Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 10 - Chương III: Phương trình hệ phương trình - Năm học 2021-2022

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 10 - Chương III: Phương trình hệ phương trình - Năm học 2021-2022

1. ÔN TẬP CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ÔN TẬP ĐẠI CƯƠNG VỀ PT 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x)= g(x) (1) trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f (x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f (x0 )= g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). 3. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 4. Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 5. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x)= g(x) đều là nghiệm của phương trình f1 (x)= g1 (x) thì phương trình f1 (x)= g1 (x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x)= g(x).
2. Ta viết f (x)= g(x)Þ f1 (x)= g1 (x). Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. II – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận b a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất x = - a b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2) D = b2 - 4ac Kết luận - b ± D D > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt x = 1, 2 2a b D = 0 (2) có nghiệm kép x = - 2a D < 0 (2) vô nghiệm 3. Định lí Vi–ét 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì b c x + x = - , x x = . 1 2 a 1 2 a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0.
3. 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. III – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0 ) đều là nghiệm. b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành a c y = - x + (2) b b Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïì a x + b y = c íï 1 1 1 (3) ï îï a2 x + b2 y = c2 Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. 3. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d,
4. trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ïì a1x + b1 y + c1z = d1 ï íï a x + b y + c z = d (4) ï 2 2 2 2 ï îï a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ;z0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: 2x 3 Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình - 5 = là x 2 + 1 x 2 + 1 A. x ¹ 1. B. x ¹ - 1. C. x ¹ ± 1. D. x Î ¡ . Lời giải. Chọn D. Vì x 2 + 1 ¹ 0 với mọi x Î ¡ . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là A. x > 3. B. x ³ 2. C. x ³ 1. D. x ³ 3. ïì x - 1³ 0 ïì x ³ 1 ï ï Lời giải. Phương trình xác định khi íï x - 2 ³ 0 Û íï x ³ 2 Û x ³ 3. Chọn D. ï ï îï x - 3 ³ 0 îï x ³ 3 1 Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình = x + 3 là: x 2 - 4 A. x ³ - 3 và x ¹ ± 2. B. x ¹ ± 2. C. x > - 3 và x ¹ ± 2. D. x ³ - 3. ïì x 2 - 4 ¹ 0 ïì x ¹ ± 2 Lời giải. Phương trình xác định khi íï Û íï . Chọn A. îï x + 3 ³ 0 îï x ³ - 3 1 4 - 3x Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình x + 2- = là x + 2 x + 1 4 A. x > - 2 và x ¹ - 1. B. x > - 2 và x < . 3 4 C. x > - 2, x ¹ - 1 và x £ . D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1. 3
5. ì x > - 2 ì ï ï x + 2 > 0 ï ï ï 4 Lời giải. Phương trình xác định khi íï 4 - 3x ³ 0 Û í x £ . Chọn C. ï ï 3 îï x + 1 ¹ 0 ï îï x ¹ - 1 Câu 5. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ? A. (2 + x)(- x 2 + 2x + 1)= 0. B. (x - 2)(x 2 + 3x + 2)= 0. C. x 2 - 3 = 1. D. x 2 - 4x + 4 = 0. 2 Lời giải. Ta có x - 4 = 0 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 = {- 2;2} . Xét các đáp án: éx + 2 = 0 éx = - 2  Đáp án A. Ta có (2 + x) - x 2 + 2x + 1 = 0 Û ê Û ê . Do đó, tập nghiệm của ( ) ê 2 ê ë- x + 2x + 1 = 0 ëêx = 1± 2 phương trình là S1 = {- 2;1- 2;1+ 2} ¹ S0 . éx = 2 éx - 2 = 0 ê  Đáp án B. Ta có (x - 2) x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê Û êx = - 1 . Do đó, tập nghiệm của phương ( ) ê 2 ê ëx + 3x + 2 = 0 ê ëx = - 2 trình là S2 = {- 2;- 1;2} ¹ S0 . 2 2  Đáp án C. Ta có x - 3 = 1 Û x - 3 = 1 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = {- 2;2} = S0 . Chọn C. 2  Đáp án D. Ta có x - 4x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S4 = {2} ¹ S0 . x (x - 2) Câu 6. Cho hai phương trình: x (x - 2)= 3(x - 2) (1) và = 3 (2). Khẳng định nào sau đây là x - 2 đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương. C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). D. Phương trình (2)có tập nghiệm S1 = {2;3} . Lời giải. Ta có: éx - 2 = 0 éx = 2  Phương trình (1)Û ê Û ê . Do đó, tập nghiệm của phương trình 1 là S = 2;3 . ê ê ( ) 1 { } ëx = 3 ëx = 3 ïì x - 2 ¹ 0  Phương trình (2)Û í Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình (2) là S2 = 3 . îï x = 3
6. Vì S2 Ì S1 nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). Chọn A. Câu 7. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. ïì x ³ 0 ï Lời giải. Điều kiện: íï x - 2 ³ 0 Û x = 2 . ï îï 2- x ³ 0 Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 8. Tập nghiệm của phương trình x 2 - 2x = 2x - x 2 là: A. S = {0}. B. S = Æ. C. S = {0;2}. D. S = {2}. ïì x 2 - 2x ³ 0 ïì x 2 - 2x ³ 0 éx = 0 Lời giải. Điều kiện: íï Û íï Û x 2 - 2x = 0 Û ê . ï 2 ï 2 ê îï 2x - x ³ 0 îï x - 2x £ 0 ëx = 2 Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C. 1 2x - 1 Câu 9. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x - 1 x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x ¹ 1. Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 - x + 1 = 2x - 1 Û x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B. Câu 10. Phương trình x (x 2 - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Điều kiện: x - 1³ 0 Û x ³ 1. éx = 0 éx = 0 ê ê ê 2 - = Û ê = ± Phương trình tương đương với êx 1 0 êx 1. ê ê = 1 ëê x - 1 = 0 ëx
7. Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ± 2. D. m = - 2. ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 2 . îï 3m + 6 ¹ 0 îï m ¹ - 2 Chọn B. Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất. A. m = - 1. B. m = 2. C. m ¹ - 1. D. m ¹ 2. Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 . Chọn D. Câu 13. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: ïì a ¹ 0 ïì a = 0 A. a = 0. B. íï hoặc íï . îï D = 0 îï b ¹ 0 ïì a ¹ 0 C. a = b = c = 0. D. íï . îï D = 0 Lời giải.  Với a = 0 . Phương trình trở thành bx = - c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi b ¹ 0 .  Với a ¹ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D = 0 . Chọn B. Câu 14. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 + 4x + 2 = 0. B. 2x 2 - 5x - 7 = 0. C. - 3x 2 + 5x - 2 = 0. D. x 3 - 1 = 0. Lời giải. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có (- 1)2 + 4.(- 1)+ 2 = - 1 ¹ 0 .  Đáp án B. Ta có 2.(- 1)2 - 5.(- 1)- 7 = 0 .  Đáp án C. Ta có - 3.(- 1)2 + 5.(- 1)- 2 = - 10 ¹ 0 .
8.  Đáp án D. Ta có (- 1)3 - 1 = - 2 ¹ 0 . Chọn B. Câu 15. Nghiệm của phương trình x 2 - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và y = - 7x + 12. B. y = x 2 và y = - 7x - 12. C. y = x 2 và y = 7x + 12. D. y = x 2 và y = 7x - 12. Lời giải. Ta có x 2 - 7x + 12 = 0 Û x 2 = 7x - 12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x 2 và y = 7x - 12 . Chọn D. Câu 16. Phương trình (m - 1)x 2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 5 A. m > - 8. B. m > - . C. m > - 8; m ¹ 1. D. m > - ; m ¹ 1. 4 4 ïì m - 1 ¹ 0 ïì m ¹ 1 Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi íï Û íï îï D ¢> 0 îï m + 8 > 0 ïì m ¹ 1 Û íï . Chọn C. îï m > - 8 Câu 17. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m > 1. B. m < 1. C. m ³ 1. D. m £ 1. ïì m - 1 ¹ 0 ïì a ¹ 0 ï Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi í Û í - 1 îï P < 0 ï < 0 îï m - 1 Û m - 1> 0 Û m > 1 . Chọn A. 2 2 Câu 18. Giả sử phương trình x - (2m + 1)x + m + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2 ) theo m. A. P = 3m2 - 10m + 6. B. P = 3m2 + 10m - 5. C. P = 3m2 - 10m + 1. D. P = 3m2 + 10m + 1. ïì x x = m2 + 2 Lời giải. Theo định lý Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1 + x2 = 2m + 1 Thay vào P , ta được P = 3(m2 + 2)- 5(2m + 1)= 3m2 - 10m + 1. Chọn C. x 2 - 5x 4 Câu 19. Tập nghiệm của phương trình = - là: x - 2 x - 2
9. A. S = {1;4}. B. S = {1}. C. S = Æ. D. S = {4}. Lời giải. Điều kiện x > 2. 2 éx = 1 loaïi x - 5x 4 2 ê ( ) Khi đó phương trình Û = - Û x - 5x + 4 = 0 Û ê x - 2 x - 2 ëx = 4 ¾ ¾® S = {4}. Chọn D. x 2 - 4x - 2 Câu 20. Phương trình = x - 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? x - 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 > 0 Û x > 2. Từ phương trình đã cho ta được éx = 0 x 2 - 4x - 2 = x - 2 Û x 2 - 5x = 0 Û ê . ê ëx = 5 So với điều kiện x > 2 thì x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn A. ïì x + y + z = 11 ï Câu 21. Nghiệm của hệ phương trình íï 2x - y + z = 5 là: ï îï 3x + 2y + z = 24 A. (x; y;z)= (5;3;3). B. (x; y;z)= (4;5;2). C. (x; y;z)= (2;4;5). D. (x; y;z)= (3;5;3). Lời giải. Từ phương trình x + y + z = 11 suy ra z = 11- x - y. Thay vào hai phương trình còn lại ta ïì 2x - y + 11- x - y = 5 được hệ phương trình, ta được íï îï 3x + 2y + 11- x - y = 24 ïì x - 2y = - 6 ïì x = 4 Û íï Û íï . Từ đó ta được z = 11- 4 - 5 = 2. îï 2x + y = 13 îï y = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y;z)= (4;5;2). Chọn B. Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được (x; y;z)= (4;5;2) là nghiệm của hệ phương trình. Câu 22. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ?
10. A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn. Lời giải. Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7,5 tấn. Điều kiện: x, y, z nguyên dương. ïì x + y + z = 57 ï Theo giả thiết của bài toán ta có íï 3x + 5y + 7,5z = 290. ï îï 22,5z = 6x + 15y Giải hệ ta được x = 20, y = 19, z = 18. Chọn B. Câu 23. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em. Lời giải. Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z. Điều kiện: x, y, z nguyên dương. ïì x + y + z = 128 ï Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình íï 3x + 2y + 6z = 476. ï îï 4x + 5y = 375 Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. Chọn A.