Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 14: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 14: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. DẠNG TOÁN 14: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Đồ thị hàm số bậc ba :  Hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d (a 0) : Tập xác định D = R. y 3ax2 2bx c Các dạng đồ thị: 2. Đồ thị hàm trùng phương.  Hàm trùng phương có dạng y ax4 bx2 c TXĐ: D ¡ b Đạo hàm: y 4ax3 2bx 2x(2ax2 b) y 0 x 0 hoặc x2 . 2a * Nếu ab 0 thì y có một cực trị x0 0
2. b * Nếu ab 0 thì y có 3 cực trị x 0; x 0 1,2 2a Đồ thị: 2. Đồ thị hàm số hữu tỷ. ax b  Hàm số hữu tỷ y c 0,ad bc 0 : cx d d  Tập xác định: D ¡ \  . c  Giới hạn và tiệm cận: d * Tiệm cận đứng: x . c a * Tiệm cận ngang: y . c Khảo sát sự biến thiên: ad bc * y . cx d 2 * y 0 : Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. * y 0 : Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
3. Hàm số không có cực trị. Đồ thị: D ad bc 0 D ad bc 0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Nhận dạng đồ thị.  Các phép biến đổi đồ thị.  Biện luận số giao điểm dựa vào BBT, đồ thị.  Sự tương giao của hai đồ thị.  Câu hỏi lý thuyết. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. y x3 3x .B. y x3 3x .C. y x4 2x2 . D. y x4 2x2 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: các dạng đồ thị hàm bậc ba. 3. HƯỚNG GIẢI Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta thấy đường cong trên là hàm số bậc ba. Lại có lim y nên a 0 . Vậy đồ thị hàm số trên là y x3 3x . x
4. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây? 3x 1 A. y .B. y x4 2x2 3. 2x 5 2x3 2x3 C. y 3. D. y 3. 3 3 Lời giải Chọn D Quan sát đồ thị hàm số đi qua điểm 0; 3 nên đường cong trong hình trên không phải là đồ 3x 1 thị của hàm số y , y x4 2x2 3. 2x 5 Mặt khác lim y , lim y nên đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số x x 2x3 y 3. 3 Câu 2. Đồ thị hình bên là của hàm số nào? y 2 1 O x 4 A. y x3 3x2 4 . B. y x3 3x2 4 . C. y x3 3x2 4 . D. y x3 3x2 4 . Lời giải Chọn B Đồ thị của hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d . Ta có lim y nên a 0 , đồ thị có hoành độ điểm cực đại là x 2 nên phải là đồ thị của x hàm số y x3 3x2 4 . Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
5. y 2 2 O 1 x 2 A. y 2x3 6x2 2 B. y x3 3x2 2 . C. y x3 3x2 2 . D. y x3 3x2 2 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị hàm số ta có: Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số a 0 . Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm A 2;2 ;B 0; 2 . Vậy chọn phương án B. Câu 4. Đường cong bên dưới là đồ thị hàm số nêu dưới đây. y 1 O x A. y x3 3x2 3x 1. B. y x3 2x2 x 2. C. y x3 3x 1. D. y x3 3x2 3x 1. Lời giải y Chọn C Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d với hệ số a 0 , do đó loại phương án A và D. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên d 1, do đó loại phương án B. Câu 5. Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 x -1 O 1 -1 A. y 2x4 4x2 1 .B. y x4 2x2 1 . C. y x4 4x2 1 . D. y x4 2x2 1 . Lời giải:
6. Chọn A Ta có đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 1 nên loại phương án D. Đồ thị hàm số đi qua điểm B 1;1 nên loại phương án B, C. Câu 6. Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên y 1 x -1 O 1 A. y x4 2x2 1. B. y x4 2x2 1. C. y x4 2x2 1. D. y x4 2x2 1. Lời giải: Chọn D Vì đồ thị hàm số có ba cực trị a,b trái dấu Loại B Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm y 1 c 1 Loại C Vì lim f x a 0 chọn D. x Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong bốn đáp án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. y x 4 x 2 1. C. y x 4 3x 2 3. B. y x 4 x 2 2 . D. y x 4 3x 2 2 . Lời giải: Chọn A Hàm số có một cực trị a,b cùng dấu loại C, D. Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có hoành độ âm nên loại B Câu 8. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
7. y 2 x -2 -1 0 1 2x 5 2x 1 A. y x3 3x2 1 . B. y . C. y x4 x2 1 . D. y . x 1 x 1 Lời giải: Chọn B ax b Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y nên loại đáp án A, C. cx d 2x 1 Hàm số y có ab bc 1 0 nên loại đáp án D. x 1 2x 5 Hàm số y có ad bc 3 0 nên chọn đáp án B. x 1 Câu 9. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 x -2 -1 0 1 -1 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải: Chọn A Đồ thị có tiệm cận đứng x 1 nên loại B, D. Đồ thị đi qua điểm 0; 1 nên chọn A. Câu 10. Hình bên là đồ thị của hàm số nào?
8. y O x x 1 x 2 A. y x3 3x2 1. B. y . C. y . D. y x4 2x2 1. x 1 x 1 Lời giải: Chọn B ax b Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng y nên loại đáp án A, D. cx d x 2 Hàm số y có ab bc 1 0 nên loại đáp án C. x 1 x 1 Hàm số y có ad bc 2 0 nên chọn đáp án B. x 1  Mức độ 2 Câu 1. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau? 1 2 A. y x3 3x2 9x 2 . B. y x3 x2 3x . 3 3 1 2 C. y x3 3x2 9x 2. D. y x3 x2 3x . 3 3 Lời giải Chọn B Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy: Đây là dạng hàm số bậc 3 có hệ số a 0 nên loại A và D. Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 nên loại C. Câu 2. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
9. y 2 1 x -1 O -2 A. Hàm số có hệ số a 0 . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng 2; 1 và 1;2 . C. Hàm số không có cực trị. D. Hệ số tự do của hàm số khác 0 . Lời giải: Chọn B Hình dáng đồ thị thể hiện a 0 . Do đó A sai. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . Do đó B đúng. Hàm số có hai cực trị. Do đó C sai. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên hệ số tự do của hàm số phải bằng 0 . Do đó D sai. Câu 3. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d , với a , b , c , d là các số thực và a 0 (có đồ thị như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai? x 2 A. y x 0 . x 0 B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x 2. C. y 0,x 2;0 . D. Đồ thị có đúng hai điểm cực trị. Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên:
10. x 2 0 2 y 0 0 0 1 1 y 3 Khẳng định nào sau đây sai? A. M 0; 3 là điểm cực tiểu của hàm số. B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. C. f 2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số. D. x0 2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Lời giải Chọn D Giá trị cực đại của hàm số là f 2 f 2 1. Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm của phương trình f x 2 0 là A. 2 .B. 4 .C. 3 .D. 0 . Lời giải. Chọn A f x 2 0 f x 2 phương trình này có hai nghiệm phân biệt. Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên cho bởi bảng sau. Khẳng định nào sai: A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3 . B. f x đồng biến trên mỗi khoảng ;1 ; 3;5 .
11. C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1;2 ; 5;3 . D. f x nghịch biến trên mỗi khoảng 1;3 ; 5; . Lời giải Chọn A Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;2 và 2; . B. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;1  1; . C. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . D. Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; .. Lời giải. Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ: Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ \ 1 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 1 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;2 . D. Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ . Lời giải. Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên ; 1 và 1; . A sai do hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. C , D sai do hàm số bị gián đoạn tại x 1. ax b Câu 9. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1
12. A. b 0 a . B. a b 0 . C. a 0 ; b 0 . D. 0 b a . Lời giải: Chọn A Dựa vào đồ thị ta có: + Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y a 1 0 . + Đồ thị hàm số đi qua điểm 0; 2 b 2 0 . + Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên y 0 a b 0 b a . Vậy b 0 a . ax 1 Câu 10. Xác định a,b để hàm số y có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng? x b y 1 -2 -1 1 x A. a 1, b 1. B. a 1, b 1.C. a 1, b 1. D. a 1, b 1. Lời giải: Chọn B Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y 1 1 a x 1 Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x b , tiệm cận ngang y a 2 x b
13. Từ (1) và (2) suy ra: a 1,b 1.  Mức độ 3 Câu 1. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? . A. a 0, b 0, c 0, d 0 . B. a 0, b 0, c 0, d 0. C. a 0, b 0, c 0, d 0. D. a 0, b 0, c 0, d 0. Lời giải: Chọn C Từ hình dáng đồ thị ta suy ra hệ số a 0,d 0 loại phương án C. Ta có: y 3ax2 2bx c . Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 nên y 0 0 c 0 loại phương án A. 2b Khi đó: y 0 3ax2 2bx 0 x 0  x . 3a 2b Do hoành độ điểm cực đại dương nên 0 , mà a 0 b 0 . 3a ax b Câu 2. Cho hàm số y có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? cx d A. ab 0 , cd 0 . B. bc 0 , ad 0 . C. ac 0 , bd 0. D. bd 0 , ad 0 . Lời giải Chọn B d Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên ad bc 0, với mọi x nên ad bc . c
14. b b Mặt khác C Ox A ;0 và 0 nên ab 0 1 Loại A a a b b Và C Oy B 0; và 0 nên bd 0 2 Loại C d d Từ 1 và 2 ta có ad 0 Loại D d Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng x 0 nên cd 0 . Suy ra bc 0 . c Câu 3. Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tính tổng S a b c d . A. S 0 . B. S 6 . C. S 4 . D. S 2 . Lời giải Chọn A Ta có f x 3ax2 2bx c . Hàm số f x ax3 bx2 cx d liên tục trên ¡ ; đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 2; 2 và 0;2 f 2 2 8a 4b 2c d 2 a 1 f 2 0 12a 4b c 0 b 3 S 0 . d 2 c 0 f 0 2 c 0 d 2 f 0 0 Câu 4. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng? y x O A. a 0 , c 0 , d 0 . B. a 0 , c 0 , d 0 . C. a 0 , c 0 , d 0 . D. c 0 , d 0 . Lời giải Chọn B
15. Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số a 0 , đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d 0 . Ta có: y 3ax2 2bx c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung nên y 0 có hai nghiệm dương phân biệt. 2 b 3ac 0 2 b 3ac 0 2b Suy ra 0 b 0 3a c 0 c 0 3a Vậy a 0 , c 0 , d 0 . Câu 5. Giả sử hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị là hình bên dưới. y 1 1O 1 x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. a 0, b 0, c 1. B. a 0, b 0, c 1. C. a 0, b 0, c 1. D. a 0, b 0, c 0 . Lời giải: Chọn A Dựa vào đồ thị ta có: + Đồ thị hướng lên nên a 0 , loại đáp án C. +Với x 0 y c 1nên loại đáp án D. +Có 3 cực trị nên ab 0 suy ra b 0 . Câu 6. Cho hàm số f x ax4 bx2 c có đồ thị như hình bên dưới
16. Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x 2m 0 có bốn nghiệm phân biệt là 1 1 5 1 5 1 5 A. m .B. m .C. m 1.D. m . 2 2 8 2 4 2 8 Lời giải: Chọn D Theo đồ thị trên hình vẽ, ta thấy đồ thị đi qua các điểm A 0;1 , B 1; 1 và C 2;5 . Do đó ta có hệ phương trình c 1 c 1 a b c 1 a 1 . 16a 4b c 5 b 2 Ta có f x x4 3x2 1 f x 4x3 6x x 0 f x 0 3 . x 2 Ta được đồ thị Do đó phương trình f x 2m 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 5 1 5 2m 1 m . 4 2 8 Câu 7. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực đại?
17. A. 5 . B. 4 . C. 6 .D. 3 . Lời giải: Chọn D Ta có đồ thị hàm số y f (x) như sau: Dựa vào đồ thị hàm số y f (x) ,ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực đại. 1 1 Câu 8. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng ; và ; . Đồ thị hàm số 2 2 y f x là đường cong trong hình vẽ bên. y 2 1 1 O 1 1 2 x 2 2 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. max f x f 4 . B. max f x 2 . 3;4 1;2 C. max f x 0 . D. max f x f 3 .  2;1  3;0 Lời giải: Chọn D 1 Quan sát đồ thị hàm số y f x ta thấy: Đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên ; 2 1 1 1 và ; nên hàm số nghịch biến trên các khoảng ; và ; . 2 2 2 Trên 1;2 hàm số liên tục và f 1 f 2 2 .
18. 1 Trên  2;1 hàm số gián đoạn tại x . 2 Trên 3;4 hàm số liên tục và f 3 f 4 . Trên đoạn  3;0 hàm số liên tục và f 3 f 0 nên max f x f 3 .  3;0 ax b Câu 9. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng? cx d A. ad 0, bc 0 . B. ad 0, bc 0 . C. cd 0, bd 0 . D. ac 0, ab 0 . Lời giải: Chọn B d d Quan sát đồ thị ta có: TCĐ d x 0 0 c,d cùng dấu. c c a Lại có TCN y 0 a,c cùng dấu. Suy ra a,c,d cùng dấu. c y b Lại có x 0 0 suy ra b,d trái dấu. d Suy ra: ad 0, bc 0 . bx c Câu 10. Hàm số y a 0; a, b, c ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là x a đúng? y O x A. a 0,b 0,c ab 0 . B. a 0,b 0,c ab 0 . C. a 0,b 0,c ab 0 . D. a 0,b 0,c ab 0 . Lời giải: Chọn A
19. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x a ; tiệm cận ngang y b 0 . Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác định c ab của nó nên y 0,x a c ab 0 . x a 2 Vậy a 0,b 0,c ab 0 .  Mức độ 4 ax b Câu 1. Cho hàm số y có đồ thị như hình bên với a,b,c ¢ . Tính giá trị của biểu thức x c T a 3b 2c ? A. T 9 . B. T 7 . C. T 12 . D. T 10 . Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có x 1 là tiệm cận đứng nên c 1. Đồ thị hàm số có y 1 là tiệm cận ngang nên a 1. b Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên 2 do đó b 2 . c Vậy T a 3b 2c 1 3.2 2 1 9 . ax b Câu 2. Cho hàm số y f (x) có đồ thị hàm số f x như trong hình vẽ dưới đây: cx d Biết rằng đồ thị hàm số f (x) đi qua điểm A 0;4 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 11 7 A. f 1 2 . B. f 2 . C. f 1 . D. f 2 6 . 2 2 Lời giải Chọn D
20. Đồ thị hàm số f (x) đi qua A 0;4 nên b 4d 1 . ad bc Ta có: f x . cx d 2 d Căn cứ theo đồ thị hàm số f x ta có 1 c d 2 . c ad bc Đồ thị hàm số f x đi qua (0;3) nên 3 ad bc 3d 2 3 . d 2 Thay 1 , 2 vào 3 ta được ad 4d 2 3d 2 a 7d d 0 vì nếu d 0 thì a b c d 0 (vô lí ). 7dx 4d 7x 4 Do đó f x . dx d x 1 Vậy f 2 6 . Câu 3. Đồ thị hàm số y ax4 bx2 c cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B,C, D như hình vẽ bên. Biết rằng AB BC CD , mệnh đề nào sau dây đúng? A. a 0,b 0,c 0,100b2 9ac . B. a 0,b 0,c 0,9b2 100ac . C. a 0,b 0,c 0,9b2 100ac . D. a 0,b 0,c 0,100b2 9ac . Lời giải Chọn C Ta có lim y a 0 . Mặt khác đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ x dương nên c 0 . Đồ thị hàm số có ba cực trị nên ab 0 b 0 . Loại B, D . Xét pt hoành độ giao điểm ax4 bx2 c 0.Đặt t x2 ,t 0 pt thành at 2 bt c 0 1 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt phương trình 1 có 2 nghiệm dương phân biệt t1 , t2 . (giả sử t1 t2 ). b t t 1 2 a Theo định lí Viet, ta có (I) . c t t 1 2 a Giả sử A t1 ;0 ,B t2 ;0 thì C t2 ;0 , D t1 ;0 . Mà AB BC CD t1 t2 2 t2 t1 3 t2 t1 9 t2 (II)