Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 31: Bất phương trình mũ – Lôgarit

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Dạng 31: Bất phương trình mũ – Lôgarit

1. DẠNG TOÁN 31: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: x + Nếu a 1, b 0 thì bất phương trình a b x loga b. x + Nếu 0 a 1, b 0 thì bất phương trình a b x loga b. + Nếu a 1 thì bất phương trình a f x a g x f x g x . + Nếu 0 a 1 thì bất phương trình a f x a g x f x g x . ( Tương tự với các bất phương trình a x b ; a x b ; a x b ; a f x a g x ; a f x a g x ; a f x a g x ). + Để giải bất phương trình mũ ta sử dụng các phương pháp. + Biến đổi đưa về bất phương trình cơ bản. + Đặt ẩn phụ. + Logarit hóa. + Hàm số. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Dạng bpt mũ cơ bản.  PP đưa về cùng cơ số  PP đặt ẩn phụ  PP logarit hóa  Phương pháp phân tích thành tích  Phương pháp hàm số, đánh giá  Bài toán bpt nghiệm đúng với mọi x thuộc K  Bài toán bpt có nghiệm, vô nghiệm trên K BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Tập nghiệm của bất phương trình 9x 2.3x 3 0 là A. 0; . B. 0; . C. 1; . D. 1; . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giải bất phương trình mũ. .
2. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Đặt t 3x 0. B2: Giải bất phương trình bậc hai theo t. B3: Trả lại phép đặt để tìm x. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B x 2 t 3 Đặt t 3 , t 0 ta được: t 2t 3 0 t 1. t 1 Với t 1 3x 1 x 0. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S 0; . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 3x 4 1 2x 3 3 Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình là. 4 4 A. ¡ . B. ;1 . C. 3; . D. 1; . Lời giải Chọn D 3x 4 1 2x 3 3 3x 4 1 2x x 1. 4 4 9x2 17 x 11 7 5x 1 1 Câu 2. Nghiệm của bất phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x . B. x . C. x . D. x . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 9x2 17 x 11 7 5x 2 1 1 2 2 2 2 9x 17x 11 7 5x 9x 12x 4 0 x 0 x 2 2 3 3 Câu 3. Tập nghiệm S của bất phương trình log3 1 x log3 2x 3 là 2 2 2 A. S ;1 . B. S ; . C. S ; . D. S 1; . 3 3 3 Lời giải Chọn A x 1 1 x 0 2 Bất phương trình tương đương với 2 x 1. 1 x 2x 3 x 3 3
3. Câu 4. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log 1 4x 9 log 1 x 10 . 2 2 A. 6 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số. Lời giải Chọn B 9 Điều kiện của bất phương trình là x . 4 19 1 Khi đó bất phương trình đã cho thành 4x 9 x 10 x . (Do a 1). 3 2 9 19 So điều kiện ta được x . 4 3 Do x ¢ nên x 3, 4, 5, 6 . 1 x Câu 5. Tập nghiệm S của bất phương trình 4 2 5.2x 2 0 . A. S 1;1. B. S  1;1. C. S ; 11; . D. S 1;1 . Lời giải Chọn B 1 x 1 Ta có 4 2 5.2x 2 0 2.22x 5.2x 2 0 2x 2 1 x 1. 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình S  1;1. Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình log6 x 5 x 1 là: A. 0;2  3;5 . B. 2;3 . C. 0;5 \ 2;3. D. 0;3  3;5 . Lời giải Chọn A Điều kiện: x 5 x 0 0 x 5 2 x 2 Ta có: log6 x 5 x 1 x 5 x 6 x 5x 6 0 . x 3 Kết hợp với điều kiện ta có x 0;2  3;5 x 1 2x 5 Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình 6 5 6 5 thì: A. 2; . B. 1; .C. ;2 .D. ;1 . Lời giải Chọn C 1 Ta có 6 5 . 6 5 1 nên: 6 5 6 5
4. x 1 2x 5 6 5 6 5 x 1 2x 5 6 5 6 5 x 1 2x 5 3x 6 x 2 . x 2 1 x Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình 3 là 3 A. 2; . B. 1;2 . C. 1;2. D. 2; . Lời giải Chọn A x 2 x 2 x 1 x 1 1 Ta có: 3 x 2 x 3 3 3 x 2 x 0 x 2 x 0 x 1 x 2 . x 2 x 2 x x 2 0 x 2 2x 1 2 x 3 4 Câu 9. Giải bất phương trình: ta được nghiệm là 4 3 A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. x 1. Lời giải Chọn A 2x 1 2 x 2x 1 2 x 3 4 3 3 Bất phương trình tương đương 2x 1 2 x x 1. 4 3 4 4 Câu 10. Bất phương trình log4 x 7 log2 x 1 có tập nghiệm là. A. 5; . B. 1;2 . C. 2;4 . D. 3;2 . Lời giải Chọn B Điều kiện: x 1 1 log x 7 log x 1 log x 7 log x 1 4 2 2 2 2 x 1 0 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1;2 . x 7 x 1 x 7 x 1 x x 6 0 3 x 2  Mức độ 2
5. x2 2x 1 1 Câu 1. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình . 5 125 A. 3 .B. 6. C. 4.D. 5 . Lời giải Chọn A x2 2x x2 2x 3 1 1 1 1 2 2 Ta có x 2x 3 x 2x 3 0 1 x 3. 5 125 5 5 Nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: 1; 2; 3 . Câu 2. Cho f x x.e 3x . Tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là 1 1 1 A. 0; .B. 0;1 . C. ; .D. ; . 3 3 3 Lời giải Chọn D Ta có f x e 3x 3x.e 3x 1 3x e 3x . 1 f x 0 1 3x e 3x 0 x . 3 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; . 3 Câu 3. Biết S a;b là tập nghiệm của bất phương trình 3.9x 10.3x 3 0 . Tìm T b a . 8 10 A. T . B. T 1.C. T . D. T 2 . 3 3 Lời giải Chọn D 2 1 Ta có 3.9x 10.3x 3 0 3. 3x 10.3x 3 0 3x 3 1 x 1. 3 Khi đó bất phương trình có tập nghiệm là S  1;1, do vậy T 1 1 2 . 1 2x Câu 4. Tập nghiệm của của bất phương trình log1 0 là. 3 x 1 1 1 1 1 A. S ; . B. S 0; .C. S ; .D. S ; . 3 3 3 2 3 Lời giải Chọn C 1 2x 1 Xét bất phương trình log1 0 điều kiện x 0; . 3 x 2 1 2x 1 2x Ta có: log1 0 1 3 x x
6. 1 2x 1 3x 1 0 0 x x 1 1 1 Mặt khác x 0; x . 2 3 2 x x 2 Câu 5. Có bao nhiêu nghiệm nguyên âm lớn hơn 2021 của bất phương trình 2 3 2 3 là. A. 2019 .B. 2020 . C. 2021 . D. 2018 . Lời giải Chọn A x x x x Vì 2 3 2 3 1 2 3 2 3 . x x 2 x x 2 Nên 2 3 2 3 2 3 2 3 x x 2 x 1. Mà x ¢ , x 2021 nên có x ¢ , 2021 x 1. Vậy có 1 2021 1 2019 nghiệm nguyên. 2 2 2 2x 2x Câu 6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 3 x log1 x 2 3 3 3 1 1 1 A. x = 3 B. S ;2 . C. S ;1 D. S ;5 3 2 3 Lời giải Chọn D 2x2 3 ĐK: x 0 0 x . 3 2 2x2 2x2 BPT log2 x log x 2 0 3 3 3 3 2x2 1 x 2x2 3 3 1 1 log x 2 x 1. 3 2 3 2x 2 x 9 3 Câu 7. Biết tập nghiệm S của bất phương trình log log3 x 2 0 là khoảng a;b . Tính b a. 6 A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 5. Lời giải Chọn A x 2 0 x 2 x 2 Điều kiện: x 3 . log3 x 2 0 x 2 1 x 3 log log3 x 2 0 log3 x 2 1 x 2 3 x 5 6 So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S 3;5 . Do đó: b a 5 3 2 .
7. 1 Câu 8. Cho f x .52x 1 ; g x 5x 4x.ln 5 . Tập nghiệm của bất phương trình f x g x là 2 A. x 0 . B. x 1 . C. 0 x 1. D. x 0 . Lời giải Chọn D 1 Ta có: f x .52x 1. 2x 1 .ln 5 52x 1.ln 5 . 2 Và: g x 5x.ln 5 4ln 5 5x 4 ln 5. Do đó: f x g x 52x 1.ln 5 5x 4 ln 5 52x 1 5x 4 5.52x 5x 4 0 4 5x VN 5 5x 1 x 0 . x 5 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x 0 . Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình 16x 5.4x 4 0 là: A. T ;1  4; . B. T ;14; . C. T ;0  1; . D. T ;01; . Lời giải Chọn C Đặt t 4x , t 0 . t 4 t 4 4x 4 x 1 16x 5.4x 4 0 trở thành t 2 5.t 4 0 . x t 1 0 t 1 0 4 1 x 0 Vậy T ;01; . Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 3x 1 là: A.  . B. ;log 2 3 . C. ;log2 3. D. log 2 3; . 3 3 Lời giải Chọn.B. x x 1 x 1 Cách 1: 2 3 x log2 3 x x 1 log2 3 x 1 log2 3 log2 3 2 log 3 x log log 3 x 2 x log 3. 2 3 2 2 2 log 3 2 3 x x x 1 2 Cách 2: 2 3 3 x log 2 3 . 3 3
8.  Mức độ 3 Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình 2.7x 2 7.2x 2 351. 14x có dạng là đoạn S a;b. Giá trị b 2a thuộc khoảng nào dưới đây? 2 49 A. 3; 10 .B. 4; 2 .C. 7; 4 10 .D. ; . 9 5 Lời giải Chọn C 72x 22x 2.7x 2 7.2x 2 351. 14x 49.7x 28.2x 351. 14x 49. 28. 351 14x 14x 7x 2x 7x 28 49. 28. 351. Đặt t ,t 0 thì bpt trở thành 49t 351 2x 7x 2x t 4 7 4 7x 7 t 4 x 2 , khi đó S  4;2 . 49 2 49 2x 2 Giá trị b 2a 10 7; 4 10 . x Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 8 x 2 36.32 x là 3 x 2 log2 6 x 2 A. . B. . x 4 x 4 4 x 2 log3 18 x 2 C. . D. . x 1 x 4 Lời giải. Chọn D Điều kiện: x 2 . x x 4 x 4 8 x 2 36.32 x 2 x 2 34 x log 2 4 x x 2 3 x 4 0 x 4 log3 2 x 4 0 x 4 x 4 1 0 x 2 log3 2 log3 2 2 x 1 0 0 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 . log 18 x log3 18 x 2 3 0 log3 18 x 2 x 2 x x Câu 3. Bất phương trình 2 1 2 1 2 2 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc  2019;2020. A. 4036 .B. 4037 . C. 2020 . D. 0 . Lời giải
9. Chọn B x x 1 Ta có 2 1 2 1 1. Vậy đặt t 2 1 , điều kiện t 0 . Suy ra 2 1 t 1 Bất phương trình đã cho trở thành t 2 2 0 t 2 2 2t 1 0 t 0 t x t 2 1 2 1 2 1 x 1 x x 1 t 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x 1 Vì x ¢ , x  2019;2020 nên x ¢ , x  2019; 1  1;2020 . Ta có:  2019; 1 có 1 2019 2018 số nguyên. 1;2020 có 2020 1 2019 số nguyên. Vậy nên 2018 2019 4037 . Câu 4. Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình 4x 2020m.2x 1 3 1010m 0 có nghiệm là A. m 1.B. m 2 .C. m 3 .D. m 0 . Lời giải Chọn A Đặt t 2x ,t 0 . Khi đó bất phương trình trở thành t 2 1010mt 3 1010m 0 t 2 3 1010m (do t 0 ). t 1 t 2 3 t 2 2t 3 Xét f t , ta có f t t 1 t 1 2 t 0 2 t 1 f t 0 t 2t 3 0 t 1 t 3 1 Để bất phương trình có nghiệm 1010m min f t 2 m . t 0 505 Vậy m 1 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5. Tìm m để bất phương trình 4x 2x 4 3m 2x 1 có nghiệm. A. m 1.B. m 1. C. m 3 .D. m 3 . Lời giải Chọn A Đặt t 2x ,t 0 .
10. Khi đó bất phương trình trở thành t 2 t 4 3m t 1 t 2 t 4 3m (do t 0 ). t 1 t 2 t 4 t 2 2t 3 Xét f t , ta có f t t 1 t 1 2 t 0 2 t 1 f t 0 t 2t 3 0 t 1 t 3 t 0 1 +∞ f'(t) 0 + 4 +∞ f(t) 3 Để bất phương trình có nghiệm 3m min f t 3 m 1. t 0 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x 3 5 2x m nghiệm đúng với mọi x ;log2 5 . A. m 4 . B. m 2 2 . C. m 4 . D. m 2 2 . Lời giải Chọn A x x log2 5 Đặt 2 t . Vì x log2 5 0 2 2 0 t 5 . Yêu cầu bài toán trở thành t 3 5 t m , t 0;5 . Xét hàm số f t t 3 5 t với t 0;5 . 1 1 Có f t . 2 t 2 2 5 t 1 1 f t 0 0 t 3 5 t t 3 5 t t 1. 2 t 3 2 5 t Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: m 4 . Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m.4x m 1 .2x 2 m 1 0 nghiệm đúngx ¡ ?
11. A. m 3 . B. m 1. C. 1 m 4 . D. m 0 . Lời giải Chọn B Bất phương trình m.4x 4 m 1 .2x m 1 0 m 4x 4.2x 1 1 4.2x 1 4.2x m 4x 4.2x 1 4t 1 Đặt 2x t (Điều kiện t 0 ). Khi đó m . Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng t2 4t 1 4t 1 x ¡ thì bất phương trình m nghiệm đúng t 0 . t2 4t 1 4t 1 4t2 2t Đặt f t f t 0,t 0 . 2 2 t 4t 1 t2 4t 1 4t 1 Hàm số nghịch biến trên 0; . Khi đó m t 0 khi và chỉ khi m f 0 1. t2 4t 1 Câu 8. Biết a là số thực dương bất kì để bất phương trình a x 9x 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 4 2 3 2 4 A. a 10 ;10 . B. a 10 ;10 . C. a 0;10 . D. 10 ; . Lời giải Chọn A Bất phương trình a x 9x 1đúng với mọi x ¡ thì nó phải đúng với x 1 a 10 . Do a 1 nên hàm số y a x đồng biến trên ¡ ; Đồ thị hàm số y a x có bề lõm quay lên trên. (hay hàm số là hàm số lõm trên ¡ ) Do hai đồ thị hàm số y a x và y 9x 1 luôn đi qua điểm A 0;1 nên bất phương trình x a 9x 1 nghiệm đúng với mọi x ¡ khi đường thẳng y 9x 1 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A 0;1 y 0 9 , với y a x ln a ln a 9 a e9 . 3 4 Vậy a 10 ;10 . Câu 9. Cho x , y là các số thực dương thoả mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y . A. P 6 . B. P 2 3 2 . C. P 3 2 2 . D. P 17 3 . Lời giải Chọn C
12. Ta có ln x ln y ln x2 y ln xy ln x2 y xy x2 y y x 1 x2 0 x2 x2 Mà x 0 , y 0 nên x 1 và y . Suy ra x y x . x 1 x 1 x2 1 Xét hàm số f x x 2x 1 , x 1. x 1 x 1 1 1 1 Ta có: f x 2 2 0 x 1 (Do x 1) f 1 3 2 2 . x 1 2 2 Bảng biến thiên Vậy min P 3 2 2 . Chú ý: Ta có tìm min của f x như sau: 1 1 1 f x 2x 1 2 x 1 3 2 2 x 1 3 2 2 3. x 1 x 1 x 1 1 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 x 1 2 x 1 . x 1 2 Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m.4x m 1 .2x 2 m 1 0 nghiệm đúngx ¡ ? A. m 3 . B. m 1. C. 1 m 4 . D. m 0 . Lời giải Chọn B Bất phương trình m.4x 4 m 1 .2x m 1 0 m 4x 4.2x 1 1 4.2x 1 4.2x m 4x 4.2x 1 4t 1 Đặt 2x t (Điều kiện t 0 ). Khi đó m . Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng t2 4t 1 4t 1 x ¡ thì bất phương trình m nghiệm đúng t 0 . t2 4t 1
13. 4t 1 4t2 2t Đặt f t f t 0,t 0 . 2 2 t 4t 1 t2 4t 1 4t 1 Hàm số nghịch biến trên 0; . Khi đó m t 0 khi và chỉ khi m f 0 1. t2 4t 1  Mức độ 4 Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x 3 x 6 15.2 x 3 5 2x là A. 0; .B. 1; . C.  3;1 .D.  3; . Lời giải Chọn B Điều kiện: x 3 Chia hai vế của bất phương trình cho 2x 0 , ta được: 22 x 3 x 6 15.2 x 3 5 2x 22 x 3 2x 6 15.2 x 3 x 5 1 2 x 3 x 3 x 3 x 3 4.2 15.2 4 0 Đặt t 2 x 3 x 3 , t 0 1 1 Bất phương trình trở thành: 4t 2 15t 4 0t 0 t 2 x 3 x 3 4 4 x 1 0 x 3 x 3 2 x 3 x 1 2 x 1. x 3 x 1 Vậy nghiệm của bất phưowng trình là 1; . 2 2 Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2x 2 2x 2 1 2x 1 là A. ;1 . B. 0;1 . C. 0;1 .D. 1; . Lời giải Chọn C Điều kiện 2x 1 0 x 0 . Đặt t 2x 1, t 0 2x t 2 1 2 Bất phương trình có dạng: t 2 1 2 t 2 1 2 1 t 2 2 t 2 1 2 t 2 1 2 1 t 2
14. 2 t 2 1 t 2 3 1 t 2 2 t 2 1 t 2 3 t 1 2 0 t 1 2 t 1 2 t 2 3 0 t 1 2 2t 2 0 t 1 3 0 t 1 2x 1 1 2x 2 x 1. Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình: 0;1 .  Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình xlog2 x x5logx 2 log2 x 18 0 có dạng S a;b  c;d , b c . Giá trị T 4a 2b c d là A. 6 .B. 8 .C. 1.D. 0 . Lời giải Chọn A Điều kiện: x 0 Phương trình: xlog2 x x5logx 2 log2 x 18 0 5 xlogx 2 xlog2 x 18 0 xlog2 x 32 xlog2 x 18 0 xlog2 x Đặt t xlog2 x , t 0 , khi đó bất phương trình có dạng: 32 t 18 0 t 2 18t 32 0 2 t 16 2 xlog2 x 16 t 2 log2 x log2 2 log2 x log2 16 1 log2 x 4 2 x 4 1 log x 4 2 1 1 . 2 log2 x 1 x 4 2 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ;  2;4 . 4 2 1 1 Vậy a ; b ; c 2; d 4 T 4a 2b c d 6. 4 2 x x x Câu 4. Bất phương trình 9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc  2019;2020. A. 2020 .B. 4040 . C. 4039 . D. 2019 . Lời giải
15. Chọn D x 3 x x 3 Ta có: 9 3 11 2 3 2 3 2 x 2 x x 2 5 2 6 3 2 3 2 x x x 3 2 . 3 2 3 2 3 2 1 x x 1 Do đó, đặt t 3 2 , t 0 3 2 . t Khi đó bất phương trình đã cho trở thành 1 t3 2t 2 2 1 t 4 2t3 t 2 0 t 1 t 2 t 2 t 1 0 2 t 1. t Kết hợp với điều kiện t 0 , ta được: x 0 t 1 2 3 1 x 0 . Để x ¢ , x  2019;2020 nên x ¢ , x  2019;0 . Vậy có 2019 nghiệm nguyên thỏa mãn. 2 2 Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình 2x x 1 1 2 2x 2 x 1 có dạng S a;b. Giá trị T 10a b là A. 2 . B. 8 . C. 10.D. 5. Lời giải: Chọn B Điều kiện x 1 0 x 1. 2 2 Bất phương trình tương đương. 2x .2 x 1 1 2x 2.2 x 1 1 2 0 u 2 x 1 1 Đặt , u 0,v 2 . x2 v 2 Khi đó bất phương trình có dạng: v 2 v 2 v 2 uv v 2u 2 0 u 1 v 2 0 u 1 0 u 1 2 2x 2 x2 1 x 1 . x 1 1 2 1 x 1 1 0 x 2 Vậy kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình: S 1;2 a;b . Nên T 10a b 8 . Câu 6. Trong tất cả các cặp số thực x; y thỏa mãn log 2x 2y 5 1, có bao nhiêu giá trị x2 y2 3 thực của m để tồn tại duy nhất cặp x; y sao cho x2 y2 4x 6y 13 m 0 ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0
16. Lời giải Chọn B 2 2 Ta có: log 2 2 2x 2y 5 1 2x 2y 5 x y 3 x y 3 2 2 x2 y2 2x 2y 2 0 x 1 y 1 4 1 . 1 là hình tròn C tâm I1 1;1 , bán kính R1 2 . 2 2 Mặt khác x2 y2 4x 6y 13 m 0 x 2 y 3 m 2 . x 2 Với m 0 , 2 . Ta thấy x; y 2; 3 không thỏa mãn bất phương trình 1 . y 3 Với m 0 , không tồn tại cặp x; y thỏa mãn 2 . Với m 0 thì phương trình 2 là phương trình đường tròn C tâm I2 2; 3 , bán kính R2 m . Tồn tại duy nhất cặp số x; y thỏa mãn hệ 1 và 2 khi và chỉ khi C và C có một điểm chung duy nhất hình tròn C và đường tròn C tiếp xúc ngoài với nhau, hoặc hình I1I2 R1 R2 5 m 2 tròn C nằm trong C và tiếp xúc trong với nhau I I R R 1 2 2 1 5 m 2 m 9 m 49. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 7. Cho bất phương trình m.3x 1 (3m 2)(4 7)x (4 7)x 0 , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ;0 . 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 3
17. Lời giải Chọn B m.3x 1 (3m 2).(4 7)x (4 7)x 0 x x 4 7 4 7 3m (3m 2). 0 3 3 x 4 7 Đặt t 3 Khi x 0 thì 0 t 1 3m 2 BPT trở thành 3m t 0, t 0;1 . t t 2 2 3m , t 0;1 t 1 t 2 2 Xét f (t) , t 0;1 t 1 t 2 2t 2 f t (t) 0 t 3 1 t 1 2 3 6 2 2 3 Vậy ycbt 3m m . 3 3 2 2 2 Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m.4x 2x 1 1 2m .10x 2x 1 m.25x 2x 1 0 1 nghiệm đúng với mọi x ;2 . 2 100 1 100 A. m 0 . B. m . C. m . D. m . 841 4 841 Lời giải Chọn D 2 2 2 m.4x 2x 1 1 2m .10x 2x 1 m.25x 2x 1 0 2 2 x 2x 1 x 2x 1 2. 5 5 m 1 2m . m. 0 1 2 2 x2 2x 1 5 2 1 Đặt t , Xét u x x 2x 1, x ;2 . 2 2
18. u x 2x 2 ; u x 0 x 1 1 7 u ; u 1 2;u 2 1 min u x 2 , max u x 1. 1 1 2 4 ; 2 ; 2 2 2 4 2 t 25 5 1 m 1 2m .t m.t 2 0 mt 2 1 2m t m 0 m t 2 2t 1 t t m t 2 2t 1 t 4 2 Xét hàm số f t ,t ; t 2 2t 1 25 5 t 2 1 t 1 l f t ; f t 0 t 2 1 0 2 t 2t 1 t 1 l 4 100 2 10 f ; f . 25 841 5 49 100 min f t . 4 2 ; 841 25 5 100 1 Vậy m thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ;2 . 841 2 2 2 Câu 9. Cho bất phương trình log7 x 2x 2 1 log7 x 6x 5 m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng 1;3 ? A. 35 . B. 36 . C. 34 . D. 33 . Lời giải Chọn C 2 2 log7 x 2x 2 1 log7 x 6x 5 m 2 2 x 6x 5 m 0 m x 6x 5 log 7 x2 2x 2 log x2 6x 5 m 2 7 7 6x 8x 9 m m max f x 1;3 , với f x x2 6x 5 ; g x 6x2 8x 9 m min g x 1;3 Xét sự biến thiên của hai hàm số f x và g x
19. + f x 2x 6 0,x 1;3 f x luôn nghịch biến trên khoảng 1;3 max f x f 1 12 1;3 + g x 12x 8 0,x 1;3 g x luôn đồng biến trên khoảng 1;3 min g x g 1 23 1;3 Khi đó 12 m 23 Mà m ¢ nên m 11; 10; ...;22 Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 10. Trong các nghiệm x; y thỏa mãn bất phương trình log 2 2 2x y 1. Giá trị lớn nhất của x 2 y biểu thức T 2x y bằng: 9 9 9 A. . B. . C. . D. 9. 4 2 8 Lời giải Chọn B Trường hợp 1: x2 2y2 1. Đặt 2y z . Suy ra x2 z2 1 1 log 2x y 1 x2 2 y2 2x y x2 2y2 z 2x x2 z2 2 2 2 1 9 x 1 z 2 2 2 8 2 2 Tập hợp các điểm M x; z là miền H bao gồm miền ngoài của hình tròn C1 : x z 1 2 2 1 9 và miền trong của hình tròn C2 : x 1 z . 2 2 8
20. z T 2x 2 2 2 1 9 z Hệ x 1 z có nghiệm khi đường thẳng d :2x T 0 có điểm chung 2 2 8 2 x2 z2 1 với miền H . z Để T đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng d :2x T 0 tiếp xúc với đường tròn C 2 2 3 1 d I;d với I 1; là tâm của đường tròn C2 . 2 2 2 2 1 2 T T 0 (l) 4 3 9 9 T 9 1 2 2 4 4 T 4 2 2 Trường hợp 2: 0 x2 2y2 1. 2 2 log 2 2 2x y 1 2x y x 2y T 2x y 1 (loại). x 2 y 9 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T 2x y là maxT . 2