Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Dạng 2: Cấp số cộng. Cấp số nhân

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Dạng 2: Cấp số cộng. Cấp số nhân

1. DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHẦN I: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Cấp số cộng  Định nghĩa: * Nếu un là cấp số cộng với công sai d , ta có: un 1 un d với n ¥ .  Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng un có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un u1 n 1 d với n 2.  Tính chất: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng u u kề với nó, nghĩa là u k 1 k 1 với k 2. k 2  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: n u u n 2u1 n 1 d Cho cấp số cộng u . Đặt S u u ... u . Khi đó: S 1 n . n n 1 2 n n 2 2 2. Cấp số nhân  Định nghĩa: * Nếu un là cấp số nhân với công bội q , ta có: un 1 un .q với n ¥ .  Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi n 1 công thức: un u1.q với n 2.  Tính chất: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số 2 hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk uk 1.uk 1 với k 2.  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
2. n u1 1 q Cho cấp số nhân u với công bội q 1. Đặt S u u ... u . Khi đó: S . n n 1 2 n n 1 q  Cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q sao cho q 1. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho un là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo u công thức S u u ... u ... 1 . 1 2 n 1 q II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Nhận dạng, khai triển CSC.  Xác định U1,d,n,Un ,Sn của CSC (cụ thể).  Xác định Un ,Sn của CSC (tổng quát).  Bài toán khác liên quan tổng của CSC.  Điều kiện để dãy số thành CSC.  Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành CSC.  Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSC.  Nhận dạng, khai triển CSN.  Xác định U1,q,n,Un ,Sn của CSN (cụ thể).  Xác định Un ,Sn của CSN (tổng quát).  Bài toán khác liên quan tổng của CSN.  Điều kiện để dãy số thành CSN.  Điều kiện để nghiệm pt lập thành CSN.  Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSN.  Bài toán liên quan đến CSN lùi vô hạn.  Toán tập hợp cả CSC và CSN. ..
3. BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho cấp số cộng un biết u1 3,u2 9 . Công sai của cấp số cộng đó bằng A. 6.B. 3.C. 12.D. 6 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm công sai của cấp số cộng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định công thức un 1 theo un . B2: Kết quả là hiệu un 1 un . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có: u1 3,u2 9 nên d u2 u1 9 3 6. Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng: A. 1,3,7,11,13 .B. 0,2,6,8,10 . C. 11,14,17,20,24 . D. 7,3, 1, 5, 9 . Lời giải Chọn D Dãy số 7,3, 1, 5, 9 là cấp số cộng với u1 7;d 4 . Câu 2. Cho một cấp số cộng un có u1 5;u8 44 . Công sai của cấp số cộng bằng A. 3. B. 5.C. 7. D. 9. Lời giải Chọn C Ta có u8 44 u1 7d 44 5 7d 44 d 7 . Câu 3. Cho cấp số cộng un có u1 28 và công sai d 5. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng bằng : A. u10 22 . B. u10 7 . C. u10 17 . D. u10 12 . Lời giải Chọn C Ta có un u1 n 1 d u10 u1 9d 28 9. 5 17 .
4. Câu 4. Cho cấp số cộng un có công sai d 2 và số hạng thứ 5 bằng 9. Số hạng thứ nhất của cấp số cộng bằng: A. 15. B. 17. C. 19. D. 21. Lời giải Chọn B Ta có un u1 n 1 d u5 u1 4d u1 4. 2 9 u1 17 . Câu 5. Cho cấp số cộng un có u1 28 và công sai d 6 . Hỏi 32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải Chọn C Ta có un u1 n 1 d 32 28 n 1 . 6 n 11. Câu 6. Cho cấp số cộng un có u1 32 và công sai d 8. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: A. S10 20 . B. S10 80 . C. S10 60 . D. S10 40 . Lời giải Chọn D 10 2u 9d Ta có S 1 40. 10 2 Câu 7. Cho cấp số cộng có u1 2 và un 1 un 3 . Số hạng thứ 15của cấp số cộng bằng: A. u15 42 .B. u15 44 . C. u15 24 . D. u15 31 . Lời giải Chọn B Gọi d là công sai của cấp số cộng . Ta có: un 1 un 3 un 1 un 3 d 3. Suy ra: u15 u1 14d 2 14.3 44. Câu 8. Cho cấp số cộng un có công sai d và Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng . Công thức nào sau đây là đúng: u u u u u u A. S 1 n . B. u u nd . C. u 3 5 . D. u 1 n 1 n 2 n 1 4 2 n 2 Lời giải Chọn C
5. u u u u Ta có: u k 1 k 1 u 3 5 . k 2 4 2 Câu 9. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân: A. 2;4;6;8;10 .B. 5;10;15;20;25. C. 3;9;27;81;243. D. 2; 4;8; 16; 32 . Lời giải Chọn C Dãy số 3;9;27;81;243 là cấp số nhân với u1 3;q 3. n * Câu 10. Cho cấp số nhân un biết un 2 ,n N . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên. A. u1 2 ; q 2 . B. u1 2 ; q 2 . C. u1 1; q 2 . D. u1 2 ; q 2 . Lời giải Chọn D n n 1 n 1 * Ta có : un 2 2.2 u1.q ,n N . Nên u1 2 ; q 2 . Câu 11. Cho cấp số nhân un , biết u1 2;u2 10 . Lựa chọn đáp án đúng. A. q 10 . B. q 5. C. q 5 . D. q 12 . Lời giải Chọn B u2 10 Ta có: u2 u1.q q q 5 . u1 2 Câu 12. Cho cấp số nhân un , biết u1 3;q 2 . Tìm u3 . A. u3 11. B. u3 12 . C. u3 16 . D. u3 14 . Lời giải Chọn B n 1 2 Áp dụng công thức: un u1.q u3 3. 2 12 . Câu 13. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 5 và công bội q 2 .Tính S6 . . 155 A. S . B. S 105. C. S 315. D. S 315 . 6 3 6 6 6 Lời giải Chọn B 6 q6 1 2 1 Ta có S u . 5. 105 . 6 1 q 1 2 1
6. 1 Câu 14. Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Tìm q ? n 1 2 7 1 A. q 1. B. q . C. q 2 . D. q 4 . 2 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có: n 1 6 6 q 2 un u1q u7 u1.q q 64 . q 2 Câu 15. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 , công bội q . Với mọi giá trị của n 2 , n ¥ . Khẳng định nào sau đây là đúng? n u1 1 q A. u u n 1 q . B. u u .qn 1 . C. u u q . D. S . n 1 n 1 n n 1 n q 1 Lời giải Chọn B Câu 16. Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn? n 2 4 8 2 1 1 1 1 A. , , ,...., ,.... B. , , ,..., n ,... . 3 9 27 3 3 9 27 3 n n 1 3 9 27 3 1 1 1 1 1 C. , , ,...., ,.... D. 1, , , , ,..., ,.... 2 4 8 2 2 4 8 16 2 Lời giải Chọn C n 3 9 27 3 3 Chọn đáp án , , ,...., ,... vì cấp số nhân này có công bội q 1. 2 4 8 2 2 Câu 17. Cho cấp số nhân un , biết u1 3;q 2 và un 192 . Tìm n . A. n 4 . B. n 5. C. n 7 . D. n 6 . Lời giải Chọn C n 1 n 1 Áp dụng công thức: un u1.q 192 3.2 n 7 .  Mức độ 2 Câu 1. Cho cấp số cộng un có u1 2 và công sai d 3. Số hạng tổng quát un là A. un 3n 5 . B. un 3n 2 .C. un 2n 3. D. un 3n 2 .
7. Lời giải Chọn A Ta có un u1 n 1 d 2 n 1 .3 3n 5 . Câu 2. Cho cấp số cộng un biết u27 76 và u83 244 . Khi đó số hạng đầu u1 của cấp số cộng đã cho bằng A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho. u 27 76 u1 26d 76 u1 2 Áp dụng công thức un u1 n 1 d , ta có: . u83 244 u1 82d 244 d 3 1 5 Câu 3. Cho cấp số cộng (u ) có 4 số hạng, biết u và u . Tìm các số hạng còn lại? n 1 2 4 2 1 3 A. u ; u . B. u 1; u 2 . 2 2 3 2 2 3 3 1 C. u 1; u . D. u ; u 2 . 2 3 2 2 2 3 Lời giải Chọn A 5 5 1 5 Ta có: u u 3d 3d d 1. 4 2 1 2 2 2 1 1 1 3 Vậy u u d 1 , u u d 1 . 2 1 2 2 3 2 2 2 Câu 4. Cho cấp số cộng có u1 1 và S23 483 . Công sai của cấp số cộng là: A. d 3.B. d 4 . C. d 2 .D. d 2 . Lời giải Chọn D Gọi d là công sai của cấp số cộng . n u u n u1 u1 n 1 d n 2u1 n 1 d Ta có: S 1 n . n 2 2 2 23 2u1 22d 23 2 22d Vậy: S23 483 d 2. 2 2 Câu 5. Cho cấp số cộng un có u27 u2 83. Khi đó tổng 28 số hạng đầu tiên của cấp số cộng un là
8. A. S28 1162 . B. S28 1612 . C. S28 2611 . D. S28 1261. Lời giải Chọn A Gọi d và u1 lần lượt là công sai và số hạng đầu của cấp số cộng un . 28 u u 28 u d u d 28 u u 28.83 Ta có: S 1 28 2 27 2 27 1162 . 28 2 2 2 2 u1 2020 Câu 6. Cho dãy cấp số cộng un thoả mãn n ¥ , n 1 . Tìm công thức số hạng un 1 un 5 tổng quát của dãy số? Lời giải Chọn D Công sai: d 5. Số hạng đầu tiên u1 2020 Số hạng tổng quát un u1 5 n 1 2025 5n Câu 7. Cho cấp số cộng có u1 2 và u2 8 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là: A. n 2n 1 .B. n 3n 1 . C. 2n 3n 1 .D. n 3n 1 . Lời giải Chọn D Cấp số cộng có u1 2 và u2 8 nên d 6 . n 2u n 1 d n 2.2 n 1 6 Ta có: S 1 n 3n 1 . n 2 2 Câu 8 . Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng n n A. u n2 . B. u 1 n . C. u . D. u 2n . n n n 3n n Lời giải Chọn D Ta có: un 1 un 2 n 1 2n 2;n ¥ un 2n là cấp số cộng. 2u u 17 Câu 9. Cho cấp số cộng (u ) biết 3 6 . Tìm số hạng đầu u và công sai d ? n 1 S10 105 A. u1 5; d 12 . B. u1 12; d 5. C. u1 5; d 12 . D. u1 12; d 5. Lời giải
9. Chọn B Ta có: 2u3 u6 17 2 u1 2d u1 5d 17 u1 d 17 S10 105 5 2u1 9d 105 2u1 9d 21 u1 d 17 u1 12 . 2 d 17 9d 21 d 5 u20 8u17 Câu 10. Cấp số nhân un có . Tìm số hạng u1 biết u1 100 . u1 u5 272 A. u1 16 . B. u1 2 . C. u1 16 . D. u1 2 . Lời giải Chọn A Ta có 19 16 u q16 q3 8 0 1 u20 8u17 u1q 8u1q 1 4 4 u1 u5 272 u u q 272 u 1 q 272 2 1 1 1 q 0 Từ (2) suy ra u1 0 , do đó 1 . q 2 Nếu q 0 thì 2 u1 272 không thỏa điều kiện u1 100 . Nếu q 2 thì 2 u1 16 thỏa điều kiện u1 100 . u1 u2 u3 13 Câu 11. Cho cấp số nhân un thỏa . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân un là: u4 u1 26 A. S8 3280 . B. S8 9841. C. S8 3820 . D. S8 1093 . Lời giải Chọn A Ta có 2 u 1 q q 13 3 u1 u2 u3 13 1 q 1 26 q 1 2 q 3 u 1 3 2 1 u4 u1 26 u q 1 26 1 q q 13 1 1 1 38 Vậy S 3280 . 8 1 3 Câu 12. Cho cấp số nhân un vớiu1 4; q 4. Viết số hạng tổng quát un ? A. 4 4 n . B. 4 n . C. 4. 4 n 1 . D. 4n .
10. Lời giải Chọn C n 1 n 1 Ta có số hạng tổng quát un u1.q 4. 4 . Câu 13. Cho cấp số nhân hữu hạn un có u1 3; u2 6 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là: n n n n A. Sn 3 2 1 . B. Sn 6 2 1 . C. Sn 2 1. D. Sn 3 2 3 . Lời giải Chọn A u2 6 Ta có: u1 3; u2 6 q 2 . u1 3 u 1 qn 3 1 2n 1 n Khi đó: Sn 3 2 1 . 1 q 1 2 Câu 14. Cho cấp số nhân u biết u 5; u 135 và tổng S u u .... u 910. Tìm n ? n 1 4 n 1 2 n A. 362. B. 363. C. 364. D. 365. Lời giải Chọn C 3 3 Ta có: u4 u1.q 5.q 135 q 3 . n n u1 1 q 5 1 3 Khi đó S 910 n 364 . n 1 q 1 3 Câu 15. Cho cấp số cộng un có u1 1;un 2019 2018n . Tìm công sai d? A. d 2018 . B. d 2019 . C. d 2019 . D. d 2018. Lời giải Chọn D Ta có: un 2019 2018n u1 n 1 d 2019 2018n 1 d nd 2019 2018n 1 d 2019 d 2018 . nd 2018n Câu 16. Cho ba số thực a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 2 2 2 2 A. a c 2ab 2bc . B. a c 2ab 2bc . 2 2 2 2 C. a c 2ab 2bc . D. a c ab bc . Lời giải Chọn C
11. Vì a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có: a c 2b b a c b b a 2 c b 2 b2 2ab a2 c2 2bc b2 a2 c2 2ab 2bc. Câu 17. Xác định a để 3 số: 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a . B. a 0 . C. a 1. D. a 2 . Lời giải Chọn A Ba số: 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a2 5 1 3a 1 a a2 5 a2 3a 4 a2 a 4 a2 a 4 0 . PT vô nghiệm. Suy ra chọn đáp án A. Câu 18. Xác định x để 3 số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x. B. x 1. C. x 2. D. x 3. Lời giải Chọn A Ba số x 2; x 1; 3 x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân x 2 3 x x 1 2 2x2 3x 7 0 ( Phương trình vô nghiệm) Câu 19. Cho bốn số 2; x;8; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính x y . A. 20 . B. 36 . C. 16. D. 40 . Lời giải: Chọn A x 4 x 4 x2 16 y 16 Theo giả thiết ta có x 4 x y 20 . 2 xy 8 x 4 xy 64 y 16  Mức độ 3 Câu 1. Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Góc có số đo lớn nhất của tứ giác là A. 165 . B. 156 . C. 150 . D. 135 . Lời giải
12. Chọn C Theo đề ta có: u1 u2 u3 u4 360 30 30 d 30 2d 30 3d 360 d 40 Khi đó u4 u1 3d 150 . Vậy góc có số đo lớn nhất của tứ giác là 150 . Câu 2. Một cấp số cộng gồm bốn số hạng, biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. Tìm các số hạng của cấp số cộng đó. A. 8, 6, 4, 2. B. 1,3,5,7. C. 2,4,6,8. D. 7, 5, 3, 1. Lời giải Chọn C Không mất tính tổng quát, giả sử bốn số hạng của cấp số cộng đó là a 3x;a x;a x;a 3x với công sai là d 2x x 0 . Khi đó, ta có: a 3x a x a x a 3x 20 4a 20 a 5 2 2 2 2 2 2 do x 0 a 3x a x a x a 3x 120 4a 20x 120 x 1 Vậy bốn số hạng của cấp số cộng cần tìm là 2,4,6,8 . Câu 3. Xen giữa số 3 và số 768 thêm bảy số hạng để được một cấp số nhân có u1 3. Khi đó u5 là A. 72 . B. 48 . C. 48 . D. 48 . Lời giải Chọn D 8 8 Từ đề bài ta suy ra u1 3 và u9 768 nên 768 3.q q 256 q 2, ta loại trường hợp q 2 vì nếu nhận trường hợp này thì sẽ có những số hạng không nằm giữa 3 và 768. 4 4 Do đó, u5 u1q 3.2 48 . Câu 4. Các số x 6y , 5x 2y , 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x 1, y 2 , x 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x2 y2 A. x2 y2 100. B. x2 y2 25 . C. x2 y2 10. D. x2 y2 40 . Lời giải Chọn D x 6y 8x y 2 5x 2y x 3y 0 x 3y x 6 Theo đề ta có 2 . 2 y 2 y 2 x 1 x 3y y 2 y 2 0 Suy ra x2 y2 40 . Câu 5. Cho dãy số tăng a, b, c c ¢ theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b 8, c 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P a b 2c.
13. 184 92 A. P . B. P 64. C. P . D. P 32. 9 9 Lời giải Chọn B ac b2 ac b2 1 Theo đề ta có: a c 2 b 8 a 2b 16 c 2 . 2 2 a c 64 b 8 ac 64a b 8 3 Thay (1) vào (3) ta được: b2 64a b2 16b 64 4a b 4 4 . c 8 a a 2b 16 c 7 Kết hợp (2) với (4) ta được: 5 4a b 4 4c 60 b 7 Thay (5) vào (1) ta được: c 36 2 7 c 8 c 4c 60 9c2 424c 3600 0 100 c 36 c ¢ . c 9 Với c 36 a 4, b 12 P 4 12 72 64. 1 n 1 u u u Câu 6. Cho dãy số (u ) xác định bởi u và u u . Tổng S u 2 3 ... 10 bằng n 1 3 n 1 3n n 1 2 3 10 29524 1 3280 25942 A. . B. . C. . D. . 59049 243 6561 59049 Lời giải Chọn A n 1 u 1 u u u n 1 . n (1). n 1 3n n n 1 3 n u 1 Đặt v n . Từ (1) suy ra v v . n n n 1 3 n 1 1 Khi đó dãy số (v ) là một cấp số nhân với số hạng đầu v u , công bội q , có: n 1 1 3 3 u u u S u 2 3 ... 10 v v v ... v 1 2 3 10 1 2 3 10 10 1 10 1 1 q 1 3 29524 Khi đó: S v . . . 1 1 1 q 3 1 59049 3 u1 2 Câu 7. Cho dãy số un với . Tính u6 . un 1 2un 1 n 1
14. A. 191. B. 95.C. 33. D. 47 . Lời giải Chọn B Ta có: un 1 2un 1 un 1 1 2un 2 un 1 1 2 un 1 . Đặt vn un 1 thì vn là cấp số nhân với công bội q 2 ; số hạng đầu là v1 3 . n 1 n 1 * Suy ra vn 3.2 . Từ đó un 3.2 1, n ¥ . 6 1 Do đó, u6 3.2 1 95. Câu 8. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình x3 7x2 2 m2 6m x 8 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng lập phương của hai giá trị đó. A. 342 B. 216 C. 344 D. 216 lời giải Chọn A Gọi x1; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình và x1 x2 x3 2 Ta có x1; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân nên x2 x1.x3 1 b c 2 Theo Viet ta có x1 x2 x3 7 2 và x1.x2 x2.x3 x1.x3 2 m 6m 3 a a 2 2 Từ 1 , 2 , 3 x2 m 6m 7 Vì x2 là nghiệm của phương trình nên ta có 3 2 2 2 m1 1 3 3 m 6m 8 m 6m 7 0 m1 m2 342 . 7 m2 7 Câu 9. Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp số cộng với công sai d 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44. Tính số cạnh của đa giác. A. 6B. 4C. 9 D. 5 Lời giải Chọn B. Ta sắp xếp các cạnh giá trị u1;un tăng dần theo cấp số cộng là 3. Khi đó ta có: n Sn 158 u1 44 . 158 u1 47 3n 2 u 44 47 3n 44 .n 316 n u 3 n 1 44 1 n 4 3n2 91n 316 0 79 n 3 Vậy đa giác có 4 cạnh. Câu 10. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để phương trình x4 2 2a 1 x2 3a 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D x4 2 2a 1 x2 3a 0 (1) Đặt t x2 t 0 , phương trình (1) trở thành t 2 2 2a 1 t 3a 0 (2)
15. Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2 thỏa mãn t2 9t1 2 4a 7a 1 0 1 2 a 4a 7a 1 0 2 1 t1 t2 4a 2 a a 3 2 t 9t 2 1 1 a t2t1 3a 12 a 3 Câu 11. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81. B. 82 . C. 80 . D. 79 . Lời giải Chọn C Giả sử trồng được n hàng cây n 1,n ¥ . Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 1 và công sai d 1. Theo giả thiết: n 2 n 80 Sn 3240 2u1 n 1 d 3240 n n 1 6480 n n 6480 0 2 n 81 So với điều kiện, suy ra: n 80 . Vậy có tất cả 80 hàng cây. Câu 12. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có 121500 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con. A. 10. B. 9. C. 8. D. 7. Lời giải Chọn D Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân un có công bội q 3. 4 4 Theo đề u5 121500 . Suy ra u1.q 121500 3 u1 121500 u1 1500 . Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un 1 . n n Theo đề un 1 3280500 hay u1.3 3280500 1500.3 3280500 n 7 .  Mức độ 4 Câu 1. Cho dãy số an thỏa mãn a1 1 và an 10an 1 1, n 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để log an 100 .
16. A. 100.B. 101.C. 102. D. 103. Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: an 10an 1 1 an 10 an 1 (1) . 9 9 1 1 8 Đặt b a b a . Từ (1) b 10b ,n 2 n n 9 1 1 9 9 n n 1 8 Dãy b là cấp số nhân với công bội là q 10 . Nên b b .qn 1 .10n 1 . n n 1 9 1 8 1 Do đó a b 10n 1 ,n 1,2,... . n n 9 9 9 8 1 Ta có log a 100 a 10100 10n 1 10100 . n n 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của n để log an 100 là n 102 . Câu 2. Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4 . Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 . Từ hình vuông C2 lại làm tiếp như trên để được hình vuông C3,...Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy các hình vuông C1,C2 ,C3 ,...,Cn ,... Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn . Dãy số an có là một cấp số nhân không? Nếu có hãy tìm công bội q . 10 10 A. Có và công bội q . B. Có và công bội q . 2 4 C. Có và công bội q 10 . D. Dãy số không phải là CSN. Lời giải Chọn B Cạnh của hình vuông C1 là a 1 4 .
17. 2 2 a1 3a1 10 Cạnh của hình vuông C2 là a2 a1. 4 4 4 2 2 a2 3a2 10 Cạnh của hình vuông C3 là a3 a2. 4 4 4 2 2 an 1 3an 1 10 Tương tự, ta có an an 1 . 4 4 4 10 Vậy, dãy số a là một cấp số nhân với a 4 và công sai q . n 1 4 Câu 3. Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe? A. 11. B. 12. C. 13. D. 10. Lời giải Chọn C Số tiền anh A cần tiết kiệm là 500 500.0,12 340 (triệu). Gọi số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm đầu tiên là u1 10 (triệu). Thì số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ hai là u2 u1. 1 0,12 u1.1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ ba là 2 2 u3 u1. 1 0,12 u1. 1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ n là n 1 n 1 un u1. 1 0,12 u1. 1,12 (triệu). Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm được sau n năm là 12. u u u u  u u u u 12. u u 12. u . 1,12 n 1 u . 2 1 3 2 n 1 n 2 n n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 23 Cho 12. u . 1,12 u 340 1,12 . 1 1 6 Thử trực tiếp ta nhận n 13. Vậy sau ít nhất 13 năm thì anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô. Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3 ,... sao
18. cho A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S S1 S 2 ... S n ... 15 9 A. S . B. S 4 . C. S . D. S 5 . 4 2 Lời giải Chọn B Vì dãy các tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường tròn 3 ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh . 3 Với n 1 thì tam giác đều A1B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 2 3 3 có bán kính R 3. S 3. . 1 1 3 3 3 Với n 2 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 2 2 1 3 1 3 A B C có bán kính R 3. . S 3. . . 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 Với n 3 thì tam giác đều A B C có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C 3 3 3 4 2 2 2 2 1 3 1 3 có bán kính R 3. . S 3. . . 3 3 4 3 4 3 ...................
19. n 1 1 Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3. nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 n 1 n 1 1 3 1 3 A B C có bán kính R 3. . S 3. . . n n n n n 2 3 2 3 Khi đó ta được dãy S1 , S2 , ...Sn ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 S1 3 1 và công bội q . 4 u Do đó tổng S S S ... S ... 1 4 . 1 2 n 1 q Câu 5. Cho dãy số un là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 1, công bội q 2 . Tính tổng 1 1 1 1 T ... . u1 u5 u2 u6 u3 u7 u20 u24 1 219 1 220 219 1 220 1 A. . B. . C. . D. 15.218 15.219 15.218 15.219 Lời giải Chọn B 1 1 1 1 T ... u1 u5 u2 u6 u3 u7 u20 u24 1 1 1 1 ... 4 4 4 4 u1 1 q u2 1 q u3 1 q u20 1 q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 ... 4 2 ... 19 1 q u1 u2 u3 u20 1 q u1 u1q u1q u1q 20 1 1 20 20 1 1 1 1 1 1 1 q 1 1 1 q 1 2 4 . 1 2 ... 19 . . . . . 1 q u q q q 1 q4 u 1 1 q4 u 1 q q19 15.219 1 1 1 1 q 1 n 1 * Câu 6. Cho dãy số xác định bởi u1 1, un 1 2un 2 ; n ¥ . Khi đó u2018 bằng 3 n 3n 2 22016 1 22018 1 A. u .B. u . 2018 32017 2019 2018 32017 2019 22017 1 22017 1 C. u .D. u . 2018 32018 2019 2018 32018 2019 Lời giải Chọn A 1 n 1 1 3 2 2 1 2 1 Ta có: un 1 2un 2 2un un . . 3 n 3n 2 3 n 2 n 1 3 n 2 3 n 1 1 2 1 un 1 un 1 n 2 3 n 1
20. 1 2 Đặt v u , từ 1 ta suy ra: v v . n n n 1 n 1 3 n 1 1 2 Do đó v là cấp số nhân với v u , công bội q . n 1 1 2 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 Suy ra: vn v1.q . un . un . . 2 3 n 1 2 3 2 3 n 1 2017 1 2 1 22016 1 Vậy u2018 . 2017 . 2 3 2019 3 2019 Câu 7. Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng 2019 40 2018 4 10 10 A. 10 1 2018 .B. 2018 . 9 9 9 2019 4 10 10 4 2018 C. 2018 . D. 10 1 . 9 9 9 Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt S 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có: 9 S 9 99 999 ... 99...9 10 1 102 1 103 1 ... 102018 1 4 9 Suy ra: S 10 102 103 ... 102018 2018 A 2018 . 4 Với A 10 102 103 ... 102018 là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 q2018 1 102018 102019 10 u 10 , công bội q 10 nên ta có A u 10 . 1 1 1 q 9 9 9 102019 10 4 102019 10 Do đó S 2018 S 2018 . 4 9 9 9 u1 4 u1 4 Cách 2: Xét dãy số có 4 4 un 1 10un 4 un 1 10 un 9 9 40 4 v1 Đặt vn un 9 v n là cấp số nhân. 9 vn 1 10vn 4 v 4 2018.4 Ta có: S u u ....... u v v ... v v v ... v n 1 2 2018 1 9 2 9 2018 9 1 2 2018 9 2018 1 qn 1 102018 40 40. 10 1 Trong đó S .v . v 2018 1 q 1 1 10 9 81