Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 17: Sự tương giao của đồ thị

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 17: Sự tương giao của đồ thị

1. DẠNG TOÁN 17: SỰ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ ( ĐẾM SỐ NGHIỆM CỦA PT KHI BIẾT ĐỒ THỊ) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Cho hai đồ thị hàm số (C) : y f (x) và (C ) : y g(x). Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C ) là y f (x) nghiệm của hệ phương trình: f (x) g(x) ( ) y g(x) - Phương trình ( ) được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của (C) và (C ). - Số nghiệm của ( ) chính là số điểm chung của hai đồ thị. - Nếu ( ) vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung. 2. Cho hàm số bậc ba y f x ax3 bx2 cx d a 0 có đồ thị C . - Điểm I x0 ; f x0 , với x0 là nghiệm của phương trình f x 0 , được gọi là điểm uốn của đồ thị C . - Điểm I x0 ; f x0 là tâm đối xứng của đồ thị C . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số y f x tìm số nghiệm của phương trình  Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số y f x biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m.  Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số y f x tìm số nghiệm của phương trình f x k , với k là hằng số.  Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số y f x biện luận số nghiệm của phương trình f x m theo tham số m.  Tìm số điểm chung của hai đồ thị y f x và y g x .  Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị y f x cắt trục hoành thỏa mãn điều kiện cho trước  Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba (hoặc hàm trùng phương) cắt trục hoành tạo thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số nghiệm phương trình f x 1 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số nghiệm của phương trình dựa vào sự tương giao của 2 đồ thị(cố gắng đưa ra phương pháp chung cho dạng toán này nếu được) .. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: (thầy cô liệt kê hết các công thức cần dùng cho biến đổi của bài toán) - Sự tương giao giữa đồ thị của hai hàm số.
2. - Số giao điểm bằng với nghiệm của phương trình . 3. HƯỚNG GIẢI: (nếu là câu hỏi lý thuyết hay câu hỏi dễ quá chỉ có 1; 2 dòng thì bỏ qua bước này) Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D Phương trình f x 1 là PT hoành độ giao điểm của hàm số y f x và đường thẳng y 1. Ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f x 1 có 4 nghiệm phân biệt. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Biết rằng đường thẳng y 2x 2 cắt đồ thị hàm số y x3 x 2 tại một điểm duy nhất, ký hiệu x0 ; y0 là tọa độ điểm đó. Tìm y0 . A. y0 4 . B. y0 0 . C. y0 2 . D. y0 1. Lời giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm là x3 x 2 2x 2 x3 3x 0 x x2 3 0 x 0 . Do x0 0 y0 2 . Câu 2. Đồ thị của hàm số y x4 2x2 2 và đồ thị của hàm số y x2 4 có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 0 .B. 4 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn D. Số giao điểm của hai đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. x 2 Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x4 2x2 2 x2 4 x4 x2 2 0 . x 2 Vậy hai đồ thị có tất cả 2 giao điểm. Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 f x 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 .
3. Theo BBT ta thấy đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt. Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x 1 0 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A. Số nghiệm của phương trình f x 1 0 f x 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 1. Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y 1 không cắt đồ thị hàm số y f x nên phương trình f x 1 0 vô nghiệm. Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x 7 0 là A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D. Số nghiệm của phương trình f x 7 0 f x 7 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 7. Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y 7 cắt đồ thị hàm số y f x tại 1 điểm. Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
4. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 f x 2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 . Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm phân biệt. Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau Với giá trị nào của m để phương trình f x m 0 có 3 nghiệm phân biệt A. 3 m 2 . B. 4 m 2 . C. 3 m 2 . D. 4 m 2 . Lời giải Chọn C. Số nghiệm của phương trình f x m 0 f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt thì 3 m 2 Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ: Với các giá trị nào của m thì phương trình: f x 2 3m 0 vô nghiệm? 1 1 1 A. m 1. B. 1 m . C. m . D. m . 3 3 3 Lời giải Chọn D. Phương trình f x 2 3m 0 f x 2 3m . Do đó, để phương trình vô nghiệm thì đường thẳng y 2 3m không cắt đồ thị hàm số y f x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, đường thẳng y 2 3m không cắt đồ thị hàm số y f x khi 1 2 3m 3 m . 3
5. Câu 9. Cho hàm số y x3 3x có đồ thị hàm số là C . Tìm số giao điểm của C và trục hoành. A. 2. B. 3. C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B. x 0 3 2 Cách 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 3x 0 x x 3 0 ` x 3 Vậy có ba giao điểm. Cách 2: Xét hàm số y x3 3x . 2 x 1 + Có y 3x 3 0 . x 1 + Xét dấu y suy ra: hàm số đạt cực đại tại x 1 và yCĐ 2 . hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT 2. + yCĐ .yCT 4 0 dựa vào hình dạng đồ thị suy ra đồ thị C cắt trục hoành tại 3 điểm. Câu 10. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ , có đồ thị C như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 3m –1 cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt. -1 O 1 2 3 -2 -4 m 1 1 1 A. m .B. 1 . C. 1 m . D. 1 m . 3 m 3 3 Lời giải Chọn B. m 1 3m 1 4 Để đường thẳng y 3m –1 cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt 1 . 3m 1 0 m 3  Mức độ 2 2x 1 Câu 1. Biết đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B có hoành x 1 độ lần lượt xA , xB . Khi đó giá trị của xA xB bằng A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 1. Lời giải Chọn C. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình 2x 1 x 2 x2 3x 2 2x 1 x2 5x 1 0. x 1 Do đó xA xB 5.
6. Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình f x x2 2x 1 0 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. vô số. Lời giải Chọn B. Số nghiệm của phương trình f x x2 2x 1 0 f x x2 2x 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và parabol y x2 2x 1 (Có đỉnh I 1;0 , có bề lõm hướng lên) Theo BBT và dựa vào dạng của parabol y x2 2x 1 ta thấy parabol y x2 2x 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại 1 điểm duy nhất. Câu 3. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau : Phương trình f x m , với m 1;2 có số nghiệm là : A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn C. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m 1;2 , đường thẳng y m sẽ cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt. Do đó, với m 1;2 , phương trình f x m có 3 nghiệm phân biệt.
7. Câu 4. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên mỗi nửa khoảng ; 2 và 2; , có bảng biến thiên như hình. Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt. 7 7 7 A. ;2 22; . B. 22; . C. ; . D. ;2 22; . 4 4 4 Lời giải Chọn D. Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . Dựa vào BBT, f x m có hai nghiệm phân biệt khi y m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân 7 biệt m ;2 22; . 4 Câu 5. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên từng khoảng ;0 và 0; , có bảng biến thiên như bên dưới. Tìm m để phương trình f (x) m 0 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. m 3 m 3 A. m 1. B. 1 m 3. C. D. . m 1 m 1 Lời giải Chọn D. Số nghiệm của phương trình f x m 0 f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm thì m 3 hoặc m 1. Câu 6. Cho hàm số y f (x) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
8. Tìm m để phương trình f (x) m 0 có nhiều nghiệm thực nhất. m 1 m 1 m 1 m 1 A. . B. . C. . D. . m 15 m 15 m 15 m 15 Lời giải Chọn C. Số nghiệm của phương trình f x m 0 f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . Dựa vào BBT f (x) m 0 có nhiều nghiệm thực nhất Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x nhiều nhất tại hai điểm phân biệt m 1 m 1 . m 15 m 15 Câu 7. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt. A.  1;2. B. 1;2 . C. 1;2. D. ;2 . Lời giải Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên đã cho, phương trình f x m có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 m 2 hay m 1;2 vì lúc đó, đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt. Câu 8. Cho hàm số y f x có đồ thị như vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m có 6 nghiệm phân biệt. y 2 1 1 O x 2 A. 0 m 2 . B. 0 m 2 .C. 2 m 0 . D. 2 m 0 .
9. Lời giải Chọn B Phương trình f x m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m (cùng phương Ox ). f x khi f x 0 Ta có: y f x suy ra: đồ thị hàm số y f x gồm hai phần: f x khi f x 0 + Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số y f x phía trên Ox . + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x phí dưới Ox qua trục Ox . Ta được đồ thị: Quan sát đồ thị hàm số, ta có: để phương trình f x m có 6 nghiệm phân biệt 0 m 2 Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0 và có bảng biến thiên như hình dưới Hỏi phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 nghiệm.B. 2 nghiệm.C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm. Lời giải Chọn C f x khi f x 0 Ta có: y f x f x khi f x 0 Suy ra: đồ thị hàm số y f x gồm hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số y f x phía trên Ox . + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x phía dưới Ox qua trục Ox . Ở phần này, khi lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua trục Ox ta sẽ có giao điểm của nó với Ox , ta gọi là x0 . Lưu ý rằng x0 không là nghiệm của y Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x là
10. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x 3 có 3 nghiệm. Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m 0 có 1 nghiệm là: m 2 A. . B. m 2 . C. m 2 .D. m 2 . m 2 Lời giải Chọn A Ta có f x m 0 f x m 1 . Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m . m 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x m có 1 nghiệm khi: m 2 . m 2  Mức độ 3 Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx m 1 cắt đồ thị của hàm số y x3 3x2 x 2 tại ba điểm A , B , C phân biệt sao cho AB BC A. m ( ;0) [4; ) B. m ¡ 5 C. m ; D. m ( 2; ) 4 Lời giải Chọn D. Ta có C : y x3 3x2 x 2 và d : y mx m 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và d là x3 3x2 x 2 mx m 1 x3 3x2 1 m x 1 m 0 x 1 x2 2x m 1 0 x 1 2 x 2x m 1 0 1 Đồ thị C cắt đường thẳng d tại ba điểm A , B , C phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 1 m 1 0 m 2 2 m 2 * . Trong đó g x x 2x m 1 g 1 0 m 2 Đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt sao cho AB BC điểm B chính là điểm uốn của đồ thị C . Ta có y 6x 6, y 0 x 1, y 1 điểm uốn B 1;1 d , m 2 . Vậy với m 2; thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
11. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx cắt đồ thị của hàm số y x3 3x2 m 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB BC . A. m ;3 . B. m ; 1 . C. m ; . D. m 1; . Lời giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số C : y x3 3x2 m 2 và đường thẳng d : y mx là 3 2 2 x 1 x 3x m 2 mx x 1 x 2x m 2 0 2 x 2x m 2 0 (*) Để đường thẳng y mx cắt đồ thị của hàm số y x3 3x2 m 2 tại ba điểm phân biệt A, B,C (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 1 m 2 0 m 3 m 3, với g x x2 2x m 2 g 1 0 m 3 Đường thẳng d cắt đồ thị C tại ba điểm A, B,C phân biệt sao cho AB BC thì điểm B chính là điểm uốn của đồ thị C . Ta có y 3x2 6x y 6x 6 , y 0 x 1. y đổi dấu khi x đi qua x 1. Điểm uốn của đồ thị C là B 1; m . Mặt khác điểm B 1; m thuộc đường thẳng d : y mx với mọi m. Vậy với m 3 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn. Câu 3. Cho phương trình x3 3x2 1 m 0 1 . Điều kiện của tham số m để phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2 x3 là A. m 1.B. 1 m 3.C. 3 m 1.D. 3 m 1. Lời giải Chọn C * Phương trình tương đương: 1 x3 3x2 1 m . * Số nghiệm của phương trình 1 bằng số giao điểm của đồ thị C : y f x x3 3x2 1 và đường thẳng y m . * Để phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2 x3 điều kiện là C : y f x x3 3x2 1 cắt đường thẳng y m tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 và một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1. 3 2 2 x 0 Xét hàm số: y f x x 3x 1 f x 3x 6x f x 0 x 2 BBT: x 0 2 y 0 0 1 y 3 Từ BBT ta suy ra: 3 m 1.
12. Câu 4. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3 3x2 2 m 1 có 6 nghiệm phân biệt. A. 1 m 3. B. 2 m 0. C. 1 m 1. D. 0 m 2. Lời giải Chọn C x3 3x2 2 m 1 x3 3x2 2 m 1. 3 2 2 x 0 Xét hàm số y x 3x 2. Ta có y 3x 6x; y 0 . x 2 Ta có đồ thị hàm số y x3 3x2 2. Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số y x3 3x2 2 . Số nghiệm của phương trình x3 3x2 2 m 1 là hoành độ giao điểm của đồ thi hàm số y x3 3x2 2 và đường thẳng y m 1. Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 6 nghiệm cần: 0 m 1 2 1 m 1. Câu 5. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y mx m 1 cắt đồ thị C : y x3 3x2 1 tại 3 điểm A , B , C phân biệt ( B thuộc đoạn AC ), sao cho tam giác AOC cân tại O (với O là gốc toạ độ). A. m 1.B. m 1.C. m 2 .D. m 2 . Lời giải Chọn B Cách 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đường cong C : x 1 3 2 2 x 3x 1 mx m 1 x 1 x 2x 2 m 0 2 . x 2x 2 m 0 *
13. d cắt C tại 3 điểm phân biệt A , B , C * có hai nghiệm phân biệt khác 1. 2 * x 1 m 3 có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi m 3 . Khi đó * có hai nghiệm x1 1 m 3 , x2 1 m 3 thỏa x1 1 x2 . Không mất tính tổng quát, gọi A 1 m 3; m m 3 1 , B 1; 1 , C 1 m 3; m m 3 1 . Tam giác AOC cân tại O OA OC OA2 OC 2 2 2 2 2 1 m 3 m m 3 1 1 m 3 m m 3 1 4 m 3 4m m 3 0 4 m 1 m 3 0 m 1. Với m 1 thỏa mãn điều kiện tồn tại các điểm A , B , C và khi đó đường thẳng d : y x 2 không đi qua gốc tọa độ O nên A , O , C tạo thành tam giác cân. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đường cong C : x 1 3 2 2 x 3x 1 mx m 1 x 1 x 2x 2 m 0 2 . x 2x 2 m 0 * d cắt C tại 3 điểm phân biệt A , B , C * có hai nghiệm phân biệt khác 1. 2 * x 1 m 3 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 khi và chỉ khi m 3 . Xét x2 2x 2 m 0 * x1 x2 2 Theo Viet: x1x2 m 2 Khi đó: A x1;mx1 m 1 , B 1; 1 , C x2 ;mx2 m 1 . Cần có:OA2 OC 2 2 2 2 2 x1 mx1 m 1 x2 mx2 m 1 x x x x m m x x 2m 2 0 1 2 1 2 1 2 x1 x2 m m x1 x2 2m 2 0 2 m 2m 2m 2 0 m 1. Với m 1 thỏa mãn điều kiện tồn tại các điểm A , B , C và khi đó đường thẳng d : y x 2 không đi qua gốc tọa độ O nên A , O , C tạo thành tam giác cân. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. x 3 Câu 6. Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm m sao cho đường thẳng d : y x m cắt C tại hai x 1 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điểm G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB . A. m 2 .B. m 5 .C. m 6 .D. m 3 . Lời giải Chọn C Tọa độ điểm A , B là nghiệm hệ phương trình: y x m y x m x 3 2 ĐK : x 1. x m x mx m 3 0 1 x 1 Để đường thẳng d : y x m cắt C tại hai điểm phân biệt A và B điều kiện là
14. 2 m 4 m 3 0 m2 4m 12 0 m ¡ . 2 1 m.1 m 3 0 2 0 Với m ¡ ta có A x1; x1 m , B x2 ; x2 m trong đó x1 và x2 là các nghiệm của phương trình 1 , để G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB điều kiện là xA xB xO x1 x2 xG 2 3 3 x1 x2 6 y y y x x 2m x x 2m 6 y A B O 2 1 2 1 2 G 3 3 m 6 Theo Viet ta có: m 6 thỏa mãn điều kiện . m 2m 6 x 3 Câu 7. Cho hàm số y và đường thẳng y 2x m . Giá trị của m để đồ thị hai hàm số đã cho x 1 cắt nhau tại hai điểm A , B phân biệt sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất? A. m 1.B. m 3 .C. m 4 .D. m 1. Lời giải Chọn B Điều kiện: x 1. x 3 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y và đường thẳng y 2x m : x 1 x 3 2x m g x 2x2 m 1 x m 3 0 1 . x 1 Đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm A , B phân biệt 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 2 m 1 8 m 3 0 m2 6m 25 0 ĐK: luon dung g 1 2 m 1 m 3 0 2 0 luôn đúng m ¡ . Khi đó đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm A a;2a m và B b;2b m với a , b là các nghiệm của phương trình 1 . 1 m 3 Theo định lý Vi-ét, ta có a b m 1 và ab . 2 2 Ta có AB2 a b 2 4 a b 2 5. a b 2 4ab 1 2 5 2 5 2 5 m 1 2 m 3 m 6m 25 m 3 16 20 . 4 4 4 Suy ra min AB 2 5 đạt được tại m 3 . Vậy m 3 là giá trị cần tìm Câu 8. Cho hàm số y x4 3x2 2 . Tìm số thực dương m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ. 3 A. m 2 .B. m .C. m 3 .D. m 1. 2 Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: x4 3x2 2 m x4 3x2 2 m 0 1 .
15. Vì m 0 2 m 0 hay phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 3 4m 17 3 4m 17 3 4m 17 x2 x ; x . 2 1 2 2 2 Khi đó: A x1;m , B x2 ;m .   2 Ta có tam giác OAB vuông tại O , trong đó O là gốc tọa độ OA.OB 0 x1.x2 m 0 . 3 4m 17 m2 2 2m2 3 0 4 2 4m 12m 4m 8 0 6 6 m m 2 2 2 2m 3 0 6 6 m m . 3 2 2 m 2 4m 8m 4m 4 0 2 m 2 0 m 2 3 2 4m 8m 4m 4 0 m 1,75 Theo giả thiết m 0 m 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y x3 m 2 x2 m2 m 3 x m2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt? A. 1.B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành: x3 m 2 x2 m2 m 3 x m2 0 1 x 1 x 1 x2 m 3 x m2 0 2 2 g x x m 3 x m 0 2 Để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt nên phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt và khác 1 2 g 0 3m 6m 9 0 1 m 3 1 m 3 . Mà m ¢ nên m 0;1;2 . 2  g 1 0 m m 4 0 m ¡ Câu 10. Cho hàm số f x x3 mx 2 , m là tham số. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm 1 1 1 phân biệt có hoành độ là a , b , c . Tính giá trị biểu thức P f a f b f c 1 A. 0 .B. . C. 29 3m . D. 3 m . 3 Lời giải Chọn A Ta có f x x3 mx 2 f x 3x2 m Cho f x 0 3x2 m 0 • Hàm số có cực trị m 0 .
16. 2m y y x x 2 1 1 3 1 • Gọi x và x là hai điểm cực trị của hàm số. Dễ thấy 1 2 2m y y x x 2 2 2 3 2 Đồ thị hàm số f x x3 mx 2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a , 4 4 b , c khi y .y 0 m2 x x m x x 4 0 1 2 9 1 2 3 1 2 x1 x2 0 4 2 m 3 Theo Viet, có m . Do đó m 4 0 m 27 m 3 . x x 9 3 1 2 3 Mặt khác, x3 mx 2 x a x b x c x3 a b c x2 ab bc ac x abc a b c 0 Suy ra ab bc ca m 1 abc 2 f a 3a2 m 2 2 Ta có f x 3x m nên f b 3b m . 2 f c 3c m 1 1 1 f a f b f b f c f c f a P f a f b f c f a f b f c 9 a2b2 b2c2 c2a2 6m a2 b2 c2 3m2 (2) 3a2 m 3b2 m 3c2 m 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c Mặt khác ta có: (3) 2 2 2 2 a b c a b c 2 ab bc ca 2 9 m 6m.2m 3m2 9m2 12m2 3m2 Từ (1), (2), (3) ta có: P 0 3a2 m 3b2 m 3c2 m 3a2 m 3b2 m 3c2 m  Mức độ 4 Câu 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ Hỏi phương trình f x 2017 2018 2019 có bao nhiêu nghiệm? A. 6 .B. 2 .C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C
17. Xét đồ thị hàm số y f x 2017 2018 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2018 đơn vị. Ta được bảng biến thiên của hàm số y g x f x 2017 2018 như sau Khi đó đồ thị hàm số y f x 2017 2018 gồm hai phần: + Phần đồ thị của hàm số y g x f x 2017 2018 nằm phía trên trục hoành. + Và phần đối xứng của đồ thị y g x f x 2017 2018 nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. g x khi g x 0 Ta có: y g x g x khi g x 0 Suy ra: đồ thị hàm số y g x gồm hai phần: + Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số y g x phía trên Ox . + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y g x phía dưới Ox qua trục Ox . Ở phần này, khi lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua trục Ox ta sẽ có giao điểm của nó với Ox , ta gọi là x0 . Lưu ý rằng x0 là nghiệm của g x 0 Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số y g x như sau Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f x 2017 2018 2019 có 4 nghiệm. Câu 2. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị C như hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y x 1. Biết phương trình f x 0 có ba nghiệm x1 x2 x3 . Giá trị của x1x3 bằng
18. 5 7 A. 2 . B. . C. . D. 3 . 2 3 Lời giải Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d : f x x 1 f x x 1 0 Từ đồ thị ta thấy C cắt d tại x 1; x 1; x 3 . Do đó từ ta có thể viết là: f x x 1 a x 1 x 1 x 3 f x a x 1 x 1 x 3 x 1 Ta lại có C đi qua điểm 0;2 nên ta suy ra 2 3a 1 a 1. x 1 2 Suy ra f x x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 x 2x 2 0 x 1 3 . x 1 3 Như vậy, x1x3 1 3 1 3 2 . Câu 3. Cho hàm số u x liên tục trên đoạn 0; 5 và có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 3x 10 2x mu(x) có nghiệm trên 0; 5 A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A Đặt y 3x 10 2x , 0 x 5 . 3 2 3 10 2x 2 3x y . Cho y 0 3 10 2x 2 3x 0 x 3 2 3x 2 10 2x 2 3x 10 2x Bảng biến thiên:
19. Suy ra . y 10; 5 3x 10 2x Ta có 3x 10 2x mu(x) m g x . u x Vì 0 u x 5 và nên ta có y 10; 5 max g x 5 khi x 3 . 0;5 10 min g x khi x 0 . 0;5 4 10 Suy ra g x ; 5 . 4 10 Do đó phương trinh 3x 10 2x mu(x) có nghiệm trên 0; 5 khi m ; 5 . 4 Do m nguyên nên m 1; 2; 3; 4; 5. Câu 4. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x3 3x2 2m 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách đều nhau là 3 1 3 1 A.  .B. 1; .C. ; .D. 0; 1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 3x2 2m 1 0 . Giả sử x1 ; x2 ; x3 là ba nghiệm của . Để x1 ; x2 ; x3 cách đều nhau 2x2 x1 x3 1 3 2 Mặt khác x 3x 2m 1 x x1 x x2 x x3 3 2 x x1 x2 x3 x x1x2 x2 x3 x3 x1 x x1x2 x3 Nên x1 x2 x3 3 2 Từ 1 và 2 suy ra x2 1 3 1 Thế 3 vào ta được 1 3 2m 1 0 m . 2 x 1 3 1 3 2 Với m thế vào , ta được x 3x 2 0 x 1 2 x 1 3 1 Rõ ràng 3 nghiệm này cách đều nhau. Vậy m là giá trị cần tìm. 2
20. Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị Cm của hàm số f x x3 3m 1 x2 5m 4 x 8 cắt trục hoành tại 3 điểm phân phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân A. m 2. B. m 2. C. m 4. D. m 4. Lời giải Chọn B. Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x3 3m 1 x2 5m 4 x 8 0 Gọi x1, x2 , x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình đã cho, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 3 2 Khi đó x 3m 1 x 5m 4 x 8 x x1 x x2 x x3 3 2 x x1 x2 x3 x x1x2 x2 x1 x1x3 x x1x2 x3 x1 x2 x3 3m 1 Đồng nhất 2 vế ta được x1x2 x2 x3 x3 x1 5m 4 (1) x1x2 x3 8 2 2 Mặt khác theo tính chất của cấp số nhân, ta có x2 x1x3 x2 x1x3 (2) 5m 4 Thế (1) và (2), ta có x x x x x2 5m 4 x x x x 5m 4 x . 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 3m 1 5m 4 Với x thay vào phương trình đã cho ta được 2 3m 1 3 2 5m 4 5m 4 5m 4 3m 1 5m 4 . 8 0 3m 1 3m 1 3m 1 3 5m 4 5m 4 8 0 2 m 2 . 3m 1 3m 1 x 1 Với m 2, ta có phương trình x3 7x2 14x 8 0 . x 2 x 4 Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên m 2 là giá trị cần tìm. Câu 6. Biết rằng tồn tại hai giá trị thực của tham số m và m để đồ thị C của hàm số 1 2 m f x 2x3 2 m2 2m 1 x2 7 m2 2m 2 x 54 cắt trục hoành tại 3 điểm phân phân biệt 3 3 có hoành độ lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức P m1 m2 . A. P 56 . B. P 8 .C. P 56. D. P 8 . Lời giải Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: 2x3 2 m2 2m 1 x2 7 m2 2m 2 x 54 0 Gọi x1, x2 , x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình đã cho, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. 3 2 2 2 Khi đó 2x 2 m 2m 1 x 7 m 2m 2 x 54 2 x x1 x x2 x x3 3 2 2x 2 x1 x2 x3 x 2 x1x2 x2 x1 x1x3 x 2x1x2 x3