Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 20: Số phức

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 20: Số phức

1. DẠNG TOÁN 20: SỐ PHỨC ( Tìm phần thực của tổng hai số phức) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Các kiến thức cơ bản về số phức Tập hợp số phức: £ Số phức (dạng đại số) : z a bi (a,b ¡ ) , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 –1). z là số thực phần ảo của z bằng 0( b 0 ). z là thuần ảo phần thực của z bằng 0( a 0 ). Số 0vừa là số thực vừa là số ảo.  Hai số phức bằng nhau Cho số phức z1 a b.i và z2 c d.i . a c Khi đó z1 z2 a b.i c d.i (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau) b d 2. Các phép toán về số phức  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1 a b.i và z2 c d.i . Khi đó z z a b.i c d.i a c b d .i. 1 2  Phép trừ hai số phức z z a b.i c d.i a c b d .i. 1 2  Phép nhân hai số phức z1.z2 a b.i . c d.i ac bd ad bc .i. k.z k.(a bi) ka kbi  Phép chia hai số phức 1 z 1 *) Số phức nghịch đảo của z a bi 0 :  z z z 2 a2 b2 z z .z z .z a b.i . c d.i ac bd bc ad 1 1 2 1 2 i. z z .z z 2 c2 d 2 c2 d 2 c2 d 2 2 2 2 2  Mô đun của số phức z là: z a2 b2 z z z.z z z z z z z z z z z z z z z z z  Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z a bi là z a bi .
2. z z 2 2 z z; z z z z ; z z z z ; z.z z.z ; ; z.z a b z z *) Chú ý: Với k ¥ * thì i4k 1, i4k 1 i, i4k 2 1, i4k 3 i. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Cho một cấp số nhân un với công bội q 1. Đặt Sn u1 u2 ... un . n(1 qn ) u u Khi đó: S (4) hoặc S 1 n 1 (5) n 1 q n 1 q Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Cho một cấp số cộng un . Đặt Sn u1 u2 ... un . Khi đó: n(u u ) n(n 1) S 1 n hoặc S nu d. n 2 n 1 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Thực hiện các phép toán.  Tìm phần thực, phần ảo.  Số phức liên hợp .  Tính mô đun của số phức.  Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z)  Hỏi tổng hợp về các khái niệm.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hai số phức z1 2 i và z2 1 3i . Phần thực của số phức z1 z2 bằng A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định phần thực của tổng các số phức. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Áp dụng công thức tính tổng của hai số phức. B2: Suy ra phần thực. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Ta có z1 z2 2 i 1 3i 3 4i . Khi đó phần thực của số phức z1 z2 bằng 3.
3. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hai số phức z1 2 2i , z2 3 3i . Khi đó số phức z1 z2 là A. 5i . B. 5 5i . C. 1 i . D. 5 5i . Lời giải Chọn B Ta có z1 z2 2 2i 3 3i 5 5i . Câu 2. Cho số phức z1 1 6i; z2 2 4i . Phần thực, phần ảo của 3z1 2z2 lần lượt là A. 1; 10i. B. 1;2 .C. 1; 10 . D. –2;1. Lời giải Chọn C 3z1 2z2 3 1 6i 2 2 4i 1 10i Câu 3. Phần thực của z 2 3i i là A. 2 .B. 2.C. 3.D. 3 . Lời giải Chọn D z 2 3i i 3 2i phần thực là 3 . Câu 4. Cho hai số phức z1 1 i và z2 5 2i . Tính môđun của số phức z1 z2 . A. 5.B. 5 .C. 7 . D. 7 . Lời giải Chọn A 2 2 z1 z2 1 i 5 2i 4 3i z1 z2 4 3 5 Câu 5. Cho số phức z i . Số phức 2z 3 i là A. 1 i .B. 3 3i .C. 1 3i . D.1 i . Lời giải Chọn B 2z 3 i 2i 3 i 3 3i . Câu 6. Cho số phức z có số phức liên hợp z 3 2i . Tổng phần ảo của số phức z và z bằng. A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn D
4. Ta có: z 3 2i; z 3 2i . Vậy tổng phần ảo của số phức z và z bằng 0 . Câu 7. Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo? A. 7 i 7 i .B. 10 i 10 i . C. 5 i 7 5 i 7 . D. 3 i 3 i . Lời giải Chọn C  5 i 7 5 i 7 2i 7 là số thuần ảo.  10 i 10 i 20 là số thực.  7 i 7 i 2 7 là số thực.  3 i 3 i 6 là số thực. Câu 8. Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 3i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức w 3z1 2z2 là A. 7. B.11. C.1. D. 7i . Lời giải Chọn A w 3z1 2z2 3 1 2i 2 2 3i 7 0i . Vậy phần ảo của số phức w là 12. Câu 9. Với mọi số phức z a bi (a , b ¡ ), hãy xác định mệnh đề đúng. A. z z ¡ , z £ . B. z 2z ¡ , z £ . C. z 2z ¡ , z £ . D. z z ¡ , z £ . Lời giải Chọn D Gọi số phức z a bi (a , b ¡ ), suy ra z a bi . Khi đó z z 2a ¡ . Do vậy mệnh đề đúng là : z z ¡ , z £ . Câu 10. Cho hai số phức z1 1 2i và z2 1 2i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. z1 z1 5.B. z1 z2 . C. z1 2z2 5 .D. z1 z2 1. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 z1 1 2 1 2 z2 5 ;
5.  Mức độ 2 Câu 1. Cho hai số phức z1 1 i; z2 1 i . Phần thực của số phức z1z2 bằng A. 3 .B. 0 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn D 2 z1z2 1 i 1 i 1 i 2 . Câu 2. Với mọi số ảo z , số z2 | z |2 là: A. Số thực âm B. Số thực dương C. Số 0 D. Số ảo khác 0 Lời giải Chọn C Do z là số ảo nên z có dạng: z bi b ¡ . Ta có: z2 | z |2 bi 2 b2 b2 b2 0 . 1 3i Câu 3. Số phức có phần ảo bằng 1 3i 4 3 3 4 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B 2 1 3i 1 3i 4 3 1 3i 3 i . Suy ra số phức có phần ảo bằng . 1 3i 1 3i 1 3i 5 5 1 3i 5 5 Câu 4. Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn z 3i lần lượt là 1 2i A. 1;1.B. 1; 2 .C. 1; 2 . D. 1; 1 Lời giải Chọn A 5 5 1 2i 5 1 2i z 3i 3i 3i 1 i 1 2i 1 2i 1 2i 5 z 1 i Phần thực, phần ảo của z lần lượt là 1;1. 1 i Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 i z 5 i . Môđun của số phức w 1 2z z 2 1 i có giá trị là A. 100 .B. 10 .C. 10 . D. 100.
6. Lời giải Chọn C 2 1 i 1 i 2i 2 i z 5 i 2 i z 5 i 2 i z 5 i 1 i 1 i 1 i 2 5 2 i z 5 z 2 i 2 i 2 2 2 w 1 2z z2 1 z 3 i 8 6i w 82 6 10 . Câu 6. Cho số phức z 2 5i . Tìm số phức w iz z . A. w 7 3i .B. w 3 3i .C. w 3 3i .D. w 7 7i . Lời giải Chọn B iz 5 2i z 2 5i w iz z 3 3i . z 2 5i Câu 7. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức x 3 5i y 1 2i 3 35 23i . A. x; y 3;4 . B. x; y 3; 4 . C. x; y 3; 4 .D. x; y 3;4 . Lời giải. Chọn D Ta có 1 2i 3 11 2i Vậy ta có x 3 5i y 1 2i 3 35 23i 3x 11y 5x 2y i 35 23i 3x 11y 35 x 3 . 5x 2y 23 y 4 Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 1 9i . Tính tích phần thực và phần ảo của số phức z . A. 2 . B. 1. C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Gọi z x yi (với x, y R ), ta có z x yi . Theo giả thiết, ta có x yi 2 3i x yi 1 9i x 3y 3x 3y i 1 9i x 3y 1 x 2 . Vậy xy 2 . 3x 3y 9 y 1 Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn: (2 3i)z (4 i)z (1 3i)2 . Xác định phần thực và phần ảo của z. A. Phần thực là 2 ; phần ảo là 5i. B. Phần thực là 3; phần ảo là 5i. C. Phần thực là 2 ; phần ảo là 3. D. Phần thực là 2 ; phần ảo là 5.
7. Lời giải Chọn D Giả sử số phức z a bi a,b ¡ . Phương trình (2 3i)z (4 i)z (1 3i)2 2 3i a bi 4 i a bi 8 6i 3a 2b 4 a 2 . a b 3 b 5 2 Câu 10. Gọi z1 là nghiệm có phần ảo âm của phương trình z 4z 20 0 . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z1 . A. M 4; 2 . B. M 2; 4 . C. M 4; 2 . D. M 2; 4 . Lời giải Chọn D 2 z 2 4i Có z 4z 20 0 z1 2 4i . z 2 4i Vậy điểm biểu diễn của số phức z1 là M 2; 4 .  Mức độ 3 Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 và z 2 là số thuần ảo. A. 4 .B. 3 .C. 2 D. 1. Lời giải Chọn A Gọi z x yi x, y ¡ Ta có z 2 x2 y2 2 (1) z2 x2 y2 2xyi là số thuần ảo khi và chỉ khi x2 y2 0 (2) x2 y2 2 x 1 Từ (1), (2) 2 2 x y 0 y 1 Vậy có 4 số phức thỏa yêu cầu đề bài. Câu 2. Cho số phức z x iy, x, y ¢ thỏa mãn z 3 2 2i . Cặp số (x ; y) là A. (2;2) . B. (1;1) . C. ( 2 3; 2 3) . D. ( 2 3; 2 3) . Lời giải Chọn B
8. x3 3xy2 2 Ta có (x iy)3 2 2i x3 3xy2 (3x2 y y3 ) 2 3 3x y y 2 x 1 Đặt y tx suy ra t 1 (x; y) (1;1) y 1 Câu 3. Số phức z thỏa z 1 2i 3i 2 4i3 ... 18i19 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. z 18 . B. z có phần thực bằng 18 và phần ảo bằng 0. C. z có phần thực bằng 9 và phần ảo 9. D z i 9 9i . Lời giải Chọn C 1 i20 18 z iz 1 i ... i19 18i20 1. 18i20 18 z 9 9i. 1 i 1 i 2 Câu 4. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 | | 3z1 z2 | là: A. 6 2 21 B. 6 2 21 C. 6 4 21 D. 6 4 21 Lời giải. Chọn B z2 2z 6 0 z 1 2 5 0 z 1 5i z1 1 5i; z2 1 5i M | z1 | | 3z1 z2 | 1 5i 2 4 5i 6 84 6 2 21 Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i . Giá trị của z là ? 2 3 2 A. . B. 2 . C. . D. . 3 2 2 Lời giải. Chọn A Gọi z a bi a,b ¡ ta có : 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i 2a 1 2bi 1 i a 1 bi 1 i 2 2i 2a 2b 1 2a 2b 1 i a b 1 a b 1 i 2 2i 1 a 3a 3b 2 3 3a 3b a b 2 2 2i a b 0 1 b 3
9. 2 Vậy z 3 2 Câu 6. Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z 4z 11 0 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 z1 z2 2 . (z1 z2 ) 11 11 11 A. 3 2 .B. .C. .D. . 2 8 4 Lời giải Chọn D 3 2 3 2 Giải phương trình đã cho ta được các nghiệm: z 1 i, z 1 i . 1 2 2 2 2 2 2 3 2 22 z z 11 Suy ra | z | | z | 12 ; z z 2 . Do đó 1 2 . 1 2 1 2 2 2 2 (z1 z2 ) 4 2 i z 2 Câu 7. Cho số phức z 0 thỏa mãn z 2i 1. Tìm phần ảo của số phức z3 . z 3 9 1 4 A. .B. .C. . D. . 4 32 4 5 Lời giải Chọn B 2 i z 2 2 i zz z 2i 1 z 2i 1 2 i z z 2i 1 1 . z z Đặt z x yi với x, y ¡ và x2 y2 0 .Ta có: 1 2 i x yi x yi 2i 1 1 x x y 1 0 4 x y 1 x 3y 2 i 0 (Thỏa mãn). x 3y 2 0 3 y 4 1 3 13 9 Vậy z i z3 i Chọn B. 4 4 32 32 Câu 8. Cho các số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 1; z2 2; z1 z2 3 . Tính giá trị của biểu thức P z1 z2 z1 z2 A. P 2 B. P 2 C. P 8 D. P 8 Lời giải Chọn A z1 1 z1 z1 1; z2 2 z2 z2 4 2 2 z1 z2 3 z1 z2 z1 z2 3 z1 z2 P 3 P 2.
10. z i Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là: z i A. Đường tròn tâm O , bán kính R 1. B. Hình tròn tâm O , bán kính R 1 (kể cả biên). C. Hình tròn tâm O , bán kính R 1 (không kể biên). D. Đường tròn tâm O , bán kính R 1 bỏ đi một điểm 0,1 Lời giải: Chọn D Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi z i x y 1 i x2 y2 1 2x Ta có: i 2 2 z i x y 1 i x2 y 1 x2 y 1 2 2 2 2 x y 1 z i x2 y2 1 x y 1 Để là số thuần ảo thì 0 x 0 2 2 2 2 z i x y 1 x x 1 0 y 1 Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính R 1 bỏ đi một điểm 0,1 . z 6 7i Câu 10. Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z . Tính P a b . 1 3i 5 A. 2 .B. 1. C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta có: a bi 6 7i 9a 3b 12 a 1 a bi 9a 3b 3a 11b i 12 14i P 2 . 1 3i 5 3a 11b 14 b 1  Mức độ 4 Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , giả sử ba điểm A, B,C lần lượt biểu diễn các số phức1 i,3 2i, z trong đó z a bi a,b ¡ là số phức thỏa mãn điều kiện z 1 i z 1 2i . Tìm a b biết ba điểm A, B,C thẳng hàng. 5 5 7 A. 2 .B. .C. . D. . 2 4 6 Lời giải Chọn B Vì z a bi, a,b ¡ z a bi theo giả thiết ta có: a 1 i b 1 a 1 b 2 i
11. a 1 2 b 1 2 a 1 2 b 2 2 4a 2b 3 0 1 Do đó A 1;1 ; B 3;2 ;C a;b .   Ta có AB 2;1 , AC x 1; y 1   a 1 k.2 Để 3 điểm A; B;C thẳng hàng AC k AB, k 0 a 2b 1 0 2 b 1 k.1 4 a a 2b 1 0 3 5 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình a b . 4a 2b 3 0 7 2 a 6 m 2 6i Câu 2. Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;50 để z là số thuần 3 i ảo? A. 26.B. 25.C. 24. D. 50. Lời giải Chọn B m 2 6i m m m Ta có: z (2i) 2 .i 3 i z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k 1, k ¥ Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. 26 Câu 3. Cho số phức z 1  1 i n 1 i 1 i 2 ... 1 i 26 . Phần thực của số phức z là n 1 A. (1 213 ) . B. (1 213 ) . C. 213 . D. 213 . Lời giải Chọn D 27 2 26 1 i 1 z 1 1 i 1 i ... 1 i i 26 1 i . 1 i 1 (2i)13 1 i 1 213 i 213 1 213 (1 213 )i i i i Vậy phần thực là 213 . 20 1 i 20 1 Câu 4. Cho số phức z 1 i 1 2i 1 2i 3 . Phần thực của số phức z là 1 i i A. 2018 . B. 2020 .C. 1018 .D. 2020 . Lời giải Chọn C
12. 2 2 20 5 1 i 1 i 1 2i i 1 i 20 4 Ta có: 2 i i i 1. 1 i 1 i 2 1 i 2 20 2 10 10 1 i 1 2i i2 2i 1 i 1 i 2i 210.i8.i2 210 1 i 1 2i 1 2i 1 4i2 5 i . i3 i4 20 1 i 20 1 10 Do đó, B 1 i 1 2i 1 2i 3 1 2 5 i 1018 i . 1 i i 2i 6 Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn 1 i 1 i z . Biết z a bi (Với a,b ¡ ). Tính giá trị z của biểu thức A a2 3b. 156 183 A. A . B. A .C. A 6 .D. A 5 . 25 25 Lời giải Chọn A Đặt z k 0 2i 6 2i 6 2i 6 Khi đó 1 i 1 i z 1 i 1 i z 1 k 1 k i . z z z 2 2 40 Lấy mô đun 2 vế ta có 1 k 1 k k 2 . k 2i 6 2i 6 6 8 6 8 Suy ra 1 3i z i z i . z 1 3i 5 5 5 5 156 Vậy A a2 3b . 25 1 z z 2 Câu 6. Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện a,b 0 và là số thực. Tính giá trị của 1 z z 2 1 a4 b4 biểu thức P . 1 a6 b6 1 2 4 1 A. B. C. D. 2 3 3 3 Lời giải Chọn B 1 z z 2 1 a bi a bi 2 a2 b2 1 a i 2ab b 1 z z 2 1 a2 b2 a i 2ab b 1 z z 2 a2 b2 1 a i 2ab b 1 z z 2 1 a2 b2 a i 2ab b
13. 2 2 2 2 a b 1 a i 2ab b 1 a b a i 2ab b 2 1 a2 b2 a 2ab b 2 1 z z 2 là số thực 2ab b a2 b2 1 a 2ab b 1 a2 b2 a 0 1 z z 2 2a2b 2b3 2b 0 2b a2 b2 1 0 a2 b2 1. Ta có : 1 a4 b4 2a2b2 a4 b4 1 2a2b2 . 1 a6 b6 3a4b2 3a2b4 a6 b6 1 3a2b2 a2 b2 1 3a2b2 1 a4 b4 2 Vậy A . 1 a6 b6 3 Câu 7. Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z 1 i 1. Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu ? 2 2 2 2 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A y x Gọi M x, y là điểm biểu diễn số phức z x yi x, y R Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1 i Ta có : z 1 i 1 MA 1. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm A 1;1 , R 1 như hình vẽ 2 2 2 2 x x 1 y 1 1 2 Để max z max OM M thỏa hệ : y x 2 2 x 2 2 2 OM lớn nhất khi x . 2 Câu 8. Tính S i 2i2 3i3 ... 2020i2020 . A. S 1010 1010i B. S 1010 1010i. C. S 1010 1010i. D. S 1010 1010i.
14. Lời giải Chọn C Đặt P 1 2i 3i2 4i3 ... 2020i2019 S Pi . Xét hàm số f x x x2 x3 ... x2020. -Nếu x 1 thì f x 2020 2020 x x 1 x2021 x -Xét x 1 ta có f x x x2 x3 ... x2020 x 1 x 1 Có 2020 2021 2021x 1 (x 1) x x 2020x2021 2021x2020 1 f x 1 2x 3x2 ... 2020x2019 x 1 2 x 1 2 2020i2021 2021i2020 1 Do đó P f i 1010 1010i S Pi 1010 1010i i 1 2 Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 1 i . Tính T M 2 m2 . A. 27 .B. 29 . C. 26 .D. 28 . Lời giải Chọn D Gọi N, A 1;1 là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức z ; 1 i . Vì z (2 3i) 1 N thuộc đường tròn tâm I 2;3 bán kính R 1 . max z 1 i max NA R IA 1 13 ; min z 1 i min NA R IA 1 13 . Vậy T 28 . Câu 10. . Xét các số phức z = a + bi (a,bÎ ¡ ) có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị của S = (5(a + b) + 2)2020 khi biểu thức P = 2+ z + 3 2- z đạt giá trị lớn nhất. A. S 0. B. S 1. C. S 22020. D. S 21010. Lời giải Chọn A Gọi số phức z a bi , với a,b R.. .
15. Theo giả thiết, ta có z 2 a2 b2 4 . Suy ra 2 a 2. Khi đó, P 2 z 3 2 z a 2 2 b2 3 2 a 2 b2 8 4a 3 8 4a Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 P 1 3 8 4a 8 4a hay P 4 10 , với mọi 2 a 2. 6 b 8 5 Vậy P 4 10 khi 3 8 4a 8 4a a max 5 6 b L 5 2018 é æ 8 6ö ù S = (5(a + b) + 2)2018 = ê5ç- + ÷+ 2ú = 0. ç ÷ ëê è 5 5ø ûú