Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 26: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 26: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. DẠNG TOÁN 26: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG PHẦN I I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc giữa hai đường thẳng  Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên. Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b . Chú ý : góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông.  Phương pháp : Phương pháp 1: Tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho. Chú ý: Điểm O có thể nằm trên đường thẳng a hoặc b . Phương pháp 2: Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng. Chú ý: Nếu u,v lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a,b : - Nếu u,v 900 thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc u,v . - Nếu u,v 900 thì góc giữa hai đường thẳng bằng 1800 u,v .  Một số công thức cần nhớ : Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau: AB2 AC 2 BC 2 Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC : cosB· AC 2.AB.AC
2.   1 AB.AC AB.AC.cosB· AC AB2 AC 2 BC 2 2   Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB và CDdựa vào công       AB.CD AB.CD thức cos AB;CD   cos AB;CD   từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB . CD AB . CD AB và CD . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.  Định nghĩa : Cho đường thẳng d và mặt phẳng . Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng 900. Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d ' của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng . Chú ý: - Nếu là góc giữa d và thì ta luôn có 00 900 . Nếu đường thẳng d nằm trên (훼) hoặc  Phương pháp : d A d' H O Xác định giao điểm O của d và . Lấy một điểm A tùy ý trên d khác với O . Xác định hình chiếu H của A lên mp . là góc giữa d và thì ·AOH . 3. Góc giữa hai mặt phẳng.
3.  Định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 .  Phương pháp : Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và  là · ,  a¶,b . Tính góc a¶,b . Phương pháp 2: Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng và  . Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: · ,  a¶,b . Hay ta xác định mặt phẳng phụ  vuông góc với giao tuyến c mà   a ,    b . Suy ra · ,  a¶,b . Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt) Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A , B A , B  mà AB  thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại I . Khi đó · ,  ·AIB .
4. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Góc giữa hai mặt phẳng.  Góc giữa hai đường thẳng.  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a , tam giác ABC vuông cân tại B va AC 2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng A. 30o .B. 45o .C. 60o .D. 90o . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định giao điểm giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là B . B2: Xác định hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là A . B3: Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là S· BA. Tính S· BA. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B SB  ABC B Ta có: AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ABC . SA  ABC ·SB, ABC ·SB, AB S· BA. Do tam giác ABC vuông cân tại B
5. AC 2 AB2 BC 2 AC 2 2AB2 2a 2 2AB2 AB a 2 Xét tam giác SAB vuông tại A có SA AB a 2 SAB vuông cân tại A S· BA 45o. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau, biết AB AC AD 1. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45o . B. 60 . C. 30 .D. 90 . Lời giải Chọn D AB  AC CÁCH 1. Vì  AB  ACD AB  CD . AB  AD CÁCH 2. D 1 P A N 1 C 1 M B Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD . MN // AB Trong ABC , có 1 1 (Tính chất đường trung bình) MN AB 2 2 NP // CD Trong ACD , có 1 2 (Tính chất đường trung bình) NP CD 2 2
6. 2 2 2 2 1 2 3 Trong AMP , có MP AP AM . 2 2 2 MN // AB Ta có AB;CD MN; NP M· NP NP // CD Áp dụng định lý Cosin cho MNP , có 2 2 2 2 1 3 NP2 NM 2 MP2 2 2 2 cos M· NP 0 M· NP 90 2NP.NM 2 1 2. . 2 2 Hay AB;CD 90 . Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a , SA 3a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD là A. S· AD .B. ·ASD .C. S· DA . D. B· SD . Lời giải Chọn C S A D B C Ta có SA  ABCD . AD là hình chiếu vuông góc của SD xuống mặt ABCD . S·D, ABCD S·D, AD S· DA . Câu 3. (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A BC D . Tính góc giữa mặt phẳng ABCD và ACC A . A. 45. B. 60 .C. 30 .D. 90 . Lời giải Chọn D
7. Do AA  ABCD ACC A  ABCD . Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA a 2 và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC với đáy bằng A. 60 . B. 30 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn C S D C A B Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ABCD là AC . Do đó góc giữa SC và đáy là góc S· CA. Tam giác SAC có SC SA a 2 nên tam giác SAC vuông cân. S· CA 45 . Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A D bằng A. 45.B. 30 .C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn C
8. Ta có AC // A'C' nên ·AC, A D ·A C , A D D· A C 60 . Tam giác A' DC có: A D A C C D ABC đều D· A C 60 . Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45. B. 60 .C. 30 .D. 90 . Lời giải Chọn A A D B C A D B C Có CD//AB BA ,CD BA , BA ·ABA 45 (do ABB A là hình vuông). Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , BC a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45.B. 30 .C. 60 .D. arctan 2 . Lời giải Chọn A S A D M B C
9. Ta có AB//CD nên ·AB;SC C·D;SC S· CD . Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC a 2 , CM a nên là tam giác vuông cân tại M nên S· CD 45 . Vậy ·AB;SC 45 . Câu 8. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA  ABCD . Góc giữa đường SC và mặt phẳng SAD là góc? A. C· SA .B. C· SD .C. C· DS .D. S· CD . Lời giải Chọn B S D A B C CD  AD Ta có CD  SAD . Do đó góc giữa SC và SAD bằng góc giữa SC và SD . CD  SA Do góc C· SD 90 nên chọn B. Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , SA  ABC , SA 3 cm , AB 1 cm , BC 2 cm . Mặt bên SBC hợp với đáy một góc bằng: A. 30 .B. 90 .C. 60 .D. 45. Lời giải Chọn C S A C B Theo giả thiết vì SA  ABC nên SA  AB , SA  BC . Mặt khác BC  AB nên BC  SB . Vậy góc giữa SBC và đáy là góc S· BA .
10. SA Trong tam giác vuông SAB ta có: tan 3 60 . AB Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 75 . C. 60 . D. 45. Lời giải Chọn D S a a a A B a a H C Dễ thấy AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy. Do đó góc tạo bởi SA và ABC là S· AH . a 3 Mặt khác, ABC SBC SH AH . Vậy tam giác SAH là tam giác vuông cân đỉnh 2 H hay S· AH 45 .  Mức độ 2 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC , biết AB AC a , BC a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 30 . B. 150 .C. 60 .D. 120 . Lời giải Chọn D
11. S B C A Vì SA  ABC nên SA  AB và SA  AC . SAB  SAC SA · Ta có : SA  AB SAB , SAC ·AB, AC B· AC .(hoặc góc bù với nó) SA  AC 2 2 2 AB2 AC 2 BC 2 a a a 3 1 Xét ABC có cos B· AC B· AC 120 . 2.AB.AC 2.a.a 2 Vậy (푆 ),(푆 ) = 60°. a 3 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a ; AD . Mặt bên SAB 2 là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết ·ASB 120 . Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng: A. 60 .B. 30 .C. 45.D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của AB , theo đề ra ta được SH  ABCD . Dựng T , K lần lượt là hình chiếu của H lên SA , SB HT  SAD và HK  SBC . Vậy ·SAD ; SBC H·T; HK .
12. Xét tứ giác SKHT có hai góc vuông đối diện nhau nên SKHT là tứ giác nội tiếp K· HT 60 do ·ASB 120 . Vậy ·SAD ; SBC H·T; HK K· HT 60 . Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45. Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị). A. 39 . B. 42.C. 51 .D. 48. Lời giải Chọn C DA  AB o Ta có DA  SAB A là hình chiếu của D lên SAB D· SA 45 DA  SA Trong mặt phẳng ABCD gọi M là trung điểm AB DM // BI Góc giữa BI và SD bằng góc giữa DM và SD và bằng S·DM Đặt AB a SA a (Vì SAD vuông cân tại A ) SD SA2 AD2 a 2 , a2 a 5 SM SA2 MA2 a2 , 4 2 a 5 MD AD2 AM 2 . 2 2 2 2 5a 5a 2 2 2 2a SD MD SM 10 cos S·DM 4 4 S·DM 51 . 2SD.MD a 5 5 2.a 2. 2
13. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D , góc giữa hai đường thẳng A B và B C là: A. 90 . B. 60 .C. 30 .D. 45. Lời giải Chọn B C B D A C' B' D' A' Ta có B C // A D ·A B; B C ·A B; A D D· A B . Xét DA B có A D A B BD nên DA B là tam giác đều. Vậy D· A B 60 . Câu 5. hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 2 , AD a , SA vuông góc với đáy và SA a . Tính góc giữa SC và SAB . A. 90 . B. 60 .C. 45.D. 30 . Lời giải Chọn D BC  AB Ta có: SA  SAB SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB BC  SA ·SC, SAB C· SB . Tam giác SAB vuông tại A có: SB SA2 AB2 a 3 . BC 1 Tam giác SBC vuông tại B có: tan C· SB C· SB 30. SB 3 Câu 6. Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết SA AB BC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC .
14. 1 A. 30 . B. 45.C. 60 .D. arc cos . 3 Lời giải Chọn A S I C A B Gọi I là trung điểm của AC BI  AC (vì ABC vuông cân tại A ). 1 Mặt khác: SA  BI (vì SA  ABC ) 2 Từ 1 và 2 , suy ra: BI  SAC . SI là hình chiếu của SB lên SAC . AB 2 BI 1 ·SB, SAC ·SB, SI B· SI .Xét BSI vuông tại I , ta có: sin B· SI 2 . SB AB 2 2 B· SI 30. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA a , SB 2a , SC 3a , ·ASB B· SC 60 , C· SA 90 . Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos . 7 7 2 A. cos . B. cos .C. cos 0 .D. cos . 7 7 3 Lời giải Chọn A
15.            SA.BC SA.(SC SB) SA.SC SA.SB cos cos(SA, BC) SA.BC SA.BC SA.BC SA.SC.cos90 SA.SB.cos60 7 . a. 4a2 9a2 2.2a.3a.cos60 7 Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 3 2 3 1 A. . B. .C. .D. . 6 2 2 2 Lời giải Chọn A A N B D M C Gọi N là trung điểm của AC và a là độ dài cạnh tứ diện đều. Ta có MN // AB AB, DM MN, DM D· MN . a 3 1 a DM 2 MN 2 DN 2 Tam giác DMN có DM DN , MN AB và cos D· MN . 2 2 2 2.DM.MN 2 2 2 a 3 a a 3 2 2 2 3 cos D· MN . a 3 a 6 2. . 2 2
16. 3 Vậy cos AB, DM . 6 Câu 9. Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a , AB vuông góc với mp BCD , AB 2a . M là trung điểm đoạn AD , gọi là góc giữa CM với mp BCD . khi đó: 3 2 3 3 2 6 A. tan .B. tan .C. tan .D. . tan 2 3 2 3 Lời giải Chọn B A 2a M D B N a φ C · Gọi N là trung điểm BC . Ta có góc giữa CM với mp BCD bằng góc MCN . AB + MN a . 2 a 3 +CN . 2 MN 2 2 3 Vậy tan a. . CN a 3 3 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC . A. 60 . B. 30 .C. 90 .D. 120 . Lời giải Chọn A
17. C N S B M A Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó góc giữa SM và BC bằng góc giữa SM và MN . Ta có: AB BC CA suy ra: 1 SM AB (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 2 1 SN AC (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 2 1 MN BC . 2 Suy ra SM MN SN hay tam giác SMN đều. Do đó S·M ; BC S·MN 60 .  Mức độ 3 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a , BC a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC ta được kết quả: A. 90 .B. 30 .C. 60 .D. 45. Lời giải Chọn C S M N C A H B
18. * Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC , theo đầu bài SA SB SC và tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung MN // AB điểm của SA , SB ta có: Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN . HN // SC AB a SC a SA a Xét tam giác MNH ta có: MN ; HN ; MH ( Do SHA vuông 2 2 2 2 2 2 tại H ) tam giác MNH là tam giác đều M· NH 60 . Vậy góc cần tìm là 60 . Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt a3 2 phẳng đáy, khối chóp S.ABCD có thể tích bằng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAD 3 và SBD . Tính cos . 3 6 2 2 10 A. cos .B. cos .C. cos . D. cos . 5 3 5 5 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Kẻ AH  SO tại H . Ta có: BD  AO, BD  SA BD  SAO BD  AH . Vậy AH  SBD . Lại có: AB  SAD , do đó góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBD là góc giữa hai đường thẳng AH và AB . Vậy B· AH . a3 2 1 a3 2 Khối chóp S.ABCD có thể tích bằng nên ta có: SA.a2 SA a 2 . 3 3 3 1 1 1 1 4 5 Tam giác SAO vuông tại A , đường cao AH nên: AH 2 AS 2 AO2 2a2 2a2 2a2 a 10 AH 10 Suy ra: AH . Từ đó: cos . 5 AB 5
19. Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB BC a và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng A. 60 . B. 90 .C. 30 .D. 45. Lời giải Chọn A S K H A C B Gọi H là trung điểm cạnh AC Ta có SAC  ABC (vì SA  ABC ) và BH  AC BH  SAC . Trong mặt phẳng SAC , kẻ HK  SC thì SC  BHK SC  BK . ·SAC , SBC S· KH . a 2 Mặt khác Tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC a nên AC a 2 và BH . 2 HC.SA HC.SA a 2 Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK HK . SC SA2 AC 2 3 BH Tam giác BHK vuông tại H có tan 3 60 . BK Vậy ·SAC , SBC 60 . Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1, BC 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. 45. B. 120 .C. 30 .D. 60 . Lời giải Chọn D
20. S B C H A Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB AC 1, BC 2 và SB SC 1, BC 2 .          1 Ta có SC.AB SC SB SA SC.SB SC.SA 0 SC.SB.cos60 . 2     SC.AB 1 Suy ra cos SC; AB cos SC; AB . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , SC SC.AB 2 bằng 60 . Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A B C D (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BDD B . A. 60 . B. 90 .C. 45.D. 30 . Lời giải Chọn D B' C' D' A' C B O A D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO  BD (1). Mặt khác ta lại có ABCD.A B C D là hình lập phương nên BB  ABCD BB  AO (2). Từ (1) và (2) ta có AO  BDD B AB , ABCD AB , B O ·AB O . AO 1 Xét tam giác vuông AB O có sin AB O ·AB O 30. AB 2 Vậy AB , ABCD 30 .