Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 47: Tiệm cận của đồ thị hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 47: Tiệm cận của đồ thị hàm số

1. DẠNG TOÁN 47: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (CHƯA CÓ PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ) BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Xét các số thục dương a,b, x, y thỏa mãn a 1,b 1 và a x b y ab. Giá trị nhỏ nhất của biều thức P x 2y thuộc tập hợp nào dưới đây? 5 5 A. (1;2) B. 2; C. [3;4) D. ;3 2 2 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI: B1:Tính giới hạn của hàm số tại và B2:Kết quả giới hạn là1, suy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 1 Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ \ 1 . 2 2 x 1 1 x 2 x Ta có lim lim lim x 1 y 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 ey ex Câu 1. Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho y x ex x y e y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 4y . A. 0 . B. 2 .C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Cách 1.
2. y x y x x x e y y e x x e y y e Ta có: y e x e ln y e ln x e x y x ln y xe y y ln x yex (*) (vì y ex ln x có ln x ex ln y e y 1 y ' ex 0;x 1 nên y y 1 e 0 ) x t ln t et 1 tet Xét hàm số: f t t trên 1; ta có f ' t 2 . Với hàm số ln t e ln t et 1 g t lnt et 1 tet có g ' t ln t et 1 tet ' tet 0,t 1 t Nên g t g 1 1 f ' t 0;t 1 y f t là hàm nghịch biến trên 1; nên với (*) f x f y y x 1 Khi đó P x2 4y x2 4x 4,x 1 Dấu “=” xảy ra khi: x 2. Vậy: Pmin 4 khi: x y 2. Câu 2. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn log x log 20y 1 log x 16y3 . Giá trị nhỏ nhất của P log2 x log2 2y là A. 1. B. 2 .C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Theo bài ra ta có log x log 20y 1 log x 16y3 log x 1 log 2y 1 log x 16y3 log 2xy log x 16y3 2xy x 16y3 16y3 x 2y 1 16y3 0 2y 1 0 x 2y 1 x 8y2 2 2 cauchy 2 4y 2 4y 2 4 2 4y 2 4 8 2y 2y 1 2y 1 2y 1 2y 1 x P log x log 2y log log 8 3 2 2 2 2y 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi 2y 1 1 y 1, x 16 Câu 3. Cho x, y là hai số dương thỏa mãn ln x 1 ln y ln x2 2x y 1 . Giá trị nhỏ nhất của x y là: A. 2 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A
3. Theo bài ra ta có ln x 1 y ln x 1 2 y . ln x 1 y ln x 1 2 y . x 1 y x 1 2 y xy x 1 2 x 1 2 y x 2 x 1 1 cauchy 1 Do đó x y x 2x 2 2x. 2 2 2 x x x 1 2x x 1 3 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 0 x ; y 2 2 2 x 1 y x Câu 4. Cho hai số thực dương a;b thỏa mãn a2 b2 2 và log (2a 4b) 1. Giá trị lớn nhất của biểu a2 b2 thức P a b 3 là 10 1 A. 10 . B. . C. 2 10 . D. . 2 10 Lời giải Chọn A Do a2 b2 2 nên từ . log (2a 4b) 1 2a 4b a2 b2 2 a2 b2 2 2 a b 2 Suy ra: 2 2 a 1 b 2 5 Khi đó P a b 3 1 a 1 1 b 2 12 12 a 1 2 b 2 2 2.5 10 (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki) a 1 b 2 1 1 10 a 1 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a 1 b 2 5 10 a2 b2 2 b 2 2 10 a 1 2 Vậy Pmax 10 khi . 10 b 2 2
4. 3 Câu 5. Cho m loga ab với a 1, b 1 và P loga b 16logb a . Tính giá trị nhỏ nhất của P . A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A 1 1 Ta có m log ab log b log b 3m 1 a 3 3 a a 2 1 Lại có P log b 16log a 3m 1 16. a b 3m 1 16 Đặt t 3m 1 t 0 khảo sát hàm P t 2 thấy min P 12 . t Dấu bằng xảy ra khi t 2 m 1 Câu 6. Cho các số thực a, b 1và các số dương x, y thay đổi thỏa mãn a x b y ab . Giá trị lớn nhất của 16 biểu thức P y2 bằng x A. 40 . B.16 . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn C 1 log a t x x loga t x y 1 1 1 Đặt a b ab t y logb t logt b 1. . y x y ab t log ab 1 t 16 2 1 2 16 2 Khi đó ta có P y 16 1 y 16 y . x y y cauchy 16 2 8 8 2 8 8 2 Có:16 y 16 y 16 3.3 . .y 16 3.4 4 y y y y y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y 2, x 2 . Vậy Pmax 4 đạt được khi x 2, y 2 . 2 Câu 7. Cho x, y là các số thực dương, thỏa mãn log 1 x log 1 y log 1 3x y . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2 Pmin của biểu thức P 4x y . A. Pmin 27 12 5 B. Pmin 27 6 5 C. Pmin 12 5 D. Pmin 12 6 5 . Lời giải: Chọn A 2 2 2 log 1 x log 1 y log 1 3x y xy 3x y x(y 3) y .Từ đây, x, y là các số thực 2 2 2 y2 9 dương nên ta suy ra y 3 và x y 3 y 3 y 3
5. 9 36 Do đó, P 4 y 3 y 5(y 3) 27 12 5 27 . y 3 y 3 6 5 27 5 Dấu bằng xảy ra khi y 3 , x 6 . 5 10 x y 1 Câu 8. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 0 x 2 và 2x y 1 4x . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 y của biểu thức P x2 y2 . A. 2 3 . B. 3 1. C. 2 1. D. 1 2 . Lời giải Chọn B x y 1 Ta có: 2x y 1 4x 2x 2 y 1 x 2y 1 22x y 2x y * 2 y Xét hàm g t 2t t , ta có: g t 2t.ln 2 1 0 t ¡ g t đồng biến trên ¡ Khi đó phương trình * 2x y x 2y 1 y x 1. Chú ý: Bài giải của GV chưa hoàn tất Câu 9. Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a 1, b 1 và a 2x by a 4 b4 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy 3x 2y có dạng m n 14 (với m,n là các số tự nhiên), tính S m n . A. 48 B. 34 C. 30 . D. 38 . Lời giải Chọn D 2x 4 4 2x log a 4b4 a a b a 2x 4 4loga b Theo bài ra ta có: a 2x by a 4b4 y 4 4 4 4 b a b y log a b y 4 4logb a b x 2 1 loga b y 4 1 logb a Do đó: P xy 3x 2y 8 1 loga b 1 logb a 6 1 loga b 8 1 logb a 16 8logb a 8loga b 6 6loga b 8 8logb a 30 14loga b 16logb a Đặt t loga b . Vì a , b 1 nên loga b loga 1 0 . 16 16 Khi đó P 30 14t 30 2 14t. 30 8 14 . t t 16 2 14 2 14 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 30 8 14 khi 14t t hay b a 7 . t 7 m 30 Ta có: S m n 38. n 8
6. 2 Câu 10. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: 2xy 1 4 xy 1 x 2 y 1 2 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y . A. ymin 3 . B. ymin 3 . C. ymin 1. D. ymin 2 . Lời giải Chọn D 2 Do x , y là số thực dương đẳng thức 2xy 1 4 xy 1 x 2 y 1 2 x y . Suy ra 2xy 1 0 . 2 2 Khi đó ta có log 2 2xy 1 2xy 1 log 2 x y 1 x y 1 (1) Xét hàm số f t log2 t t . Hàm số này đồng biến trên 0; . Nên từ (1) ta được f 2xy 1 f x 2 y 1 2xy 2 x2 y y 2x 1 x2 2 1 x 2 2 Do y 0, x2 2 0 nên 2x 1 0 x Suy ra y . 2 2x 1 x2 2 1 Xét hàm số g(x) trên ; . 2x 1 2 Bảng biến thiên g(x) Dựa vào bảng biến thiên suy ra ymin 2 tại x 2 .  Mức độ 4 8 1 2ab Câu 1. Cho hai số thức a,bthỏa mãn 16.2a 2b . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức a 2b 1 P ab ab2 4 1 1 1 A. .B. C. D.1 2 4 8 Lời giải Chọn C Từ giải thiết suy ra 1 2ab 0. Theo bài ra: 8 1 2ab 8 1 2ab 16ab.2a 2b aa 2b a 2b a 2b 16ab
7. 8 1 2ab 2a 2b a 2b 2a 2b a 2b 22 4ab 2 4ab (1) 24ab Xét hàm số f (t) t.2t với t D 0; Do hàm số liên tục trên D và có f ' (t) 2t t.2t.ln t 0,t D suy ra hàm số đồng biến trên D . Khi đó (1) a 2b 2 4ab a 1 4b 2 2b suy ra 2 2b 0 b 1. 2 1 2 1 1 1 1 b 1 b 1 Ta có P ab ab ab(1 4b) b(2 2b) b 1 b 4 4 4 2 2 2 8 1 a 1 3 Vậy max P xảy ra khi . 8 1 b 2 x2 2020 Câu 2. Cho 0 x, y 2 thỏa mãn 20192 x y . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị y2 4y 2024 nhỏ nhất của biểu thức S 2x2 y 2y2 x 15xy. Khi đó M.m bằng bao nhiêu? 245 245 89 A. . B. . C. 147 . D. . 4 4 4 Lời giải Chọn B x2 2020 20192 y x2 2020 Ta có 20192 x y y2 4y 2024 2019x y 2 2 2020 2019x x2 2020 20192 y y 2 2 2020 (1) Xét hàm số f t 2019t t 2 2020 trên khoảng 0;2 , có f t 2019t ln 2019 t 2 2020 2t.2019 0;t 0;2 Suy ra f t là hàm đồng biến trên 0;2 . Từ (1) suy ra f x f 2 y x y 2 . Do 2 x y 2 xy xy 1 0 xy 1. Lại có S 2x2 y 2y2 x 15xy 4x2 y2 2 x3 y3 14xy 4x2 y2 2 x y 3 3xy x y 14xy 4x2 y2 2 8 6xy 14xy 4x2 y2 2xy 16 Đặt t xy 0;1 khi đó S f t 4t 2 2t 16 1 49 m min f t f 2 0;1 Xét hàm số f t 4t 2t 16 trên 0;1 ta được 4 4 M max f t f 1 10 0;1 49 245 Suy ra M.m . 10 . 4 4
8. y y Câu 3. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 6.3 y 1 3x log3 x 3 .Giá trị nhỏ nhất của biểu x thức P bằng 2y ln 3 e ln 3 e.ln 3 A. . B. . C. . D. eln3 e 2 2 Lời giải Chọn D y t y t 1 y 1 Đặt t log3 x 3 3 x 3 3x 3 3 y y Khi đó phương trình 6.3 y 1 3x log3 x 3 trở thành: 2.3y 1 y 1 3t 1 3y 1 t 3.3y 1 y 1 3t 1 t 3y 2 y 1 3t 1 t (1) Xét hàm số: f x 3x 1 x trên khoảng 0; Ta có: f x 3x 1.ln 3 1 0, x 0; suy ra hàm số luôn đồng biến y y 1 y y Do (1) suy ra f y 1 f t y 1 t y 1 log3 x 3 3 3 x x 2.3 x 3y 3y.y ln 3 3y 1 Khi đó P g y có g y 0 y . 2y y y2 ln 3 1 Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 0; suy ra min P g eln 3. 0; ln 3 Câu 4. Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log (x 2y) 1 . Giá trị lớn nhất của 2x2 y2 biểu thức T x 2y bằng: 9 9 9 A. 9. B. . C. . D. . 8 4 2 Lời giải Chọn D 2x2 y2 1 (I) 2 2 x 2y 2x y Bất PT log 2 2 (x 2y) 1 . 2x y 2 2 0 2x y 1 (II) 2 2 0 x 2y 2x y Xét T x 2y TH1: x; y thỏa mãn (II) khi đó 0 T x 2y 2x2 y2 1 Không tồn tại maxT . 2 2 2 1 2 9 TH2: x; y thỏa mãn (I) 2x y x 2y 2 x y 1 . 4 8 Khi đó
9. 2 1 1 9 1 2 1 2 9 x 2y . 2 x 2 y 1 2 2 x y 1 2 4 4 2 4 4 . 9 9 9 9  2 8 4 2 9 1 Suy ra: maxT (x; y) ;2 . 2 2 2 2 2 Câu 5. Cho các số thực x; y thỏa mãn x 4xy 12y 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P log2 x 2y là A. max P 3log2 2 B. max P log2 12 C. max P 12 D. max P 16 Lời giải Chọn B Điều kiện x 2y . Từ x2 4xy 12y2 4 suy ra: Nếu y 0 thì x2 4 P 2 2 2 P Nếu y 0 ta có: P log2 x 2y 4 x 2y 4.2 2 x P 2 4 1 4.2 4. x 2y 2y 2 2 2 4 x 4xy 12y x x 2 3 2y 2y 2 x P 4t 8t 4 P 2 2 Đặt t ,t ¡ , 2 2 2 t 2t 3 4t 8t 4 2y t 2t 3 2P 4 t 2 2 2P 4 t 3.2P 4 0 Xét với P 2 2 Để phương trình có nghiệm: 0 2P 4 2P 4 3.2P 4 0 P 2 P P 2 2 24.2 0 0 2 12 P log2 12 Vậy max P log2 12 . t 2 x 4y x Dấu đẳng thức xảy ra khi t 1 . 2y y2 3 2 2 x 4xy 12y 4 x y z Câu 6. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn log16 2 2 2 x x 2 y y 2 z z 2 . 2x 2y 2z 1 x y z Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F bằng? x y z 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta có:
10. x y z log16 2 2 2 x x 2 y y 2 z z 2 2x 2y 2z 1 2 2 2 2 2 2 log16 x y z 2 x y z log16 2x 2y 2z 1 x y z 2 2 2 2 2 2 2log16 x y z 4 x y z 2log16 2x 2y 2z 1 2 x y z 2 2 2 2 2 2 log4 x y z 4 x y z 1 log4 2x 2y 2z 1 x y z 1 2 2 2 2 2 2 log4 4 x y z 4 x y z log4 2x 2y 2z 1 2x 2y 2z 1 Xét hàm số: f t log4 t t t 0 . Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. Suy ra: f 4 x y z f 2x2 2y2 2z2 1 4 x y z 2x2 2y2 2z2 1 1 x2 y2 z2 2x 2y 2z 0 S 2 I 1;1;1 Ta có mặt cầu: S : 10 R 2 x y z Ta có: F F 1 x F 1 y F 1 z 0 P x y z Để mặt phẳng P và mặt cầu S có điểm chung: F 1 F 1 F 1 10 d I; P R . 2 F 1 2 F 1 2 3F 2 2F 13 0 . 1 2 10 1 2 10 F . 3 3 x y z 2 Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F bằng . x y z 3