Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 13: Tìm điểm cực trị của hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 13: Tìm điểm cực trị của hàm số

1. DẠNG TOÁN 13: TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a;b và điểm x0 a;b . a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số y f x đạt cực đại tại x0 . b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số y f x đạt cực tiểu tại x0 . Chú ý: - Nếu hàm số y f x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; f x0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CĐ ( fCT ), còn điểm M x0 ; f x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. - Các điểm cực đại và các điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm điểm cực trị của một hàm số cụ thể.  Tìm điểm cực trị của một hàm số khi cho bảng biến thiên.  Tìm điểm cực trị khi biết đồ thị của y hoặc y . BÀI TẬP MẪU
2. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 2.B. x 2 .C. x 1.D. x 1. Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị của hàm số. 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 3. HƯỚNG GIẢI: B1: Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì đạt cực đại tại x0 . Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì đạt cực tiểu tại x0 . B2: Kết Luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 1 nên hàm số f x đạt cực đại tại x 1. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
3. A. x 0 .B. x 1.C. x 2 . D. x 1. Lời giải Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 nên hàm số f x đạt cực tiểu tại x 0 . Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 1.B. x 0 . C. x 2 . D. x 1. Lời giải Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 1 nên hàm số f x đạt cực đại tại x 1. Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x 0 . B. x 1. C. x 1. D. x 3. Lời giải: Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 1 nên hàm số f x đạt cực đại tại x 1.
4. Câu 4. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x 2.B. x 1. C. x 2 . D. x 1. Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1. Câu 5. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1.B. 3 .C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
5. A. 2 B. 3 .C. 4 . D. 5 . Lời giải: Chọn D Từ đồ thị ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ với bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .B. 1. C. 3 .D. 0 . Lời giải Chọn A Từ bảng xét dấu ta thấy f x đổi dấu 2 lần nên hàm số f x có 2 điểm cực trị. Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x x 2 2 , x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Lời giải: Chọn A 2 2 x 0 Xét f ' x x x 2 . Ta có f ' x 0 x x 2 0 . x 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.
6. Câu 9. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực tiểu của số đã cho là: A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực tiểu. Câu 10. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ: Đồ thị hàm số y f (x) có mấy điểm cực trị? A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải: Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 11. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là đúng?
7. A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. Hàm số đạt cực đại tại x 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Lời giải: Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2 .  Mức độ 2 Câu 1. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba giá trị cực trị.B. Hàm số có ba điểm cực trị. C. Hàm số có hai điểm cực trị.D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1. Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu 3 lần nên hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 2. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1 là: A. 0;1 . B. 1; 2 . C. 1;6 . D. 2; 3 . Lời giải: Chọn D 2 x 0 y 6x 6x ; y 0 . x 1 Bảng xét dấu y
8. Vạy điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1; 2 . Câu 3. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y x4 2x2 2 là: A. (1; 3) . B. ( 1; 3) .C. (0; 2) . D. ( 2;0) . Lời giải Chọn B 3 x 0 y 4x 4x ; y 0 . x 1 Bảng biến thiên: Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị là (0; 2) . Câu 4. Hàm số nào sau đây có cực trị. 2x 5 x 1 A. y .B. y x3 4x 2 . C. y .D. y x2 3x 1. x 2 x 1 Lời giải Chọn D 2x + 5 - 9 ¢ Xét hàm số y = , y = 2 < 0," x Î ¡ \{2} . Hàm số không có cực trị. x - 2 (x - 2) Xét hàm số y = x 3 + 4x - 2 , y¢= 3x 2 + 4 > 0," x Î ¡ . Hàm số không có cực trị. x 1 2 ¢ Xét hàm số y , y = 2 > 0," x Î ¡ \{- 1} . Hàm số không có cực trị. x 1 (x + 1) Xét hàm số y x2 3x 1. 3 y 2x 3; y 0 x . 2 3 3 Ta có y 0x ; và y 0x ; . 2 2 Vậy hàm số y x2 3x 1 có cực trị. Câu 5. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) (x 1)(x 2)2 (x 3)3 (x 5)4 . Hỏi hàm số y f (x) có mấy điểm cực trị?
9. A. 5 . B. 3. C. 4 . D. 2. Lời giải Chọn B x 1 x 2 f x 0 . x 3 x 5 Bảng xét dấu của f x : Ta thấy f x đổi dấu 2 lần nên hàm số y f (x) có 2 điểm cực trị. Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hàm số y f x trên ¡ như hình bên dưới. Khi đó trên ¡ hàm số y f x y x A. Có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. B. Có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. C. Có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. D. Có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Lời giải. Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số f x ta có bảng xét dấu: Ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x1 và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x2 . Vậy hàm số y f x có 1 cực đại và một cực tiểu.
10. Câu 7. Cho hàm số y f (x) . Hàm số y f '(x) có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại x 1 .B. Hàm số y f (x) có một điểm cực tiểu. C. Đồ thị hàm số y f (x) có hai điểm cực trị.D. Hàm số không có cực trị. Lời giải. Chọn B Dựa vào đồ thị của y f '(x) ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu hàm số đạt cực tiểu tại x 3. Câu 8. Hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng ¡ , biết đồ thị của hàm số y = f '(x) trên K như hình vẽ bên. y 1 x Tìm số cực trị của hàm số y = f (x) trên ¡ . A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Chọn B Ta thấy đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 2 điểm nên đạo hàm đổi dấu tại đây và tiếp xúc với trục hoành tại x = 0 nên đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số y = f (x) có 2 điểm cực trị. Câu 9. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ' x là đường cong trong hình dưới.
11. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 2 và x 0 . B. Hàm số y f x có 4 cực trị. C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 1. Lời giải: Giá trị của hàm số y f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = - 1 nên ta chọn đáp án C. Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 1 2x 3 3 4 x , x ¡ . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 A. Hàm số đạt cực tiểu tại x . B. Hàm số có ba cực trị. 2 C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số có hai điểm cực đại. Lời giải: Chọn A x 1 3 f x 0 x . 2 x 4 Bảng xét dấu của f x : Dựa vào bảng xét dấu ta chọn A.  Mức độ 3
12. Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 2 . Hàm số y f 1 x đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 2. B. x 0 . C. x 3. D. x 1. Lời giải: Chọn C x 0 Ta có f ' x 0 . x 2 Bảng xét dấu của f x Xét hàm y f 1 x . 1 x 2 x 3 y f 1 x f 1 x ; y 0 1 x 0 x 1 Bảng xét dấu của y Ta có y 4 f 3 0 (do f 3 0 . Vậy hàm số y f 1 x đạt cực đại tại x 3. Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x 2x 5 1 x , x ¡ . Số điểm cực đại của hàm số y f x2 là: A. 2 .B. 5 . C. 4 .D. 3 . Lời giải Chọn D x 1 Ta có f ' x 0 5 . x 2 Bảng xét dấu của f x
13. Xét hàm y f x2 . x 0 x 0 2 2 2 y f x 2xf x ; y 0 x 1 x 1 . 2 5 5 x x 2 2 Ta có y 3 6 f 9 0 (do f 9 0 ). Nên có bảng xét dấu của y Vậy hàm số y f x2 có 3 điểm cực đại. Câu 3. Cho hàm số y x3 x2 m 4 x 5. Tìm m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu. 13 13 13 13 A. m .B. m .C. m . D. m . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C y 3x2 2x m 4 . Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' 0 có hai ngiệm phân biệt 0 1 3 m 4 0 13 3m 13 0 m . 3 Câu 4. Cho hàm số y m 4 x4 m 3 x2 m2 1. Tìm m để hàm số đã cho có ba cực trị. A. 3 m 4 . B. m 3, m 4 .C. 4 m 1. D. m 1, m 1. Lời giải Chọn A 3 2 y 4 m 4 x 2 m 3 x 2x 2 m 4 x m 3 .
14. x 0 y 0 2 2 m 4 x m 3 0 * Hàm số có 3 điểm cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 3 0 3 m 4 . m 4 Câu 5. Số điểm cực đại của hàm số y x 1 3 x là: A. 3 .B. 1.C. 1. D. 0 . Lời giải: Chọn C Tập xác định của hàm số D ;3. 5 3x 5 y ; y 0 x . 2 3 x 3 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị. Câu 6. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ và có đồ thị f '(x) như hình vẽ. Đặt g(x)= f (x)- x. Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x 1. B. x 2 . C. x 0 . D. x 1. Lời giải: Chọn D
15. g x f x 1 x 1 Dựa vào đồ thị của f x ta có g x 0 f x 1 x 1 x 2 . Bảng xét dấu của g x Ta thấy g x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 1 nên hàm số đạt cực đại tại x 1. Câu 7. Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị của hàm số y = f '(x) như hình bên. Hàm số g(x)= f (x 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải: Chọn D g x 2xf x2 x 0 2 x 2 x 0 x 0 g x 0 x2 0 x 1 . f x2 0 2 x 1 x 3 2 x 3 Ta thấy g x có 5 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ nên g x sẽ đổi dấu 5 lần. Vậy hàm số g x có 5 cực trị. Câu 8. Để đồ thị hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m - 1 có 3 điểm cực trị nhận gốc tọa độ O làm trực tâm thì giá trị của tham số m bằng 1 1 A. 1. B. . C. . D. 2 . 3 2
16. Lời giải: Chọn D x 0 3 2 y 0 y 4x 4mx 4x x m ; 2 . x m x 0 Để hàm số có 3 điểm cực trị m 0 . Suy ra y 0 . x m Khi đó các điểm cực trị là A 0;m 1 , B m; m2 m 1 ,C m; m2 m 1 .   Ta có AB m; m2 ,OC m; m2 m 1 .   Để điểm O là trực tâm của tam giác ABC AB.OC 0 m m4 m3 m2 0 m m3 m2 m 1 0 m 1. Câu 9. Cho hàm số y = - x 2 + 3x + 5 . Số điểm cực trị của hàm số trên là: A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải: Chọn B Xét hàm số g x x2 3x 5 3 g x 2x 3 ; g x 0 x . 2 Ta thấy hàm số g x có 1 điểm cực trị. Mặt khác g x 0 có 2 nghiệm. Vậy hàm số y = - x2 + 3x + 5 có 3 điểm cực trị. Câu 10. Hàm số f (x) có đạo hàm f '(x) trên ¡ . Hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số f '(x) trên ¡ . Hỏi hàm số y = f ( x )+ 2018 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 .B. 3 . C. 4 .D. 5 . Lời giải Chọn D
17. éx = x < 0 ê 1 f ' x = 0 Û êx = x > 0 . ( ) ê 2 ê ëx = x3 > x2 Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của f '(x) Suy ra hàm số y f x có 3 cực trị trong đó có 2 cực trị dương. Do hàm số y = f ( x )+ 2018 chẵn nên nó có 5 cực trị.  Mức độ 4 Câu 1. Hình vẽ là đồ thị hàm số y = f (x) . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x - 1)+ m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. 9 . B. 12. C. 15. D. 18. Lời giải Chọn B Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) sang phải 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = f (x - 1). Do đó đồ thị hàm số y = f (x - 1) có 3 cực trị và có 4 giao điểm với Ox. Để được đồ thị hàm số y = f (x)+ m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x - 1) lên trên m đơn vị Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số y = f (x - 1)+ m cắt Ox tại đúng 2 điểm (không phải là điểm cực trị của chính nó), do đó 3 £ m < 6 Þ S = {3;4;5}. Câu 2. Cho hàm số y = f (x) với đạo hàm f '(x) có đồ thị như hình vẽ.
18. x 3 Hàm số g(x)= f (x)- + x 2 - x + 2 đạt cực đại tại điểm nào? 3 A. x 1. B. x 2 . C. x 0 . D. x 1. Lời giải Chọn D x 3 Xét hàm số g(x)= f (x)- + x 2 - x + 2, có g '(x)= f '(x)- x 2 + 2x - 1;" x Î R 3 éx = 0 ê Ta có ' = 0 Û ' = - 1 2 Û ê = 1 (*) g (x) f (x) (x ) êx ê ëx = 2 Bảng xét dấu của g¢(x) Vậy hàm số g x đạt cực đại tại x 1. Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x )+ m có 11 điểm cực trị A. m 0 . B. m 0 .C. 0 m 1. D. 0 m 1. Lời giải Chọn A Xét đồ thị y = f ( x )+ m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy .
19. Từ bảng biến thiên ta thấy y = f (x) đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục Oy . Suy ra hàm số y = f ( x )+ m có 5 điểm cực trị. Để hàm số y = f ( x )+ m có 11 điểm cực trị thì phương trình f ( x )+ m = 0 phải có 6 nghiệm phân biệt 1 m 0 0 m 1. Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f (x 2 - 4 x ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ? A . 5 B. 7 C. 9 D. 11 Lời giải: Chọn A Xét hàm số g(x)= f (x 2 - 4x)Þ g¢(x)= (2x - 4)g¢(x 2 - 4x) . é2x - 4 = 0 Xét phương trình đạo hàm : g¢(x)= (2x - 4) f ¢(x 2 - 4x)= 0 Û ê . êf ¢ x 2 - 4x = 0 ëê ( ) é x = 2 ê éx = 2 êé 2 2 ê Û êêx - 4x = - 4 Û (x - 2) = 0 Û ê . êê x = 2 ± 3 ê 2 ë ëëêx - 4x = 1 Û x = 2 ± 3 Suy ra hàm số g(x)= f (x 2 - 4x) có 3 điểm cực trị trong đó có 2 điểm cực trị dương. 2 Suy ra hàm số f (x 2 - 4 x )= f ( x - 4 x )= g( x ) năm điểm cực trị. Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ và có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên m  21;21 y f x2 2mx 1 có đúng 7 điểm cực trị ?
20. A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: Chọn B 2x 2m x2 2mx 1 Xét hàm số: y g x f x2 2mx 1 g x f x2 2mx 1 2 x 2mx 1 Nhận thấy, nếu phương trình x2 2mx 1 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, đạo hàm của hàm số y f x không xác định và đổi dấu tại hai nghiệm phân biệt này, tương ứng có hai điểm cực trị. Xét phương trình đạo hàm: x m x m cothem1diemcuctri 2 2 x 2mx 2 0 cothem 2diemcuctri x 2mx 1 a 0 VN 2 g x 0 2 x 2mx 0 khong co hai nghiem pb m 0 x 2mx 1 1 x2 2mx 1 b 0 cothem 2diemcuctri 2 x 2mx 1 b 1 2 x 2mx 1 b 0 khi m 0 VN Suy ra giá trị nguyên cần tìm của m là: m 0 . Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x x 1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải: Chọn C f 1 2x , x ;0 2 f 1 2x , x ;0 Đặt y g x f 1 , x 0;1 g x 0, x 0;1 f 2x 1 x 1; 2 f 2x 1 , x 1; ì ¢ ï - 2 f (1- 2x)= 0 khi x Î (- ¥ ;0) (1) ï Xét g x 0 Þ g¢(x)= í 0 khi x Î [0;1) (2) ï ï ¢ îï 2 f (2x - 1)= 0 khi x Î [1;+ ¥ ) (3)