Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 42: Hàm số mũ - Hàm số logarits (Bài toán thực tế)

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 42: Hàm số mũ - Hàm số logarits (Bài toán thực tế)

1. DẠNG TOÁN 42: HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARITS (BÀI TOÁN THỰC TẾ) PHẦN I: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: x  Bất phương trình mũ với cơ a 1: a b 0 x loga b . x  Bất phương trình mũ với cơ 0 a 1: a b 0 x loga b . 1  Công thức mũ: a n an II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Bài toán lãi đơn.  Bài toán lãi kép.  Bài toán tăng trưởng dân số.  Bài toán vay vốn trả góp.  Bài toán tiền gửi.  Bài toán tính khối lượng phóng xạ.  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Để quảng bá cho sản phẩm A , một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: Nếu sau n quảng 1 cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩmA tuân theo công thức: P n . 1 49.e 0,015n Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30% ? A. 202 . B. 203. C. 206 . D. 207 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán khảo sát thực tế liên quan hàm số mũ. 2. HƯỚNG GIẢI: 1 B1: Nêu điều kiện để số người đạt trên 30% : P n 0,3 0,3. 1 49.e 0,015n 1 B2: Giải bất phương trình mũ: e 0,015n e0,015n 21 0,015n ln 21 202,97 . 21 B3: Kết luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 1 Để số người mua sản phẩm đạt trên 30% P n 0,3 0,3 1 49.e 0,015n 1 1 1 49.e 0,015n e 0,015n e0,015n 21 0,015n ln 21 202,97 . 0,3 21
2. Vậy phải có ít nhất 203 lần quảng cáo. Chọn B Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 t 1 T Câu 1. Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức m(t) m0 trong đó m0 là 2 khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ biến thành chất khác). Với T 1000 năm, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm khối lượng chất phóng 1 xạ còn lại nhỏ hơn khối lượng chất phóng xạ ban đầu? 6 A. 2584 năm.B. 2585 năm. C. 2586 năm.D. 2587 năm. Lời giải Chọn B 1 Với T 1000 và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn khối lượng chất phóng xạ ban đầu. 6 t t 1 1000 1 1 1000 1 t 1 Suy ra: m(t) m0 m0 log 1 2 6 2 6 1000 2 6 t 1000.log2 6 2584,962501 1 Vậy sau ít nhất 2585 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn khối lượng chất phóng 6 xạ ban đầu. Câu 2. Anh Bảo gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn là một quý, với lãi suất1 ,85 % một quý. Hỏi thời gian tối thiểu bao nhiêu để anh Bảo có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi? A. 19 quý.B. 15 quý.C. 16 quý.D. 20 quý. Lời giải Chọn C n Áp dụng công thức lãi kép Pn P 1 r với P 27 , r 0,0185 , tìm n sao cho Pn 36 . 4 Ta có 27.1,0185n 36 n log n 16 . 1,0185 3 Câu 3. Cường độ của ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí, chẳng hạn như sương mù hay nước,...sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số  gọi là khả năng hấp thu ánh sáng tùy theo bản chất môi trường mà ánh sáng truyền đi và được tính theo công thức
3. x I I0.e với x là độ dày của môi trường đó và tính bằng mét, I0 là cường độ ánh sáng tại thời điểm trên mặt nước. Biết rằng nước hồ trong suốt có  1,4 . Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu 3m xuống đến độ sâu 30m (chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất). A. e30 lần.B. 2,6081.1016 lần. C. e27 lần.D. 2,6081.10 16 lần. Lời giải Chọn B 1,4.3 4,2 Cường độ ánh sáng ở độ sâu 3m là I1 I0.e I0.e 1,4.30 42 Cường độ ánh sáng ở độ sâu 30m là I2 I0.e I0.e 4,2 I1 e 16 16 Ta có 42 2,6081.10 nên cường độ ánh sáng giảm đi 2,6081.10 lần. I2 e Câu 4. Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,4% /tháng. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) lớn hơn hai lần số tiền ban đầu, nếu người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 174 tháng.B. 173 tháng. C. 176 tháng. D. 175 tháng. Lời giải Chọn A n n Áp dụng công thức lãi kép ta có: P P0 1 r 100 1 0,4% 200  n 173,6331381 Vậy sau ít nhất 174 tháng thì số tiền lĩnh được lớn hơn hai lần số tiền ban đầu. Câu 5. E.coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có 40 vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn E.coli lớn hơn 671088640 con? A. 48 giờ.B. 24 giờ.C. 12 giờ.D. 8 giờ. Lời giải Chọn D 1 Vì cứ sau 20 phút (bằng giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng 3 1 theo quy luật N N .2n 40.2n 671088640 n 24 . Vậy sau ít nhất 24. 8 giờ thì số vi n 0 3 khuẩn đạt mức lớn hơn 671088640 con. Câu 6. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8,4% /năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn 3 lần số tiền gửi ban đầu. A. 10 năm.B. 14 năm. C. 8 năm.D. 11 năm. Lời giải:
4. Chọn B Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n . n n Ta có A 1 8,4% 3A 1,084 3 n log1,084 3 13,62064 . Vậy số năm tối thiểu là 14 năm. Câu 7. Ông An muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000 đồng vào ngày 10/7/2020 ở một tài khoản với lãi suất năm 6,05% . Hỏi ông An đã đầu tư tối thiểu bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 10/7/2015 để được mục tiêu đề ra? A. 14.059.373,18 đồng. B. 15.812.018,15 đồng. C. 14.909.000 đồng.D. 14.909.965,26 đồng. Lời giải: Chọn D Gọi A là số tiền tối thiểu mà ông An đầu tư. 6 6 5 6 20.10 20.10 Ta có A 1 r 20.10 A 5 A 5 14.909.65,26 . 6.05 6,05 1 1 100 100 Câu 8. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức: S A.ert , trong đó A là số vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất: A. 3 giờ 9 phút.B. 3 giờ 2 phút.C. 3 giờ 30 phút.D. 3 giờ 18 phút. Lời giải: Chọn A 1 Ta có 300 100.e5r r ln 3 . 5 1 t. ln3 5 2.A A.e t 5log3 2 3,1546 giờ. Chọn A. Câu 9. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi xuất r 0,5% một tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó với tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu. A. 45 tháng.B. 46 tháng.C. 47 tháng.D. 44 tháng. Lời giải: Chọn A n Theo công thức lãi kép số tiền có được sau n tháng là T T0 1 r . Áp dụng vào ta có: 100.000.000 1,005n 125.000.000 n 45 . Câu 10. Cho biết sự rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32% , nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì đến tăng trưởng dân số được tính theo công thức tăng trưởng liên tục S A.eNr trong đó A là dân số tại thời điểm mốc, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2013 dân số thể giới vào khoảng 7095 triệu người. Biết năm 2020 dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây?
5. A. 7triệu879 người.B. triệu người.76C80. 7782 triệu người.D. triệu777 người.7 Lời giải: Chọn C Áp dụng công thức S A.eNr với A 7095 , N 7 ; r 0.0132 ta có S 7095.e7.0,0132 7782 triệu người. Câu 11. Một người gởi 75 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 5,4% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi 6 năm sau người đó nhận về số tiền là bao nhiêu kể cả gốc và lãi? (đơn vị đồng, làm tròn đến hàng nghìn) A. 97.860.000 .B. 150.260.000.C. 102.826.000.D. 120.826.000. Lời giải: Chọn C 6 5,4 Số tiền người đó nhận về sau 6 năm là: 75000000 1 102826000 . 100 Câu 12. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 8,4% /năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền vốn. Tính số năm tối thiểu người đó cần gửi để số tiền thu được nhiều hơn 2 lần số tiền gửi ban đầu. A. 10 năm.B. 9 năm.C. 8 năm.D. 11 năm. Lời giải Chọn B Gọi số tiền gửi ban đầu là A và số năm tối thiểu thỏa ycbt là n . n n Ta có A 1 8,4% 2A 1,084 2 n log1,084 2 8,59 . Vậy số năm tối thiểu là 9 năm. Câu 13. Một người gửi tiết kiệm với số tiền gửi là A đồng với lãi suất 6% một năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính gốc cho năm tiếp theo. Sau 10 năm người đó rút ra được số tiền gốc lẫn lãi nhiều hơn số tiền ban đầu là 100 triệu đồng ? Hỏi người đó phải gửi số tiền A bằng bao nhiêu ? A. 145037058,3 đồng.B. 55839477,69 đồng.C. 126446589 đồng.D. 111321563,5 đồng. Lời giải Chọn C n Từ công thức lãi kép ta có An A 1 r . Theo đề bài ta có n 10 10 10 100 r 0,06 100 A A 1 0,06 100 A 1,06 1 A 10 1.06 1 An A 100 A 126446597 (đồng). Câu 14. Dân số thế giới được dự đoán theo công thức P(t) aebt , trong đó a ,b là các hằng số, t là năm tính dân số. Theo số liệu thực tế, dân số thế giới năm 1950 là 2560 triệu người; dân số thế giới năm 1980 là 3040 triệu người. Hãy dự đoán dân số thế giới năm 2020 ?
6. A. 3823 triệu.B. 5360 triệu.C. 3954 triệu.D. 4017 triệu. Lời giải Chọn A 1950b a.e 2560 1 Từ giả thiết ta có hệ phương trình: . 1980b a.e 3040 2 19 19 1 19 Chia 2 cho 1 ta được e30b 30b ln b ln . 16 16 30 16 2560 Thay vào 1 ta được: a 65 . 19 16 1 19 2020. ln 2560 30 16 Vậy P 2020 65 .e 3823 (triệu) 19 16 n.r Câu 15. Sự tăng dân số được ước tính theo công thức Pn P0e , trong đó P0 là dân số của năm lấy làm mốc tính, Pn là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% . Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người? A. 2018 .B. 2017 .C. 2015 .D. 2016 . Lời giải Chọn D 1000000 ln P P en.r 100000000 78685800en.1,7% n 786858 14.1. n 0 1,7% Sau 15 năm thì dân số nước ta ở mức 100 triệu người. Do đó năm 2016 dân số nước ta ở mức 100 triệu người. Câu 16. Một người gửi ngân hàng lần đầu 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Sau một năm, tổng số tiền gốc và lãi của người đó là bao nhiêu (làm tròn đến hàng triệu đồng)? A. 212 triệu.B. 216 triệu.C. 221 triệu. D. 210 triệu. Lời giải Chọn A Sau 6 tháng đầu thì người đó gửi được hai kì hạn nên tổng cả vốn và lãi lúc đó là 2 A 100. 1,02 triệu đồng. Người đó gửi thêm 100 triệu thì số tiền gửi là B A 100 triệu. 2 4 2 Vậy sau một năm thì được số tiền là B 1,02 100. 1,02 100. 1,02 212 triệu đồng. Câu 17. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày ( nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn 1 nửa). Tính khối lượng còn lại của 40 gam poloni 210 sau 7314 ngày ( khoảng 20 năm).
7. A. 4,34.10 15 gam .B. 4,44.10 15 gam . C. 4,06.10 15 gam .D. 4,6.10 15 gam . Lời giải Chọn B Ta có 7314 ngày tương ứng 53 chu kì. Nên khối lượng còn lại của 40 gam poloni 210 sau 7314 ngày bằng 53 1 15 40 4,44.10 gam . 2 Câu 18. Cường độ của ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí, chẳng hạn như sương mù hay nước,...sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số  gọi là khả năng hấp thu ánh sáng tùy theo bản chất môi trường mà ánh sáng truyền đi và được tính theo công thức x I I0.e với x là độ dày của môi trường đó và tính bằng mét, I0 là cường độ ánh sáng tại thời điểm trên mặt nước. Biết rằng nước hồ trong suốt có  1,4 . Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu 3m xuống đến độ sâu 30m (chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất). A. e30 lần.B. 2,6081.1016 lần. C. e27 lần.D. 2,6081.10 16 lần. Lời giải Chọn B 1,4.3 4,2 Cường độ ánh sáng ở độ sâu 3m là I1 I0.e I0.e 1,4.30 42 Cường độ ánh sáng ở độ sâu 30m là I2 I0.e I0.e 4,2 I1 e 16 16 Ta có 42 2,6081.10 nên cường độ ánh sáng giảm đi 2,6081.10 lần. I2 e Câu 19. Ông A đầu tư 150 triệu đồng vào một công ti với lãi 8% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau 5 năm số tiền lãi ông A rút về gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này ông A không rút tiền ra và lãi không thay đổi? A. 54.073.000 đồng.B. 54.074.000 đồng.C. 70.398.000 đồng.D. 70.399.000 đồng. Lời giải Chọn D Sau một năm số tiền gốc lẫn lãi của ông A là 150 150.8% 150 1 8% triệu. 2 Sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi của ông A là 150 1 8% 1 8% 150 1 8% triệu. 5 Sau năm năm số tiền gốc lẫn lãi của ông A là 150 1 8% triệu. 5 Số tiền lãi ông A rút về là 150. 1 8% 150 70,399... triệu. Vậy số tiền lãi ông A rút về sau 5 năm gần với số tiền 70.399.000 đồng. Câu 20. Anh Nam dự định sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng để mua nhà. Mỗi năm anh phải gửi tiết kiệm bao nhiêu tiền (số tiền mỗi năm gửi như nhau ở thời điểm cách lần
8. gửi trước 1 năm) ? Biết lãi suất là 8% / năm, lãi hàng năm được nhập vào vốn và sau kỳ gửi cuối cùng anh đợi đúng 1 năm để có đủ 2 tỉ đồng. 0,08 0,08 A. 2 tỉ đồng.B. 2 tỉ đồng. 1,08 9 1,08 1,08 8 1,08 0,08 0,08 C. 2 tỉ đồng.D. 2 tỉ đồng. 1,08 7 1 1,08 8 1 Lời giải Chọn A Gọi M là số tiền anh Nam phải gửi hàng năm. Để sau 8 năm (kể từ lúc gửi tiết kiệm lần đầu) sẽ có đủ 2 tỉ đồng, tính luôn cả thời gian anh đợi để rút tiền ra thì anh gửi tất cả 8 lần. M n Ta có công thức T 1 r 1 1 r n r Tn .r 2 0,08 M 9 tỉ đồng. 1 r 1 r n 1 1.08 1,08  Mức độ 3 0 Câu 21. Cho biết rằng sự tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32 0 , nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì dân số sau N năm được tính theo công thức tăng trưởng liên tục S A.eNr trong đó A là dân số tại thời điểm mốc, S là số dân sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095triệu người. Biết năm 2020 dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 7879 triệu người. B. 7680 triệu người. C. 7782 triệu người. D. 7777 triệu người. Lời giải Chọn C Lấy năm 2013 làm mốc, ta có A 7095, N 2020 2013 7 1,32 7. Dân số thế giới vào năm 2020 là S 7095.e 100 7781,82 triệu người. Câu 22. Trên một chiếc đài Radio FM có vạch chia để người dùng có thể dò sóng cần tìm. Vạch ngoài cùng bên trái và vạch ngoài cùng bên phải tương ứng với 88Mhz và 108Mhz . Hai vạch này cách nhau 10cm . Biết vị trí của vạch cách vạch ngoài cùng bên trái d cm thì có tần số bằng d k.a Mhz với k và a là hai hằng số. Tìm vị trí tốt nhất của vạch để bắt sóng VOV1 với tần số 102,7 Mhz A. Cách vạch ngoài cùng bên phải 1,98cm.B. Cách vạch ngoài cùng bên phải 2,46cm . C. Cách vạch ngoài cùng bên trái 7,35cm .D. Cách vạch ngoài cùng bên trái 8,23cm Lời giải Chọn C d 0 k.a0 88 k 88 10 10 108 108 d 10 k.a 108 88.a 108 a10 a 10 88 88 Gọi d1 là vị trí để vạch có tần số 102,7 Mhz khi đó ta có
9. d1 d1 108 108 102,7 102,7 88. 10 102,7 10 d log 7,54 1 108 88 88 88 10 88 88 Vậy vị trí tốt nhất của vạch để bắt sóng VOV1 với tần số 102,7 Mhz là 7,35cm Câu 23. Người ta đã biết số p 2756839 1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân. A. 227830 chữ số.B. 227834 chữ số.C. 227832 chữ số.D. 227831 chữ số. Lời giải Chọn C +) 2756839 có chữ số tận cùng khác 0 nên 2756839 và p 2756839 1 có số các chữ số bằng nhau. +) Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của p 2756839 1 là: 756839 log 2 1 756839log 2 1 227831,2409 1 227832 Suy ra p 2756839 1 khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số. Câu 24. Một người gửi vào Ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0,6% /tháng (lãi kép). Hỏi hết kì hạn thì tổng số tiền người đó có được là bao nhiêu? A. 55,664 triệu đồng. B. 54,694 triệu đồng. C. 55,022 triệu đồng. D. 54,368 triệu đồng. Lời giải Chọn B Gọi T là số tiền cả vốn lẫn lãi sau 15 tháng. M là số tiền gửi ban đầu. n là số kì hạn tính lãi. r là suất định kỳ, tính theo %. Hết kì hạn thì số tiền người đó là: T M (1 r)n 50000000.(1 0.6%)15 54694003,63 54694000 đồng. Câu 25. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05% . Biết rằng, dân số của Việt Nam ngày 1 tháng 4 năm 2014 là 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào ngày 1 tháng 4 năm 2030 thì dân số của Việt Nam là A. 106.118.331 người. B. 198.049.810 người. C. 107.232.574 người. D. 107.323.573 người. Lời giải Chọn C Dân số vào ngày 1 tháng 4 năm 2030 là: 90.728.900 1 1,05% 16 107.232.574 người. Câu 26. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eNr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. 1.281.600;1.281.700 . B. 1.281.700;1.281.800 .
10. C. 1.281.800;1.281.900 . D. 1.281.900;1.282.000 . Lời giải Chọn B Áp dụng công thức S A.eNr từ đầu năm 2010 đến đầu năm 2015 ta có: 1 1153600 1153600 1038229.e5r r ln . 5 1038229 1 1153600 10. ln Đầu năm 2020 dân số của tỉnh Bắc Ninh là S 1038229.e 5 1038229 1281792 người. Câu 27. Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thứcS t S 0 .2t , trong đó S 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, S t là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 19 phút. B. 48 phút. C. 12 phút. D. 7 phút. Lời giải Chọn D S(3) 625 000 Từ giả thiết ta có S(3) S(0).23 hay S(0) 78125 . 23 8 Vậy sau t phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con thì 10 000 000 78125.2t 10 000 000 hay 2t 128 . Từ đây suy ra t 7 (phút). 78125 Câu 28. Anh Nam gửi 500 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất không thay đổi hàng năm là 7.5% năm. Sau 5 năm thì anh Nam nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là A. 685755000 đồng. B. 717815000 đồng. C. 667735000 đồng. D. 707645000 đồng. Lời giải Chọn B Số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau 5 năm là T 500.106 1 0.075 5 717815000 đồng. Câu 29. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính khoảng 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng 1,5% mỗi năm thì sau ít nhất bao nhiêu năm nữa dân số thế giới sẽ lên đến 10 tỉ người? A. 2 . B. 28 . C. 23. D. 24 . Lời giải Chọn D Áp dụng công thức: n Sn A 1 r S Suy ra: n n log 1 r A 1,5 Trong đó: A 7 ( tỉ người), S 10 ( tỉ người), r 1,5% n 100 Ta được n 23,95622454.
11. Vậy sau ít nhất 24 năm nữa dân số thế giới sẽ lên đến 10 tỉ người. Câu 30. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn quý với lãi suất 1,65% / quý. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì người đó nhận được 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi). A. 5 năm. B. 4 năm 2 quý. C. 3 năm 2 quý. D. 4 năm. Lời giải Chọn B Ta biết, nếu gửi số tiền A vào ngân hàng n kỳ hạn theo hình thức lãi kép với lãi suất không đổi của mỗi kỳ hạn là r thì sau n kỳ hạn số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là N A 1 r n . Gọi số kỳ hạn mà người đó gửi là n. n 1,65 n Sau n kỳ hạn số tiền cả vốn lẫn lãi nhận về là: N 15000000 1 15000000.1,0165 . 100 Theo giả thiết N 20000000 . n n 4 4 Vậy ta có: 15000000.1,0165 20000000 1,0165 n log1,0165 17,6 . 3 3 Kết luận: Người đó phải gửi ít nhất 18 kỳ hạn, tương đương 18 quý (tức 4 năm 2 quý). Câu 31. Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 2% /kỳ. Theo hình thức lãi kép, hết 6 tháng người đó gửi thêm 100 triệu đồng, với kỳ hạn và lãi suất như trước. Sau một năm kể từ lần gửi đầu tiên số tiền người đó có được gần nhất với số nào sau đây? A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu. Lời giải Chọn C Theo công thức lãi kép, sau 6 tháng ( 2 kỳ) số tiền người đó nhận được là a = 100(1+ 2%)2 = 104,04 triệu. Sau 6 tháng tiếp theo, số tiền người đó thu được tổng cộng là (a + 100)(1+ 2%)2 = 204,04.(1+ 2%)2 = 212,283216 triệu. Như vậy sau một năm số tiền người đó có được gần nhất với 212 triệu. Câu 32. Một thầy giáo gửi 200 triệu đồng loại kỳ hạn 6 tháng vào một ngân hàng với lãi suất 3,45% /kỳ. Hỏi sau 6 năm 9 tháng, thầy giáo đó nhận số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu? Biết rằng thầy giáo đó không rút lãi ở tất cả các kỳ hạn trước và nếu rút trước hạn thì ngân hàng sẽ trả lãi theo lãi suất không kỳ hạn 0,002% / ngày (Giả sử một tháng có 30 ngày). A. 471688328 đồng. B. 321556228 đồng. C. 311392503 đồng. D. 302088933 đồng. Lời giải Chọn C +) Gọi số tiền gửi ban đầu là T đồng, r là lãi suất của 1 kỳ. Theo thể thức lãi kép thì:
12. Sau kỳ thứ nhất, tổng số tiền thu về là: T1 T T.r T 1 r . 2 Sau kỳ thứ hai, tổng số tiền thu về là: T2 T1 T1.r T1 1 r T 1 r . n Sau kỳ thứ n , tổng số tiền thu về là: Tn T 1 r . +) Thầy giáo gửi tiền trong thời gian 6 năm 9 tháng nên trong 6 năm 6 tháng đầu (tương ứng với 13 kỳ mỗi kỳ 6 tháng) hưởng lãi suất 3,45% /1 kỳ, trong 90 ngày tiếp theo hưởng lãi suất không kỳ hạn 0,002% / ngày. 13 90 6 3,45 0,002 Vậy tổng số tiền thầy giáo nhận được là: 20.10 1 1 311392503 đồng. 100 100 Câu 33. Anh Nam mới ra trường và đi làm với mức lương khởi điểm là 6 triệu đồng/ tháng. Anh muốn dành một khoản tiền tiết kiệm bằng cách trích ra 20% lương hàng tháng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,5%/ tháng. Hỏi sau một năm, số tiền tiết kiệm của anh Nam gần nhất với số nào sau đây? A. 15 320 000 đồng. B. 14 900 000 đồng. C. 14 880 000 đồng. D. 15 876 000 đồng. Lời giải Chọn C Số tiền anh Nam trích ra từ tiền lương để gửi tiết kiệm hàng tháng là M 20%.6000000 1200000 đồng. Đầu mỗi tháng anh Nam gửi số tiền cố định là M vào ngân hàng với lãi suất cố định là r với kì hạn N tháng ta có công thức tính tiền thu được của anh sau N tháng gửi là 1 r N 1 T M (1 r) . r 1 0.5% 12 1 Từ đó suy ra T 1200000 1 0.5% 14876668 đồng. 0.5% Câu 34. Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty X với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất hàng năm không đổi là 6%/ năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân. A. 412,23 (triệu đồng). B. 393,12 (triệu đồng). C. 403,32 (triệu đồng). D. 293,32 (triệu đồng). Lời giải Chọn B Đặt p 6% 0.06 Theo bài ra ta có: Sau một năm số tiền có được là: 12 12 p 12. 1 p Sau hai năm số tiền có được là: 12 12. 1 p . 1 p 12. 1 p 1 p 2
13. 1 p 1 p n 1 2 n Sau n năm số tiền có được là: 12. 1 p 1 p ... 1 p 12. . 1 p 1 1 0,06 1 0,06 18 1 Sau 18 năm số tiền có được là: 12. 393,12 (triệu đồng). 1 0,06 1 Câu 35. Một kĩ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 7.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 9 tháng làm việc, mức lương của kĩ sư đó lại được tăng thêm 10% . Hỏi sau 4 năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được là bao nhiêu? A. 415.367.400 đồng. B. 418.442.010 đồng. C. 421.824.081 đồng. D. 407.721.300 đồng. Lời giải Chọn B Tổng tiền lương 9 tháng đầu là 9.7.106 (đồng). Tiền lương tháng 10 là 7.106 1 10% 7.106.1,1 đồng. Tổng tiền lương từ tháng 10 đến tháng 18 là 9.7.106.1,1 đồng. 2 Tiền lương tháng 19 là 7.106 1 10% 7.106.1,12 đồng. Tổng tiền lương từ tháng 19 đến tháng 27 là 9.7.106.1,12 đồng. 3 Tiền lương tháng 28 là 7.106 1 10% 7.106.1,13 đồng. Tổng tiền lương từ tháng 28 đến tháng 36 là 9.7.106.1,13 đồng. 4 Tiền lương tháng 37 là 7.106 1 10% 7.106.1,14 đồng. Tổng tiền lương từ tháng 37 đến tháng 45 là 9.7.106.1,14 đồng. 5 Tiền lương tháng 46 là 7.106 1 10% 7.106.1,15 đồng. Tổng tiền lương từ tháng 46 đến tháng 48 là 3.7.106.1,15 đồng. Tổng tiền lương sau 4 năm (từ tháng 1 đến tháng 48 ) là 418.442.010 đồng. Câu 36. Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gởi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng A với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% / tháng. Gọi A đồng là số tiền người đó có được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 3.350.000.000 A 3.400.000.000. B. 3.500.000.000 A 3.550.000.000. C. 3.450.000.000 A 3.500.000.000. D. 3.400.000.000 A 3.450.000.000. Lời giải Chọn A
14. Gọi a 4.000.000 là số tiền người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng, r 0,6% là lãi suất mỗi tháng. + Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là a 1 S a 1 r 1 r 1 1 r 1 r + Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền a đồng thì số tiền là 1 r 2 1 a 2 T a 1 r a a 1 r 1 a 1 r 1 1 1 r 1 r + Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là a 2 S 1 r 1 1 r 2 r + Từ đó ta có số tiền có được sau 12.25 300 tháng là a 300 4000000 300 S 1 r 1 1 r 1 0,6% 1 1 0,6% 3.364.000.000. 300 r 0,6% Câu 37. Một người mua một căn hộ với giá 900 triệu đồng. Người đó trả trước với số tiền là 500 triệu đồng. Số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng số tiền còn nợ là 0,5% mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau đúng mỗi tháng người đó trả số tiền cố định là 4 triệu đồng (cả gốc lẫn lãi). Tính số tháng tối thiểu (làm tròn đến hàng đơn vị) để người đó trả hết nợ. A. 133 tháng. B. 140 tháng. C. 136 tháng. D. 139 tháng. Lời giải Chọn D Tổng số tiền người đó cần phải trả là N 900 500 400 (triệu). Lãi suất hàng tháng là r 0,5% /tháng, số tiền cần phải trả mỗi tháng là A 4 (triệu). Gọi n là tổng số tháng cần phải trả. Số tiền gốc cuối tháng 1: N Nr A N r 1 A. 2 Cuối tháng 2: N r 1 A N r 1 A r A N r 1 A r 1 1 . N r 1 2 A r 1 1 1 r A N r 1 3 A r 1 2 r 1 1 . Cuối tháng 3: ..... N r 1 n A r 1 n 1 r 1 n 2 ... r 1 1 . Cuối tháng n : Sau n tháng, người đó trả hết số tiền N 400 triệu nên N r 1 n A r 1 n 1 r 1 n 2 ... r 1 1 0
15. N r 1 n A r 1 n 1 r 1 n 2 ... r 1 1 N 1 r n .r A 1 r n 1 . Thế số vào ta được 400. 1 0,5% n .0,5% 4 1 0,5% n 1 1 0,5% n 2 n 139 (tháng). Câu 38. Kết thúc năm 2017, thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam đạt 2300 USD / người / năm. Trong hội nghị mới đây bàn về “ Tầm nhìn mới, động lực mới cho tăng trưởng kinh tế”, đại diện chính phủ Việt Nam đặt mục tiêu thu nhập bình quân đầu người của nước ta vào cuối năm 2035 sẽ đạt mức 10000 USD / người / năm (theo giá hiện hành). Hỏi để đạt được mục tiêu đó, trung bình mỗi năm thu nhập bình quân đầu người của nước ta tăng bao nhiêu % (tính gần đúng). A. 8,2 . B. 8,7 . C. 7,5. D. 8,5 . Lời giải Chọn D Giả sử để đạt được mục tiêu đề ra, trung bình mỗi năm thu nhập bình quân đầu người của nước ta tăng x % . - Cuối năm 2018, thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam là: x x S1 2300 .2300 2300. 1 (USD). 100 100 - Cuối năm 2019, thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam là: 2 x x S2 S1 .S1 2300. 1 (USD). 100 100 - Cuối năm 2035, thu nhập bình quân đầu người của Việt Nam là: 18 x S18 2300. 1 (USD). 100 18 18 x x 100 Ta có: S18 10000 2300. 1 10000 1 100 100 23 x 100 18log 1 log x 8,5. 100 23 Câu 39. Bác Minh có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn khác nhau đều theo hình thức lãi kép. Bác gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% / quý. 200 triệu còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% / tháng. Sau khi gửi được đúng 1 năm, bác rút tất cả số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi vào kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Minh thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi? (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 75,304 triệu đồng. B. 75,303 triệu đồng. C. 470,656 triệu đồng. D. 475,304 triệu đồng.
16. Lời giải Chọn A n Công thức tính lãi kép là Sn A 1 r 4 Tổng số tiền bác Minh thu được sau 1 năm theo kì hạn quý là: S1 200 1 2,1% triệu đồng. 12 Tổng số tiền bác Minh thu được sau 1 năm theo kì hạn tháng là: S2 200 1 0,73% triệu đồng. Tổng số tiền bác Minh thu được sau 1 năm là S1 S2 triệu đồng. 12 Tổng số tiền bác Minh thu được sau 2 năm là S S1 S2 1 0,73% 475,304 triệu đồng. Vậy tiền lãi bác Minh thu được sau 2 năm là L S 400 75,304 triệu đồng. Câu 40. Ông A là một người già hết tuổi lao động. Trước khi hết tuổi lao động, ông ấy có dành dụm được một khoản tiền để gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất ưu đãi dành cho người già là 0,9% tháng. Sau khi gửi tiết kiệm ngân hàng, đủ mỗi tháng gửi, ông A đến ngân hàng rút ra một khoản tiền là 5 triệu đồng để chi tiêu hàng ngày. Sau đúng 5 năm kể từ ngày gửi tiết kiệm, số tiền tiết kiệm còn lại của ông ấy là 100 triệu đồng. Hỏi số tiền ban đầu mà ông A gửi tiết kiệm là bao nhiêu? (lấy kết quả gần đúng) A. 289,440 triệu đồng. B. 291,813 triệu đồng. C. 287,044 triệu đồng. D. 233,663 triệu đồng. Lời giải Chọn A Gọi số tiền ban đầu là M , lãi suất một tháng là r . Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn lãi ông A có trong ngân hàng là M Mr M 1 r . Ngay sau đó ông A rút 5 triệu đồng để chi tiêu nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ hai là M 1 r 5. Do đó hết tháng thứ hai, số tiền cả vốn lẫn lãi ông A có trong ngân hàng là 2 M 1 r 5 1 r M 1 r 5 1 r . Ngay sau đó ông A lại rút 5 triệu để chi tiêu nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ ba là M 1 r 2 5 1 r 5 . Cứ tiếp tục lập luận như vậy ta thấy sau tháng thứ n , n 2 , số tiền cả vốn lẫn lãi ông A có trong ngân hàng là 5 1 r n 1 n M 1 r n 5 1 r n 1 5 1 r n 2 ... 5 1 r 5 M 1 r . r Sau 5 năm tức là 60 tháng, số tiền còn lại trong ngân hàng là 100 triệu nên ta có
17. 5 1 r 60 1 60 5 1 r 1 100 M 1 r 60 200 M r 289,440 triệu đồng. r 1 r 60 Câu 41. Anh Quý vừa mới ra trường được một công ty nhận vào làm việc với cách trả lương như sau: 3 năm đầu tiên, hưởng lương 10 triệu đồng/tháng. Sau mỗi ba năm thì tăng thêm 1 triệu đồng tiền lương hàng tháng. Để tiết kiệm tiền mua nhà ở, anh Quý lập ra kế hạch như sau: Tiền lương sau khi nhận về chỉ dành một nửa vào chi tiêu hàng ngày, nửa còn lại ngay sau khi nhận lương sẽ gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,8% /tháng. Công ty trả lương vào ngày cuối của hàng tháng. Sau khi đi làm đúng 10 năm cho công ty đó anh Quý rút tiền tiết kiệm để mua nhà ở. Hỏi tại thời điểm đó, tính cả tiền gửi tiết kiệm và tiền lương ở tháng cuối cùng anh Quý có số tiền là bao nhiêu?(lấy kết quả gần đúng nhất) A. 1102,535 triệu đồng. B. 1089,535 triệu đồng. C. 1093,888 triệu đồng. D. 1111,355 triệu đồng. Lời giải Chọn A Đặt q 1 r 1,008 . Giả sử anh Quý bắt đầu đi làm từ ngày 01 tháng 01 năm X nào đó. Đến cuối tháng 1, đầu tháng 2, anh Quý bắt đầu gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 5 triệu đồng (một nửa số tiền lương hàng tháng). Số tiền gửi tiết kiệm ở đầu tháng thứ 3 là: 5q 5 . q36 1 Số tiền gửi tiết kiệm ở đầu tháng thứ 37 là: 5 q35 q34 ... 1 5 . q 1 Vì tiền lương kể từ tháng thứ 37 được tăng thêm 1 triệu đồng cho mỗi tháng lương, nên số tiền q36 1 gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 38 là: 5 q 5,5. q 1 q36 1 Số tiền gửi tiết kiệm ở đầu tháng thứ 39 là: 5 q2 5,5 1 q . q 1 Số tiền gửi tiết kiệm ở đầu tháng thứ 73 (tròn 6 năm đi làm) là: q36 1 q36 1 q36 1 5 q36 5,5 1 q ... q35 5 q36 5,5 . q 1 q 1 q 1 Lập luận tương tự như trên, số tiền tiết kiệm ở đầu tháng thứ 109(tròn 9 năm đi làm) là: q36 1 q36 1 q36 1 5 q72 5,5 q36 6. . q 1 q 1 q 1 Đến đầu tháng thứ 120 (tháng cuối cùng đang đi làm để tròn 10 năm), số tiền tiết kiệm là:
18. q36 1 q36 1 q36 1 q11 1 5 q72 11 5,5 q36 11 6. q11 6,5 q 1 q 1 q 1 q 1 Đến cuối tháng thứ 120(thời điểm tròn 10 năm đi làm) số tiền gửi ngân hàng anh Quý có được là: 36 36 36 11 q 1 83 q 1 47 q 1 11 q 1 5 q 5,5 q 6. q 6,5 q . q 1 q 1 q 1 q 1 Tại thời điểm này, anh Quý rút tiền để mua nhà ở, do đó tổng số tiền lương ở tháng cuối cùng và số tiền tiết kiệm 10 năm là: 36 36 36 11 q 1 83 q 1 47 q 1 11 q 1 5 q 5,5 q 6. q 6,5 q 13 1102,535 triệu đồng. q 1 q 1 q 1 q 1 DẠNG TOÁN 42: HÀM SỐ MŨ-LOGARIT (BÀI TOÁN THỰC TẾ) PHẦN II: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Lãi đơn Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính lãi đơn: Vn V0 1 r.n Trong đó: Vn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; V0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. 2. Lãi kép Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ. n a. Lãi kép, gửi một lần: Tn T0 1 r Trong đó: Tn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu;
19. n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. nr b. Lãi kép liên tục: Tn T0.e Trong đó: Tn : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo %. c. Lãi kép, gửi định kỳ. Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng. Bài toán 1: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu? Người ta chứng minh được số tiền thu được là: m n T 1 r 1 n r Bài toán 2: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: m 1 r n 1 Bài toán 3: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: n log1 r 1 . m Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng. Bài toán 4: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu? m n Người ta chứng minh được số tiền thu được là: T 1 r 1 1 r n r Bài toán 5: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tiền gửi mỗi tháng m là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tiền cần gửi mỗi tháng là: m 1 r 1 r n 1 Bài toán 6: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là A triệu. Hỏi số tháng hoặc năm n là bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh được số tháng thu được đề bài cho là: n log1 r 1 . m 1 r Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng. Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng. Cứ đầu mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn nợ là bao nhiêu? n n 1 r 1 Người ta chứng minh được số tiền còn nợ là: T A 1 r m 1 r n r II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Bài toán lãi suất Bài toán thực tế liên môn  BÀI TẬP MẪU
20. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Để quảng bá cho sản phẩm A , một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: Nếu sau n quảng 1 cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩmA tuân theo công thức: P n . 1 49.e 0,015n Hỏi cần ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30% ? A. 202. B. 203. C. 206. D. 207. Phân tích hướng dẫn giải Đây là dạng toán khảo sát thực tế liên quan hàm số mũ. . 2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: x  Bất phương trình mũ với cơ a 1: a b 0 x loga b . 1  Công thức mũ: a n an . 3. HƯỚNG GIẢI: 1 B1: Nêu điều kiện để số người đạt trên 30% : P n 0,3 0,3. 1 49.e 0,015n 1 ln 21 B2: Giải bất phương trình mũ: e 0,015n e0,015n 21 0,015n ln 21 n 202,97 . 21 0,015 B3: Kết luận. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 1 Để số người mua sản phẩm đạt trên 30% P n 0,3 0,3 1 49.e 0,015n 1 1 ln 21 1 49.e 0,015n e 0,015n e0,015n 21 0,015n ln 21 n 202,97 . 0,3 21 0,015 Vậy phải có ít nhất 203 lần quảng cáo. Chọn B Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 3 Câu 1. Một người gửi 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền nhiều hơn 600 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 9 năm. B. 10 năm. C. 11 năm. D. 12 năm. Lời giải Chọn C Kí hiệu số tiền gửi ban đầu là A , lãi suất một kì hạn là m thì số tiền cả gốc và lãi có được sau n kì hạn là A. 1 m n . Do đó, số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau n năm là 300.1,07n triệu đồng.