Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 12: Khối Nón-Trụ-Cầu (Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 12: Khối Nón-Trụ-Cầu (Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ)

1. DẠNG TỐN 12: KHỐI NĨN-TRỤ-CẦU (CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cầu Trụ Nĩn Khối trịn xoay Sxq 2 rh Sxq rl (l đường sinh, r bkính) Diện tích S 4 R2 Stp Sxq 2Sđáy Stp Sxq Sđáy 4 3 1 2 Thể tích V R V r2h V r h ( h : đường cao) 3 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ.  Tính diện tích xung quanh hình trụ khi biết một số yếu tố cho trước.  Tính diện tích tồn phần hình trụ khi biết một số yếu tố cho trước.  Tính diện tích xung quanh hình trụ khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh của nĩ.  Tính diện tích xung quanh hình trụ và diện tích tồn phần liên quan đến thiết diện qua trục của nĩ. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Diện tích xung quanh của một hình trụ cĩ độ dài đường sinh l , bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl .B. rl .C. rl .D. 2 rl . 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn lý thuyết về cơng thức diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của một hình trụ. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định các yếu tố đã biết của hình trụ như độ dài đường sinh, bán kính đáy. B2: Áp dụng cơng thức diện tích xung quanh (diện tích tồn phần) của hình trụ: 2 Sxq 2 rl , Stp 2 rl 2 r . Từ đĩ, ta cĩ thể giải bài tốn cụ thể như sau: Lời giải
2. Chọn D Diện tích xung quanh của một hình trụ cĩ độ dài đường sinh l , bán kính đáy r là: Sxq 2 rl . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Tính diện tích xung quanh của một hình trụ cĩ chiều cao 20 m , chu vi đáy bằng 5 m . A. 50 m2 . B. 50 m2 . C. 100 m2 . D. 100 m2 . Lời giải Chọn D Ta cĩ chu vi đáy C 2 R 5 . 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là .Sxq 2 Rl 5.20 100 m Câu 2. Diện tích xung quanh của mặt trụ cĩ bán kính đáy R chiều cao h là A. .S xq Rh B. . C.S . xq 3 RD.h Sxq 4 Rh Sxq 2 Rh . Lời giải Chọn D Diện tích xung quanh của một hình trụ cĩ chiều cao h , bán kính đáy R là: Sxq 2 Rh . Câu 3. Một hình trụ cĩ bán kính đáy r 5cm , chiều cao h 7cm . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. 70 35 A. S 35π cm2 .B. S 70π cm2 .C. S π cm2 .D. S π cm2 . 3 3 Lời giải Chọn B 2 Theo cơng thức tính diện tích xung quanh ta cĩ Sxq 2 rh 70 cm . Câu 4. Cho hình trụ trịn xoay cĩ độ dài đường cao là h và r là bán kính đáy. Cơng thức diện tích xung quanh của hình trụ trịn xoay là 2 A. Sxq rl .B. Sxq r h . C. Sxq rh .D. Sxq 2 rh . Lời giải Chọn D Diện tích xung quanh của một hình trụ cĩ chiều cao h , bán kính đáy r là: Sxq 2 rh . Câu 5. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ cĩ bán kính bằng 3 và chiều cao bằng 4 . A. S 12 . B. S 42 . C. S 36 .D. S 24 . Lời giải: Chọn D Diện tích xung quanh của hình trụ S 2 rh 24 . Câu 6. Một hình trụ cĩ bán kính đường trịn đáy r 50cm và cĩ chiều cao h 50cm . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
3. A. 2500 cm2 .B. 5000 cm2 .C. 2500 cm2 . D. 5000 cm2 . Lời giải: Chọn B 2 Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Sxq 2 rl 2 .50.50 5000 cm . Câu 7. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy r 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm . Diện tích xung quanh của hình trụ là A. 35π cm2 B. 70π cm2 C. 120π cm2 D. 60π cm2 Lời giải: Chọn B 2 Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq 2πrh 2π5.7 70π cm . Câu 8. Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ T . Diện tích tồn phần Stp của hình trụ là 2 2 2 2 A. Stp 2 Rl 2 R . B. Stp Rl 2 R . C. Stp Rl R . D. Stp Rh R . Lời giải: Chọn A 2 Diện tích tồn phần Stp của hình trụ là Stp 2 Rl 2 R . Câu 9. Một hình trụ cĩ bán kính đáy r 5cm , chiều cao h 7cm . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. 70 35 A. S 35π cm2 .B. S 70π cm2 .C. S π cm2 .D. S π cm2 . 3 3 Lời giải: Chọn B 2 Theo cơng thức tính diện tích xung quanh ta cĩ Sxq 2 rh 70 cm . Câu 10. Một hình trụ cĩ bán kính đường trịn đáy r 50cm và cĩ chiều cao h 50cm . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 2500 cm2 .B. 5000 cm2 .C. 2500 cm2 . D. 5000 cm2 . Lời giải: Chọn B 2 Diện tích xung quanh của hình trụ bằng Sxq 2 rl 2 .50.50 5000 cm .  Mức độ 2 Câu 1. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần Stp của khối trụ.
4. 27 a2 13a2 a2 3 A. S . B. S . C. S a2 3 . D. S . tp 2 tp 6 tp tp 2 Lời giải Chọn A B A O C O' D 3a Theo đề bài ta cĩ ABCD là hình vuơng cạnh 3a nên ta cĩ r và h 3a . 2 2 2 2 3a 3a 27 a Diện tích tồn phần của hình trụ là Stp 2 r 2 rh 2 2 3a . 2 2 2 Câu 2. Hình trụ cĩ hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a thì cĩ diện tích xung quanh bằng bao nhiêu? A. 2 a2 . B. 2 a2 . C. 2 2 a2 . D. a2 . Lời giải: Chọn B a 2 Gọi r là bán kính đường trịn đáy thì r , l a . 2 a 2 Vậy diện tích xung quanh hình trụ là: S 2 rl 2 .a 2 a2 . xq 2 Câu 3. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm . Diện tích tồn phần của hình trụ này là A. 96 (cm2 ) . B. 92 (cm2 ) .C. 40 (cm2 ) .D. 90 (cm2 ) . Lời giải Chọn D Hình trụ cĩ bán kính đáy R 5 cm và chiều cao h 4 cm . 2 2 Diện tích tồn phần của hình trụ này là: Stp 2 R 2 Rh 2 .25 2 .5.4 90 cm . Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cĩ cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ cĩ hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vuơng ABCD và A B C D . Diện tích S là 2 a2 A. a 2 .B. 2a2 .C. 3a2 .D. . 2 Lời giải Chọn B Đường kính hình trụ là độ dài đường chéo của hình vuơng ABCD .
5. a 2 a 2 Ta cĩ bán kính hình trụ R nên S 2 Rl 2 a a2 2 . 2 2 Dạng 2 : Câu 4 trùng câu 2. Câu 5. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng 18 . Tính diện tích xung quanh S xq của hình trụ. A. Sxq 18 .B. Sxq 36 .C. Sxq 12 . D. Sxq 6 . Lời giải. Chọn C Ta cĩ V r 2h 18 32 h h 2 . Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq 2 rh 12 . Câu 6. Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một hình vuơng cạnh 2a . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 2 a2 . B. 8 a2 . C. 4 a2 . D. 16 a2 . Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta cĩ bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là a và 2a . 2 Do đĩ, Sxq 2 Rh 2 .a.2a 4 a . Câu 7. Một hình trụ cĩ diện tích xung quanh bằng 4 và cĩ thiết diện qua trục là hình vuơng. Diện tích tồn phần của hình trụ bằng A. 6 . B. 10 . C. 8 . D. 12 . Lời giải. Chọn A Ta cĩ: thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuơng nên: l 2R . Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq 2πRl 4 2πR.2R 4π R 1. 2 Diện tích đáy của hình trụ là Sđ πR π . Vậy diện tích tồn phần của hình trụ là Stp Sxq 2Sđ 6 . Câu 8. Trong khơng gian cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB a và AD 2a . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đĩ quanh trục HK , ta được một hình trụ. Diện tích tồn phần của hình trụ là: 2 2 A. Stp 8 .B. Stp 8a .C. Stp 4a .D. Stp 4 . Lời giải. Chọn C
6. A H D a B K C Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta được hình trụ cĩ đường cao là h AB a , bán 1 kính đường trịn đáy là R BK BC a . 2 2 2 Vậy diện tích tồn phần của hình trụ là: Stp 2 Rh 2 R 4 a . Câu 9. Một hộp sữa cĩ dạng hình trụ và cĩ thể tích bằng 2825cm3 . Biết chiều cao của hộp sữa bằng 25cm . Diện tích tồn phần của hộp sữa đĩ gần với số nào sau đây nhất? A. 1168cm2 . B. 1172cm2 .C. 1164cm2 .D. 1182cm2 . Lời giải: Chọn A Gọi bán kính đáy của hình trụ là R . Khi đĩ theo bài ra ta cĩ: 113 113 V 2825 R2 .25 2825 R2 R . Vậy diện tích tồn phần của hộp sữa là: 2 113 113 S 2 Rh 2 R2 2 . .25 2 1168cm2 . tp Câu 10. Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 3a . Tính diện tích tồn phần của hình trụ đã cho. 9 a2 13 a2 27 a2 A. 9a2 . B. . C. . D. . 2 6 2 Lời giải: Chọn D Do mặt phẳng cắt hình trụ đi qua trục của nĩ nên ta cĩ: 3a Đường sinh l 3a và bán kính đáy r . 2 27 a2 Vậy diện tích tồn phần của hình trụ: S 2 r r l . tp 2
7.  Mức độ 3 Câu 1. Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng 5 . Biết rằng khi cắt hình nĩn đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nĩn đã cho bằng A. 100 . B. 50 .C. 25 .D. 200 . Lời giải: Chọn B Hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng 5 thì cĩ đường kính đáy bằng 10. Vì vậy, khi cắt hình nĩn đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một tam giác đều cĩ cạnh bằng 10. Suy ra đường sinh của hình nĩn l 10 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho: Sxq rl .5.10 50 . Câu 2. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 4 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục, thiết diện thu được là một hình vuơng. Diện tích tồn phần của hình trụ đã cho bằng A. 96 . B. 64 .C. 80 .D. 48 . Lời giải Chọn A Hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 4 thì cĩ đường kính đáy bằng 8 . Vì vậy, khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 8 . Suy ra đường sinh của hình trụ l 8 . 2 2 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho: Stp Sxq 2Sd 2 rl 2 r 2 .4.8 2 4 96 . Câu 3. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 5 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục, thiết diện thu được là một hình vuơng. Thể tích của khối trụ đã cho bằng 250 100 A. 250 . B. 100 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A
8. Hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 5 thì cĩ đường kính đáy bằng 10. Vì vậy, khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng đi qua trục thì thiết diện thu được là một hình vuơng cĩ cạnh bằng 10. Suy ra đường sinh cũng là chiều cao của hình trụ l h 10 . Thể tích của khối trụ đã cho: V r 2h .52.10 250 . Câu 4. Một khối cầu cĩ đường kính bằng 10 cm . Người ta dùng một mặt phẳng cách tâm khối cầu 3 cm để cắt khối cầu thành hai phần. Diện tích của thiết diện bằng A. 16 cm2 . B. 16 cm . C. 16 cm3 . D. 16 cm2 . Lời giải Chọn D O H M Theo đề bài ta cĩ: 2R 10 cm R OM 5 cm ,OH 3 cm r HM OM 2 HM 2 4 cm . Diện tích thiết diện bằng: S r 2 .42 16 cm2 . Câu 5. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nĩn và cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác vuơng cĩ diện tích bằng 18. Thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 32 5 A. . B. 32 .C. 32 5 . D. 96 3 Lời giải:
9. Chọn A Gọi O là đỉnh hình nĩn, I là tâm đường trịn đáy hình nĩn, thiết diện là tam giác vuơng OAB . Ta thấy OA OB nên tam giác OAB chỉ cĩ thể vuơng tại O . 1 Ta cĩ: S OA2 OA2 2.S 36 . OAB 2 OAB 2 Do đĩ IA OA2 OI 2 36 2 5 4 . Khối nĩn cần tìm cĩ bán kính đáy IA 4 , chiều cao OI 2 5 nên cĩ thể tích là: 1 1 1 32 5 V .S .h .IA2.OI .16.2 5 . 3 d 3 3 3 Câu 6. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh O của hình nĩn và cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác OAB cĩ diện tích bằng 9 2 và gĩc ·AOB 45 . Thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 32 5 A. . B. 32 .C. 32 5 . D. 96 . 3 Lời giải: Chọn A
10. Gọi I là tâm đường trịn đáy hình nĩn, thiết diện là tam giác cân OAB . 1 1 2 S OA.OB.sin 45 9 2 OA2. OA2 36 . OAB 2 2 2 2 Do đĩ IA OA2 OI 2 36 2 5 4 . Khối nĩn cần tìm cĩ bán kính đáy IA 4 , chiều cao OI 2 5 nên cĩ thể tích là: 1 1 1 32 5 V .S .h .IA2.OI .16.2 5 . 3 d 3 3 3 Câu 7. Cho khối nĩn cĩ độ dài đường sinh bằng 2a , gĩc giữa đường sinh và đáy bằng 60 . Thể tích khối nĩn đã cho là a3 3 a3 a3 2 a3 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 3 Lời giải: Chọn A 푆 2 60° Gĩc giữa đường sinh và đáy bằng 60 nên thiết diện qua trục là tam giác đều SAB cạnh 2a . 2a 3 1 Chiều cao khối nĩn là h SH a 3 , bán kính đáy r AB a . 2 2
11. 1 a3 3 Thể tích khối nĩn đã cho là V r 2h . 3 3 Câu 8. Một cái trục lăn sơn nước cĩ dạng một hình trụ. Đường kính của đường trịn đáy là 5cm , chiều dài lăn là 23cm . Sau khi lăn trọn 15 vịng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện tích là A. 1752 cm2 . B. 3450 cm2 . C. 1725 cm2 .D. 862,5 cm2 . Lời giải: Chọn C Đường kính của đường trịn đáy là 5cm 2R 5cm 2 Diện tích xung quanh của mặt trụ là Sxq 2 Rl .5.23 115 cm . Sau khi lăn 15 vịng thì diện tích phần sơn được là: S 115 .15 1725 cm2 . Câu 9. Cho tứ diện S.ABC cĩ SA 2a và SA  ABC . Tam giác ABC cĩ AB a, BC 2a, AC a 5. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC là 2 2 2 2 A. S 18 a . B. S 36 a .C. S 9 a .D. S 27 a . Lời giải: Chọn C S O C A E B Tam giác ABC cĩ AB2 BC 2 AC 2 nên tam giác ABC vuơng tại B .
12. Khi đĩ trục của tam giác ABC là đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AC và song song với SA (vì SA  ABC ), đường thẳng này cắt cạnhSC tại điểm O , suy ra O là trung điểm cạnh SC . 2 2 2 2 a 5 3a Ta suy ra: OS OA OB OC R OE EC a 2 2 2 2 3a 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC là: S 4 R 4 9 a . 2 Câu 10. Cho hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh đáy bằng 1 và chiều cao h 3 (hình vẽ). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp là S A C H M B 100 25 100 A. . B. . C. . D. 100 . 3 3 27 Lời giải: Chọn C * Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm H khi đĩ D thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. * Do SAD là mặt phẳng đối xứng của hình chĩp nên đường trịn ngoại tiếp tam giác SAD là đường trịn lớn của mặt cầu. S A C H M D B 4 10 * Ta cĩ: AD AM 2 3 , SA SD SH 2 AH 2 , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 3 3 chĩp là:
13. SA.SD.AD SA.SD.AD SA2 5 R 4S SAD 2AD.SH 2SH 3 3 100 Diện tích mặt cầu là: S 4 R2 . 27  Mức độ 4 Câu 1. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 6 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nĩn và cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng 10 2 . Tính thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 32 5 A. . B. 32 . C. 32 3 . D. 128 . 3 Lời giải Chọn D S O B M A Giả sử thiết diện là tam giác vuơng cân SAB cĩ cạnh bằng l như hình vẽ l 2 10 2 l 10. Ta cĩ: r OB SB2 SO2 l 2 h2 8 . 1 1 Thể tích khối nĩn: V r 2h .82.6 128 . 3 3 Câu 2. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 4 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nĩn và cách tâm O của mặt 12 đáy hình nĩn một khoảng bằng cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác vuơng cân. Tính 5 thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 32 5 136 A. . B. 136 3 . C. . D. 96 . 3 3 Lời giải Chọn C
14. S H O B M A Giả sử thiết diện là tam giác vuơng cân SAB cĩ cạnh bằng l như hình vẽ. 1 1 1 SO2.OH 2 Ta cĩ: OM 3 SM MB 5. OH 2 SO2 OM 2 SO2 OH 2 1 136 r OM 2 MB2 34 V r 2 h 3 3 Câu 3. Cho hình trụ cĩ chiều cao bằng 6 . Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng 3 cắt hình trụ theo thiết diện cĩ diện tích bằng 48 . Thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ trên bằng 150 A. 15 . B. 150 . C. . D. 96 . 3 Lời giải Chọn B O' D C O B M A Thiết diện là hình chữ nhật và giả sử là ABCD như hình vẽ. AD OO ' 6 Ta cĩ: AB 8 AD.AB 48 Gọi M là trung điểm AB MB 4 OB OM 2 MB2 5 . Thể tích khối trụ bằng: V r 2h .52.6 150
15. Câu 4. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 3 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nĩn và cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác đều cĩ diện tích bằng 3 . Thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 3 5 A. . B. 3 . C. . D. 5 . 3 3 Lời giải Chọn A O A I B Gọi O là đỉnh hình nĩn, I là tâm đường trịn đáy hình nĩn, thiết diện là tam giác đều OAB . OA2 3 4S 4. 3 S OA2 OAB 4 . OAB 4 3 3 2 Do đĩ IA OA2 OI 2 4 3 1. Khối nĩn cần tìm cĩ bán kính đáy IA 1, chiều cao OI 3 nên cĩ thể tích là: 1 1 1 3 V .S .h .IA2.OI .1. 3 . 3 d 3 3 3 Câu 5. Cho hình nĩn cĩ chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nĩn và cắt hình nĩn theo một thiết diện là tam giác đều, mặt phẳng này cách tâm của đường trịn đáy một khoảng 2 35 h . Thể tích của khối nĩn được giới hạn bởi hình nĩn đã cho bằng 3 3 32 5 A. . B. 32 .C. 32 5 . D. 96 . 3 Lời giải: Chọn A
16. Gọi O là đỉnh hình nĩn, I là tâm đường trịn đáy hình nĩn, thiết diện là tam giác đều OAB . Gọi K là trung điểm của AB khi đĩ IK  AB . Kẻ IH  OK khi đĩ khoảng cách từ I đến 2 35 OAB chính là IH hay IH . 3 3 1 1 1 1 Tam giác OIK vuơng tại I và IH là đường cao nên: IK 2 7 . IK 2 IH 2 OI 2 7 Xét tam giác OIK : OK OI 2 IK 2 3 3 . AB 3 2.3 3 Mà OK là đường cao của tam giác đều OAB nên OK OA 6 . 2 3 2 Do đĩ IA OA2 OI 2 36 2 5 4 . Khối nĩn cần tìm cĩ bán kính đáy IA 4 , chiều cao OI 2 5 nên cĩ thể tích là: 1 1 1 32 5 V .S .h .IA2.OI .16.2 5 . 3 d 3 3 3 Câu 6. Người ta cần đổ một ống cống thốt nước hình trụ với chiều cao 2m , độ dày thành ống là 10cm . Đường kính ống tính cả phần thành ống là 50cm . Tính lượng bê tơng cần dùng để làm ra ống thốt nước đĩ? A. 0,18 m3 . B. 0,045 m3 . C. 0,5 m3 . D. 0,08 m3 . Lời giải: Chọn D Gọi R,r lần lượt là bán kính đáy của hình trụ lớn và hình trụ nhỏ R 0,25m và r 0,15m . 2 2 Thể tích hình trụ lớn là V1 .R .h 0,25 .2. 2 2 Thể tích hình trụ nhỏ là V2 .r .h . 0,15 .2 2 2 3 Lượng bê tơng cần dùng là V V1 V2 2 0,25 2 0,15 0,08 m . Câu 7. Cho tứ diện ABCD cĩ AD  DC, AC 2a , tam giác ABC vuơng cân tại B , gĩc D· AC 60o . Quay tứ diện quanh trục AC được một khối trịn xoay cĩ thể tích V . Chọn đáp án đúng.
17. 3 3 a3 2 a3 9 8 3 a 9 3 a A. V B. V C. V D. V 2 3 6 12 Lời giải: Chọn C A A D H M D N B' K B C C Ta quay tứ diện quanh trục AC và khi B quay đến vị trí B' cùng mặt phẳng với các điểm A,C, D khi đĩ ta cĩ hình vẽ bên. Tam giác ABC vuơng cân nên AB C vuơng cân cĩ AC 2a B K a, AK a, tam giác · o a 3 a ADC vuơng và gĩc DAC 60 DH , AH ; 2 2 Gọi M AB  CD, B· AC 45o AN MN NC MNcot·ACM MN 3 . 2a Mà AN NC AC AN AN 3 2a AN a 3 1 1 3 1 a3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AB ,CB quanh trục AC đều là: V AK. (KB )2 1 3 3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AM quanh trục AC là: 3 1 .AN 3 a 6 3 10 V AN. .AN 2 2 3 3 3 a3 11 6 3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi MB quanh trục AC là: V V V 3 1 2 3
18. 1 3 a3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi CD quanh trục AC là: V CH. .HD2 4 3 8 3 1 3 a 6 3 10 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi CM quanh trục AC là: V CM. .MN 2 5 3 3 a3 80 3 135 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi DM quanh trục AC là: V V V 6 4 5 24 1 a3 Thể tích khối trịn xoay sinh bởi AD quanh trục AC là: V .AH. .HD2 7 3 8 9 8 3 a3 Vậy V V V V V . 7 1 3 6 6 Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A , AB a 3 , BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng (BCC B ) một gĩc 30 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng: A B C A' B' C' A. 24 a2 . B. 6 a2 . C. 4 a2 . D. 3 a2 . Lời giải: Chọn B A B H M C R I A' B' M' C' Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC , B C . Dễ thấy trung điểm I của MM là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Kẻ AH vuơng gĩc BC (H BC) ·AC H ·AC ,(BCC B ) 30 .
19. 2 Ta cĩ: AC BC 2 AB2 2a 2 a 3 a . AB.AC a 3.a a 3 AH.BC AB.AC AH . BC 2a 2 a 3 AH Trong tam giác vuơng AHC , cĩ: AC 2 a 3 . sin30 1 2 2 Trong tam giác vuơng ACC , cĩ CC AC 2 AC 2 a 3 a2 a 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 CC BC a 2 2a 6 2 Bán kính R IB MI MB a 2 2 2 2 4 6a2 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 . 6 a2 . 4 Câu 9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại đỉnh B . Biết AB BC a 3 , S· AB S· CB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC . A. 3 . B. 8 a2 . C. 12 a2 . D. 2 a2 . Lời giải: Chọn C S H I D C A B Gọi D là hình chiếu của S trên ABCD . Do SA  AB DA  AB , và SC  CB DC  CB . Vậy suy ra ABCD là hình vuơng. Trong SCD kẻ DH  SC tại H . Ta cĩ AD // SBC d A, SBC d D, SBC DH . 1 1 1 Ta cĩ SD a 6 . Suy ra SB 2a 3 . DH 2 DC 2 SD2
20. SB Gọi I là trung điểm SB suy ra I là tâm mặt cầu và R a 3 . 2 Vậy diện tích mặt cầu bằng S 4 R2 12 a2 . Câu 10. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a , SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.CMN . a 29 a 29 a 37 5a 3 A. R . B. R . C. R . D. R . 8 8 6 12 Lời giải: Chọn B Gọi: - H là trung điểm của AD SH  ABCD . - I là trung điểm của MN I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CMN. - d là đường thẳng qua I và vuơng gĩc với mặt đáy. - E là hình chiếu của I lên AD. - O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S.CMN . - K là hình chiếu của O lên SH . Đặt OI x . 1 a 2 a2 Ta cĩ: CI MN ; OC IC 2 IO2 x2 ; 2 4 8 2 2 2 2 3a a a 10 KO HI IE EH ; 4 4 4 2 2 2 2 2 a 3 a 10 2 22a SO SK KO x x 3ax . 2 4 16