Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 9: Diện tích mặt cầu

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 9: Diện tích mặt cầu

1. DẠNG TOÁN 9: DIỆN TÍCH MẶT CẦU I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính R 1. Diện tích mặt cầu Công thức S 4 R2. 2. Thể tích khối cầu 4 Công thức V R3. 3 3. Giao của mặt cầu với đường thẳng Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d I; R . Đường thẳng cắt mặt cầu (S) tâm I có bán kính R tại hai điểm AB . Khi đó ta có AB2 R2 d 2 I; 4 4. Giao của mặt cầu với mặt phẳng Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d I;(P) R . Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I theo giao tuyến là hình tròn tâm H bán kính R . Khi đó ta có R2 d 2 I;(P) R 2 . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính bán kính khối cầu  Tính diện tích mặt cầu  Tính thể tích khối cầu  Bài toán liên quan thiết diện, dây cung  Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp đa diện  Toán Max-Min liên quan khối cầu  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho mặt cầu có bán kính R 2 . Diện tích mặt cầu đó bằng
2. 32 A. .B. 8 .C. 16 .D. 4 . 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tính diện tích mặt cầu 2. HƯỚNG GIẢI: Diện tích mặt cầu: S 4 R2. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 22 16 . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho mặt cầu có bán kính R 1. Diện tích mặt cầu đó bằng 4 A. 2 . B. 4 C. 4 2 . D. . . 3 Lời giải Chọn B Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 12 4 . Câu 2. Cho mặt cầu có diện tích bằng 20 . Bán kính mặt cầu đó bằng 5 5 A. . B. 5 . C. 5 . D. . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có S 4 R2 20 R2 5 R 5 . Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính R 3. Thể tích mặt cầu đó bằng 81 4 A. 9 . B. C. 36 . D. . 4 . 3 Lời giải Chọn C 4 4 Thể tích khối cầu: S R3 33 36 . 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu có diện tích bằng 20 . Thể tích mặt cầu đó bằng 20 3 5 20 5 A. . B. 20 5 . C. . D. . 3 100 3 Lời giải
3. Chọn D Ta có 4 R2 20 R2 5 R 5 . 4 4 3 20 5 Thể tích khối cầu: S R3 5 . 3 3 3 4 Câu 5. Cho mặt cầu có thể tích bằng . Bán kính mặt cầu đó bằng 3 3 A. . B. 1. C. 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B 4 4 Thể tích khối cầu: R3 R3 1 R 1 3 3 4 Câu 6. Cho mặt cầu có thể tích bằng . Diện tích mặt cầu đó bằng 3 4 A. 2 . B. 4 C. 4 2 . D. . . 3 Lời giải Chọn B 4 4 Thể tích khối cầu: R3 R3 1 R 1 3 3 Diện tích mặt cầu: S 4 R2 4 12 4 . Câu 7. Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a . Tính diện tích mặt cầu đó theo a . 2 2 2 32 a A. 4 a . B. 4 . C. 4 a . D. . 3 Lời giải Chọn A d Ta có R a suy ra S 4 R2 4 a2 . 2 Câu 8. Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a . Tính thể tích mặt cầu đó theo a . 3 3 3 4 a 4 a A. a . B. 4 a . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn C d 4 R3 4 a3 Ta có R a suy ra V . 2 3 3
4. 16 Câu 9. Cho mặt cầu có thể tích . Tính đường kính mặt cầu đã cho. 3 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn C 4 R3 32 Ta có R 2 . Đường kính mặt cầu là d 2R 4 . 3 3 Câu 10. Cho mặt cầu có bán kính R 3. Diện tích hình tròn qua tâm bằng A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 9 . Lời giải Chọn D Hình tròn qua tâm có bán kính bằng R 3 nên có diện tích S R2 32 9 .  Mức độ 2 Câu 1. Cho mặt cầu tâm I có bán kính R 5. Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB 6. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn B AB2 62 Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d là d I; AB R2 52 4 . 4 4 Câu 2. Cho mặt cầu (S) có tâm I một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính diện tích mặt cầu (S) . A. 8 . B. 28 . C. 100 . D. 100. Lời giải Chọn C AB2 62 Bán kính mặt cầu R d 2 I; AB 42 5 . 4 4 Diện tích mặt cầu là 4 R2 4 52 100 . Câu 3. Cho mặt cầu (S) một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính thể tích khối cầu. 28 100 100 A. . B. 100 . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D AB2 62 Bán kính mặt cầu R d 2 I; AB 42 5 . 4 4
5. 4 4 100 Thể tích khối cầu là R2 52 . 3 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu (S) một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính chu vi đường tròn lớn của mặt cầu (S) . A. 10 . B. 20 . C. 7 . D. 2 . Lời giải Chọn A AB2 62 Bán kính mặt cầu R d 2 I; AB 42 5 . 4 4 Đường tròn lớn là đường tròn đi qua tâm nên có bán kính bằng R . Chu vi đường tròn lớn cầu là 2 R 2 5 10 . Câu 5. Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng 4. Tính diện tích hình tròn trên. 2 A. 3 . B. . C. 9 . D. 9 . Lời giải Chọn C Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R R2 d 2 I;(P) 52 42 3. Diện tích hình tròn thiết diện là R2 32 9 . Câu 6. Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng 3. Tính chu vi hình tròn trên. A. 8 . B. 8 . C. 4 . D. 2 34 . Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R R2 d 2 I;(P) 52 32 4 . Chu vi hình tròn thiết diện là 2 R 2 4 8 . Câu 7. Cho mặt cầu (S) và một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng 4 và bán kính hình tròn thiết diện bằng 3. Tính diện tích mặt cầu (S) . A. 120 . B. 50 . C. 100 . D. 28 . Lời giải Chọn C Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện khi đó R 3 . Ta có R d 2 I;(P) R 2 42 32 5. Diện tích mặt cầu là 4 R2 4 52 100 .
6. Câu 8. Cho mặt cầu (S) và một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng 4 và bán kính hình tròn thiết diện bằng 3. Tính thể tích khối cầu (S) . 100 100 28 A. . B. 100 . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện khi đó R 3 . Ta có R d 2 I;(P) R 2 42 32 5. 4 4 100 Thể tích khối cầu là R2 52 . 3 3 3 Câu 9. Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho sao cho khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 3. Độ dài dây cung AB bằng A. 8 . B. 6 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của AB , khi đó ta có IM 3. MA MB R2 IM 2 52 32 4 . Độ dài dây cung AB 2MA 8. Câu 10. Cho mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến (P) bằng 3. Tính đường kính của hình tròn thiết diện A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D Gọi R là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R R2 d 2 I;(P) 52 32 4 . Đường kính của hình tròn thiết diện là d 2R 8 .  Mức độ 3 Câu 1. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA a, AB b, AC c . Tính bán kính của mặt cầu đi qua các điểm và A, B,C và S . A. R a2 b2 c2 . B. R 2 a2 b2 c2 . 1 2 C. R a2 b2 c2 . D. R a2 b2 c2 . 2 3 Lời giải Chọn C
7. S N I A C H B Gọi H là trung điểm của BC H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi là trục của đường tròn đáy, đường trung trực của SA nằm trong mặt phẳng SAH cắt tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 2 2 2 2 a b c 1 2 2 2 Bán kính của hình chóp là R IB IH HB a b c . 2 4 2 Câu 2. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc nhau và OA a,OB 2a,OC 3a . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . A. S 8 a2 . B. S 14 a2 .C. S 12 a2 . D. S 10 a2 . Lời giải Chọn B A d M I 3a O C 2a N B Gọi N là trung điểm BC N là tâm đường tròn ngoại tiếp OBC . Qua N dựng đường thẳng d vuông góc với OBC d là trục của đáy. Xét mặt phẳng chứa d và OA dựng đường trung trưc của OA ( M là trung điểm OA ) cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diệnOABC . a Ta có: OM NI 2 Xét OBC có BC 2 OB2 OC 2 2a 2 3a 2 13a2 BC a 13 .
8. 1 1 ON BC a 13 . 2 2 1 13 14 14 Xét SOI : IO2 ON 2 NI 2 a2 a2 a2 OI 2 a2 R2 . 4 4 4 4 14 Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp là : S 4 R2 4 a2 14 a2 . xq 4 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB 3a, BC 4a, SA 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 5a 17a 13a A. R .B. R .C. R .D. R 6a . 2 2 2 Lời giải Chọn C 2 2 AC 3a 4a 5a Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có bán kính đáy là: R . d 2 2 2 Đường cao SA 12a . 2 2 2 SA 2 12a 5a 13a Ta có bán kính mặt cầu là : R Rd . 2 2 2 2 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA a 2. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 32 a3 4 a3 4 2a3 A. V .B. V .C. V 4 a3 . D. V . 3 3 3 Lời giải Chọn B AC a 2 Vì ABCD là hình vuông nên ta có bán kính đáy là: R . d 2 2 Đường cao SA a 2 . 2 2 2 SA a 2 a 2 Ta có bán kính mặt cầu là : R R2 a . d 2 2 2 4 a3 Thể tích khối cầu là V . 3 Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a , cạnh bên SC 2a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 2a 3 a 13 A. R . B. R 3a . C. R . D. R 2a . 3 2 Lời giải Chọn D
9. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có AO MI a 3 R AI AM 2 MI 2 2a . Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại A , AB 3, AC 4, SA vuông góc với đáy, SA 2 14 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 169 729 2197 13 A. R . B. R .C. R .D. R . 6 6 8 8 Lời giải Chọn B Gọi O là trung điểm cạnh BC O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 1 1 5 9 Ta có AO BC 32 42 R AI AM 2 MI 2 . 2 2 2 2 4 243 729 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V R3 . 3 2 6 Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45o . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
10. A. S 4 a2 . B. S 6 a2 .C. S 8 a2 .D. S 12 a2 . Lời giải Chọn A Gọi O là giao điểm của AC và BD O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45o suy ra tam giác SAC vuông cân tại A suy ra SA AC a 2 1 a 2 AO AC R AI AM 2 MI 2 a . 2 2 Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: S 4 R2 4 a2 . Câu 8. Hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC vuông cân tại B , AB a và góc giữa SC với ABC bằng 45. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 3 a 2 A. R . B. R a 2 .C. R .D. R a . 2 2 Lời giải Chọn D
11. S I N 45° A M C B Gọi ; N , M , I lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AC, SC . Ta có: IM // SA IM  ( ABC) , mà M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA IB IC 1 . NI // AC NI  SA NI là đường trung trực của SA nên IA IS 2 . Từ 1 và 2 suy ra: IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . · Góc giữa đường thẳng SC và đáy là: SCA 45 tam giác SAC vuông cân tại A . 2 2 Ta có: tứ giác ANIM là hình vuông IA 2AM AC AB 2 a . 2 2 Bán kính mặt cầu: R IA a . Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA  ABC , góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . 43 43 43 43 A. S . B. S .C. S .D. S . 48 36 4 12 Lời giải Chọn D S Δ N d I A C G P M B Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi là đường thẳng đi qua G và vuông góc với ABC , d là đường thẳng đi qua trung điểm N của SA và vuông góc với SA . Gọi I d  . Ta có: IG là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA IB IC 1 . NI là đường trung trực của SA nên IA IS 2 . Từ 1 và 2 suy ra: IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
12. · Góc giữa SBC và đáy là: SMA 60. 3 3 Xét tam giác SAM vuông tại A : SA AM.tan 60 . 3 . 2 2 2 2 3 3 Xét tam giác ABC : AG AM . . 3 3 2 3 2 2 9 1 43 Ta có: tứ giác ANIG là hình chữ nhật IA AN AG . 16 3 4 3 43 2 43 Bán kính mặt cầu: R IA . Diện tích mặt cầu: S 4 R . 4 3 12 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC 7a , SA a 7 và SA (ABCD). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 7a A. R a 56 . B. R a 14 .C. R a 7 .D. R . 2 Lời giải Chọn B S I A B O D C Gọi I là trung điểm cạnh SC . Dễ thấy: SA  (ABCD) SA  AC BC  (SAB) BC  SB CD  (SAD) CD  SD Như vậy các điểm A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I là trung điểm SC và bán kính : SC SA2 AC 2 (7a)2 ( 7 a)2 R 14a . 2 2 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD và AB a 2 . Biết tam giác BCD có BC a, BD a 3 và C·BD 30 . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 6 a3 3 6 a3 6 a3 A. V . B. V .C. V .D. V 6 a3 . 3 4 2 Lời giải Chọn D
13. A J O D B I C • Tìm O là tâm của mặt cầu. Gọi I là tâm đáy BCD . + Dựng trục của đáy: d qua I , vuông góc BCD . Vì AB  BCD AB / /d . + Gọi J là trung điểm AB . Qua J vẽ đường thẳng / /BI là trung trực AB . + d  O O là tâm của mặt cầu. • Chứng minh: + Vì O d là trục của đáy OD OB OC 1 + O trung trực của AB OA OB 2 . Từ (1) và (2) OA OB OC OD O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCD . Ta có: 2 2 + AB 2a ; BI R đáy + CD2 BC 2 BD2 2BD.BC.cosCBD a2 3a2 2.a.a 3.cos30 a2 CD a . + Áp dụng định lý sin vào tam giác BCD ta có: CD CD a 2R đáy R đáy a . sin CBD 2sin CBD 2.sin 30 Trong tam giác vuông BOJ có: 2 2 2 2 2 2 2 2 AB 2 AB 2 2a 2 6a a 6 R cầu = OB JB JO OB BI BI a 2 4 4 4 2 thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : 4 4 6a2 a 6 V R3 . . a3 6 . 3 3 4 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tại A và B, AB BC a và AD 2a , SA  ABCD và SA a 2. Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK  SD tại K. Tính bán kính của mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B,C, E, K. a a 6 a 3 A. R . B. R a. C. R . D. R . 2 2 2
14. Lời giải Chọn B Gọi O là tâm hình vuông ABCE.TừO kẻOI // SA. Suy ra I là trung điểm SC. 2 2 Ta có : SAC, SC a 2 a 2 2a. 2a 6 SC 2 SD2 CD2 6 SD a 6, SK ,CD a 2, SI a; SCD,cosC·SD . 3 2.SC.SD 3 SCD, IK SI 2 SK 2 2.SI.SK.cosC·SD SI 2 SK 2 2.SI.SK.cosC·SD a . SC Mặt khác I.ABCE là hình chóp đều nên IA IB IC IE IK a. 2 Vậy hình chóp K.ABCE ngoại tiếp mặt cầu tâm I bán kính R a. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABC , AB 1, AC 2 và B·AC 60. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu A trên B, SB, SC. Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B,C, M , N. 2 3 4 A. R 2. B. R . C. R . D. R 1. 3 3 Lời giải Chọn D
15. · Vì ABC có AB 1, AC 2, BAC 60 nên ABC là tam giác vuông tại B. AC Gọi I là trung điểm AC. Ta có IA IB IC 1. 2 BC  AB   BC  SAB BC  AM Mặt khác: BC  SA   AM  SBC AM  MC. AM  SB  AC Vì AMC là tam giác vuông tại M nên IA IC IM 1. 2 AC Tương tự ANC là tam giác vuông tại N nên IA IC IN 1. 2 Vậy hình chóp M.ABCN ngoại tiếp mặt cầu tâm I bán kính R 1. Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có AB a , góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng AA ' B ' B bằng 30 . Gọi H là trung điểm của AB . Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC . a 3 a 2 a 6 a 30 A. R . B. R .C. R . D. R . 6 2 6 6 Lời giải Chọn D Vì CH  AA ' B ' B nên góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng AA ' B ' B là H·A'C 30. HC a 3 3a A' H  3 ;AA ' A' H 2 AH 2 a 2 . tan 30 2 2 Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC . Dựng qua G và  ABC . Gọi N là trung điểm của AA'. Dựng trung trực ' của AA '. Gọi O  ' . Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC . AA' a 2 a 3 OG ; GC . 2 2 3 2 2 2 2 a 3 a 2 a 30 Bán kính của mặt cầu là R OC OG GC . 3 2 6 Câu 15. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a, BC a 3 và SA a 2, SB a 2, SC a 5 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
16. a 259 a 259 a 259 a 37 A. R . B. R .C. R .D. R . 7 14 2 14 Lời giải Chọn B Do SC 2 BC 2 SB2 nên tam giác SBC vuông tại B. Có tam giác ABC vuông tại B . Suy ra BC  SAB . Gọi H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Dựng qua H và  SAB . Gọi M là trung điểm của BC . Dựng trung trực ' của BC . Gọi O  ' . Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC là R BO . Diện tích của tam giác SAB là SA SB AB SA SB AB SA SB AB SA SB AB a2 7 SSAB AB SA SB 2 2 2 2 4 SA.SB.AB 2a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là R BH . 4.SSAB 7 2 2 2 2 2a a 3 a 259 R BO BH HO . 7 2 14 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. a 21 a 5 a 30 a 30 A. R . B. R . C. R . D. R . 6 2 6 3 Lời giải Chọn A
17. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy suy ra SH  ABCD . * Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD - GọiO là tâm hình vuông ABCD . Từ O dựng đường thẳng  ABCD . - GọiG là trọng tâm tam giác SAB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Từ G dựng đường thẳng d  SAB . - Gọi I d  . Suy ra IA IB IC ID IS. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. * Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 1 a 2 a 3 1 a 3 Ta có AC a 2,OC AC , SH ,OI GH SH . 2 2 2 3 6 Ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 2 2 2 2 a 3 a 2 a 21 R IO OC . 6 2 6 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều mà SAB vuông góc với ABCD . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 7 24 5 30 2 7 21 A. V a3. B. V a3. C. V a3. D. V a3. 24 27 3 54 Lời giải Chọn D
18. Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy suy ra SH  ABCD . * Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD - GọiO là tâm hình vuông ABCD . Từ O dựng đường thẳng  ABCD . - GọiG là trọng tâm tam giác SAB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Từ G dựng đường thẳng d  SAB . - Gọi I d  . Suy ra IA IB IC ID IS. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. * Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a 3 1 a 3 Ta có SH ,OI GH SH . 2 3 6 Ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 2 2 2 2 a 3 a 2 a 21 R IO OC . 6 2 6 Vậy thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là 3 4 3 4 a 21 7 21 3 V R a . 3 3 6 54 Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . 2a 2 3a 2 3a 3 2a 3 A. R . B. R .C. R .D. R . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D a 3 Gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều cạnh bằng a SM  AB, SM . 2 Ta có SAB  ABCD , SAB  ABCD AB SM  ABCD .
19. Gọi O AC  BD , vì ABCD là hình chữ nhật nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ AC 1 1 2 a 5 nhật ABCD , OA AD2 CD2 2a a2 . 2 2 2 2 Dựng đi qua O và / / SM  ABCD là trục của hình chữ nhật ABCD . OM  AB Ta có OM  SAB . OM  SM Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, vì SAB đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . Trong mặt phẳng SM , , dựng GI / / OM I GI  SAB GI là trục của SAB . IA IB IS 1 . Mà I IA IB IC ID 2 . Từ 1 và 2 IA IB IC ID IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD , bán kính R IA. 1 a 3 Ta có IOMG là hình chữ nhật OI MG SM . 3 6 2 2 2 2 a 3 a 5 2a 3 Trong tam giác IOA vuông tại O, có IA OI OA . 6 2 3 2a 3 Vậy R . 3 Câu 19. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. a 2a a 3 4a A. R  B. R  C. R  D. R  3 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi O , M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và trung điểm SA . Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SO tại I .
20. Dễ thấy I là giao điểm của trục SO và mặt phẳng trung trực của cạnh SA , nên I cách đều các đỉnh S, A, B,C . Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và có bán kính là R SI . AO 2a 3 Trong tam giác vuông SOA có: SA ; SO AO.tan 60o a . cos60o 3 Ta có: SMI : SOA . SM SI SM.SA SA2 12a2 2 Suy ra: SI SI SI . Vậy R a . SO SA SO 2SO 9.2a 3 Câu 20. Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R 1, tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất. 3 6 6 3 6 3 3 6 A. r , h B. r , h C. r , h D. r , h 2 2 2 2 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h2 r 2 R2 0 h R 1 r 2 1 h2 . 3 Thể tích khối trụ là: V r 2h (1 h2 )h f (h) f (h) (1 3h2 ) 0 h . 3 2 3 6 3 Vậy: MaxV (đvtt) khi r và h . 0;1 9 3 3