 2 y 1 z 3 Câu 9. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : có một vectơ chỉ phương là 2 3 2 A. u 2;1; 3 . B. u 2; 3;2 . C. u 1;2;3 . D. u 2;1; 3 . Lời giải Chọn B x 3 2t Câu 10. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y 2 3t có một vectơ chỉ phương là z 2 t A. u 3; 2;2 . B. u 2; 3;2 . C. u 3;2;2 . D. u 2;3;1 . Lời giải Chọn D x 3 y 1 z 5 Câu 11. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : có một vectơ chỉ phương là 1 1 2 A. u1 3; 1;5 . B. u4 1; 1;2 .C. u2 3;1;5 .D. u3 1; 1; 2 . Lời giải Chọn B x 1 Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 2 3t ; t ¡ . Véctơ nào z 5 t dưới đây là véctơ chỉ phương của d ? A. u1 0;3; 1 B. u2 1;3; 1 C. u3 1; 3; 1 D. u4 1;2;5 Lời giải
5. Chọn A  Mức độ 2 Câu 1. Cho d qua A 3;0;1 , B 1;2;3 . Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là A. u 1;2;1 . B. u 2;1;0 . C. u 2; 1; 1 . D. u 1;2;0 . Lời giải Chọn C Véctơ chỉ phương là véctơ có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng d . Do đó:  ud AB 4;2;2 2 2; 1; 1 Câu 2. Cho hai điểm A 5; 3;6 , B 5; 1; 5 . Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng AB. A. u 5; 2;1 . B. u 10; 4;1 . C. u 0;2; 11 . D. u 0;2;11 . Lời giải Chọn C  Véctơ chỉ phương là u AB 0;2; 11 . Câu 3. Cho điểm M 1; 2; 3 . Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M1M 2 . A. u2 1;2;0 . B. u3 1;0;0 . C. u4 1;2;0 . D. u1 0;2;0 . Lời giải Chọn C M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox nên M1 1; 0; 0 M 2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy nên M 2 0;2;0  M1M 2 1; 2; 0 . Câu 4. Cho điểm M 3; 1; 5 . Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox , Oy . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M1M 2 . A. u 3; 1; 5 . B. u 1;0;0 . C. u 3; 1;0 . D. u 0;2;0 . 2 3 4 1 Lời giải Chọn C M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox nên M1 3;0;0 M 2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy nên M 2 0; 1; 0  M1M 2 3; 1;0 .
6. Câu 5. Cho điểm M 2; 3; 4 . Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng Oxy , (Oyz). Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng M1M 2 . A. u2 2; 3; 0 . B. u3 1; 0; 2 . C. u4 0; 3;4 . D. u1 2;0;4 . Lời giải Chọn B M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oxy nên M1 2 ; 3 ; 0 M 2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oyz nên M 2 0 ; 3 ; 4  M1M 2 2 ; 0 ; 4 nên u3 1 ; 0 ; 2 là một vectơ chỉ phương của M1M 2 . Câu 6. Cho điểm M 2;5;1 . Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng Oxy , (Oxz). Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng M1M 2 . A. u2 2;5;1 . B. u3 0; 5; -1 . C. u4 0; 5; 0 . D. u1 4;5;1 . Lời giải Chọn B M1 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oxy nên M1 2;5;0 M 2 là hình chiếu vuông góc của M lên trục Oxz nên M 2 2;0;1  M1M 2 0; 5;1 nên u3 0; 5;1 là một vectơ chỉ phương của M1M 2 . Câu 7. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 4x z 3 0. Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng d. A.u (4;1;3). B. u (4;0; 1). C.u (4;1; 1). D.u (4; 1;3). Lời giải Chọn B Vì d  (P) nên ud n(P) (4;0; 1). Câu 8. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x y z 1 0. Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng d. A.u ( 2; 1; 1). B. u (2; 1;1). C.u ( 2;1;1). D.u ( 2; 1;1). Lời giải Chọn B Vì d  (P) nên ud n(P) ( 2;1; 1). Chọn u (2; 1;1) Câu 9. Cho hai mặt phẳng P : 2x y z 1 0, Q : x 2y z 5 0. Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q có một vectơ chỉ phương là A. u 1; 2;1 B. u 2;1; 1 C. u 1;3;5 D. u 1;3; 5 Lời giải Chọn C   Gọi d P  Q . Khi đó, chọn một vectơ chỉ phương của d là u n ;n 1; 3; 5 . P Q
7. Vậy u 1;3;5 cũng là một vectơ chỉ phương của d . x 1 2t Câu 10. Cho đường thẳng d : y 3t (t ¡ ). Biết A m;m 2;1 d. Tìm m . z 2 t A. m 1. B. m 3. C. m 7. D. m 5. Lời giải Chọn C m 1 2t m 1 m 2 A m;m 2;1 d m 2 3t 3 m 7 2 3 1 2 t x y 2 z 1 Câu 11. Cho đường thẳng : đi qua điểm M 2;m;n . Giá trị m n bằng 1 1 3 A. 1. B. 7 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn C x y 2 z 1 2 m 2 n 1 Đường thẳng : đi qua điểm M 2;m;n khi và chỉ khi 1 1 3 1 1 3 m 2 n 1 m 2 2 m 4 2 . 1 3 n 1 6 n 7 Suy ra m n 3 .  Mức độ 3 Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu x 1 y 2 z 3 của đường thẳng trên mặt phẳng Oxy ? 2 3 1 x 1 t x 1 t x 1 t x 1 2t A. y 2 3t . B. y 2 3t . C. y 2 3t .D. y 2 3t . z 0 z 0 z 0 z 0 Lời giải Chọn D x 1 y 2 z 3 Đường thẳng qua M 1; 2;3 và N 3;1;4 . 2 3 1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của M và N trên Oxy ta có M 1; 2;0 , N 3;1;0 . x 1 2t Phương trình hình chiếu cần tìm là: M N : y 2 3t . z 0
8. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu x 1 y 2 z 3 của đường thẳng trên mặt phẳng Oyz ? 2 3 1 x 0 x 0 x 0 x 0 A. y 2 3t . B. y 2 3t . C. y 2 3t .D. y 2 3t . z 3 t z 3 t z 3 t z 3 t Lời giải Chọn D x 1 y 2 z 3 Đường thẳng qua M 1; 2;3 và N 3;1;4 . 2 3 1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của M và N trên Oyz ta có M 0; 2;3 , N 0;1;4 . x 0 Phương trình hình chiếu cần tìm là: M N : y 2 3t . z 3 t x 12 y 9 z 1 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : , và mặt thẳng 4 3 1 P :3x 5y z 2 0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên P .Phương trình tham số của d ' là x 62t x 62t x 62t x 62t A. y 25t . B. y 25t . C. y 25t . D. y 25t . z 2 61t z 2 61t z 2 61t z 2 61t Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi A d  P A d A 12 4a;9 3a;1 a A P a 3 A 0;0; 2 d đi qua điểm B 12;9;1 Gọi H là hình chiếu của B lên P  P có vectơ pháp tuyến nP 3;5; 1   BH đi qua B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương aBH nP 3;5; 1
9. x 12 3t BH : y 9 5t z 1 t H BH H 12 3t;9 5t;1 t 78 186 15 113 H P t H ; ; 35 35 7 35  186 15 183 AH ; ; 35 7 35  d ' đi qua A 0;0; 2 và có vectơ chỉ phương ad ' 62; 25;61 x 62t Vậy phương trình tham số của d ' là y 25t z 2 61t Cách 2: Gọi Q qua d và vuông góc với P  d đi qua điểm B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương ad 4;3;1  P có vectơ pháp tuyến nP 3;5; 1    Q qua B 12;9;1 có vectơ pháp tuyến n a ,n 8;7;11 Q d P Q :8x 7y 11z 22 0 d ' là giao tuyến của Q và P Tìm một điểm thuộc d ', bằng cách cho y 0 3x z 2 x 0 Ta có hệ M 0;0; 2 d ' 8x 11z 22 y 2    d ' đi qua điểm M 0;0; 2 và có vectơ chỉ phương a n ;n 62; 25;61 d P Q x 62t Vậy phương trình tham số của d ' là y 25t z 2 61t Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và đường thẳng x y 1 z 2 d : . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. B. 1 4 5 3 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 C. D. 1 4 5 1 1 1 Lời giải
10. Chọn C Gọi M là giao điểm của d với P . x y z 3 0 x y z 3 x 1 Tọa độ của M là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 2x y 1 y 1 M 1;1;1 1 2 1 x z 2 z 1 Lấy điểm N 0; 1;2 d . Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là: n 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua N và nhận n 1;1;1 làm vec tơ chỉ phương. x y 1 z 2 Phương trình đường thẳng : 1 1 1 Gọi N là giao điểm của với P . 2 x 3 x y z 3 0 x y z 3 1 Tọa độ của N là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 x y 1 y 3 1 1 1 x z 2 8 z 3 2 1 8 N ; ; 3 3 3  1 4 5 1 MN ; ; u 1;4; 5 3 3 3 3 Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M 1;1;1 và nhận u 1;4; 5 làm vec tơ chỉ phương nên có x 1 y 1 z 1 phương trình . 1 4 5 x 1 y 5 z 3 Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : . Phương trình 2 1 4 nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x 3 0 ? x 3 x 3 x 3 x 3 A. y 5 t B. y 5 t C. y 5 2t D. y 6 t z 3 4t z 3 4t z 3 t z 7 4t Lời giải Chọn D Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTCP ud 2; 1;4 Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với P : x 3 0 . Suy ra mặt phẳng Q đi qua điểm M 0 (1; 5;3) và có VTPT là nP ;ud  0;4;1 Q : 4y z 17 0 . Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P là
11. x 3 4y z 17 0 hay y 6 t x 3 0 z 7 4t Cách 2: Ta có M d M 1 2t; 5 t;3 4t . Gọi M là hình chiếu của M trên x 3 P : x 3 0 . Suy ra M 3; 5 t;3 4t . Suy ra d : y 5 t z 3 4t So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng. Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 3 0 và đường thẳng x y 1 z 2 d : . Hình chiếu vuông góc của d trên P có phương trình là 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 A. B. 1 4 5 3 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 4 z 5 C. D. 1 4 5 1 1 1 Lời giải Chọn C Gọi M là giao điểm của d với P . x y z 3 0 x y z 3 x 1 Tọa độ của M là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 2x y 1 y 1 M 1;1;1 1 2 1 x z 2 z 1 Lấy điểm N 0; 1;2 d . Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là: n 1;1;1 . Gọi là đường thẳng đi qua N và nhận n 1;1;1 làm vec tơ chỉ phương. x y 1 z 2 Phương trình đường thẳng : 1 1 1 Gọi N là giao điểm của với P . 2 x 3 x y z 3 0 x y z 3 1 Tọa độ của N là nghiệm của hệ: x y 1 z 2 x y 1 y 3 1 1 1 x z 2 8 z 3 2 1 8 N ; ; 3 3 3  1 4 5 1 MN ; ; u 1;4; 5 3 3 3 3
12. Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M 1;1;1 và nhận u 1;4; 5 làm vec tơ chỉ phương nên có x 1 y 1 z 1 phương trinh . 1 4 5 Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và đường thẳng x 2 y 4 z 1 d : . Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên 2 2 1 P . x 2 y z 1 x 2 y z 1 A. d : . B. d : . 7 5 2 7 5 2 x 2 y z 1 x 2 y z 1 C. d : . D. d : . 7 5 2 7 5 2 Lời giải Chọn B d N M M' d' P x 2 2t +) Phương trình tham số của d : y 4 2t , t R . Gọi M 2 2t;4 2t; 1 t là giao z 1 t điểm của d và P 2 2t 4 2t 1 t 1 0 t 2 M 2;0;1 .  +) Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến là nP 1;1; 1 . Điểm N 0;2;0 d . Gọi là đường thẳng qua N 0;2;0 và vuông góc với mặt phẳng P nhận vectơ  nP 1;1; 1 làm vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình của là: x c x 0 y 2 z 0 : : y 2 c , c ¡ . Gọi M c;2 c; c là giao điểm của 1 1 1 z c 1 1 5 1 với mặt phẳng P c 2 c c 1 0 c M ; ; . 3 3 3 3  7 5 2 +) MM ; ; , đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P 3 3 3 nên d chính là đường thẳng MM ' , suy ra d đi qua M 2;0;1 và nhận vectơ  u 3MM 7; 5;2 làm vector chỉ phương nên phương trình của d là:
13. x 2 y z 1 d : . 7 5 2  Mức độ 4