Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Dạng 1: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp

Nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Dạng 1: Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp

1. DẠNG TOÁN 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN: 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện.  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A B n A n B . 2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP. 1. Hoán vị : a) Hoán vị là gì ? Cho tập A có n (n 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. b) Số các hoán vị : Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn n! n(n 1)...1 1.2.3......(n 1)n Chú ý : Ta có Pn n! 1.2.3......(n 1)n n 3 ! n 2 n 1 n n 2 ! n 1 n 2. Chỉnh hợp : a) Chỉnh hợp là gì ? Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 k n . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. b) Số các chỉnh hợp : Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: k An n(n 1)(n 2)...(n k 1) (1) n 0 n Chú ý : An Pn n! Qui ước: 0! 1, An 1 thì (2) đúng với 0 k n Khi k = n thì An Pn n! n! Với 0 k n , ta có thể viết: Ak (2) n (n k)! 3. Tổ hợp : a) Tổ hợp là gì ? Cho tập A có n phần tử và số nguyên k (1 k n) . Mỗi tập con của A có k phần tử đgl một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Ak n! b) Số các tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k n) là: Ck n n k! k!(n k)! 0 k k Chú ý : Qui ước : 0! 1, Cn 1 thì (1) cũng đúng với 0 k n . Ta có Cn .k! An .
2. n! Với 0 k n ta có thể viết : Ck n k!(n k)!  Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: abc..., tuỳ theo yêu cầu bài toán: Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ. Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Đếm số (chỉ dùng một loại P hoặc A hoặc C)  Đếm số (kết hợp P-A-C)  Chọn người, vật (thuần hoán vị)  Chọn người, vật (thuần chỉnh hợp)  Chọn người, vật (thuần tổ hợp)  Chọn người, vật (kết hợp P-A-C)  Bài toán liên quan hình học  Tính toán, rút gọn biểu thức chứa P,A,C  PT-HPT đại số tổ hợp  Đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp  Hoán vị bàn tròn  BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm có 10 học sinh A. C 2 .B. A2 .C. 102 .D. 210 . 10 10 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán dùng quy tắc đếm hoặc tính số tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: 2 C10 .
3. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lờigiải Chọn A 2 Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: C10 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Bạn Hoàng muốn đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại của mình. Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hoàng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9 ). Hỏi bạn Hoàng có bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại. A. 2016 . B.5040 .C. 10000.D. 9000 . Lời giải Chọn C Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hoàng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9 ) nên số cách đặt mật khẩu của bạn Toàn là 104 10000 . Câu 2. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh trong lớp học này đi dự trại hè của trường? A. 25. B. 20. C. 45. D.500. Lờigiải Chọn C Áp dụng quy tắc cộng: Số cách chọn ra một học sinh trong lớp học này đi dự trại hè của trường là 25 20 45. Câu 3. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường? A. 25. B. 20. C. 45. D.500. Lời giải Chọn D Áp dụng quy tắc nhân: Số cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường là 25.20 500. Câu 4. Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó? A. 480. B. 24. C. 48. D. 60. Lời giải Chọn B
4. Áp dụng quy tắc cộng: Số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là 8 6 10 24. Câu 5. Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C qua B ? A. 24 .B. 7 .C. 6 .D. 12. Lời giải: Chọn D Từ A đến B có 3 cách chọn đường đi, từ B đến C có 4 cách chọn đường đi. Vậy số cách chọn đường đi từ A đến C phải đi qua B là : 3.4 12 cách. Câu 6. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5? 4 4 A. A5 .B. P5 .C. C5 .D. P4 . Lời giải: Chọn A Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 4 Vậy có A5 số cần tìm. Câu 7. Cho đa giác lồi n đỉnh n 3 . Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là C3 A. A3 . B. C3 .C. n . D. n!. n n 3! Lời giải: Chọn B Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là số tổ hợp chập 3 của n phần tử. 3 Số tam giác lập được là Cn . Câu 8. Số tập con của tập hợp gồm 2020 phần tử là A. 2020 .B. 22020 .C. 20202 .D. 2.2020 . Lời giải: Chọn B Số tập con của tập hợp có 2017 phần tử là 22017 . Câu 9. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau? 5 5 5 A. 5!. B. 9 . C. C9 . D. A9 . Lời giải: Chọn D Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.
5. 5 Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là A9 số. Câu 10. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1 cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n 5 điểm trên. Giá trị của n là A. n 10 . B. n 7 . C. n 8 . D. n 9 . Lời giải: Chọn B Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt 1 2 Trường hợp 1: chọn 1 điểm trên đường thẳng d1 và 2 điểm trên đường thẳng d2 có C5.Cn 2 1 Trường hợp 2: chọn 2 điểm trên đường thẳng d1 và 1 điểm trên đường thẳng d2 có C5 .Cn 5.n! 10.n! Số tam giác được tạo thành là C1.C 2 C 2.C1 175 175 5 n 5 n 2! n 2 ! 1! n 1 ! 5 n 1 n 2 n 7 10n 175 5n 15n 350 0 . 2 n 10 l  Mức độ 2 Câu 1. Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt A1, A2 ,..., A10 trong đó có 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên? A. 116 tam giác. B. 80 tam giác. C. 96 tam giác. D. 60 tam giác. Lời giải Chọn A 3 Số tam giác tạo từ 10 điểm là C10 tam giác 3 Do 4 điểm A1, A2 , A3 , A4 thẳng nên số tam giác mất đi là C4 3 3 Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là C10 C4 116 tam giác. Câu 2. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? A. 120.B. 98 .C. 150.D. 360 . Lời giải: Chọn B 5 Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh C9 cách. 5 5 5 Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: C7 C6 C5 5 5 5 5 Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là C9 C7 C6 C5 98 .
6. Câu 3. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau? A. 2520 .B. 50000 .C. 4500 . D. 2296 . Lời giải Chọn D 3 Số có 4 chữ số khác nhau đôi một: 9.A9 . 2  Số có 4 chữ số lẻ khác nhau đôi một: 5.8.A8 . 3 2 Vậy số có 4 chữ số chẵn khác nhau đôi một: 9.A9 5.8.A8 2296 . 3 x 2 Câu 4. Giải phương trình Ax Cx 14x . A. x 3. B. x 6 .C. x 5.D. x 4 . Lời giải Chọn C Cách 1: ĐK: x Z;x 3. x x 1 Có A3 C x 2 14x x x 1 x 2 14x 2 x 1 x 2 x 1 28 x x 2 5 2x2 5x 25 0 x 5; x . 2 Kết hợp điều kiện thì x 5. Cách 2: Lần lượt thay các đáp án B, C, D vào đề bài ta được x 5. Câu 5. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? A. 72 .B. 120.C. 54 .D. 69 . Lời giải. Chọn C Gọi số cần tìm dạng: abcd , a 0 . 3 Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 4.A4 96 số. 3 2 Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: A4 3.A3 42 . Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96 42 54 số. Câu 6. Một đoàn tàu có bảy toa đỗ ở sân ga. Có năm hành khách bước lên tàu. Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa tàu của năm hành khách, biết rằng không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách? A. 2520 . B. 78125.C. 16807 .D. 21
7. Lời giải Chọn A Không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách nên ta làm như sau: 5 - Chọn 5 toa tàu trong số 7 toa tàu ta có: C7 cách chọn. - Sắp thứ tự cho 5 hành khách lên 5 toa tàu đã chọn ta có 5! =120 cách. 5 - Vậy số cách chọn toa tàu của 5 khách là 120.C7 2520 cách. Câu 7. Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau? A. 48. B. 72. C. 24. D. 36. Lời giải. Chọn B 1 2 3 4 5 6 Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ. Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số1 hoặc một nam ngồi ở vị trí số 1. Ứng với mỗi trường hợp sắp xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau có 3!.3!. Vậy có 2.3!.3! 72. Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 ? A. 125.B. 120.C. 100.D. 69 . Lời giải. Chọn A Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 bao gồm các số tự nhiên có 1, 2 , 3 chữ số. Gọi số cần tìm là abc a, b, c 0;1;2;3;4 (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0 ). a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn. c có 5 cách chọn. Vậy có 5.5.5 125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tập xác định D ¡ \ 1 . Đồ thị C có tiệm cận đứng khi và chỉ khi x 1 không là nghiệm của g x x2 2x m2 1 g 1 0 m2 0 m 0. Câu 9. Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau. A. 310080 . B. 930240 . C. 1860480 . D. 15505 . Lời giải: Chọn A
8. Có 20 cách để chọn 1 tổ trưởng từ 20 người. Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó. 3 Sau đó có C18 cách để chọn 3 thành viên còn lại. 3 Vậy có 20.19.C18 310080 cách chọn một nhóm 5 người thỏa yêu cầu bài toán. Câu 10. Trong mặt phẳng có 2019 đường thẳng song song với nhau và 2020 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2019 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. 4 4 2 2 A. 2019.2020 .B. C2019 C2020 .C. C2019.C2020 . D. 2019 2020. Lời giải: Chọn C Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau. Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên. 2 Chọn 2 đường thẳng song song từ 2019 đường thẳng song song có C2019 (cách). 2 Chọn 2 đường thẳng song song từ 2020 đường thẳng song song có C2020 (cách). 2 2 Vậy có C2019.C2020 (hình bình hành).  Mức độ 3 Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4? A. 249 .B. 1500.C. 3204 . D. 2942 . Lời giải: Chọn B Chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4nên ta có thể có 154 hoặc 451 Gọi số cần tìm là abc (các chữ số khác nhau từng đôi một và a, b , c thuộc 0,2,3,6,7,8,9 ), sau đó ta chèn thêm 154 hoặc 451 để có được số gồm 6 chữ số cần tìm. 2 TH1: a 0 , số cách chọn a là 6, số cách chọn b và c là A6 , sau đó chèn 154 hoặc 451 vào 2 4vị trí còn lại nên có 6.A6 .4.2 cách 2 TH2: a 0 , số cách chọn a là 1, số cách chọn b và c là A6 , sau đó chèn 154 hoặc 451 vào vị 2 trí trước a có duy nhất 1 cách nên có A6 .2 cách 2 2 Vậy có 6.A6 .4.2 A6 .2 1500 (số). Câu 2. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A 1;2;3;4;5 sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3 A. 72 .B. 36 .C. 32 .D. 48 . Lời giải Chọn B
9. Gọi số tạo thành có dạng x abc , với a , b , c đôi một khác nhau và lấy từ A . Chọn một vị trí a,b hoặc c cho số 3 có 3 cách chọn. 2 Chọn hai chữ số khác 3 từ A và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của x có A4 cách. 2 Theo quy tắc nhân có 3.A4 36 cách. Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu. Vậy có 36 số cần tìm. Câu 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2? A. 720 số.B. 360 số.C. 288 số.D. 240 số. Lời giải Chọn D Gọi số có sáu chữ số cần tìm là n abcdef , trong đó sáu chữ số khác nhau từng đôi một, c 2 và f là số chẵn. Trường hợp 1: Nếu f 2 n abcde2 Có 4 cách chọn c , nên có 4.4! 96 số. Trường hợp 2: Nếu f 4 n abcde4 Có 3 cách chọn c , nên có 3.4! 72 số. Trường hợp 3: Nếu f 6 n abcde6 Có 3 cách chọn c , nên có 3.4! 72 số. Vậy số các số cần tìm là 96 72 72 240 số. Câu 4. Sắp xếp 20 người vào 2 bàn tròn A, B phân biệt, mỗi bàn gồm 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp là C10.9!.9! A. 20 . B. C10.9!.9!. C. 2C10.9!.9!. D. C10.10!.10!. 2 20 20 20 Lời giải Chọn B 10 Giai đoạn 1: Chọn 10 người từ 20 người xếp vào bàn A nên có C20 cách chọn người. Tiếp 10 theo là 10 người vừa chọn này có 9! cách chọn chỗ ngồi. Vậy giai đoạn 1 có C20 .9! cách. Giai đoạn 2: 10 người còn lại xếp vào bàn B , 10 người này có 9! cách chọn chỗ ngồi. Vậy giai đoạn 2 có 9! cách. 10 Vậy có tất cả C20 .9!.9! cách thỏa mãn bài toán.
10. Câu 5. Cho đa giác đều A1 A2 A3 .A30 nội tiếp trong đường tròn O . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó. A. 105.B. 27405 . C. 27406 . D. 106. Lời giải: Chọn A Trong đa giác đều A1 A2 A3 .A30 nội tiếp trong đường tròn O cứ mỗi điểm A1 có một điểm Ai đối xứng với A1 qua O A1 Ai ta được một đường kính, tương tự với A2 , A3 ,.., A30 . Có tất cả 15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A1 A2 A3 .A30 . Cứ hai đường kính đó 2 ta được một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có C15 105 hình chữ nhật tất cả. Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 .B. 846000 .C. 907200 .D. 151200. Lời giải: Chọn D Cách 1: Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có 5 A9 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0. 3 Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C5 cách. 5 3 Vậy có A9 C5 151200 số cần tìm. Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 +) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0 , sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. 3 Suy ra số cách chọn là C5 10. 5 +) Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9 , có A9 cách chọn. Câu 7. Từ các chữ số thuộc tập hợp S 1;2;3;...;8;9 có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2 , chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6 ? A. 36288 . B. 72576 .C. 45360 . D. 22680 . Lời giải:
11. Chọn C 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 1, 2 (số 1 đứng trước 2 ): có C9 cách. 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 3 , 4 (số 3 đứng trước 4 ): có C7 cách. 2 Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 5 , 6 (số 5 đứng trước 6 ): có C5 cách. 3 chữ số còn lại có 3! cách. 2 2 2 Vậy có 3!.C9 .C7 .C5 45360 số. Câu 8. Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang. Số cách xếp sao cho các bạn nam luôn ngồi cạnh nhau và các bạn nữ luôn ngồi cạnh nhau là A. 1782. B. 1728. C. 3456 . D. 288 . Lời giải: Chọn B Cách 1: Lấy 4 ghế xếp liền nhau coi là nhóm ghế A , lấy 3 ghế xếp liền nhau coi là nhóm B . Khi đó còn 2 ghế xếp xen kẽ giữa hai nhóm ghế A, B . Giả sử xếp nhóm ghế A trước rồi mới đến xếp nhóm ghế B thì có 6 trường hợp xen giữa khoảng trống A và B mô tả như bảng sau: A B A B A B A B A B A B Vì vai trò A và B như nhau nên số cách xếp ghế thỏa mãn bài toán là 6.2.4!.3! 1728 (cách). Cách 2: Coi 4 bạn nam cạnh nhau là một vị trí, 3 bạn nữ cạnh nhau là một vị trí, còn hai ghế 2 trống nên ta có 4 vị trí. Do đó số cách sắp xếp thỏa mãn bài toán là 4!.3!.A4 1728 (cách). Câu 9. Cho một đa giác đều n đỉnh n 2,n ¥ . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . A. n 12 . B. n 10 . C. n 9 . D. n 45 . Lời giải: Chọn B Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm O của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì 4 đỉnh của đường chéo cho ta một 2 hình chữ nhật. Vậy có Cn hình chữ nhật. n n 1 Theo đề bài ta có: C 2 45 45 n 10 . n 2
12. Câu 10. Hai bạn An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. 9 bạn được xếp vào 9 ghế thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho An và Bình không ngồi cạnh nhau? A. 40320 . B. 322560 . C. 357840 . D. 282240 . Lời giải: Chọn D Số cách xếp 9 bạn vào 9 ghế thành một hàng ngang là một hoán vị của 9 phần tử nên có: 9! 362880 cách. Số cách xếp 9 bạn vào 9 ghế thành một hàng ngang trong đó An và Bình xếp cạnh nhau có 2! . 8! 80640 cách (Xem hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau như ngồi một vị trí, sau đó hoán vị hai bạn An và Bình). Vậy số cách xếp 9 bạn sao cho An và Bình không ngồi cạnh nhau là 362880 80640 282240 .  Mức độ 4 Câu 1. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( n 4 , n ¥ ), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt. A. 8 . B. 12. C. 5 .D. 6 . Lời giải Chọn D Cách 1 : 3 Số cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là C2n . 3 Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là Cn . 3 3 Số mặt phẳng được tạo ra từ 2n điểm đã cho là C2n Cn 1. 2n 2n 1 2n 2 n n 1 n 2 Như vậy: C3 C3 1 201 200 2n n 6 6 2n 2n 1 2n 2 n n 1 n 2 200 6 6 7n3 9n2 2n 1200 0 n 6 7n2 33n 200 0 n 6 Vậy n 6 . Cách 2 : Có các trường hợp sau : TH1 : n điểm đồng phẳng tạo ra 1 mặt phẳng. 3 TH2 : n điểm không đồng phẳng tạo ra Cn mặt phẳng.
13. TH3 : 2 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 1 điểm trong n điểm không đồng phẳng 2 1 2 tạo ra Cn Cn n.Cn mặt phẳng. TH4 : 1 điểm trong n điểm đồng phẳng kết hợp với 2 điểm trong n điểm không đồng phẳng 1 2 2 tạo ra CnCn n.Cn mặt phẳng. 3 2 Vậy có 1 Cn 2nCn 201 n 6 . Câu 2. Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? A. 80640 . B. 108864.C. 145152. D. 217728 . Lời giải Chọn C Xét các trường hợp sau: TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có 2!.8! cách. 1 TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có 2!.A4.7! cách. 2 TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có 2!.A4 .6! cách. 3 TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có 2!.A4 .5! cách. 4 TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có 2!.A4 .4! cách. 1 2 3 4 Vậy theo quy tắc cộng có 2! 8! A4 7! A4 6! A4 5! A4 4! 145152 cách. Câu 3. Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A , B , C . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90 . C. 43200 . D. 720 . Lời giải Chọn C Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán. 3 Vậy tất cả có : 6!.A5 43200 cách. Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. A. 786240 . B. 846000 . C. 907200 . D. 151200. Lời giải: Chọn D Cách 1: Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có 5 A9 cách.
14. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0. 3 Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C5 cách. 5 3 Vậy có A9 C5 151200 số cần tìm. Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 +) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0 , sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. 3 Suy ra số cách chọn là C5 10. 5 +) Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9 , có A9 cách chọn. 5 Vậy có tất cả 10.A9 151200 số cần tìm. Câu 5. Trong các số nguyên từ 100 đến 999 , số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái qua phải) bằng: A. 204 . B. 120. C. 168. D. 240 . Lời giải: Chọn A Số nguyên cần lập có 3 chữ số đôi một khác nhau. Xét hai trường hợp: TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải. Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần. 3 Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: C9 . TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải. Khi đó 3 chữ số được chọn từ tập B 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần. 3 Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: C10 . 3 3 Vậy số các số cần tìm là: C9 C10 204 số. Câu 6. Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho không có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau? A. 54 . B. 110. C. 55 . D. 108 Lời giải: Chọn B TH1: Có 8 chữ số 8 .
15. Có 1 số TH2: Có 1 chữ số 1, 7 chữ số 8 . Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số. TH3: Có 2 chữ số 1, 6 chữ số 8 . Xếp 6 số 8 ta có 1 cách. Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1. 2 Nên ta có: C7 21 số. TH4: Có 3 chữ số 1, 5 chữ số 8 . Tương tự TH3, từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1. 3 Nên có: C6 20 số. TH5: Có 4 chữ số 1, 4 chữ số 8 . Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1. 4 Nên có: C5 5 . Vậy có: 1 8 21 20 5 55 số. Câu 7. Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32 .B. 72 .C. .D. . 36 24 Lời giải: Chọn B Gọi a1a2a3a4a5a6 là số cần tìm Ta có a6 1;3;5 và a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 a1,a2 ,a3 2,3,6 a1,a2 ,a3 2,4,5 Với a6 1 thì a1 a2 a3 a4 a5 2 hoặc a4 ,a5 4,5 a4 ,a5 3,6 a1,a2 ,a3 2;4;5 a1,a2 ,a3 1,4,6 Với a6 3 thì a1 a2 a3 a4 a5 4 hoặc a4 ,a5 1,6 a4 ,a5 2,5 a1,a2 ,a3 2,3,6 a1,a2 ,a3 1,4,6 Với a6 5 thì a1 a2 a3 a4 a5 6 hoặc a4 ,a5 1,4 a4 ,a5 2,3 Mỗi trường hợp có 3!.2! 12 số thỏa mãn yêu cầu Vậy có tất cả 6.12 72 số cần tìm. Câu 8. Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên ¡ và thỏa mãn lim f (x) 1, lim f (x) 2 . Có x x bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
16. A. 786240 .B. 846000 .C. 907200 .D. 151200. Lời giải: Chọn D 5 Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A9 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . 3 Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C5 cách. 5 3 Vậy có A9 C5 151200 số cần tìm. Câu 9. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là A. 2163.B. 2170 . C. 3003 .D. 3843 . Lời giải: Chọn B 5 Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là: C15 cách. Khi chọn bất kỳ thì bao gồm các trường hợp sau Có Chỉ có một màu Chỉ có hai màu đủ ba màu 5 5 5 5 Xanh: C6 cách. Xanh – Đỏ: C11 - C6 - C5 cách. 5 5 5 Đỏ: C5 cách. Đỏ - Vàng: C9 - C5 cách. 5 5 Xanh – Vàng: C10 - C6 cách. Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán (có đủ ba màu) là C5 - C5 + C5 - éC5 - C5 - C5 + C5 - C5 + C5 - C5 ù= 2170. 15 ( 6 5 ) ëê( 11 6 5 ) ( 9 5 ) ( 10 6 )ûú Câu 10. Một tổ học sinh có 6 nam và 3 nữ được yêu cầu xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp sao cho không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau là A. 9!. B. 151200. C. 25200 . D. 86400 . Lời giải: Chọn B Coi ghế xếp hàng ngang được đánh theo số thứ tứ từ 1 đến 9 như minh họa: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Số cách chọn có 3 bạn nữ đứng cạnh nhau là3!.7! (cách). Xét trường hợp có đúng 2 bạn nữ đứng cạnh nhau: 2 Chọn hai bạn nữ trong ba bạn nữ để xếp cạnh nhau có: C3 (cách).
17. Nếu xếp hai bạn nữ vào vị trí ghế 1;2 hoặc 8;9 thì bạn nữ còn lại chỉ được chọn một trong 6vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp. Do đó số cách xếp để có đúng hai bạn nữ cạnh nhau là 2.2!.6.6! 17280 (cách). Nếu xếp hai bạn nữ vào các vị trí 2;3 hoặc 3;4 hoặc 4;5 hoặc 5;6 hoặc 6;7 hoặc 7;8 thì bạn nữ còn lại chỉ được chọn một trong 5 vị trị ghế để không cạnh hai bạn nữ vừa xếp. Do đó số cách xếp để có đúng hai bạn nữ cạnh nhau là 6.2!.5.6! 43200 (cách). Vậy số cách xếp để không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau là 2 9! 3!.7! C3 . 17280 43200 151200 (cách).