Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 10: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 10: Tính đơn điệu của hàm số

1. DẠNG TOÁN 10: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K . 1. Định lí 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x 0,x K . b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' x 0,x K . 2. Định lí 2. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f nghịch biến trên K. c) Nếu f ' x 0,x K thì hàm số f không đổi trên K. Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f ' x 0,x a;b thì hàm số f đồng biến trên đoạn a;b . Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau: x a b f'(x) + f(b) f(x) f(a) 3. Định lí 3. (mở rộng của định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f ' x 0,x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f ' x 0,x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y f (x) trên tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm y f (x) . Bước 3: Tìm nghiệm của f (x) hoặc những giá trị x làm cho f (x) không xác định. Bước 4: Lập bảng biến thiên. Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. BÀI TẬP MẪU
2. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây: A. ( ; 1) . B. (0;1) . C. ( 1;0) . D. ( ;0) . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Dựa vào bảng biến thiên xác định khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Định lý: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên K. a) Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K. b) Nếu f x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x nghịch biến trên K. . 3. HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Trong khoảng từ ( 1;0) đạo hàm f x 0 với mọi x R nên hàm số đã cho nghịch biến. Dạng 1: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x , xét tính đơn điệu của hàm số f x . Câu 10.1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 .B. 1; . C. 0;1 .D. 1;0 .
3. Lời giải Chọn D Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên 1;0 . Câu 10.2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1  (1; ) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Lời giải Chọn D Từ BBT ta có : Hàm số đồng biến trên ; 1 A sai. Hàm số đồng biến trên ; 1 và 1; B sai. Hàm số nghịch biến trên 1;1 C sai. Hàm số đồng biến trên 1; D đúng . Câu 10.3. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2 .
4. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; . Lời giải Chọn D Từ BBT ta có : Hàm số đồng biến trên ; 1 A sai . Hàm số nghịch biến trên 1;2 B sai , C sai . Hàm số đồng biến trên hàm số đồng biến trên 2; nên hàm số đồng biến trên(3;+ ¥ )Þ D đúng . Câu 10.4. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (- 2;+ ¥ ) và (- ¥ ;- 2). B. Hàm số đã cho đồng biến trên (- ¥ ;- 1)È(- 1;2). C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2). D. Hàm số đã cho đồng biến trên (- 2;2). Lời giải Chọn C Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1;2) nên A, B, D sai và C đúng . Câu 10.5. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
5. æ 1ö A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ç- ¥ ;- ÷ và (3;+ ¥ ). èç 2ø÷ æ 1 ö B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ç- ;+ ¥ ÷. èç 2 ø÷ C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+ ¥ ). D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (- ¥ ;3). Lời giải Chọn C æ 1ö æ 1 ö Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên ç- ¥ ;- ÷ và ç- ;3÷ , hàm số nghịch biến trên (3;+ ¥ ) èç 2ø÷ èç 2 ø÷ nên A, B, D sai và C đúng. Câu 10.6. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? A. 2;0 .B. ; 2 .C. 2; .D. 0; . Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 .
6. Câu 10.7. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. ( ; ) .B. 2; .C. 1;2 .D. 1;2 . Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 10.8. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? A. 2;3 .B. ;2 .C. 1;2 .D. 3; . Lời giải Chọn A Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 . Câu 10.9. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
7. A. 2;3 .B. ;2 .C. 1;2 .D. 2; . Lời giải Chọn C Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 10.10. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. 1; .B. ;1 .C. 1; . D. 1;1 . Lời giải Chọn C Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Dạng 2: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f ' x , xét tính đơn điệu của hàm số f x . Câu 10.11. Cho hàm số f x xác định trên ¡ , bảng biến thiên của hàm số y f x như sau.
8. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0; . Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trong khoảng 0;1 đồ thị hàm số y f x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . Câu 10.12. Cho hàm số f x xác định trên ¡ , bảng biến thiên của hàm số y f x như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1; . Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trong khoảng 1; đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1; . Câu 10.13. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số
9. y f ' x có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng ;0 . D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; . Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trong khoảng 0; đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; . Câu 10.14. Cho hàm số f x liên tục và xác định trên ¡ . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên 1; . B. Hàm số f x đồng biến trên ; 1 và 3; . C. Hàm số f x nghịch biến trên ; 1 . D. Hàm số f x đồng biến trên ; 1  3; . Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trên khoảng ; 1 và 3; đồ thị hàm số f ' x nằm phía trên trục hoành. Nên hàm số f x đồng biến trên ; 1 và 3; . Câu 10.15. Cho hàm số f (x)= ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (a ¹ 0). Biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm là f '(x)
10. 0 và hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như hình bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? A. Trên (- 2;1) thì hàm số f (x) luôn tăng. B. Hàm f (x) giảm trên đoạn [- 1;1]. C. Hàm f (x) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ). D. Hàm f (x) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2) Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trên khoảng [- 1;1] đồ thị hàm số f '(x) nằm phía trên trục hoành. Hàm f (x) đồng biến trên đoạn [- 1;1]. Câu 10.16. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số f (x) có bảng biến thiên sau:
11. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 10.17. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta thấy -Trên ;2 : f (x) 0 nên hàm số nghịch biến trên ;2 . - Trên 2; : f (x) 0 nên hàm số đồng biến trên 2; . Câu 10.18. Cho hàm số y f x có đồ thị f ' x như hình vẽ bên dưới. Hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến? A. 3 . B. 1.C. 4 D. 2 . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta thấy -Trên ;a : f (x) 0 nên hàm số nghịch biến trên ;a .
12. - Trên a;b : f (x) 0 nên hàm số đồng biến trên a;b . -Trên b;c : f (x) 0 nên hàm số nghịch biến trên b;c . -Trên c; : f (x) 0 nên hàm số đồng biến trên c; . Suy ra hàm số có hai khoảng nghịch biến. Câu 10.19. Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? A. 1;3 . B. ;3 . C. 1;1 . D. 3; . Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có bảng biến thiên sau: Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 . Câu 10.20. Hàm số f x có đạo hàm f ' x trên ¡ . Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f ' x trên ¡ . Chọn đáp án đúng. A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 .
13. C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;2 . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số f (x) ta có bảng biến thiên sau: Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Dạng 3: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x , xét tính đơn điệu của hàm số y f x , y f x , y f x Câu 10.21. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f ' x như hình vẽ. Hàm số g x f x đồng biến trên khoảng nào sau đây ? A. 1;3 . B. 3;4 . C. 2;4 . D. 4; . Lời giải Chọn B Ta có g x f x g ' x f ' x . g ' x 0 f ' x 0. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng 3;4 thì f ' x 0 Vậy đáp án đúng là: B. Câu 10.22. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
14. Hàm số g x f x nghịch biến trên khoảng nào? A. ; 1 . B. 1;0 .C. 1; .D. 0; . Lời giải Chọn A Ta có g x f x g ' x f ' x . g ' x 0 f ' x 0. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng ; 1 thì f ' x 0 Vậy đáp án đúng là: A. Câu 10.23. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Hàm số g x f x đồng biến trên khoảng nào? A. ; 1 .B. 1;1 .C. 1;2 .D. 0; 1 . Lời giải Chọn C Ta có g x f x g ' x f ' x . g ' x 0 f ' x 0. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng 1; thì f ' x 0 . Tập hợp 1;2  1; Vậy đáp án đúng là: C. Câu 10.24. Cho hàm số f (x)có bảng biến thiên Mệnh đề nào sau đây đúng. A. Hàm số f (x)nghịch biến trên (- 2;1).
15. B. Hàm số y f x đồng biến trên (- 1;3). C. Hàm số y f x đồng biến trên (1;2). D. Hàm số y = f (x)đồng biến trên (- ¥ ;2). Lời giải Chọn C Ta có g x f x g ' x f ' x . g ' x 0 f ' x 0 và g ' x 0 f ' x 0. Theo bảng biến thiên ta có trên khoảng ; 1  0;1 thì f ' x 0 và 1;0  1; thì f ' x 0 . Vậy đáp án đúng là: C. Câu 10.25. Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 1;1 .B. 2;1 .C. 1;2 .D. 0; 1 . Lời giải Chọn C Hàm số y f x nghịch biến trên K hàm số y f x đồng biến trên K . Vậy đáp án đúng là đáp án C. Câu 10.26. Cho hàm số y x3 3x2 2 có bảng biến thiên như sau: x - ∞ 0 2 + ∞ y' + 0 - 0 + y 2 + ∞ - ∞ -2 Khi đó hàm số y x3 3x2 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 0;2 .B. ;0 .C. 0;1 .D. 2;2 . Lời giải Chọn C. x 1 3 2 Ta có x 3x 2 0 x 1 3
16. Nên ta có bảng biến thiên của hàm số y x3 3x2 2 như sau: x - ∞ 1 - 3 0 1 2 1 + 3 + ∞ y' - + 0 - 0 + 0 - + + ∞ 2 2 + ∞ y 0 0 0 Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến thên các khoảng ;1 3 ; 0;1 ; 2;1 3 . Vậy đáp án C đúng. Câu 10.27. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ¡ \ 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: x - ∞ 1 + ∞ y' - - 1 + ∞ y - ∞ 1 Khi đó hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 .B. ;1 .C. 1; .D. ¡ \ 1. Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta suy ra, hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1; . Vậy chọn đáp án C. Câu 10.28. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: x - ∞ - 1 0 1 + ∞ y' - 0 + 0 - 0 + + ∞ - 3 + ∞ y - 4 - 4 Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau về hàm số y f x ? A. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1;0 . B. Hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 0;1 . C. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 1 D. Hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Lời giải Chọn C Suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x là:
17. Từ bảng biến thiên của hàm số , suy ra phát biểu C là sai. Câu 10.29. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai? i) Hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0;1 . ii) Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 3; . iii) Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ;0 . iv) Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . A. 4 .B. 2 .C. 3.D. 1. Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: x - ∞ - 1 0 1 + ∞ y' + - 0 + - + ∞ + ∞ + ∞ + ∞ y 1 0 1 Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta suy ra: - Hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 suy ra khẳng định i) đúng - Hàm số y f x nghịch biến trên các khoảng 1;0 và 1; suy ra khẳng định ii) đúng - Khẳng định iii) và khẳng định iv) sai Vậy có 2 khẳng định sai trong 4 khẳng định trên. Vậy chọn đáp án B. Câu 10.30. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: Số các khoảng nghịch biến của hàm số y f x là? A. 4 .B. 2 .C. 3.D. 1. Lời giải Chọn C
18. Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x là: x - ∞ x0 - 1 0 1 x1 + ∞ y' - + 0 - 0 + 0 - + + ∞ 2 2 + ∞ y 0 1 0 (trong đó x0 ,x1 là nghiệm của phương trình f x 0 ). Từ bảng biến thiên của hàm số y f x , suy ra hàm số y f x nghịch biến trên các khoảng ; x0 , 1;0 và 1; x1 hay hàm số y f x nghịch biến trên 3 khoảng. Vậy chọn đáp án C. Dạng 4: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x , g(x) , xét tính đơn điệu của hàm số y f x g(x), y f x .g(x) Câu 10.31. Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x g x nghịch biến trên khoảng nào? A. ;0 . B. 1;1 . C. 0;1 . D. 0; . Lời giải Chọn C Ta có Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn 0;1 . Hàm số y g x nghịch biến trên đoạn 0;1 y f x g x nghịch biến trên 0;1 . Câu 10.32. Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x g x đồng biến trên khoảng nào?
19. A. ;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 1; . Lời giải Chọn C Ta có Hàm số y f x đồng biến trên đoạn 0;1 . Hàm số y g x đồng biến trên đoạn 0;1 y f x g x đồng biến trên 0;1 . Câu 10.33. Cho hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x .g x đồng biến trên khoảng nào? A. ;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 1; . Lời giải Chọn C Ta có Hàm số y f x đồng biến và f x 0 trên đoạn 0;1 .
20. Hàm số y g x đồng biến và g x 0 trên đoạn 0;1 . y f x .g x đồng biến trên 0;1 . Câu 10.34. Cho hai hàm số f x và g x có đồ thị như hình vẽ sau Hàm số y f x g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây: A. ;1 . B. 1; . C. 0;2 . D. 0;1 . Lời giải Chọn D Vì f x và g x đều nghịch biến trên 0;1 nên y f x g x cũng nghịch biến trên 0;1 . Câu 10.35. Cho hai hàm số f x và g x có đồ thị như hình vẽ sau Hàm số y 2 f x g x đồng biến trên khoảng nào sau đây: A. 1;1 . B. 1;0 . C. 1;2 . D. 1; . Lời giải Chọn B Vì f x và g x đều đồng biến trên 1;0 nên y 2 f x g x cũng đồng biến trên 1;0 . Câu 10.36. Cho hai hàm số f x và g x có đồ thị như hình vẽ sau