Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 28: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 28: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. DẠNG TOÁN 28: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D . f (x) M ,x D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) M Kí hiệu: M max f (x) hoặc M max f (x) . x D D f (x) m,x D Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: . x0 D, f (x0 ) m Kí hiệu: m min f (x) hoặc m min f (x) x D D 2. Định lý Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn Giả sử hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn a;b ta làm như sau: * Tìm các điểm x1; x2 ;...; xn thuộc a;b sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. * Tính f x1 ; f x2 ;...; f xn ; f a ; f b . * So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn a;b , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn a;b . * Nếu: max f x f b a;b +) y ' 0,x a;b min f x f a a;b max f x f a a;b +) y ' 0,x a;b min f x f b a;b Chú ý * Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
2. * Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó. * Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại. * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Max-Min của hàm số đa thức trên đoạn [a,b]  Max-Min của hàm phân thức trên đoạn [a,b]  Max-Min của hàm số vô tỉ trên [a,b]  Max-Min biết đồ thị, BBT  Max-Min của hàm số đa thức trên K  Max-Min của hàm phân thức trên K  Max-Min của hàm số khác trên K  Max-Min hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  2;6 có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f x trên đoạn  2;6. Giá trị của 2M 3m là A. 1.B. 0.C. 1.D. 3 . Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị ta thấy: M 6 , m 4 .
3. Vậy giá trị 2M 3m 2.6 3. 4 0 . Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên  1;5 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  1;5 . Giá trị của M m bằng bao nhiêu? A. 5 .B. 1. C. 1.D. 5 . Lời giải Chọn A Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta có M 3; m 2 M m 5 . Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên 3;2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây. GọiM và m   lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốy f x trên 1;2. Giá trị của M m bằng bao nhiêu ? A. 3 .B. 4.C. 2.D. 1. Lời giải Chọn A Ta có M Max f x f 1 3và m Min f x f 0 0 .  1;2  1;2 Vậy M m 3. Câu 4. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2 là A. max y 3, min y 2 .B. max y 11, min y 3 . 0;2 0;2 0;2 0;2
4. C. max y 11, min y 2 . D. max y 11, min y 3 . 0;2 0;2 0;2 0;2 Lời giải Chọn A Hàm đã cho liên tục trên 0;2 . x 0 0;2 3 y 4x 4x ; y 0 x 1 0;2 . x 1 0;2 y 0 3; y 1 2 ; y 2 11. Vậy max y 11, min y 2 . 0;2 0;2 2 Câu 5. Hàm số y 4 x2 1 có giá trị lớn nhất trên đoạn  1;1 là A. 17 B. 14.C. 12.D. 10. Lời giải: Chọn A x 2  1;1 3 3 Ta có: y 4x 16x , cho y 0 4x 16x 0 x 2  1;1 . x 0  1;1 Khi đó: f 1 10 , f 1 10 , f 0 17 . Vậy max y f 0 17 .  1;1 x 1 Câu 6. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 3;5. x 1 Khi đó M m bằng 7 1 3 A. .B. . C. 2 . D. . 2 2 8 Lời giải: Chọn B 2 Ta có f x 0, x 3;5 do đó: x 1 2 3 M max f x f 3 2 ; m min f x f 5 3;5 3;5 2 3 1 Suy ra M m 2 . 2 2 1 Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 5 trên khoảng 0; . x
5. A. min f x 5 . B. min f x 2 . C. min f x 3 . D. min f x 3 . 0; 0; 0; 0; Lời giải: Chọn C 1 1 x2 1 f x x 5 , x 0; . Khi đó f x 1 ; f x 0 x 1. x x2 x2 Ta có bảng biến thiên của hàm số: Khi đó ta có min f x f 1 3 . 0; Câu 8. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 5 4x trên đoạn  1; 1. Khi đó M m bằng A. 9 . B. 3 . C. 1. D. 2. Lời giải: Chọn D 5 Hàm số có tập xác định là D ; ,  1; 1  D 4 Hàm số xác định và liên tục trên đoạn  1; 1 2 Ta có y 0 x  1; 1. 5 4x y 1 1, y 1 3 M 3,m 1 M m 2 . x2 x 4 Câu 9. Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên x 1 M đoạn 0;3 . Tính giá trị của . m 2 4 5 A. 2 . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn C x2 2x 3 Ta có: y . x 1 2
6. x 1 0;3 y 0 . x 3 0;3 y 1 3; y 0 4 ; y 3 4 . Do đó: M 4 , m 3 . M 4 Vậy . m 3 Câu 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x2 2x 5 trên đoạn  1;3 là 5 A. 2 3 . B. . C. 2 2 . D. 2. 2 Lời giải: Chọn D f ’ x 0 2x – 2 0 x 1 f 1 f 3 2 2 ; f 1 2 .  Mức độ 2 Câu 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x trên đoạn 5 ; . Tính M , m . 6 6 A. M 1, m 1.B. M 2 , m 1.C. M 2 , m 2 .D. M 1, m 2 . Lời giải Chọn B y 2cos x 0 x k , k Z . 2 5 Với x ; suy ra: x . 6 6 2 5 y 1, y 2, y 1. 6 2 6 Vậy: M 2 và m 1. Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x cos2 2x sin x cos x 4 trên ¡ . 16 10 7 A. min f x . B. min f x .C. min f x 3 . D. min f x . x ¡ 5 x ¡ 3 x ¡ x ¡ 2 Lời giải: Chọn D 1 Ta có: f x cos2 2x sin x cos x 4 sin2 2x sin 2x 5 . 2
7. Đặt t sin 2x . Ta có x ¡ t  1;1 . 1 Xét hàm số g t t 2 t 5 với t  1;1. 2 1 1 g t 2t , g t 0 t . 2 4 9 1 81 7 g 1 , g , g 1 . 2 4 16 2 7 Suy ra: min f x min g t . x ¡ t  1;1 2 sin x 1 Câu 3. Cho hàm số y . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm sin2 x sin x 1 số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. 3 3 2 A. M m . B. M m 1. C. M m .D. M m . 2 2 3 Lời giải Chọn B t 1 Đặt sin x t , 1 t 1 ta được y . t 2 t 1 t 1 t 2 2t Xét hàm số y 2 trên đoạn  1;1 ta có y 2 . t t 1 t 2 t 1 2 t 0 (t / m) Giải phương trình y 0 t 2t 0 . t 2 (loai) 2 Vì y 1 0 ; y 0 1; y 1 nên 3 max y y 0 1 M 1; min y y 1 0 m 0 .  1;1  1;1 Vậy M m 1. Câu 4. Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 3 sin x cos x . Khi đó M m bằng A. 3 3 .B. 0.C. 1 3 . D. 1. Lời giải Chọn B 2 2 Ta có: 2 3 1 2 3 sin x cos x 2 3 1 . Vậy M m 0 . đại. 5 Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là f 2 . 6
8. Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số y x 1 9 x A. T 1; 9 . B. T 0;4 .C. .D. .     T 0; 2 2 T 2 2; 4 Lời giải. Chọn D Tập xác định: D 1; 9 1 1 x 1 y 0 9 x x 1 x 5 . 2 x 1 2 9 x 9 x x 1 f 1 f 9 2 2 ; f 5 4 Vậy tập giá trị là . T 2 2; 4 2 Câu 6. Hàm số f x 2x x . Biết rằng hàm số f x đạt giá trị lớn nhất tại duy nhất điểm x0 . Tìm x0 . 1 A. x 1.B. x 1. C. x 0 .D. x . 0 0 0 0 2 Lời giải Chọn A Tập xác định: D 0;2. Hàm số f x liên tục trên 0;2 . 1 x Ta có: f x . 2x x2 1 x Cho f x 0 0 x 1 0;2 . 2x x2 f (0) f (2) 0 ; f (1) 1. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x0 1. Câu 7. Tìm x để hàm số y x 4 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. x 1. B. x 2. C. x 2. D. x 2 2. Lời giải. Chọn B Tập xác định D [ 2;2] . x y 1 . 4 x2 y 0 x 2 . f 2 2 ; f 2 2 ; f 2 2 2 .
9. Vậy hàm số y x 4 x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x 2. Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x3 3x2 m trên đoạn 0;5 bằng 5 khi m bằng A. 6 .B. 10.C. 7.D. 5 . Lời giải. Chọn A Hàm số xác định và liên tục trên: D 0;5. 2 2 x 0 D y 6x 6x ; y 0 6x 6x 0 . x 1 D f 0 m ; f 1 m 1; f 5 175 m Dễ thấy f 5 f 0 f 1 , m ¡ nên min f x f 1 m 1. 0;5 Theo đề bài, min f x 5 m 1 5 m 6 . 0;5 2x 3 4 Câu 9. Biết hàm số f x có giá trị lớn nhất trên đoạn 0;m bằng . Tìm m ? x 1 7 3 3 5 2 A. m . B. m . C. m . D. m . 7 2 2 7 Lời giải: Chọn C 2x 3 Xét hàm số f x trên đoạn D 0;m . x 1 5 Ta có f x f x 0 , x D . Do hàm số liên tục trên D nên giá trị lớn nhất x 1 2 của hàm số là f m . 4 2m 3 4 5 f m 14m 21 4m 4 m . 7 m 1 7 2 mx 5 Câu 10. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng 7 khi x m 5 A. m 2 . B. m 0 . C. m 1. D. m . 7 Lời giải: Chọn A mx 5 Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 nên m 0;1 . Do đó hàm số x m mx 5 f x xác định và liên tục trên đoạn 0;1. x m m2 5 m 5 f x 0 , x 0;1. Suy ra min f x f 1 7 m 2 . x m 2 0;1 1 m  Mức độ 3
10. Câu 1. Cho hàm số y ax3 cx d a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số ;0 y f x trên đoạn 1;3 bằng A. 8a d . B. d 11a . C. d 16a . D. 2a d . Lời giải: Chọn C y 3ax2 c. y 6ax. y 0 x 0. Nên đồ thị hàm số có điểm uốn là A 0;d . Do đó đồ thị hàm số nhận A 0;d làm tâm đối xứng. Do đó từ min f x f 2 suy ra max f x f 2 max f x f 2 8a 2c d. ;0 0; 1;3 Mà f 2 0 12a c 0 c 12a. Vậy max f x 8a 24a d d 16a. 1;3 2 Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x2 33 1 x2 . Hỏi điểm A M ;m thuộc đường tròn nào sau đây? A. x 3 2 y 1 2 2 . B. x 1 2 y 1 2 1. C. x2 y 1 2 1.D. x 3 2 y 1 2 20 . Lời giải Chọn A TXĐ: D  1;1. Đặt t 6 1 x2 . Vì x  1;1 t 0;1. Vậy y f t t3 3t 4 ,t 0;1 . 1 t f 3t 2 12t3 , f 0 4 . t 0 f 1 4, f 0 0 . max y max f x 4 ; min y min f x 0 .  1;1  1;1  1;1  1;1 Vậy điểm A 4;0 . Ta có: 4 3 2 0 1 2 2 A C : x 3 2 y 1 2 2.
11. mx Câu 3. Trên đoạn  2;2, hàm số y (với m 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1 khi và chỉ khi x2 1 A. m 0 .B. m 0 . C. m 2 . D. m 2 . Lời giải Chọn B mx2 m m m 2m 2m Ta có y , y 0 x 1, f 1 , f 1 , f 2 , f 2 x2 1 2 2 5 5 Trường hợp 1: m 0 . m 2m Do m 0 nên f 1 f 2 suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1. 2 5 Trường hợp 2: m 0 . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1. mx Vậy hàm số y (với m 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x 1 khi và chỉ khi m 0 . x2 1 Câu 4. Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;3 sao cho M 2m ? A. 5 . B. 6. C. 7. D. 3 . Lời giải Chọn A Xét hàm số g x x4 4x3 4x2 a . x 0 g x 4x3 12x2 8x g x 0 3 2 ; 4x 12x 8x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên
12. Do 2m M 0 nên m 0 suy ra g x 0 x 0;2 . a 1 0 a 1 Suy ra . a 0 a 0 Nếu a 1 thì M a , m a 1 2 a 1 a a 2 . Nếu a 0 thì M a 1, m a 2a a 1 a 1. Do đó a 2 hoặc a 1, do a nguyên và thuộc đoạn  3;3 nên a 3; 2;1;2;3 . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. Câu 5. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 19 y x4 x2 30x m 20 trên đoạn 0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S 4 2 bằng A. 210 .B. 195 .C. 105. D. 300. Lời giải: Chọn C 1 19 Xét hàm số g x x4 x2 30x m 20 trên đoạn 0;2 4 2 x 5 0;2 3 Ta có g x x 19x 30; g x 0 x 2 x 3 0;2 Bảng biến thiên g 0 m 20 ; g 2 m 6 . g 0 20 m 20 20 Để max g x 20 thì 0 m 14 . 0;2 g 2 20 m 6 20 Mà m ¢ nên m 0;1;2;...;14 . Vậy tổng các phần tử của S là 105.
13. Câu 6. Biết hàm số y f x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 4x của hàm số trên đoạn 0;2 . Hàm số y f 2 có tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là x 1 A. M m . B. 2M m .C. M 2m . D. 2M 2m . Lời giải: Chọn A 4x 4x2 4 Đặt g x 2 , x 0;2. Ta có: g x 2 . x 1 x2 1 g x 0 x 1 0;2. Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0 g x 2 . Do đó: Hàm số y f x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 khi và chỉ khi hàm số y f g x liên tục trên ¡ có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 . 4x Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f 2 là M m . x 1 Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị C như hình vẽ. Gọi M , m theo thứ tự là GTLN-GTNN của hàm số y f x3 3x2 1 trên đoạn  1;3. Tích M .m bằng 111 45 185 A. 0 . B. . C. . D. . 16 48 144
14. Lời giải: Chọn C Hàm số y g x x3 3x2 1 liên tục trên đoạn  1;3; 2 x 0 + g' x 3x 6x 3x x 2 ; g' x 0 . x 2 g 1 3 min g x 1 g 0 1  1;3 + Vì nên 1 g x 3,x  1;3. g 2 3 max g x 3  1;3 g 3 1 0 g x 3,  1;3 . Từ đồ thị C : y f x ; 5 + m min f g x khi g x 1 tại x 0 hoặc x 1 hoặc x 3.  1;3 12 9 + M max f g x khi g x 3 tại x 1 hoặc x 2.  1;3 4 45 Vậy m.M . 48 Câu 8. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y f x3 3x2 1 trên  1;3 . Tính 3m M . 7 11 19 A. 3m M . B. 3m M 1. C. 3m M . D. 3m M . 2 3 3 Lời giải: Chọn D Xét hàm số g x x3 3x2 1 trên  1;3 .
15. g x 3x2 6x . x 0 1;3 g x 0 . x 2 1;3 g 1 3 ; g 0 1; g 2 3; g 3 1. Suy ra max g x 1; min g x 3 3 g x 1,x  1;3 0 g x 3,x  1;3.  1;3  1;3 Dựa vào đồ thị ta thấy : 9 Hàm số y f x3 3x2 1 f g x đạt giá trị nhỏ nhất là m khi g x 3 x 2. 4 5 Hàm số y f x3 3x2 1 f g x đạt giá trị lớn nhất là M khi g x 1 12 x 0 . x 3 19 Vậy 3m M . 3 Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị là hình bên và hàm số y = g(t)= t3 - 3t2 + 5 Gọi M , m theo thứ tự là GTLN – GTNN của y = g( f (x)- 2 )trên đoạn [- 1;3]. Tích M.m bằng A. 54 . B. 12. C. 3 . D. 2 . Lời giải: Chọn B 3 2 y = g( f (x)- 2 )= f (x)- 2 - 3( f (x)- 2) + 5 . Trên [- 1;3], ta có 1£ f (x)£ 7 Û - 1£ f (x)- 2 £ 5 ¾¾® 0 £ f (x)- 2 £ 5. ét = 0 t = f x - 2 Î y = t3 - 3t2 + 5 ® y¢= 3t2 - 6t = 0 Û ê . Đặt ( ) với t [0;5]. Khi đó ê ët = 2 ïì M = 55 Ta có y(0)= 5; y(2)= 1; y(5)= 55. Suy ra í ¾¾® M.m = 55. îï m = 1
16. Câu 10. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên đoạn [ 1;3] đồng thời có đồ thị như hình vẽ . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y | f (x) m | trên đoạn [ 1;3] bằng 2018 ? A. 6. B. 4 . C. 0 . D. 2. Lời giải: Chọn D Đặt g(x) f (x) m g '(x) f ' x) . x 0 g '(x) 0 . x 2 Bảng biến thiên : max g(x) m 16 ; min m 9 max y max | m 16 |;| m 9 | . [ 1;3] [ 1;3] [ 1;3] 7 + Nếu | m 16 | | m 9 | m max y | m 16 | m 16 2018 . Suy ra m 2002 . 2 [ 1;3] 7 + Nếu | m 16 | | m 9 | m max y | m 9 | m 9 2018 . Suy ra m 2025 . 2 [ 1;3] Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán .  Mức độ 4 Câu 1. Cho hàm số y f x và y g x là hai hàm liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y f ' x là đường cong nét đậm và y g ' x là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B,C của y f ' x và y g ' x trên hình vẽ lần lượt có hoành độ a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h x f x g x trên đoạn a;c ?
17. y a b c x O B C A A. min h x h a .B. min h x h b .C. min h x h 0 . D. min h x h c . a;c a;c a;c a;c Lời giải Chọn B x a h' x f ' x g ' x Ta có , h' x 0 x b . x c Trên miền b x c thì đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trên đồ thị hàm số y g ' x nên f ' x g ' x 0 h' x 0,x b;c . Trên miền a x b thì đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới đồ thị hàm số y g ' x nên f ' x g ' x 0 h' x 0,x a;b . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy min h x h b . a;c Câu 2. Cho hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ dưới,
18. biết rằng x 1 và x 3 đều là các điểm cực trị của hai hàm số y f x và y g x đồng thời 3 f 1 g 3 1, 2 f 3 g 1 4 , f 2x 7 g 2x 3 1 * .Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn 1;3 của hàm số S x f x g x g 2 x f x 4g x 2 . Tính tổng P M 2m . A. 39 .B. 107 . C. 19.D. 51. Lời giải Chọn B Thay lần lượt x 2 , x 3 vào * ta có f 3 g 1 1 3 f 1 g 3 1 , mà nên f 1 1, f 3 5, g 1 6 , g 3 2 . f 1 g 3 1 2 f 3 g 1 4 Nhìn vào đồ thị ta thấy 1 f 1 f x f 3 5 , 2 g 3 g x g 1 6 x 1;3 . Đặt u f x , v g x với 1 u 5 , 2 v 6 , xét h u,v uv v2 u 4v 2 v2 u 4 v u 2 . Xem h u,v là một hàm số bậc 2 theo biến v ta có h u,v 2v u 4 4 5 4 3 0 v 2;6 h u,v nghịch biến trên 2;6. Suy ra h u,6 h u,v h u,2 7u 58 h u,v 3u 10 51 h u,v 5 (do 1 u 5 ). Từ đó M max S x 5 , dấu bằng xảy ra khi x 3, m min S x 51, dấu bằng xảy ra 1;3 1;3 khi x 1. Vậy P M 2m 107 . Câu 3. Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt M max f x , m min f x , T M m Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?  2;6  2;6 A. T f 5 f 2 .B. T f 0 f 2 . C. T f 5 f 6 . D. T f 0 f 2 . Lời giải Chọn A
19. +) Nhận xét: Đồ thị của hàm số y f ' x cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 2; 0; 2; 5; 6 nên phương trình f ' x 0 có 5 nghiệm phân biệt là x1 2; x2 0; x3 2; x4 5; x5 6 . Hơn nữa f ' x 0, x 2; 0  2; 5 và ngược lại f ' x 0, x 0; 2  5; 6 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y f x . +) Gọi S1, S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích của các hình phẳng H1 , H2 , H3 , H4 . H1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y 0, x 2, x 0. H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y 0, x 2, x 0. H3 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y 0, x 2, x 5. H4 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y f ' x , y 0, x 5, x 6. Ta có 0 2 S S f ' x dx f ' x dx f 0 f 2 f 0 f 2 f 2 f 2 1 1 2 2 0 2 5 S S f ' x dx f ' x dx f 0 f 2 f 5 f 2 f 0 f 5 2 2 3 0 2 5 6 S S f ' x dx f ' x dx f 5 f 2 f 5 f 6 f 2 f 6 3 3 4 2 5 +) Từ bảng biến thiên và 1 , 2 , 3 ta có: max f x f 5 , min f x f 2 và T f 5 f 2 .  2;6  2;6 Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x xác định và liên tục trên ¡ . Hàm số y f x có đồ thị như sau:
20. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn  4;3 Tính giá trị của M m . A. f 3 f 2 . B. f 3 f 0 .C. f 4 f 0 .D. f 4 f 2 . Lời giải Chọn D x 1 x 0 Ta có f x 0 . x 1 x 2 Mặt khác hàm số y f x là hàm số chẵn. Ta có bảng biến thiên của hàm số f x và f x . x 1 0 1 2 y - 0 + 0 - 0 - 0 + f (0) y f x f 1 f 2 x 4 2 0 2 3 y - 0 + 0 - 0 + f 4 f (0) f 3 y f x f 2 f 2 Từ hình vẽ của đồ thị y f x ta có 2 3 f x dx f x dx . 0 2 Suy ra: