Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 7: Thể tích khối đa diện (Khối chóp)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 7: Thể tích khối đa diện (Khối chóp)

1. DẠNG TOÁN 7: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (KHỐI CHÓP) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Thể tích khối chóp 1 V B.h 3 Trong đó : B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. Chú ý: Một số các xác định chiều cao của hình chóp a) Hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy chiều cao chính là cạnh bên đó. b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy chiều cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh. c) Hình chóp đều chiều cao chính là đoạn nối từ đỉnh đến tâm của đa giác đáy. d) Hình chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy thì chiều cao chính là đoạn nối từ đỉnh đến hình chiếu. 2. Tỉ số thể tích Cho khối chóp S.ABC và A , B ,C là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có S C' A' B' C A B V SA SB SC S.ABC . . VS.A B C SA SB SC Chú ý : Phương pháp này chỉ áp dụng khi + Hai khối chóp cùng đỉnh. + Đáy 2 khối chóp phải là tam giác. + Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng 3. Công thức diện tích đa giác thường gặp a. Tam giác 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h S a.bSin C b.cSin A c.aSin B 2 a 2 b 2 c 2 2 2 1 Tam giác vuông tại A : S AB.AC 2
2. a 3 a2 3 Tam giác đều, cạnh a có : Chiều cao AH ; diện tích S . 2 4 b. Hình vuông cạnh a : S a2 . c. Hình chữ nhật : S a.b . 1 d. Hình thang : S a b .h , với a,b cạnh đáy và h chiều cao. 2 1 e. Hình thoi : S AC.BD AB.ADsin B· AD . 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy  Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.  Khối chóp đều  Sử dụng định lý tỉ số thể tích.  Tìm max, min. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho khối chóp có diện tích đáy B 3 và chiều cao h 4 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 6 .B. 12.C. 36 .D. 4 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích của khối chóp. 2. HƯỚNG GIẢI: 1 B1: Công thức thể tích khối chóp V B.h . 3 B2: Tính V . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: V B.h 4.3 4 . 3 3 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho khối chóp có diện tich đáy B 10 m2 và chiều cao h 6 m . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
3. A. 60 m3 .B. 20 m3 .C. 180 m3 .D. 30 m3 . Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: V B.h 10.6 20. 3 3 Câu 2. Cho khối chóp có thể tích V 12 và diện tích đáy B 6 . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng A. 6 .B. 72 . C. 24 . D. 36 . Lời giải Chọn A 1 3V 3.12 Ta có: V B.h h 6 . 3 B 6 Câu 3. Cho khối chóp có thể tích V 18 và chiều cao h 4 . Diện tích đáy của khối chóp đã cho bằng 27 3 A. .B. . C. 72 . D. 24 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 3V 3.18 27 Ta có: V B.h B . 3 h 4 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , ABC vuông cân tại A, SA BC a (như hình vẽ). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 a3 a3 A. V .B. V . C. V 2a3 .D. V . 12 4 2 Lời giải Chọn A
4. BC a 1 a2 Ta có AB nên S AB2 . 2 2 ABC 2 4 1 1 a2 a3 Thể tích khối chóp S.ABC là V SA.S .a. . 3 ABC 3 4 12 Câu 5. Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy và SA a 3 , AC a 2 (như hình vẽ). Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là S A B D C a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A. .B. .C. . D. . 3 2 3 2 Lời giải Chọn A Ta có ABCD là hình vuông có AC a 2 suy ra AB a . 1 1 a3 3 V SA.S a 3.a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3
5. Câu 6. Hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AB = 2a 3; AD = 2a . Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (như hình vẽ). Thể tích khối chóp S.ABD là S B C A D 2 3 A. a3 . B. 4 3a3 . C. 4a3 . D. 2 3a3 . 3 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB . Vì tam giác SAB đều nên SH  AB SH  ABCD và AB. 3 2a 3. 3 SH 3a . 2 2 1 1 1 Vậy, V SH.S .3a. .2a 3.2a 2a3 3 . S.ABD 3 ABD 3 2 Câu 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABD , tam giác ABD là tam giác đều và có cạnh bằng 2a (như hình vẽ). Tính thể tích của khối tứ diện ABCD . D C A B a3 3 a3 3 A. a3 2 . B. . C. a3 3 . D. . 3 9
6. Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB . Ta có DH  ABC và DH a 3 . ABC vuông cân tại C nên 2CA2 AB2 AC BC a 2 . 1 1 1 a3 3 Do đó V DH.S .a 3. .a 2.a 2 . ABCD 3 ABC 3 2 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình chiếu của S trên ABCD trùng 3a với trung điểm của cạnh AB; cạnh bên SD . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 2 S B C H A D a3 5 a3 3 a3 7 a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải: Chọn D Gọi H là trung điểm của AB .
7. 2 2 2 2 a a 5 Ta có: HD AD AH a . 2 4 2 2 2 2 3a 5a Xét tam giác SHD vuông tại D SH SD HD a . 2 2 1 1 a3 Vậy, V SH.S .a.a.a . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 9. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 14a3 14a3 2a3 2a3 A.V .B. V .C. V .D. V . 6 2 6 2 Lời giải Chọn A Gọi I AC  BD . Suy ra SO  ABCD . 2 2 2 2 a 2 a 14 Xét tam giác SOA vuông tại O có SO SA OA 2a . 2 2 1 1 a 14 a3 14 Vậy, V SO.S . .a.a . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 . Thể tích khối chóp S.ABC là
8. S B A C a3 3 a3 3 a3 5 a3 5 A. B. C. D. 6 12 6 12 Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của cạnh BC , H là tâm của tam giác ABC SH  ABC . a2 3 2 2 a 3 a 3 Diện tích tam giác ABC là S và AH .AI . . ABC 4 3 3 2 3 2 2 2 2 a 3 a 15 Xét tam giác vuông SHB có SH SA AH a 2 . 3 3 1 1 a 15 a2 3 a3 5 Vậy, V SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 3 4 12  Mức độ 2 Câu 1. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a , AD a 2 ; SA  ABCD , góc giữa SC và đáy bằng 60. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . A. 3 2a3 B. 3a3 C. 6a3 D. 2a3 Lời giải Chọn D
9. S A a 2 D a 60° B C 2 Ta có AC AB2 BC 2 a2 a 2 a 3 Vậy SA AC.tan S· CA a 3.tan 60 3a . Ngoài ra 2 SABCD a.a 2 a 2 1 1 nên V SA.S .3a.a2 2 a3 2 . S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết AB 4a và góc giữa mặt phẳng SBC và ABC bằng 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 2 1 8 2 2 A. V a3 B. V a3 C. V a3 D. V a3 2 6 3 6 Lời giải Chọn C SBC  ABC BC AC  BC suy ra góc giữa SBC và ABC là góc S· CA 45 . SC  BC 4a SA AC 2a 2 . 2 1 1 1 2 8a3 2 Thể tích khối chóp là V .SA.S .2a 2. . 2a 2 . 3 ABC 3 2 3
10. Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3a3 a3 A. V 3a3 B. V C. V a3 D. V 3 3 Lời giải Chọn C S A a 60° B a 3 D C 2 BC  AB Ta có: SABCD 3a ; BC  SB . BC  SA SBC  ABCD BC AB  BC suy ra góc giữa SBC và ABCD là góc S· BA 60 . SB  BC SA tan 60o SA AB.tan 60o a 3 . AB 1 1 Vậy, V S .SA a2 3.a 3 a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 2a , AD a . Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45. Thể tích khối chóp S.ABCD là 2 3 1 A. 2a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B
11. Gọi H là trung điểm của AB SH  AB SAB  ABCD Ta có SH  ABCD SH  AB BC  AB Ta có BC  SAB mà SAB  ABCD AB . BC  SH · SBC , ABCD ·HB,SB S· BH 45. 1 Mà HB AB a SH a 2 1 1 2a3 Vậy, V SH.S .a.2a.a . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C. Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 3 3 3 3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V a3 . 4 4 8 2 Lời giải Chọn C a a 300 Gọi H là trung điểm của AB SH  ABC ·SC , ABC ·SC , HC S· CH 30 . a 3 SAB đều cạnh a SH . 2
12. SH 3a Xét SCH vuông tại H CH . tan 30 2 1 1 3a 3a2 Diện tích tam giác ABC : S AB.CH a. . ABC 2 2 2 4 1 1 a 3 3a2 a3 3 Vậy, V SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 2 4 8 Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và ABCD bằng 60 . 3 3 A. VS.ABCD 18a 3 . B. VS.ABCD 9a 15 . 9a3 15 C. V . D. V 18a3 3 . S.ABCD 2 S.ABCD Lời giải Chọn C S A D H B C Gọi H là trung điểm của AB SH  ABCD . · Góc SC, ABCD ·SC, HC S· CH 60 . 3a 5 BHC vuông tại B có HC BC 2 BH 2 . 2 SHC vuông tại H có 3a 5 3a 15 SH HC.tan 60 . 3 2 2 1 1 3a 15 9a3 15 V S .SH .9a2. . 3 ABCD 3 2 2 Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC 2a , góc B· AC 120 , biết SA  ABC và mặt phẳng SBC hợp với đáy một góc 45. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
13. a3 a3 a3 A. . B. a3 2 .C. . D. . 2 9 3 Lời giải Chọn C S C A 450 M B + Trong tam giác cân ABC , kẻ AM  BC suy ra M là trung điểm BC . AM  BC Vì nên BC  SAM . SA  BC Góc giữa SBC và mặt đáy bằng S·AM 45 SA AM . BC BM a a + ABM có B· AM 60; BM a ; tan 60 AM SA . 2 AM 3 3 2 2 2 2 2 a 2 4a 2a AB AM BM a AB . 3 3 3 2 1 · 1 2a 3 2 S ABC AB.AC.sin BAC . sin120 a . 2 2 3 3 1 1 a 3 a2 Vậy, V SA.S . . a2 . SABC 3 ABC 3 3 3 9 Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 2a3 3 2a3 6 4a3 3 a3 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải. Chọn C
14. Gọi M là trung điểm BC S·MO 60 . SO Xét tam giác SMO vuông tại O có tan 60 SO OM.tan 60 a 3 . OM 1 1 4a3 3 Vậy, V SO.S .a 3.4a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 45. Thể tích hình chóp S.ABC là: a3 3 a3 a3 a3 3 A. B. C. D. 4 4 12 12 Lời giải Chọn C Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC . Biết AB a , AC a 3 , SA a 2 . Gọi M là trung điểm của SB , N là trung điểm cạnh SC 1 sao cho SN NC . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AMN . 3 a3 6 a3 6 a3 3 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 36 48 36 16 Lời giải
15. Chọn A 1 1 1 a3 6 Thể tích khối chóp S.ABC là V .a 2.S .a 2. a2 3 . SABC 3 ABC 3 2 6 SM 1 SN 1 M là trung điểm của SB nên và . SB 2 SC 4 3 VSAMN SA SM SN 1 1 1 1 a 6 Ta có: . . . . Suy ra: VSAMN VSABC . VSABC SA SB SC 2 4 8 8 48  Mức độ 3 Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Mặt phẳng MNCD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần S.MNCD và MNABCD . 3 3 3 A. . B. . C. . D. 1. 4 8 5 Lời giải: Chọn C S M N A D B C VS.MNC SM SN SC 1 1 1 1 1  . . . .1 VS.MNC VS.ABC VS.ABCD . VS.ABC SA SB SC 2 2 4 4 8 VS.MCD SM SC SD 1 1 1 1  . . .1.1 VS.MCD VS.ACD VS.ABCD VS.ACD SA SC SD 2 2 2 4
16. 3 5 VS.MNCD 3  VS.MNCD VS.MNC VS.MCD VS.ABCD VMNABCD VS.ABCD . 8 8 VMNABCD 5 3a2 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , AC a 2 , S và góc giữa đường thẳng ABCD 2 SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Tính theo a thể tích khối chóp H.ABCD . a3 6 a3 6 a3 6 3a3 6 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 8 Lời giải Chọn C S H A B a 2 60° D C ·SC, ABCD S· CA 60 . SA tan 60 SA a 6 . AC 1 1 3a2 a3 6 V SA.S .a 6. . S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 2 d S, ABCD SC SC.CH CA2 a 2 2 2 2 4. d H, ABCD HC CH CH 2 a 2 1 d H, ABCD .S V ABCD d H, ABCD 1 H .ABCD 3 . V 1 SA 4 S.ABCD SA.S 3 ABCD a3 6 V . H .ABCD 8 Câu 3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB 6a, AC 7a, AD 4a . Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC ,CD, DB . Tính thể tích V của tứ diện AMNP . 7a3 28a3 A. V . B. V 14a3 . C. V . D. V 7a3 . 3 3
17. Lời giải Chọn D B P M D A N C S BMP BM BP 1 1 . S BMP S BCD S BCD BC BD 4 4 S CMN CM CN 1 1 . S CMN S BCD S CBD CB CD 4 4 S DNP DN DP 1 1 . S DNP S BCD S DCB DC DB 4 4 1 S S S S S S MNP BCD BMP CMN DNP 4 BCD 1 d A, MNP S V MNP 1 AMNP 3 1 VABCD 4 d A, BCD S BCD 3 abc 6a.7a.4a V 28a3 . ABCD 6 6 V V ABCD 7a3 AMNP 4 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD . Biết AC a 2 , cạnh SC tạo với đáy góc bằng 3a2 60 và diện tích tứ giác ABCD bằng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC . 2 Tính thể tích khối H.ABCD . 3a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. B. C. D. 8 2 8 4 Lời giải Chọn C
18. S H D A I 60 B C Gọi I là hình chiếu của H lên ABCD , vì SAC  ABCD nên I AC . Ta có SA AC tan 60 a 6 . AS.AC a 6.a 2 a 6 Suy ra AH . AS 2 AC 2 a 8 2 6a2 a 2 Do đó HC AC 2 AH 2 2a2 . 4 2 a 6 a 2 . HA.HC a 6 Vì vậy HI 2 2 . AC a 2 4 1 1 a 6 3a2 a3 6 Từ đó suy ra V HI.S . . H .ABCD 3 ABCD 3 4 2 8 Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABC , tam giác ABC vuông tại C có AC a, ·ABC 30 . Mặt bên SAC và SBC cùng tạo với đáy góc bằng nhau và bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC theo a là a3 3a3 2a3 2a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2(1 5) 2(1 3) 1 3 2(1 2) Lời giải Chọn B S P A C H Q 30° B Theo đề SAB  ABC theo giao tuyến AB . Dựng SH  AB SH  SAB . AC ABC vuông nên tan30 BC a 3 . BC
19. 1 a2 3 S AC.BC (1) . ABC 2 2 Dựng HP  AC, HQ  BC S· PH S·QH · SAC , ABC · SBC , ABC 600 . SPH SQH HP HQ . HPCQ là hình vuông. Đặt HQ x,0 x a 3 QB a 3 x . QB a 3 HQB vuông nên tan 60 x 3 a 3 x x HQ . HQ 3 1 SH 3a SHQ vuông nên tan 60 SH (2) . HQ 3 1 3a3 Từ (1) và (2) : V . 2 3 1 Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy hợp với mặt bên một góc 45. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 128 2 32 2 64 2 64 2 A. . B. . C. . D. . 81 9 27 81 Lời giải Chọn D S A D E O B C . Đặt AB a . Gọi O là tâm ABCD , E là trung điểm AB . Khi đó SAB, ABCD SEO 45. a a2 a2 a 3 Suy ra SO OE và SA . 2 2 4 2 3a2 SA2 3a 4 2 Mà R 4 2 a . S.ABCD a 2SO 2. 4 3 2 1 1 2 2 32 64 2 Nên V SO.S . S.ABCD 3 ABCD 3 3 9 81 Câu 7. Cho tứ diện S.ABC có thể tích V . Gọi H, M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, BC,CA . Thể tích khối chóp H.MNP là:
20. 3 1 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 12 8 16 Lời giải Chọn C S H A P A C M P M N C B H' H N B . 1 Ta có: d H, ABC d S, ABC . 2 1 1 1 1 S MH .MP . AH. BC . MNP 2 2 2 2 1 .S . 4 ABC 1 Vậy VH .MNP S MNP .d H, MNP . 3 1 1 1 . S ABC . d S, ABC . 3 4 2 1 .V . 8 Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V 2 4 12 3 Lời giải: Chọn D S 60° A D B C 2 Ta có SABCD a .